2022-2023學(xué)年湖南省郴州市高二年級(jí)下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省郴州市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足（其中i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，求得對應(yīng)的坐標(biāo)，得出答案.【詳解】由條件得，所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A.2．某校為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用分層抽樣的方法從高一780人、高二600人、高三n人中，抽取35人進(jìn)行問卷調(diào)查，已知高一被抽取的人數(shù)為13人，則等于（

）A．660 B．720 C．780 D．800【答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣各層抽樣比相等，列出等量關(guān)系，求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得：，解得，故選：B.3．若一個(gè)圓錐的軸截面是一個(gè)底邊長是2，腰長為的等腰三角形，則它的側(cè)面展開圖的圓心角是（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長與側(cè)面展開圖的扇形弧長相等列式求解．【詳解】由題意，圓錐的底面半徑為r＝1，母線長為l＝π，設(shè)側(cè)面展開圖的圓心角為α，則αl＝2πr，可得α＝2．故選：C．4．已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，則下列四個(gè)說法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)線線，線面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】A選項(xiàng)，若，有可能，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若，有可能相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，有可能，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，D選項(xiàng)正確.故選：D5．“網(wǎng)紅”打卡地高椅嶺，位于郴州蘇仙區(qū)飛天山高椅嶺村，丹霞奇景集聚凸顯，被稱之為“被上帝遺忘的地方”．如圖1是高椅嶺最高峰美麗坦，下面是登云天梯．現(xiàn)測量美麗坦的高度時(shí)，選取了與美麗坦底部在同一平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)與，測得，在點(diǎn)測得該美麗坦頂端的仰角為，則美麗坦的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：?。?/p>

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理求出BC，再利用直角三角形求解作答.【詳解】在中，依題意，，由，得，由正弦定理得，即，在中，，因此，所以美麗坦的高度約為.故選：A6．已知，且的夾角是，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合題意直接求解【詳解】因?yàn)椋业膴A角是，所以在方向上的投影向量為，故選：C7．?dāng)?shù)學(xué)來源于生活，約3000年以前，我國人民就創(chuàng)造出了屬于自己的計(jì)數(shù)方法．十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法就是中國數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長短的小木棍．下圖是利用算籌表示數(shù)1～9的一種方法．例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則用1～9這9個(gè)數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為5的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意把5根算籌所能表示的兩位數(shù)列舉出來后，求出數(shù)字和為5的兩位數(shù)個(gè)數(shù)作答.【詳解】1根算籌只能表示1，2根算籌可表示2和6，3根算籌可表示3和7，4根算籌可表示4和8，5根算籌可表示5和9，因此5根算籌表示的兩位數(shù)有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12個(gè)，其中個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為5的有14，41，23，32，共4個(gè)，所以所求概率為．故選：A8．如圖，在中，，過點(diǎn)的直線交射線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則的最小值為（

）

A．3 B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合，，三點(diǎn)共線，求出，的關(guān)系，再利用基本不等式求最小值作答．【詳解】由，得，即有，由，且，得，因此，而點(diǎn)，，共線，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：B二、多選題9．已知復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的虛部是 B．C．的共軛復(fù)數(shù)是 D．【答案】BD【分析】根據(jù)題意，求得復(fù)數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)滿足，可得，所以，對于A中，復(fù)數(shù)的虛部為，所以A不正確；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)，所以C不正確；對于D中，由，所以D正確.故選：BD.10．下列說法正確的是（

）A．從容量為的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本，當(dāng)選取抽簽法抽樣、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為，，則B．若，則事件與事件相互獨(dú)立C．一個(gè)人連續(xù)射擊2次，事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件D．設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，則【答案】AB【分析】利用三種抽樣方法的定義判斷A；利用相互獨(dú)立事件地定義判斷B；利用對立事件的意義判斷C；利用概率加法公式成立的條件判斷D作答.【詳解】對于A，三種抽樣方法，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率均為，A正確；對于B，由，得，因此，事件與事件相互獨(dú)立，B正確；對于C，“至多一次擊中”的事件與“兩次均未擊中”的事件可以同時(shí)發(fā)生，它們不互斥，不是對立事件，C錯(cuò)誤；對于D，是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，當(dāng)互斥時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：AB11．在中，角的對邊分別為，則（

