線性代數(shù)模擬試題及答案

線性代數(shù)期末模擬試題一》一、填空（本題20一、填空（本題20分每小題2分）得分閱卷人1．設(shè)為四階行列式,若表示元素的余子式，表示元素的代數(shù)余子式，則+= 2．三階行列式中只有位于兩條對角線上的元素均不為零，則該三階行列式的所有項中有項不為零，這一結(jié)論對階行列式 （填成立或不成立）。3．設(shè)均為3維列向量，記矩陣記矩陣，若，則。4．設(shè)矩陣,則。5．設(shè)矩陣可逆，且矩陣,所以矩陣一定可以由矩陣經(jīng)過（填行或列）初等變換而得到.6．設(shè)向量組，若則一定可以由向量唯一的線性表示。7．非齊次線性方程組有唯一的解是對應(yīng)的齊次方程組只有零解的充分但不必要條件。8．設(shè)3階矩陣的行列式，則矩陣一定有一個特征值。9．階矩陣有個特征值1，2，，階矩陣與相似，則.10．向量組:（填是或不是）向量空間一個規(guī)范正交基。二、單項選擇（本題10分，每小題2分）

注意:請務(wù)必將你的選擇題的答案按要求填入下表，否則答案無效！題號12345答案序號1．設(shè)矩陣為階方陣，則關(guān)于非齊次線性方程組的解下列說法（）不正確（A）若方程組有解,則系數(shù)行列式；（B）若方程組無解,則系數(shù)行列式；（C）若方程組有解，則或者有唯一解或者有無窮多解；（D）系數(shù)行列式是方程組有唯一解的充分必要條件.2。 設(shè)為階可逆矩陣，下列正確的是（）（A）； （B）；（C）；（D）。3。 奇異方陣經(jīng)過（ ）后，矩陣的秩有可能改變。（A） 初等變換； （B）左乘初等矩陣；（C）左、右同乘初等矩陣； （D）和一個單位矩陣相加。4．設(shè)非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣是矩陣，且的行向量組線性無關(guān)，則有（）。（A）的列向量組線性無關(guān)；（B） 增廣矩陣的行向量組線性無關(guān)；（C） 增廣矩陣的任意4個列向量組線性無關(guān)；（D）增廣矩陣的列向量組線性無關(guān)。5．設(shè)是非奇異矩陣的一個特征值，則矩陣有一個特征值為（ ）（A） 4/3;（B）3/4；（C）1/2；（D）1/4。三、計算（2道題，共16分）1?設(shè)行列式D=，求（其中分別是第三行各個元素的對應(yīng)的余子式）。2.計算（3階單位陣閱且人得分一.仔/J、四、（本題123階單位陣閱且人得分一.仔/J、1）求；（2）證明矩陣為逆矩陣；3）若矩陣，滿足，證明。五、（本題12五、（本題12分）問取何值時，方程組得分閱卷人有唯一解；2。有無窮多解,并求通解。六、（本題10分）六、（本題10分）一向量組：由四個向電t組得分其中閱卷人求：（1）向量組的秩；（2）向量組線性相關(guān)性；（3）向量組的一個最大無關(guān)組。得分閱卷人已知二次型（其中為待定系數(shù)）經(jīng)過正交變換化為，試回答下列問題：（1） 寫出二次型的矩陣可以含待定系數(shù);（2） 寫出的全部特征值;得分閱卷人（3） 利用（1）、（2）求出的值八、（本題5分）在中,取兩組基組:組：,，若向量在基下的坐標為，求它在基下的坐標九、（本題5九、（本題5分）得分閱卷人設(shè)非齊次方程組有解其中，并且試回答：（1） 非齊次方程組是幾元的？（2） 若是對應(yīng)的齊次方程組,則寫出它的一個基礎(chǔ)解系。（3）寫出方程組的通解。線性代數(shù)期末模擬試題二》得分閱卷一、填空題（6X4=24分），將答案填在橫線上。1．若2．方程組4.5．若6.若得^閱卷人二、方程組（12分）

