2022年數(shù)列教案課件

數(shù)列求和復習課

一.教學目標

1.知識與能力目標：

熟練掌握等差、等比數(shù)列的求和公式及非等差、等比數(shù)列求和的幾種常用

方法

2.過程與方法目標：

歸納數(shù)列求和的常用方法，形成知識網(wǎng)絡

3.情感態(tài)度價值觀目標：

體會轉(zhuǎn)化思想，提高觀察能力，分析問題、解決問題的能力以及計算能力

二.學情分析

我班學生根底比擬薄弱，故先從剛學過的等差等比數(shù)列求和的方法入

手。選題能適應學生的認知水平，使學生在教學過程中能靈活應用，思維

得到提高。

三.教學重難點：

教學重點：數(shù)列求和方法及其思路獲取.

教學難點：在具體問題情境中，恰中選擇求和方法，準確迅速求和

四.教學過程

（一）.數(shù)列求和的常用方法：

1、分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列中的每一項分成多個項或把數(shù)列中的項重新組

合，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解

師：說出等差數(shù)列的前n項和公式

—

生：Sn—2，Sn2

師：說出等比數(shù)列的前n項和公式

(gw】)S廣告WD

生：sn=1-g

師：條件q=l時一，前n項和怎樣計算

生：Sn=nai

師:下面請同學們先看例1。

(x+l)+(xJ+-?5-)+AA+(x*+-^-)(x*0,x*Vxl)

例i⑴求和：yy/

設計意圖:將數(shù)列的求和問題化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問題；

師：上面各個括號內(nèi)的式子均由兩項組成，其中各括號內(nèi)的前一項與后一

項分別組成等比數(shù)列，分別求出這兩個等比數(shù)列的和，就能得到所求式子

的和。

解：當xWO,xWl,yWl時

(不+x'+AA+x*)+(—+f+AA+—)

原式=yyy

x(l-f)+y尸=XT*"+

1-x1I1-x/**1-x*

y

〔以上化簡過程，實際上是繁分式的化簡應強調(diào)結(jié)果的完整〕

師：題中附加條件去掉，應該如何考慮請同學們課后思考。

2、倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等距離的兩項的和相等或等

于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)

列的前n項和即是用此法推導的

師：出例如2.求證：

C：+34+5C：+…+(2%+l)C：=(%+1)2，

設計意圖:對某些前后具有對稱性的數(shù)列，可運用倒序相加法求其前3項和.

證明：設松=￥+34+5?+…+(2%+l)C；(1)

把〔1〕式右邊倒轉(zhuǎn)過來，得

=(2?+l)qi+(2?-l)C^1+-+3C^+C^(2)

又C；=

所以(2)式可變?yōu)?/p>

S*=(2〃+l)C：+伽-1?+…+3C；"+C；(3)

由(1)+⑶得

2sx=(2?+2)(C：++…+C；-1+C；)

=2(附+1>2*.

所以S；=5+1)2

3、錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的

對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)

列的前n項和就是用此法推導的

師:出例如3.求S*=1+3乂+5>+7>+.“+(2”l)xi(xwl)

生思考后師分析：由題可知，｛Q閥-1)/“)的通項是等差數(shù)歹成2〃一4的通

項與等比數(shù)列｛犬〉的通項之積，符合錯位相減法的特征，可通過錯位相減

轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和來解決。

設計意圖：對等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和；

解：設&=1+3=+52+79+…+(2同一1)產(chǎn)自1)(1)

則礙

=x+3/+5/+7x'+…+(2%-l)x*(2)

由Q)-(2),得

(1-x)=1+2X=2X2+2X3+2X++-+2^-1-(2?-1)XS

再利用等比數(shù)列求和公式，得

1_/一1

(1-)S*=l+2x———-(2?-l)xs.

1-X

又因為X工1,

斫］(2-1)/1-伽+1)/+(1+力

歷昭一(1-x)2

4、裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和的中間一些項可以相

互抵消，從而求得其和，利用裂項法的前提是數(shù)列中的每一項均能分裂成

一正一負兩項。裂項相消求和時抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,

也有可能前面剩兩項后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需

要調(diào)整前面的系數(shù)，才能使裂開的兩項差與原通項公式相等。

111.1

,+---+，+AA+-----

師出例如4求和：：?二2?:>4心+1)

師：將各項分母通分，顯然是行不通的，能否通過通項的特點，將每一項

拆成兩項的差，使它

們之間能互相抵消許多。

11■_1_

生：⑴”—村上+1)一工上+1令k=l,2,3,???n

八1、,11、+/-1、A/1、

領(lǐng)力［s_p._O--)+(--T)(T7)+A+(-----)

那么原式=221>4n〃+1

=n=n+\

設計意圖：用裂項相消法求出前n項和.