）A．若，則為直角三角形B．若符合條件的有一個(gè)，則C．若，則D．若，則為等腰三角形【答案】AC【分析】對于A：根據(jù)平面向量的模長以及數(shù)量積的運(yùn)算律分析運(yùn)算；對于B：利用正弦定理分析運(yùn)算；對于C：利用正弦定理可判斷；對于D：利用兩角和差的正弦公式求解.【詳解】對于A：因?yàn)?，即，則，整理得，所以，即為直角三角形，故A正確；對于B：若，則，若符合條件的有一個(gè)，則或，故B錯(cuò)誤；對于C：若，則由正弦定理可得，故C正確；對于D：若，即,展開整理得，∵，∴或，∴為直角三角形或等腰三角形，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．如圖，在正方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在平面內(nèi)存在直線與平面平行B．在上存在點(diǎn)，使得與平面所成的角為C．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積是定值D．過點(diǎn)的截面與正方體的面的交線組成的圖形是五邊形【答案】ACD【分析】對于A，取的點(diǎn)，得為平行四邊形，從而，即可判斷；對于B，設(shè)正方體的棱長為1，則，由平面知為與平面所成的角，求解可判斷；對于C，連接，則為平行四邊形，得，從而平面，則點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等且為定值，結(jié)合體積轉(zhuǎn)化即可判斷；對于D，取的中點(diǎn)，在上取點(diǎn)，且，可證得過點(diǎn)的截面與正方體的面的交線組成的圖形是五邊形．【詳解】對于A，取的點(diǎn)，連接，∵，∴為平行四邊形，∵，平面，平面，∴平面，故A正確；對于B，設(shè)正方體的棱長為1，點(diǎn)在上，，∵平面，為與平面所成的角，∵，∴，∴，故B錯(cuò)誤；對于C，連接，則，則為平行四邊形，，又，則，平面，平面，∴平面，點(diǎn)是線段上，則點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等且為定值，則三棱錐的體積，為定值，故C正確；對于D，取的中點(diǎn)，連接，則，則在平面上，取的中點(diǎn)，在上分別取點(diǎn)，且，連接，則，又，則，則在平面上，所以，過點(diǎn)的截面與正方體的面的交線組成的圖形是五邊形，故D正確．故選：ACD．三、填空題13．?dāng)?shù)據(jù)24，11，12，13，15，14，17，18，20，10的第60百分位數(shù)是．【答案】16【分析】先對這10個(gè)數(shù)據(jù)排列，然后根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可【詳解】這10個(gè)數(shù)從小到大排列為10，11，12，13，14，15，17，18，20，24，因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，故答案為：1614．在平行四邊形中，為的靠近的三等分點(diǎn)，若，且，則．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解.【詳解】以B為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，．故答案為：．15．某校有高一學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，為了獲取學(xué)生身高信息，采用男、女按比例分配分層抽樣的方法抽取樣本50人，并觀測樣本的指標(biāo)值（單位：），計(jì)算得男生樣本的均值為170，方差為20，女生樣本的均值為160，方差為30，據(jù)此估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生身高的總體方差為．【答案】48【分析】根據(jù)分層抽樣的均值和方差的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，某校有高一學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，可得總體的均值為，總體的方差為.故答案為：48.四、雙空題16．已知四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，底面是等腰梯形，，（1）四棱錐的外接球的表面積為

；（2）若是線段上一點(diǎn)，且．過點(diǎn)作球的截面，所得截面圓面積的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)給定的幾何體，確定球心O的位置并求出球半徑，再利用球的截面圓性質(zhì)及余弦定理求解作答.【詳解】（1）在等腰梯形中，連接，如圖，

