結(jié)構(gòu)力學(xué)第十四章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)

第十四章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第十四章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)§14—1概述

§14—2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度

§14—3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)

§14—5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)

§14—4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)

§14—6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)

§14—7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)一、動(dòng)荷載及其分類1、動(dòng)荷載的定義

大小、方向和作用點(diǎn)隨時(shí)間變化，在其作用下，結(jié)構(gòu)上的慣性力較大,與外荷載比為不可忽視的荷載。

自重、緩慢變化的荷載，其慣性力與外荷載比很小，分析時(shí)仍視作靜荷載。靜荷只與作用位置有關(guān)，而動(dòng)荷是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。2、動(dòng)荷載的分類動(dòng)荷載確定不確定（隨機(jī)荷載）風(fēng)載地震荷載其他無法確定變化規(guī)律的荷載周期非周期簡諧荷載非簡諧荷載沖擊荷載突加荷載其它可確定變化規(guī)律的動(dòng)荷載§14—1概述二、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究內(nèi)容和任務(wù)

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是研究動(dòng)荷作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)規(guī)律的學(xué)科。

結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的最終目的在于確定動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移等量值隨時(shí)間而變化的規(guī)律，從而找出其最大值，為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠性（安全、舒適）設(shè)計(jì)提供依據(jù)。1、自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)在振動(dòng)進(jìn)程中不受外部干擾力的作用的振動(dòng)。

2、強(qiáng)迫振動(dòng)：在振動(dòng)過程中不斷受到外部干擾力的作用的振動(dòng)。§14—2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度一、自由度的定義

確定體系中所有質(zhì)量位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，稱作體系的動(dòng)力自由度數(shù)。二、自由度的簡化

實(shí)際結(jié)構(gòu)都是無限自由度體系，如按無限自由度體系分析，不僅導(dǎo)致分析困難，而且從工程角度來說也沒有必要。常用的簡化方法有：1)集中質(zhì)量法將實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量看成（按一定規(guī)則）集中在某些幾何點(diǎn)上，除這些點(diǎn)之外物體是無質(zhì)量的。這樣就將無限自由度系統(tǒng)變成一有限自由度系統(tǒng)。2)廣義坐標(biāo)法

---廣義坐標(biāo)---基函數(shù)廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)即為自由度個(gè)數(shù)3)有限元法

和靜力問題一樣，可通過將實(shí)際結(jié)構(gòu)離散化為有限個(gè)單元的集合，將無限自由度問題化為有限自由度來解決。三、

自由度的確定

結(jié)點(diǎn)位移個(gè)數(shù)即為自由度個(gè)數(shù)1)平面上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)W=22)W=2彈性支座不減少動(dòng)力自由度3)計(jì)軸變時(shí)W=2不計(jì)軸變時(shí)W=1為減少動(dòng)力自由度，梁與剛架不計(jì)軸向變形。4)W=15)W=2自由度數(shù)與質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)無關(guān)，但不大于質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)的2倍。6)W=27)W=18)平面上的一個(gè)剛體W=39)彈性地面上的平面剛體W=310)W=2W=111)12)W=13自由度為1的體系稱作單自由度體系；自由度大于1的體系稱作多（有限）自由度體系;自由度無限多的體系為無限自由度體系。四、體系的運(yùn)動(dòng)方程要了解和掌握結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的規(guī)律，必須首先建立描述結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的（微分）方程。建立運(yùn)動(dòng)方程的方法很多，常用的有虛功法、變分法等。下面介紹建立在達(dá)朗泊爾原理基礎(chǔ)上的“動(dòng)靜法”。運(yùn)動(dòng)方程慣性力m施力物體m形式上的平衡方程，實(shí)質(zhì)上的運(yùn)動(dòng)方程一、柔度法mEIl=1l柔度系數(shù)柔度法步驟：1.在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2.求外力和慣性力引起的位移；3.令該位移等于體系位移。一、柔度法mEIl=1l柔度系數(shù)柔度法步驟：1.在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2.求外力和慣性力引起的位移；3.令該位移等于體系位移。二、剛度法mEIl1y剛度系數(shù)剛度法步驟：1.在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2.求發(fā)生位移y所需之力；3.令該力等于體系外力和慣性力。柔度法步驟：1.在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2.求外力和慣性力引起的位移；3.令該位移等于體系位移。三、列運(yùn)動(dòng)方程例題剛度法步驟：1.在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2.求發(fā)生位移y所需之力；3.令該力等于體系外力和慣性力。例14-1.mEIlEIl=1l例14-2.=1lmEIlEIl/2l/2P(t)Pl/4例14-3.mEIlEIl1例14-4.mEIl/2EIl/21層間側(cè)移剛度mEIlEIl1對于帶剛性橫梁的剛架(剪切型剛架),當(dāng)兩層之間發(fā)生相對單位水平位移時(shí),兩層之間的所有柱子中的剪力之和稱作該層的層間側(cè)移剛度.EIllEIEIEI層間側(cè)移剛度對于帶剛性橫梁的剛架(剪切型剛架),當(dāng)兩層之間發(fā)生相對單位水平位移時(shí),兩層之間的所有柱子中的剪力之和稱作該層的層間側(cè)移剛度.EIllEIEIEIEIllEIEIEI三、列運(yùn)動(dòng)方程例題列運(yùn)動(dòng)方程時(shí)可不考慮重力影響例14-7.mEIl/2l/2W---P(t)引起的動(dòng)位移---重力引起的位移質(zhì)點(diǎn)的總位移為加速度為三、列運(yùn)動(dòng)方程例題例14-8.m1EIl/3l/3l/3m2=簡記為位移向量柔度矩陣荷載向量質(zhì)量矩陣加速度向量例14-9.m1m2剛度矩陣剛度法m1m2=+柔度法m1m2例14-10建立圖示體系的運(yùn)動(dòng)方程m2mlllkAy(t)2y(t)3y(t)直接利用平衡方程llEIm例14-11建立圖示體系的運(yùn)動(dòng)方程AB例14-12圖示體系為質(zhì)量均勻分布的剛性平板,試建立運(yùn)動(dòng)方程.