當k為何值時，方程組得分閱卷人1?有唯一解;2?有無窮多解；3?無解。、(10分)設(shè)1．已知2．已知四、 (12分)設(shè)四、 (12分)設(shè)五、 (8分)設(shè)向量組得分閱卷人得分閱卷人|A|=2?該向量組線性無關(guān)的充要條件是k滿足3.方程組Ax=O有非零解的充要條件是k滿足k=3ork=-4若Ax若Ax=O的基礎(chǔ)解系為[1,1,1]T,則k=。得分閱卷人六、單項選擇題(5X2=10分)在括號內(nèi)填上唯一選擇項的代號得分閱卷人設(shè)3個同階方陣A,P,Q分別為對稱陣，可逆陣,正交陣，下列四個矩陣變換中，保持A的秩、行列式的值、特征值和對稱性都不變的矩陣變換是()。設(shè)A,B均為n階方陣，在下列各項中只有()正確。若AHO，BH0，則ABH0；若A和B都是對稱矩陣，則AB也是對稱矩陣；若AB不可逆，則A和B都不可逆；若AB可逆，則A和B都可逆設(shè)n階矩陣A，B，C滿足關(guān)系式ABC=I,則(2 )成立。(1)ACB=I； (2)BCA=I；(3)BAC=I； (4)CBA=I。4．設(shè),則( 3)。(1)當m<n時，AB可逆；(2)當m<n時，AB不可逆；當m>n時,AB不可逆；(4)當m〉n時，AB可逆。5．設(shè)，則( )。(1)A的列向量組線性無關(guān)； (2)A的列向量組線性相關(guān)；七、(12分)設(shè)七、(12分)設(shè)得分閱卷人(3)A的行向量組線性無關(guān)；(4)A的行向量組線性相關(guān)。得分、不同的得分、不同的特征值，閱卷人則p育C止父。 求該二次型對應(yīng)的對稱陣A；當k滿足什么條件時A正定？八、證明下列各題(2X6=12分)證明：若n階實對稱陣A的兩個

2．設(shè)?！毒€性代數(shù)期末模擬試題三》共16分）一、填空（每小題填對者得共16分）lLg|n階行列式lLg|n階行列式D的元素，的代數(shù)余子式，則其中）。設(shè)3階矩陣A與矩陣相似,A的特征值為 。3?設(shè)A為n階矩陣，若 ，則稱A為正交矩陣。n元非齊次線性方程組存在解的充分必要條件為二、選擇填空（每小題填對者得4分，填錯或不填者閱卷人二、選擇填空（每小題填對者得4分，填錯或不填者閱卷人1。設(shè)A和B均為n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是（律不得分,共16分））; (B);（C）; （D）。設(shè)為階方陣，且，是非齊次線性方程的兩個不同的解向量，則的通解為（）（其中、、為任意常數(shù)）(A)(B)(C)(D)3。設(shè)，,,且有，則（）。(A)(B)(C)(D)4。設(shè)A為n階矩陣,且A的行列式|A|=0，則人中（)（A） 必有一列向量是其余列向量的線性組合；（B）必有一列元素全為0；（C）必有兩列元素成比例；（D）任意一列向量是其余列向量的線性組合。三、（每小題6分，共12分）計算下列行列式閱卷人計算n+1階行列式得分閱卷人3階矩陣卜，滿足，其中和都是不為0的常數(shù)四、（10分）已知，為1） 計算，其中是3階單位矩陣2） 證明及均可逆；（3）若，，，求矩陣。得分閱卷人得分閱卷人設(shè)求矩陣A的秩；判別A的列向量組的線性相關(guān)性；求矩陣A的列向量組的一個極大線性無關(guān)組;求非齊次線性方程組得分求非齊次線性方程組得分閱卷人通解，并指出對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系。得分-海沖1閱卷人寫出二次型的矩陣，并寫出二次型的矩陣表達式；求的全部特征值；求一個正交變換將二次型化為標準形；并指出二次型的正定性八、證明下列各題（每小題5分,共10分）1.設(shè)得餉亍陣相似證卷人,以2.設(shè)3維向量組線,性無關(guān)，，證明：線性無關(guān)線性代數(shù)期末模擬試題四》一、填空題（本題18分，一、填空題（本題18分，得分閱卷每小題3分）1、若，2、 若對一個矩陣實施一次行變換等價于在該矩陣的邊乘以一個相應(yīng)的初等矩陣.3、 為四階的方陣，且是它的伴隨陣，則 4、 。5、 設(shè)n階矩陣的行列式，則方程組（有，無）解6、 若2，4，6，8是四階矩陣A的4個特征值，則矩陣的4個特征值。D)—216二、選擇填空（每小題只選擇一個答案，選錯或不選一律不得分，每小題3分，共18D)—216設(shè)矩陣，行列式若卷陣行列式（）(A)8; (B) ； (C) -24

