高二數學復習導數的應用人教實驗版（B）

高二數學復習：導數的應用人教實驗版（B）【本講教育信息】一.教學內容：高考復習：導數的應用二.教學目的：通過高考或模擬題實例探究導數在高考中的應用三.知識分析：【考點綜述】有關導數的內容，在2000年開始的新課程試卷命題時，其考試要求都是很基本的，以后逐漸加深，考查的基本原則是重點考查導數的概念和計算，力求結合應用問題，不過多地涉及理論探討和嚴格的邏輯證明，而近幾年高考試題的設計，特別是2022年試題更突出凡函數大題必與導數結合這一特征。本部分的要求一般有三個層次：第一層次是主要考查導數的概念，求導的公式和求導法則；第二層次是導數的簡單應用，包括求函數的極值、單調區(qū)間、證明函數的增減性等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數內容和傳統(tǒng)內容中有關不等式和函數的單調性等有機地結合在一起，設計綜合題，通過將新課程內容和傳統(tǒng)內容相結合，加強了能力考查力度，使試題具有更廣泛的實際意義，更體現了導數作為工具分析和解決一些函數性質問題的方法，這類問題用傳統(tǒng)教材是無法解決的?！纠}探究】【例1】（2022年煙臺統(tǒng)考）已知函數f（x）＝x3＋3ax2＋3（a＋2）x＋1既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是?？疾槟康模嚎疾閷档倪\算及利用導數知識求函數的極值等基本知識和分析問題、解決問題的能力。解析：∵f′（x）＝3x2＋6ax＋3a＋6，令f′（x）＝0，則x2＋2ax＋a＋2＝0又∵f（x）既有極大值又有極小值∴f′（x）＝0必有兩解，即△＝4a2－4a－8＞0解得a＜－1或a＞2。探究：本題通過求函數的導數，將函數問題轉化為一元二次方程來探究，充分體現了函數與方程相互轉化的解題思想與解題策略?！纠?】設函數f（x）＝ax3－2bx2＋cx＋4d（a、b、c、d∈R）的圖象關于原點對稱，且x＝1時，f（x）取得極小值－。（1）求a、b、c、d的值；（2）當x∈[－1，1]時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點的切線互相垂直？試證明你的結論；（3）若x1，x2∈[－1，1]時，求證：|f（x1）－f（x2）|≤?？疾槟康模罕绢}主要考查導數的幾何意義、導數的基本性質和應用、絕對值不等式以及綜合推理能力。解析：（1）∵函數f（x）的圖象關于原點對稱，∴對任意實數x，都有f(－x)＝－f（x）．∴－ax3－2bx2－cx＋4d＝－ax3＋2bx2－cx－4d，即bx2－2d＝0恒成立?！郻＝0，d＝0，即f（x）＝ax3＋cx．∴f′（x）＝3ax2＋c?！選＝1時，f（x）取得極小值－．∴f′（1）＝0且f（1）＝－，即3a＋c＝0且a＋c＝－．解得a＝，c＝－1．（2）證明：當x∈[－1，1]時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立，假設圖象上存在兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），使得過這兩點的切線互相垂直，則由f′（x）＝x2－1，知兩點處的切線斜率分別為k1＝x12－1，k2＝x22－1，且（x12－1）（x22－1）＝－1．（*）∵x1、x2∈[－1，1]，∴x12－1≤0，x22－1≤0∴（x12－1）（x22－1）≥0，這與（*）相矛盾，故假設不成立．（3）證明：∵f′（x）＝x2－1，由f′（x）＝0，得x＝±1．當x∈（－∞，－1）或（1，＋∞）時，f′（x）＞0;當x∈（－1，1）時，f′（x）＜0．∴f（x）在[－1，1]上是減函數，且fmax（x）＝f（－1）＝，fmin（x）＝f（1）＝－．∴在[－1，1]上，|f（x）|≤．于是x1，x2∈[－1，1]時，|f（x1）－f（x2）|≤|f（x1）|＋|f（x2）|≤＋＝．故x1，x2∈[－1，1]時，|f（x1）－f（x2）|≤．探究：①若x0點是y＝f（x）的極值點，則f′（x0）＝0，反之不一定成立；②在討論存在性問題時常用反證法；③利用導數得到y(tǒng)＝f（x）在[－1，1]上遞減是解第（3）問的關鍵．【例3】已知平面向量＝（，－1）．＝（，）．（1）證明⊥；（2）若存在不同時為零的實數k和t，使＝＋（t2－3），＝－k＋t，⊥，試求函數關系式k＝f（t）；（3）據（2）的結論，討論關于t的方程f（t）－k＝0的解的情況．考查目的：本題考查向量的性質與計算、函數的導數與函數的圖象、函數的圖象與方程根的個數間的關系以及綜合應用能力。解析：（1）∵＝×＋（－1）×＝0∴⊥．（2）∵⊥，∴＝0即[＋（t2－3）]·（－k＋t）＝0．整理后得－k＋[t－k（t2－3）]＋（t2－3）·＝0∵＝0，＝4，＝1，∴上式化為－4k＋t（t2－3）＝0，即k＝t（t2－3）（3）討論方程t（t2－3）－k＝0的解的情況，可以看作曲線f（t）＝t（t2－3）與直線y＝k的交點個數．于是f′（t）＝（t2－1）＝t（t＋1）（t－1）．令f′（t）＝0，解得t1＝－1，t2＝1．