第二章極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)

第二章極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)第1頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)函數(shù)yn=f(n),其中n為正整數(shù),

那么按自變量n增大的順序排列的一串?dāng)?shù)f(1),f(2),f(3),,f(n),,稱之為數(shù)列,記作{yn

}或數(shù)列yn.

…

…簡(jiǎn)單地說：數(shù)列就是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)一、數(shù)列的極限數(shù)列第一張幻燈片第2頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月------單調(diào)減少------單調(diào)增加------有界但不單調(diào)例第3頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月前面三個(gè)數(shù)列當(dāng)n無限增大時(shí)的極限可分別表示為第4頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，數(shù)列yn

無限地接近于1，可用數(shù)列yn與1之差的絕對(duì)值可以任意地小來描述.如果用符號(hào)e

表示任意小的正數(shù)，那么就可用|yn-1|<e表示.于是數(shù)列yn的極限現(xiàn)象可表述為：當(dāng)n無限變大時(shí)，就有|yn-1|<e.一般地，當(dāng)n無限變大時(shí)，數(shù)列yn無限接近于一個(gè)常數(shù)A的極限現(xiàn)象可定義如下：

第5頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月

對(duì)任意給定的正數(shù)

e，總存在正數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)，恒有

|yn

A|<e

成立，則稱數(shù)列{yn}當(dāng)n→∞時(shí)以A為極限。定義如果數(shù)列有極限，則稱該數(shù)列是收斂的第6頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月存在一充分大正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，點(diǎn)yn都落在點(diǎn)A的

e

鄰域內(nèi)，而不管

e有多么小(如圖)，形象一點(diǎn)講，數(shù)列yn會(huì)密集在點(diǎn)A的周圍.AA-

eA+eyN+1yN+2Ox如果把數(shù)列yn中每一項(xiàng)都用數(shù)軸Ox上一個(gè)點(diǎn)來表示，那么數(shù)列yn趨向于A可解釋為:數(shù)列極限的幾何意義第7頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月發(fā)散數(shù)列：當(dāng)n→∞時(shí),數(shù)列不趨于某個(gè)固定常數(shù)A，稱為發(fā)散數(shù)列

.第8頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月A∞發(fā)散不確定------收斂收斂的數(shù)列一定有界返回本章目錄第9頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)極限第一張幻燈片第10頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存一個(gè)正數(shù)M，當(dāng)時(shí)，恒有

成立，則稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)以為極限，記作或當(dāng)時(shí)，的極限第11頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月yx0(1)∵第12頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)(3)0xyxy0第13頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例第14頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月作直線y=A+e和y=A-e

A+eAA-eNyOx不管它們之間的距離有多么小，當(dāng)x>N時(shí)，曲線y=f(x)一定落在這兩條直線之間.的幾何意義第15頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)x→1時(shí)，趨向于什么？當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限顯然有0xy1f(x)在當(dāng)x→1時(shí)是否有極限與在X=1點(diǎn)處是否有定義無關(guān)和第16頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：如果當(dāng)x無限接近于x0時(shí)，恒有|f(x)-

A|<e

(e是任意小的正數(shù))

則稱當(dāng)自變量x趨于x0時(shí)，函數(shù)f(x)趨于A，記作

x無限接近x0即為0<|x-x0|<d.（d充分小的正數(shù)）第17頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月A

-e

<

f(x)<A+e．AA+eA-ey=f(x)x0-dx0+dx0yxO

不論它們之間的距離有多么小.只要x進(jìn)入

是指：當(dāng)0<|x-

x0|<d時(shí)，

恒有|f(x)-

A|<e.即作兩條直線：y=A-e

y=A+e

的d鄰域內(nèi)，曲線y=f(x)就會(huì)落在這兩條直線之間.幾何意義第18頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)自變量x從不同方向趨于x0時(shí)，函數(shù)f(x)趨向于A的極限，此時(shí)稱A是函數(shù)f(x)的單側(cè)限。-----------右極限-----------左極限極限存在定理左右極限第19頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例1試求函數(shù)≤≤解:

函數(shù)f(x)在x=0

處左、右極限存在但不相等，所以不存在.第20頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月

函數(shù)f(x)在x=1

處左、右極限存在而且相等，所以有第21頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例2解例

3解第22頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月解例

4設(shè)函數(shù)求第23頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例2,3和4說明了下列幾種重要現(xiàn)象：

(1)函數(shù)f(x)在x0處極限存在，但函數(shù)f(x)在x0處可以沒有定義(如例2).