因?yàn)?，，，則，，于是，取中點(diǎn)，連接，則，得均為正三角形，即有，即是梯形外接圓圓心，而O為四棱錐的外接球球心，因此平面，又PA⊥平面ABCD，則，而為球O的弦，則過點(diǎn)O垂直于的平面必過的中點(diǎn)E，連接，于是，而，即有，四邊形為矩形，，因此球O的半徑，所以，四棱錐的外接球的表面積為；（2）在中，，，，，連接，在中，，過點(diǎn)M的球O的最小截面圓所在平面必垂直于，而此截面圓半徑為，所得截面圓面積的最小值為.故答案為：，.五、解答題17．已知向量，且．(1)求及與的夾角的余弦值；(2)若與垂直，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及夾角公式求解；（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示求解.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄?，所以，，即，解得，所?（2）由（1）知，故，故，因?yàn)榕c垂直，所以，解得.18．如圖，在四棱錐中，平面底面，底面為正方形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

(1)證明：//底面；(2)已知，二面角的平面角為，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接BD，可得，利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）取AB的中點(diǎn)，由面面垂直的性質(zhì)可得底面ABCD，進(jìn)而得平面PAB，是二面角的平面角，可求得，利用棱錐的體積公式求得結(jié)果．【詳解】（1）連接BD，在中，為PB的中點(diǎn)，為PD的中點(diǎn)，所以，又底面底面ABCD，所以底面ABCD，

（2）取AB的中點(diǎn)，連接PM，因?yàn)?，所以，又平面底面ABCD，平面底面平面PAB，所以底面ABCD，所以，因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以，又，平面PAB，所以平面PAB，平面PAB，，是二面角的平面角，，又為正三角形，，所以，即四棱錐的體積為．19．在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，若滿足．(1)求角的大?。?2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理邊角互化來處理；（2）利用正弦定理，將用角來表示，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性處理.【詳解】（1）由余弦定理，，整理可得，又，而，解得.（2）由正弦定理，，于是，，故.由是銳角三角形可知：，解得，則，根據(jù)正弦函數(shù)在上遞增，在上遞減，故在上的值域?yàn)?，?0．為迎接第二屆湖南旅發(fā)大會(huì)，郴州某校舉辦“走遍五大洲，最美有郴州”知識(shí)能力測評，共有1000名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)直方圖，估計(jì)這次知識(shí)能力測評的平均數(shù)；(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從，兩個(gè)區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，再從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，求第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間的概率；(3)學(xué)校決定從知識(shí)能力測評中抽出成績最好的兩個(gè)同學(xué)甲乙進(jìn)行現(xiàn)場知識(shí)搶答賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得1分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的人獲得冠軍．已知甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，甲至少得1分的概率是，甲乙兩人誰獲得最終勝利的可能性大？并說明理由．【答案】(1)分(2)(3)甲最終獲勝的可能性大；理由見解析【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解；（2）根據(jù)分層抽樣的分法，得到從抽取人，即為，從中抽取人，即為，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)和所有事件中包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；（3）根據(jù)題意求得，分別求得甲乙得到2分和3分的概率，即可得到答案.【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，估計(jì)這次知識(shí)能力測評的平均數(shù)：分.（2）解：由頻率分布直方圖，可得的頻率為，的頻率為，所以用分層隨機(jī)抽樣的方法從，兩個(gè)區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，可得從抽取人，即為，從中抽取人，即為，從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，有，共有12個(gè)基本事件；其中第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間的有：，共有3個(gè)，所以概率為.（3）解：甲最終獲勝的可能性大.理由如下：由題意，甲至少得1分的概率是，可得，其中，解得，則甲的2分或3分的概率為：，所以乙得分為2分或3分的概率為，因?yàn)?，所以甲最終獲勝的可能性更大.21．已知函數(shù)．(1)如圖，在中，角的對邊分別為，點(diǎn)為的中點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，分別等于的最小值、最大值，且，求的長．

(2)當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出，進(jìn)而由求得，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算，即可得出答案；（2）由題意或，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，有一解，從而有兩解，即函