當t變化時，f′（t）、f（t）的變化情況如下表：t（－∞，－1）－1（－1，1）1（1，＋∞）f′（t）＋0－0＋f（t）↗極大值↘極小值↗當t＝－1時，f（t）有極大值，f（t）極大值＝．當t＝－1時，f（t）有極小值，f（t）極小值＝－．函數f（t）＝t（t2－3）的圖象如下圖所示，可觀察出：（1）當k＞或k＜－時，方程f（t）－k＝0有且只有一解；（2）當k＝或k＝－時，方程f（t）－k＝0有兩解；（3）當－＜k＜時，方程f（t）－k＝0有三解．探究：導數的應用為函數的作圖提供了新途徑?！纠?】（2022·全國卷·22）已知函數f（x）＝ln（1＋x）－x，g（x）＝xlnx．（1）求函數f（x）的最大值；（2）設0＜a＜b，證明：0＜g（a）＋g（b）－2g（）＜（b－a）ln2．考查目的：本題主要考查導數的基本性質和應用，對數函數性質和平均值不等式知識以及綜合推理論證的能力。解析：（1）函數f（x）的定義域為（－1，＋∞），f′（x）＝－1．令f′（x）＝0，解得x＝0．當－1＜x＜0時，f′（x）＞0;當x＞0時，f′（x）＜0．又f（0）＝0，故當且僅當x＝0時，f（x）取得最大值，最大值為0．（2）證法一：g（a）＋g（b）－2g（）＝alna＋blnb－（a＋b）ln＝aln由（1）結論知ln（1＋x）－x＜0（x＞－1，且x≠0）由題設0＜a＜b，得因此，，．又，．綜上．證法二：．設則當0＜x＜a時，，因此f(x)在內為減函數；當x＞a時，，因此f(x)在上為增函數．從而，當x＝a時，f（x）有極小值f（a）．即．設，則當x＞0時，，因此g(x)在上為減函數。即，綜上，原不等式得證?！纠?】設函數，其中。（I）當時，判斷函數在定義域上的單調性；（II）求函數的極值點；（III）證明對任意的正整數，不等式都成立。解：（I）由題意知，f(x)的定義域為，設，其圖象的對稱軸為∴，當時，，即在上恒成立?！喈敃r，∴當時，函數在定義域上單調遞增。（II）①由（I）得：當時，函數無極值點，②時，＝0有兩個相同的解時，時，時，函數在上無極值點。③當時，有兩個不同解，，?！邥r，，，即∴時，隨x的變化情況如下表：－0＋極小值由此表可知：時，f(x)有惟一極小值點；當時，∴此時，隨x的變化情況如下表：＋0－0＋極大值極小值由此表可知：時，f(x)有一個極大值點和一個極小值點；綜上所述，時，f(x)有惟一極小值點；時，f(x)有一個極大值點和一個極小值點；時，f(x)無極值點。（III）當時，函數令函數則∴當時，所以函數h(x)在上單調遞增，又時，恒有即恒成立，故當時，有，對任意正整數，取則有，所以結論成立?！灸M試題】一、選擇題1.函數，則等于（）A. B.C. D.2.設，則（0）為（）A.0 B.1 C.－1 D.不存在3.已知曲線，這三條曲線與x＝1的交點分別為A、B、C，又設k1、k2、k3分別為經過A、B、C且分別與這三條曲線相切的直線的斜率，則（）A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k2＜k1 C.k1＜k3＜k2D.k3＜k1＜k24.已知a＞0，函數在上是單調增函數，則a的最大值是（）A.0 B.1 C.2 D.35.已知（m為常數），在[－2，2]上有最大值3，那么此函數在[－2，2]上的最小值為（）A.－37 B.－29 C.－5 D.－116.（2022年浙江高考）設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）二、填空題7.曲線與曲線在交點處的切線的夾角為。8.已知且，則的取值范圍是__________。三、解答題9.已知曲線，求與C1、C2均相切的直線l的方程。10.函數，過曲線上的點的切線方程為y＝3x＋1（1）若時有極值，求的表達式；（2）在（1）的條件下，求在[－3，1]上的最大值；（3）若函數在區(qū)間[－2，1]上單調遞增，求b的取值范圍。11.某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間近似滿足如圖所示的曲線。（1）寫出服藥后y與t之間的函數關系式y(tǒng)＝f（t）；（2）據進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于微克時，治療疾病有效。①求服藥一次治療疾病有效的時間？②當t＝5時，第二次服藥，問t時，藥效是否持續(xù)？【試題答案】1、D2、B3、D4、D5、A6、C7、90° 8、（－∞，－1）9、解答：由得，由，得；設直線l與的切點為的切點為根據已知條件 ①＋②整理得由③得即，代入④與①聯(lián)立可解得x1＝0或x1＝2當x1＝0時，x2＝2；當x1＝2時，x2＝0∴直線l過（0，0）、（2，0）兩點，或直線過（2，4）、（0，－4）兩點，因此所求直線方程為y＝0或y＝4x－4。10、解：（1）由求導數得過上點的切線方程為：，而過上，的切線方程為故即在x＝－2時有極值，故＝0③由①②③式聯(lián)立解得，（2）－2＋0—0＋↗極大↘極小↗，，在[－3，1]上的最大值為13。（3）在區(qū)間[－2，1]上單調遞增，又，由（1）知，依題意在[－2，1]上恒有在[－2，1]上恒成立。①當時，，②當時，，③當時，，∴0≤b≤6綜合上述討