分類討論思想在高中數(shù)學中的應用

..分類討論思想在高中數(shù)學中的應用摘要：分類討論是是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它表達了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。在近幾年的高考試題中，他都被列為一種重要的思維方法來考察。因此在平時的教學中，應該注重分類思想的教學，注重培養(yǎng)學生的邏輯性思維。在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它表達了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置，在近幾年的高考試題中，他都被列為一種重要的思維方法來考察。因此在平時的教學中，應該注重分類思想的教學，注重培養(yǎng)學生的邏輯性思維。分類討論實質(zhì)是"化整為零，各個擊破，再積零為整〞的思維策略。分類討論的思想方法的步驟：(1)確定標準；(2)合理分類；(3)逐類討論；(4)歸納總結(jié).其關(guān)鍵是"為什么分類，怎樣分類〞。一、分類討論的幾個注意點1.明確分類討論的對象分類討論的對象是用字母表示的數(shù),一般為變量,當然也不排除為常量的可能。例1、設為實常數(shù)，問方程表示的曲線是何種曲線？解析：方程表示何種曲線主要取決于的取值，可對分以下三種情形討論：〔1〕當時，方程變?yōu)?，表示直線；〔2〕當時，方程變?yōu)?，表示直線；〔3〕當時，方程變?yōu)?，又有以下五種情形討論：①當時，方程表示中心在原點，焦點在軸上的雙曲線；②當時，方程表示中心在原點，焦點在軸上的橢圓；③當時，方程表示圓心在圓點的圓；④當時，方程表示中心在原點，焦點在軸上的橢圓；⑤當時，方程表示中心在原點，焦點在軸上的雙曲線．解此類問題的關(guān)鍵是要明確每一種曲線的標準方程的概念，并依據(jù)概念的涵對參數(shù)進展分類。2.掌握分類討論的標準

但凡分類都有一個標準，對同一事物，標準不同就形成了不同的分類，必須根據(jù)具體情況選擇分類的標準。例2、設一雙曲線的兩條漸近線方程為2x-y+1=0,2x+y-5=0，求此雙曲線的離心率.分析:由雙曲線的漸近線方程，不能確定其焦點位置，所以應分兩種情況求解.解:〔1〕當雙曲線的焦點在直線y=3時，雙曲線的方程可改為，一條漸近線的斜率為，∴b=2.∴.〔2〕當雙曲線的焦點在直線x=1時，仿〔1〕知雙曲線的一條漸近線的斜率為，此時.綜上〔1〕〔2〕可知，雙曲線的離心率等于.3.找準分類討論的界點將討論的對象分成假設干局部，就要準確地選取"界值〞，最常見的界值是"0”與"1”，如指數(shù)、對數(shù)的底a，常分0<a<1、a>1兩種情況討論；在用根的判別式法求函數(shù)的值域時，按首項系數(shù)是否為０進展討論例3、解不等式>0(a為常數(shù)，a≠－)分析：含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a＋1的符號和兩根－4a、6a的大小，故對參數(shù)a分四種情況a>0、a＝0、－<a<0、a<－分別加以討論。解：2a＋1>0時，a>－；－4a<6a時，a>0。所以分以下四種情況討論：當a>0時，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；當a＝0時，x>0，解得：x≠0；當－<a<0時，(x＋4a)(x－6a)>0，解得:x<6a或x>－4a；當a>－時，(x＋4a)(x－6a)<0，解得：6a<x<－4a。綜上所述，當a>0時，x<－4a或x>6a；當a＝0時，x≠0；當－<a<0時，x<6a或x>－4a；當a>－時，6a<x<－4a。此題的關(guān)鍵是確定對參數(shù)a分四種情況進展討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響而進展分類討論，此種題型為含參型。４.分清分類討論的"級別〞例4、解析：，，，；，；；；綜上所述，得原不等式的解集為：；；；；。這是一個含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對二次項系數(shù)a分類：〔1〕a≠0〔2〕a=0，對于〔2〕，不等式易解；對于〔1〕，又需再次分類：a>0或a<0，因為這兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點之后，又會遇到1與誰大誰小的問題，因而又需作一次分類討論。故而解題時，需要作三級分類。二、分類討論的應用1、集合中分類討論問題例5、〔06全國II卷〕設，函數(shù)假設的解集為A，，數(shù)的取值圍。解析：由f〔x〕為二次函數(shù)知，令f〔x〕＝0解得其兩根為由此可知〔i〕當時，，的充要條件是，即解得；〔ii〕當時，，的充要條件是，即解得；綜上，使成立的a的取值圍為。2、函數(shù)、方程中分類討論問題例6、函數(shù)y=eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(|cosx|,cosx)＋eq\f(tanx,|tanx|)＋eq\f(|cotx|,cotx)的值域是()A.