數(shù)學(xué)建模 微分方程模型

§2傳染病模型

§3戰(zhàn)爭模型

§4最優(yōu)捕魚問題

§1微分方程模型

微分方程模型數(shù)學(xué)建模微分方程模型§1微分方程模型

<>一、微分方程模型的建模步驟在自然科學(xué)以及工程、經(jīng)濟、醫(yī)學(xué)、體育、生物、社會等學(xué)科中的許多系統(tǒng)，有時很難找到該系統(tǒng)有關(guān)變量之間的直接關(guān)系——函數(shù)表達式，但卻容易找到這些變量和它們的微小增量或變化率之間的關(guān)系式，這時往往采用微分關(guān)系式來描述該系統(tǒng)——即建立微分方程模型。我們以一個例子來說明建立微分方程模型的基本步驟。數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>例1某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陳代謝（即自動消耗）。在健身訓(xùn)練中，他所消耗的熱量大約是69（焦/公斤?天）乘以他的體重（公斤）。假設(shè)以脂肪形式貯藏的熱量100%地有效，而1公斤脂肪含熱量41868（焦）。試研究此人的體重隨時間變化的規(guī)律。數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>模型分析在問題中并未出現(xiàn)“變化率”、“導(dǎo)數(shù)”這樣的關(guān)鍵詞，但要尋找的是體重（記為W）關(guān)于時間t的函數(shù)。如果我們把體重W看作是時間t的連續(xù)可微函數(shù)，我們就能找到一個含有的微分方程。數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>模型假設(shè)1.以W(t)表示t時刻某人的體重，并設(shè)一天開始時人的體重為W0。2．體重的變化是一個漸變的過程。因此可認(rèn)為W(t)是關(guān)于連續(xù)t而且充分光滑的。3．體重的變化等于輸入與輸出之差，其中輸入是指扣除了基本新陳代謝之后的凈食量吸收；輸出就是進行健身訓(xùn)練時的消耗。數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>模型建立問題中所涉及的時間僅僅是“每天”，由此，對于“每天”體重的變化=輸入-輸出。由于考慮的是體重隨時間的變化情況，因此，可得體重的變化/天=輸入/天—輸出/天。代入具體的數(shù)值，得輸入/天=10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天），輸出/天=69（焦/公斤?天）×（公斤）=69（焦/天）。數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>

體重的變化/天=△W/△t（公斤/天），當(dāng)△t→0時，它等于dW/dt?？紤]單位的匹配，利用“公斤/天=（焦/每天）/41868（焦/公斤）”,可建立如下微分方程模型數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>模型求解

用變量分離法求解，模型方程等價于積分得數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>從而求得模型解就描述了此人的體重隨時間變化的規(guī)律。數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>

現(xiàn)在我們再來考慮一下：此人的體重會達到平衡嗎?顯然由W的表達式，當(dāng)t→∞時，體重有穩(wěn)定值W→81。我們也可以直接由模型方程來回答這個問題。在平衡狀態(tài)下，W是不發(fā)生變化的。所以這就非常直接地給出了W平衡=81。所以，如果我們需要知道的僅僅是這個平衡值，就不必去求解微分方程了！數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>至此，問題已基本上得以解決。一般地，建立微分方程模型，其方法可歸納為：(1)

根據(jù)規(guī)律列方程。利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或許多經(jīng)過實踐或?qū)嶒灆z驗的規(guī)律和定律，如牛頓運動定律、物質(zhì)放射性的規(guī)律、曲線的切線性質(zhì)等建立問題的微分方程模型。數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>(3)

模擬近似法。在生物、經(jīng)濟等學(xué)科的實際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，常常用模擬近似的方法來建立微分方程模型、建模時在不同的假設(shè)下去模擬實際的現(xiàn)象，這個過程是近似的，用模擬近似法所建立的微分方程從數(shù)學(xué)上去求解或分析解的性質(zhì)，再去同實際情況對比，看這個微分方程模型能否刻劃、模擬、近似某些實際現(xiàn)象。本章將結(jié)合例子討論幾個不同領(lǐng)域中微分方程模型的建模方法。數(shù)學(xué)建模微分方程模型§2傳染病模型問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預(yù)報傳染病高潮到來的時刻

預(yù)防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型<>數(shù)學(xué)建模微分方程模型

已感染人數(shù)(病人)i(t)

每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為

模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?<>數(shù)學(xué)建模微分方程模型模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為

,且使接觸的健康人致病建模

~日接觸率SI模型<>數(shù)學(xué)建模微分方程模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻

(日接觸率)tm

Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大<>數(shù)學(xué)建模微分方程模型模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為

~日治愈率建模

~日接觸率1/

~感染期

~一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。<>數(shù)學(xué)建模微分方程模型模型3i0i0接觸數(shù)

=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/

i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/

i0t

1di/dt<0<>數(shù)學(xué)建模微分方程模型模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率

,

接觸數(shù)

=/建模需建立的兩個方程<>數(shù)學(xué)建模微分方程模型模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)<>數(shù)學(xué)建模微分方程模型模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進行分析<>數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減

相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段

(日接觸率)衛(wèi)生水平

(日治愈率)

醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/

的估計

降低s0提高r0

提高閾值1/

降低

(=

/

)

,

群體免疫數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1

i0

0,s0

1

小,s0

1提高閾值1/

降低被傳染人數(shù)比例xs0-1/

=

數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會領(lǐng)域的實際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型§3戰(zhàn)爭模型

數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>一般模型

每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力

每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比

甲乙雙方的增援率為u(t),v(t)f,g

取決于戰(zhàn)爭類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設(shè)模型數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>正規(guī)戰(zhàn)爭模型

甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=

ay,a~乙方每個士兵的殺傷率a=rypy,ry~射擊率，

py~命中率數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>0正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關(guān)系平方律模型乙方勝數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)

甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=

cxy,c~乙方每個士兵的殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動面積sry~乙方射擊有效面積數(shù)學(xué)建模微分方程模型0游擊戰(zhàn)爭模型線性律模型<>數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>0混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊乙方必須10倍于甲方的兵力設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>

再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）

再生資源應(yīng)適度開發(fā)——在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問題及分析

在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。

如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。背景§4最優(yōu)捕魚問題

數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>產(chǎn)量模型假設(shè)

無捕撈時魚的自然增長服從Logistic規(guī)律

單位時間捕撈量與漁場魚量成正比建模

捕撈情況下漁場魚量滿足

不需要求解x(t),只需知道x(t)穩(wěn)定的條件r~固有增長率,N~最大魚量h(x)=Ex,E~捕撈強度x(t)~漁場魚量數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡點設(shè)x(t)是方程的解，若從x0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點不求x(t),判斷x0穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>產(chǎn)量模型平衡點穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)定,漁場干枯E~捕撈強度r~固有增長率數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大圖解法P的橫坐標(biāo)x0~平衡點P的縱坐標(biāo)h~產(chǎn)量產(chǎn)量最大f與h交點P控制漁場魚量為最大魚量的一半y=rxhPx0hmx0*=N/2P*y=E*xy0y=h(x)=ExxNy=f(x)數(shù)學(xué)建模微分方程模型<>效益模型假設(shè)

魚銷售價格p

單位捕撈強度費用c

單位時間利潤在捕撈量穩(wěn)定的條件