2、設(shè)A、B、C為n階矩陣，且矩陣A可逆，則下列四個結(jié)論中不正確的是（ ）。（A） ; （B）若；（C）若；（D）若。3、 設(shè)非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A是則方程組（）.（A）在時一定有解； （B）在時有唯一解；（C）在有無窮解； （D）在時有唯一解。TOC\o"1-5"\h\z4、 向量組線性無關(guān)的充分必要條件是（ ）。（A） 存在一組全不為零的數(shù)，使等式成立；（B） 存在一組全為零的數(shù)，使等式成立；（C）每個都不能用其他向量線性表示； （D）有線性無關(guān)的部分組。5、 若其中是n階矩陣，則下列四個結(jié)論中正確的是（ ）。（A）都是的特征值； （B） 1是的特征值；（C） -1或1至少有一個是的特征值； （D）—1是的特征值6、 n階矩陣A與n階矩陣B相似，則下列四個結(jié)論中不正確的是（ ）。（A）A與B有n個相同特征值； （B）A與B有相同的特征向量；（C）A與B有相等的行列式； （D）A與B有相同的秩三、計算（每小題6分，共12分）四、 （11分）設(shè)向量組（1）該向量組的秩；（2）該向量組的一個最大無關(guān)組；（3）將向量組中不屬于最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組線性表示。五、 （12分）試求方程組當為何值時有唯一一組解、無解或有無窮多組解？并在有無窮多組解時求其通解。四、 （11分）設(shè)向量組（1）該向量組的秩；（2）該向量組的一個最大無關(guān)組；（3）將向量組中不屬于最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組線性表示。五、 （12分）試求方程組當為何值時有唯一一組解、無解或有無窮多組解？并在有無窮多組解時求其通解。六、 （10分）矩陣七、 （14分）已知二次型,1?寫出二次型的矩陣，并寫出二次型的矩陣表達式；2?求的特征值；3.求一個正交變換將二次型化為標準形；4?指出二次型的秩與正定性。得分得分閱卷人閱卷人得分閱卷人得分閱卷人得分閱卷人2，1、

閱卷人得分八、證明題(5分)閱卷人得分已知向量組是兩個線性無關(guān)組，并且每個和每個都正交。證明：向量線性無關(guān).線性代數(shù)期末模擬試題五》一、填空題(每小題5一、填空題(每小題5分，共20分)1?設(shè)，則得分閱卷人2?設(shè)，則二設(shè)均為n維向量()，則向量組必線性 關(guān)。 設(shè) (其中m為正整數(shù))律不得分，每小題5分，得分律不得分，每小題5分，得分閱卷人二、選擇填空(每小題只選擇一個答案，選錯或不選共20分)1設(shè)(A)；(B)(C)；(D)。?如果向量可由向量組線性表示，則必有()。存在一組不全為零的數(shù),使等式成立；存在一組全為零的數(shù)，使等式成立；對的表示式不唯一；向量組線性相關(guān)。n元方程組有唯一解的充分必要條件是()。(A)秩； (B)為方陣且；(C); (D)秩，且可由的列向量組線性表示。4設(shè)是可逆矩陣的特征值，則矩陣有一個特征值為()(A); (B); (C) ； (D).三、計算下列行列式(每小題6分，共12分)1.