(2)函數(shù)f(x)在x0處雖然有定義，且在x0處有極限，但兩者不等，

(3)函數(shù)f(x)在x0處有定義，也有極限且兩者相等.第24頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月

若

x→x0(或

x→∞

)時(shí)，函數(shù)f(

x

)的極限存在,則函數(shù)

f(

x

)在

x0的一個(gè)空心小鄰域內(nèi)(或|x|充分大范圍內(nèi))有界.定理第25頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)變量在變化過程中無限地趨于一個(gè)常數(shù)A，就稱該變量以A為極限，記作三、變量的極限變量y若為具體函數(shù)，則不能使用通用記號(hào)，必須在極限符號(hào)下面要寫明所研究的變量的自變量的變化過程.

第一張幻燈片第26頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月①②

③

④

返回本章目錄第28頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月四、無窮小量與無窮大量第一張幻燈片第29頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月無窮大量如果，則稱變量是在該變化過程中的無窮大量，簡(jiǎn)稱無窮大。第30頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小．即，常用等表示。零是唯一可以作為無窮小量的常數(shù)第31頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月

如果變量以A為極限的充分必要條件是變量可以表示為A與無窮小量之和，即

定理第32頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月在相同的變化趨勢(shì)下有界變量與無窮小量之積仍是無窮小量（常數(shù)與無窮小量之積仍是無窮小量）。②兩個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量（可推廣）。③兩個(gè)無窮小量之積仍是無窮小量（可推廣）定理第33頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例第34頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月

為有界函數(shù)，證例第35頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月無窮大量與無窮小量的關(guān)系在變量的變化過程中，如果是無窮大量，則是無窮小量；是無窮小量，則是無窮大量。①②第36頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月無窮小量階的比較定義：第37頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例第38頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月極限的運(yùn)算法則

定理:在某一變化過程中，若幻燈片1第39頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月故由無窮小量的定理可推得

lim(x

y

)=A

B=limx

limy

證第40頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)因?yàn)閤

y=(A

a

)(B

b)

=AB

(Ab

Ba

a

b)因?yàn)锳b,Ba，a

b

均為無窮小量，所以商的極限運(yùn)算法則的證明從略.lim(x

y

)=AB=limx

limy第41頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月推論1

limcy

=climy推論2

第42頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月求極限

例第43頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第44頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第45頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第47頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月m、n為正整數(shù)。為常數(shù)第49頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月

證

第50頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月求極限

第51頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第52頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第53頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月

第54頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月

第55頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第56頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例分別討論當(dāng)時(shí)，的極限是否存在，并求第57頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月

第58頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)第59頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第60頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月解：

練習(xí)即所以當(dāng)x

1時(shí)為無窮大量，第61頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月解練習(xí)第62頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月

解

練習(xí)第63頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)求極限第64頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月

（無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量）第65頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例第66頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月極限存在準(zhǔn)則第67頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月在某個(gè)變化過程中，三個(gè)變量總有關(guān)系，且準(zhǔn)則1：夾值定理第68頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月證明證明：第69頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月準(zhǔn)則2：?jiǎn)握{(diào)有界定理單調(diào)有界數(shù)列一定有極限定義第70頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)是單調(diào)增加數(shù)列，且，所以有(2)是單調(diào)減少數(shù)列，且，所以有例幻燈片1第71頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)重要極限幻燈片1第72頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月

AOB面積<扇形AOB面積<AOD面積證明：因?yàn)?，所以?dāng)改變符號(hào)時(shí)，的值不變，故只討論當(dāng)?shù)那樾渭纯?。作單位圓OxABDC設(shè)圓心角∠則第73頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月所以即同除得即由于所以第74頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第75頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例第76頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第77頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第78頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第79頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月幻燈片1第80頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例第81頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第82頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第83頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第84頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例幻燈片1第85頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月利用無窮小量等價(jià)代換求極限等價(jià)無窮小量代換只能用于乘除運(yùn)算，對(duì)于加減項(xiàng)的無窮小量不能隨意代換。

幻燈片1第86頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月常用的等價(jià)無窮銷量第87頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月利用無窮小量等價(jià)代換法求極限例幻燈片89幻燈片90幻燈片91幻燈片92幻燈片93幻燈片94幻燈片87第88頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月幻燈片87第89頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月幻燈片87第90頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月幻燈片87第91頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月幻燈片87第92頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月幻燈片87第93頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月幻燈片87第94頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的連續(xù)性幻燈片1第95頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的改變量（函數(shù)的增量）