LUj+」

變式(1)求和：1"2-43?5雙月+2)

11A1

(2)：求數(shù)列：1,1+2,1+2+3,1+2+3+A+力的前n項和。

(啟發(fā)學生，根據(jù)上面的方法解決)

5、并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可以兩兩結(jié)合求解稱之為并

項法。

1二)、課堂小結(jié)：

常用數(shù)列求和方法有：

(1)公式法:直接運用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式；

(2)分組轉(zhuǎn)化法：將數(shù)列的求和問題化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問

題;

倒序相加法：對前后項有對稱性的數(shù)列求和;

(4)錯位相減法:對等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和；(乘以公比，

錯位相減)

(5)裂項相消法:將數(shù)列的通項分解成兩項之差，從而在求和時產(chǎn)生相

消為零的項的求和方法.

(6)并項求和法:將相鄰n項合并為一項求和；

(三)、作業(yè)布置。

四、教學資源：

1、命題走向：

數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下

都是出一道解答題，解答題大多以數(shù)列為工具，綜合運用函數(shù)、方程、不

等式等知識，通過運用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜測、等價轉(zhuǎn)化、

分類討論等各種數(shù)學思想方法，這些題目都考察考生靈活運用數(shù)學知識分

析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目。

2^有關(guān)命題趨勢：

(1〕.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，而不等式那么是深刻認識函數(shù)和數(shù)列

的有效工具，三者的綜合題是對根底和能力的雙重檢驗，在三者交匯處設

計試題，特別是代數(shù)推理題是高考的重點；

〔2〕.數(shù)列推理題是將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個亮點，這是由于此類

題目能突出考察學生的邏輯思維能力，能區(qū)分學生思維的嚴謹性、靈敏程

度、靈活程度；

(3).數(shù)列與新的章節(jié)知識結(jié)合的特點有可能加強，如與解析幾何的

結(jié)合等；

(4).有關(guān)數(shù)列的應用問題也一直備受關(guān)注。

3、預測高考：

1.可能為一道考察關(guān)于數(shù)列的推導能力的解答題；

2.也可能為一道知識交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應用

問題上等聯(lián)系的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學歸納法等有機結(jié)合。

五、教學反思及總結(jié)：

1.我從兩個方面設計變式題。其一，橫向變化，其二是縱向變化。橫向

變化是：從公式一例題各個側(cè)面來看求和，讓學生開拓了視野，展開豐富

的聯(lián)想：分組求和可分兩組，是否還有分三組來解的題裂項相消法求和有

分母裂項求和，是否還有分母有理化進行求和等。縱向變化：條件削弱，

問題復雜，難度提升。從具體到抽象，從特殊到一般螺旋式的上升。橫向

變化，可看出思維變異的多樣性。這種思維變異的多樣性在今后的學習過

程中將要面臨的。如何理解這種數(shù)學的合理性呢學生的學習的本質(zhì)是繼承、

借鑒、開展、創(chuàng)新，而問題變式教學恰是在有實例的支持下，繼承了思維

變異的常用技巧，借鑒此技巧、尋求更多的變異，如分組成三個或更多個

的式子求和，使學的思維得到充分的開展，從而取得創(chuàng)新的目的，這就是

教學中所要取得的效果。從縱向變化，可看出思維變異的深入性。問題的

層層深入，使問題的一般規(guī)律掀起蓋頭，讓學生體驗了思維向縱深開展的

規(guī)律。

2.反思求和公式方法的總結(jié)，我也發(fā)現(xiàn)了種種遺憾.如學生的解法均缺

乏根據(jù)，但教師贊賞學生這種善于通過類比聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性解法，為

了保護學生的積極性和創(chuàng)造性，沒有進行否認，而是讓學生課下思考，是

否妥當需要研究.又如裂項相消法等，都是由教師提出來的，假設是能由

學生主動提出就更好了.為此急需加強對學生提出問題的能力的訓練和培

養(yǎng)