得分??計算n階卷列式；（n〉2）四、(10分)問入取何值得分方程組閱卷人1無解;?有唯一解；有無窮多解，并求通解。得分閱卷人求得分閱卷人五、 (7分)設(shè)，，六、 (7分)設(shè)，證明：1.2.3?可逆的充分必要條件是矩陣可逆。4.閱卷人得分七、（14分）閱卷人得分已知二次型，且已知二次型的矩陣的一個特征值為1。1?寫出二次型的矩陣，并寫出二次型的矩陣表達式;2?求得值，并求的另兩個特征值；3求一個正交變換將二次型化為標準形；4指出二次型的秩與正定性。八、（每小題5分，共10分）證明下列各題1?已知n維向量的各分量均大于零，即，又設(shè)n階矩陣，即矩陣。⑴證明秩； ⑵證明向量的特征向量，并求所對應(yīng)的特征值。已給2n維向量組和2n維向量組，而且該向量組是方程組的基礎(chǔ)解系.證明向量組是方程組的基礎(chǔ)解系.線性代數(shù)期末模擬試題六》得分閱卷人、填空（每題2分，共20分）得分閱卷人1、排列134782695的逆序數(shù)為2、當滿足時，矩陣可逆。3、若A是5階方陣，且=1，則二4、當X為_行_列矩陣時，下列運算可以進行；其結(jié)果是—行—列矩陣。TOC\o"1-5"\h\z5、 矩陣的伴隨矩陣二 ，逆陣二 。6、 向量組是線性 關(guān)的。7、 2是A的特征值，貝V.8、 向量空間的維數(shù)為 .9、 若，則 。10、 如果與四元線性方程組AX=O的同解方程組是，則有R（A）= ，AX=O的基礎(chǔ)解系有個解向量。二、單項選擇(每題2二、單項選擇(每題2分，共10分)得分閱卷1,設(shè)A、B為n階方陣，E是n階單位矩陣，則AB+B二;（A）（A+1）B;（A）（A+1）B;（B）B（A+E）C）（A+E）B; （D）B（1+A）。2,為n階方陣A的伴隨矩陣，則；(A) ; (B) ; (C) ; (D)。設(shè)為非齊次線性方程組，下列結(jié)論正確的是；若無解,則也無解;若有解，則也有解;若只有零解，則只有唯一解；若有無多解,則也有無窮多解.設(shè)A、B為n階方陣，若，貝V；(A)或；(B) A=0或B=0； (C) A+B=0; (D)BA=0下列結(jié)論不正確的是;如階矩陣A有個線性無關(guān)的特征向量，則矩陣A—定可以對角化;如階矩陣A有個不同的特征值，則矩陣A—定可以對角化；如階矩陣A有個不同的特征向量，則矩陣A—定可以對角化；如階矩陣A是對稱陣，則矩陣A—定可以對角化。

三、計算行列式（每題7分,共14分）得分閱卷1．2．四、計算矩陣（每題8分，共三、計算行列式（每題7分,共14分）得分閱卷1．2．四、計算矩陣（每題8分，共16分）1、得分閱卷2、已知，為3階矩陣,其中可逆,且，（1）證明及均可逆;（2）若，求矩陣。五、方程組的解（12分）取何值時，方程組得分閱卷人有唯一一組解、無解或有無窮多組解?并在有無窮多組解時求其通解。六、向量組的線性相關(guān)性（10分）向量組：由五個向量組成，其中得分閱卷求：（1）向量組的秩；（2）向量組的一個最大無關(guān)組；（3）將向量組中不屬于最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組線性表示。七、得分閱卷七、得分閱卷二次型（12分）已知二次型，1）寫出二次型的矩陣，并寫出二次型的矩陣表達式；2）求的全部特征值；求一個正交變換，將二次型化閱準型。得分3）求一個正交變換，將二次型化閱準型。得分八、證明題（6分）設(shè)為階矩陣且滿足，是矩陣的特征值，求證：也是矩陣的特征值。線性代數(shù)期末模擬試題一答案》一、 填空：1．0；2．2，不成立；3．—2；45．;6．；7、充分；8．0；9．;10．是.二、 單項選擇：題號12345選項AADBB三、1．解:方法一:===2=—2=-4=4方法二：所以=42．