0xy改變量：終值與初始值之差。第96頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，若邊長(zhǎng)由變到時(shí)，面積改變了多少。例解：（1）若邊長(zhǎng)由2米變到2.05米時(shí)，（2）若邊長(zhǎng)由2米變到1.95米時(shí)，第97頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)連續(xù)的概念第98頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0

點(diǎn)及其的某鄰域內(nèi)有定義，若則稱函數(shù)y=f(x)在x0

處連續(xù).第99頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0

點(diǎn)及其某鄰域內(nèi)有定義，則稱函數(shù)y=f(x)在x0

點(diǎn)處連續(xù)。若第100頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月總結(jié)：第101頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月3.定義(1)如果函數(shù)在開區(qū)間上每一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱在區(qū)間上連續(xù)。在開區(qū)間上每一點(diǎn)處都連續(xù)，且有

則稱在閉區(qū)間上連續(xù)。(2)如果函數(shù)第102頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例證明函數(shù)在處連續(xù)。在處有定義，且又即

所以在處連續(xù)。證明：因?yàn)榈?03頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例

證明函數(shù)y=sinx在其定義域內(nèi)連續(xù).證：任取x0(-

,

+

)，則因

y=

f(x0

+

x)-

f(x0)=sin(x0

+

x)-sinx0這表明y=sinx在x0處連續(xù)，由于

x0的任意性可知它在定義域內(nèi)連續(xù).≤≤≤第104頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月解因?yàn)樗詅(x)在x=0處連續(xù).第105頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例

證：因?yàn)榧磃(x)在x=0點(diǎn)處連續(xù)。第106頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月如果在點(diǎn)處連續(xù)，則即連續(xù)函數(shù)極限符號(hào)和函數(shù)符號(hào)可以交換。因?yàn)樵谔庍B續(xù)，所以注意第107頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類間斷點(diǎn)：使函數(shù)y=f(x)不連續(xù)的點(diǎn)稱為y=f(x)的間斷點(diǎn)。判斷間斷點(diǎn)的方法第108頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月討論函數(shù)在處是否連續(xù)。例解：幻燈片113第109頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月

討論函數(shù)在處的連續(xù)性。

例

因?yàn)楣庶c(diǎn)不連續(xù)，也稱函數(shù)的間斷點(diǎn)。但所以在在1-10xy幻燈片112第110頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月討論函數(shù)在處的連續(xù)性。例解：幻燈片112第111頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)或跳躍間斷點(diǎn)）

間斷點(diǎn)的分類幻燈片111幻燈片110幻燈片114幻燈片115第112頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月第二類間斷點(diǎn)（若在點(diǎn)處至少有一側(cè)是的第二類間斷點(diǎn)）的極限值不存在，則稱幻燈片109第113頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月

例

證明x=0為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn).

證:因?yàn)樵摵瘮?shù)在x=0處沒有定義,所以x=0是它的間斷點(diǎn)，又因?yàn)樗詘=0為該函數(shù)的第一類間斷點(diǎn).yxO幻燈片112第114頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例

證明函數(shù)在x=0處是第一類間斷點(diǎn).因此x=0是該函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)

.也為可去間斷點(diǎn).證:即該函數(shù)在x=0處的左、右極限存在，但是由于1xyOp2p-p-2p幻燈片112第115頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)?，如果修改定義f(0)=1，所以，左、右極限存在且相等的間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).在x=0連續(xù).則函數(shù)1xyOp2p-p-2p第116頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例

證明x=1是的第二類間斷點(diǎn).

證：所給函數(shù)在x=1處沒有定義，因此x=1是它的間斷點(diǎn)，又因?yàn)橐虼?，x=1為所給函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)

．幻燈片113第117頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例

設(shè)討論f(x)的連續(xù)性.解：當(dāng)x

0時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為初等函數(shù)所以f(x)在x

0處是連續(xù)的。因此f(x)在x=0處連續(xù).故函數(shù)f(x)在(，)內(nèi)是連續(xù)的.第118頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月例解：第119頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)（2）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。（3）初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)的。第120頁，課件共134頁，創(chuàng)作于2023年2月故由極限的運(yùn)算法則可得因此f(x)·

g(x)在x0處連續(xù)

.證：僅證明f(x)·

g(x)的情形.因?yàn)閒(x)