{-2,4} B.{-2，0,4} C.{-2，0，2，4} D.{-4，-2，0,4}解析：須根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，因此必須對角x所在的象限進展討論.由題意可知x≠eq\f(kp,2)(k∈Z),(1)當x在第一象限時，y=1+1+1+1=4；(2)當x在第二象限時，y=1+(-1)+(-1)+(-1)=-2；(3)當x在第三象限時，y=-1+(-1)+1+1=0；(4)當x在第四象限時，y=-1+1+(-1)+(-1)=-2.故值域為{-2,0,4},應選B.3、數(shù)列中分類討論問題例7、是首項為2，公比為的等比數(shù)列，為它的前n項和〔1〕用表示；〔2〕是否存在自然數(shù)c和k，使得成立解析〔1〕由4(1〕，得，(nN*)〔2〕要使，只要因為，所以，(kN*)，故只要，〔kN*〕因為，(kN*)①所以又，故要使①成立，c只能取2或3當時，因為=2，所以當時，不成立，從而①不成立當時，因為，由＜(kN*)得–2故當時，，從而①不成立當時，因為，，所以當，時，不成立，從而①不成立因為，又，所以當時，c，從而①成立綜上所述，不存在自然數(shù)c，k，使成立此題屬于探索性題型，是高考試題的熱點題型在解決第2問時，先分析問題使問題得以轉(zhuǎn)化，再運用分類討論的思想方法，對雙參數(shù)，c輪流分類討論，對解題者的邏輯思維能力要求較高。4、解析幾何中的分類討論問題例8、在xoy平面上給定曲線y＝2x，設點A(a,0)，a∈R，曲線上的點到點A的距離的最小值為f(a)，求f(a)的函數(shù)表達式。分析：求兩點間距離的最小值問題，先用公式建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x≥0下的最小值問題，而引起對參數(shù)a的取值討論。解：設M(x,y)為曲線y＝2x上任意一點，那么|MA|＝(x－a)＋y＝(x－a)＋2x＝x－2(a－1)x＋a＝[x－(a－1)]＋(2a－1)由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情況討論：當a－1≥0時，x＝a－1取最小值，即|MA}＝2a－1；當a－1<0時，x＝0取最小值，即|MA}＝a；綜上所述，有f(a)＝。此題解題的根本思路是先建立目標函數(shù)。求二次函數(shù)的最大值和最小值問題我們十分熟悉，但含參數(shù)a，以及還有隱含條件x≥0的限制，所以要從中找出正確的分類標準，從而得到d＝f(a)的函數(shù)表達式。5、不等式中分類討論問題例9、解關(guān)于x的不等式：eq\f(a(x-1),x-2)＞1〔a≠1〕解析：原不等式等價于：eq\f((a-1)x-(a-2),x-2)＞0，即(a﹣1)(x﹣eq\f(a-2,a-1))(x﹣2)＞0 ①假設a>1，那么①等價于(x﹣eq\f(a-2,a-1))(x﹣2)＞0.又∵2﹣eq\f(a-2,a-1)＝﹣eq\f(1,a-1)﹣1＜0，∴eq\f(a-2,a-1)＜2∴原不等式的解集為；(﹣∞，eq\f(a-2,a-1))∪〔2,＋∞〕；假設a<1時，那么①等價于(x﹣eq\f(a-2,a-1))(x﹣2)＜0.由于2﹣eq\f(a-2,a-1)＝eq\f(a,a-1)，當0<a<1時，eq\f(a-2,a-1)>2，∴原不等式的解集為(2，eq\f(a-2,a-1)).當a<0時，eq\f(a-2,a-1)<2，∴原不等式的解集為(eq\f(a-2,a-1)，2).當a＝0時，原不等式為(x﹣2)2＜0，解集為.綜上所述：當a<0時，原不等式的解集為；(eq\f(a-2,a-1)，2)；當a＝0時，原不等式的解集為；當0<a<1時,原不等式的解集為(2，eq\f(a-2,a-1))當a>1時，原不等式的解集為；(﹣∞，eq\f(a-2,a-1))∪〔2,＋∞〕.此題需要兩級分類，第一級，按開口方向分類分a＞1和a＜1，在a<1時，又需要討論兩個根2與eq\f(a-2,a-1)的大小，又分為三類，即a＜0，a=0和0＜a＜1.6、排列組合中分類討論問題例10、四個男孩和三個女孩站成一列，男孩甲前面至少有一個女孩站著，并且站在這個男孩前面的女孩個數(shù)必少于站在他后面的男孩個數(shù)的站法共有多少種？解析：現(xiàn)在按男孩甲前面的男、女孩數(shù)來分類.第一類，甲前面有2個女孩，其它男孩和另一女孩必須站在甲后面，有Aeq\o(2,3)Aeq\o(4,4)(種)；第二類，甲前面有一個女孩和一個男孩，有：Ceq\o(1,3)Ceq\o(1,3)Aeq\o(2,2)Aeq\o(4,4)(種)；第三類，甲前面僅有一個女孩，有：Aeq\o(1,3)Aeq\o(5,5)(種)；∴滿足條件的站法為：Aeq\o(2,3)Aeq\o(4,4)+Ceq\o(1,3)Ceq\o(1,3)Aeq\o(2,2)Aeq\o(4,4)+Aeq\o(1,3)Aeq\o(5,5)=936(種).三、對有關(guān)分類討論的高考試題開展趨勢的估計全國和各地的高考試卷中有關(guān)分類