解：原式=四、解：（1）；（2）可逆；（3）由得可逆,五、解：當時，此時方程有唯一解.當時，，此時方程有無數(shù)解.與原方程同解的方程為，取得方程的通解為六、 解：（1）向量組所對應(yīng)的矩陣A故;（2） 〈，故向量組線性相關(guān)；（3） 由A,知是A的一個最大無關(guān)組；七、 解:（1），二次型的矩陣=;二次型的矩陣表達式=；（2），寫出的全部特征值為0，2，1；（3），八、 解:記方法一：由過渡陣（2分）利用初等變換得:所以P=由坐標轉(zhuǎn)換公式，在基下的坐標方法二:由過渡陣又在基下的坐標得九、解：（1）解向量是四維的，非齊次方程組是四元的；（2）的基礎(chǔ)解系含4—3=1個向量；是非齊次方程組的解2是的一個解又2=2是的基礎(chǔ)解系方程組的通解+（成為任意常數(shù)）《線性代數(shù)期末模擬試題二答案》一、填空題：1．；2．；3．；4．;5．；6．。二、解：或當kM2且kM—1時有唯一解；2?當k=—1時，有無窮多解；當k=—1時，無解。三、 解：1.2.法1:所以法2：四、 解：所以五、 解答：1.—2（k+4）（k—3）;2.k工-4且k工3；3.k=—4或k=3；4.—4.六、 單項選擇題:1.（4）；2.（4）；3.（3）； 4.（3）;5.（2）。七、 解：設(shè)2.3.于是因為k=—3時A不正定，所以k=3,m=1法2：2.3.所以，。此時因此m=1o此時二次型的標準形不能是。總之，當k=3,m=l時.八、1．證明：因為所以2．證明：設(shè)（1）（2）（3）《線性代數(shù)期末模擬試題三答案》一、 填空：1．0;2．2，5,1;3．;4．二、 選擇填空：1。D；2.C;3.C;4.A三、 解：1.原式====-1442．原式==四、解：（1）=;（2）將代入（1）得=，，,故及均可逆；（3）由得，，即由得:=五、 解:1．所以由于矩陣A的秩為3,所以A的列向量組的秩也為3,而向量的個數(shù)為4,所以矩陣A的列向量組是線性相關(guān)的。由于A經(jīng)過初等行變換后化為U,而U的第1,2,4列是U的列向量組的一個極大線性無關(guān)組,所以。六、解：對應(yīng)同解方程組令,得非齊次方程組得一個特解,對應(yīng)齊次方程組的同解方程組令,得齊次方程組得基礎(chǔ)解系：,七、解： 1-2.由得特征值為：。3?當時，解方程組正交化得單位化得當時,解方程組作正交變換：,則二次型化為標準形4?由于，‘所以二次型的秩是1,二次型不是正定的。八、1．證明：因為相似，所以存在可逆矩陣，使，因此，所以相似。2．證明：設(shè)有常數(shù)，則有由于向量組線性無關(guān),所以有解之得：，所以線性無關(guān)?！毒€性代數(shù)期末模擬試題四》一、填空題：1、12；2、左；3、;4、3；5、無；6、-1，1,3,5二、 選擇填空：1、A；2、A；3、A；4、C；5、C；6、B。三、 解：1、===—3。2，原式==四、解：令=，由此得：（1）該向量組的秩為3。（2） 是該向量組的一個最大無關(guān)組.繼續(xù)對A實行行的初等變換得:，由此得：（3）；。五、解:：由得：（1） 且時，方程組有唯一解。（2） 時,無解。（3） 時，有無窮解。在有無窮多組解時，,由此得：通解為：.,則。七、解：（1），。（2）=，即，，。（3） 時，?，基礎(chǔ)解系：，單位化；同理可求:,;，。取，正交變換可以使二次型化為標準形：（4） ~所以，二次型的秩是3；由于特征值都大于零，故屬正定二次型。八、證明：設(shè)有使得：成立，則需證:.令，則，而線性無關(guān),。同理可證.《線性代數(shù)期末模擬試題五答案》—、填空題：一、1.6k；2.；3.相；4.0。二、選擇填空：1.(B);2.(D)；3.(D);4(C)。三、 解：1.===02相鄰兩列相減(后列減前列)得==0