總質(zhì)量為M,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J.設(shè)水平位移為x

豎向位移為y

轉(zhuǎn)角為2b2a1、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與結(jié)構(gòu)靜力學(xué)的主要區(qū)別2、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的動(dòng)力特性和動(dòng)力特性的反應(yīng)3、一般情況下動(dòng)荷載和靜荷載是怎樣區(qū)別的1、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與結(jié)構(gòu)靜力學(xué)的主要區(qū)別:

結(jié)構(gòu)受靜力荷載作用時(shí)，其內(nèi)力和位移都不隨時(shí)間的變化而變化。所謂靜（力）荷載是指其大小、方向和作用位置不隨時(shí)間的變化而變化的荷載；所謂動(dòng)荷載是指大小、方向和作用位置隨時(shí)間而變化的荷載。在動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生振動(dòng)，除了產(chǎn)生內(nèi)力和位移，還會(huì)產(chǎn)生速度和加速度，而且它們都是隨時(shí)間而變化的。故兩者的區(qū)別就在于是否考慮慣性力。2、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的動(dòng)力特性和動(dòng)力特性的反應(yīng):

由于動(dòng)荷載作用使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生各種量值，如內(nèi)力、位移、速度、加速度、應(yīng)力和應(yīng)變等，統(tǒng)稱為動(dòng)力反應(yīng)。動(dòng)力特性：自振頻率、振型。3、一般情況下動(dòng)荷載和靜荷載是怎樣區(qū)別的:區(qū)分靜載荷與動(dòng)載荷并不是單純?nèi)Q于荷載本身的性質(zhì)，更主要的是看其對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響。靜與動(dòng)以及荷載隨時(shí)間變化的快與慢是相對的，它與結(jié)構(gòu)的自振周期密切相關(guān)。實(shí)際上，劃分靜荷載和動(dòng)荷載所采用的標(biāo)準(zhǔn)是：若載荷從零增至其最大值的加載時(shí)間遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)的自振周期，通常此加載時(shí)間為自振周期的五倍以上時(shí)，可以認(rèn)為加載過程是緩慢的，此時(shí)可作為靜荷載簡化處理。反之要作為動(dòng)荷載處理?！?4—3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)一、

不計(jì)阻尼自由振動(dòng)自由振動(dòng)---由初位移、初速度引起的,在振動(dòng)中無動(dòng)荷載作 用的振動(dòng)。分析自由振動(dòng)的目的---確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性：頻率、周期。1.運(yùn)動(dòng)方程及其解令二階線性齊次常微分方程剛度法:柔度法:其中：初始條件:EIl1.運(yùn)動(dòng)方程及其解mEIl令二階線性齊次常微分方程其通解為由初始條件可得令其中2.振動(dòng)分析:單自由度體系不計(jì)阻尼時(shí)的自由振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。自振周期自振圓頻率(自振頻率)

A——振幅初相位角——3.自振頻率和周期的計(jì)算1).計(jì)算方法(1)利用計(jì)算公式又稱為系統(tǒng)的固有頻率(3)利用振動(dòng)規(guī)律位移與慣性力同頻同步。1mEIl幅值方程2).算例(2)利用機(jī)械能守恒mEIlEIl解:F=1F=1ll/2l例14-13：求圖示體系的自振頻率和周期。由已知得：2).算例mEIlEIlF=1F=1llll(?)llF=1例14-14：求圖示體系的自振頻率和周期。=1解:ll例14-15：質(zhì)點(diǎn)重W,求體系的頻率和周期.解:EIklmEIllm/2EIEI例14-16：求圖示體系的自振頻率和周期.解:1.能量法2.列幅值方程Amlmmlllkk二、考慮阻尼作用時(shí)的自由振動(dòng)1.阻尼與阻尼力

阻尼:起使振動(dòng)衰減的作用.

阻尼產(chǎn)生的原因:材料的內(nèi)摩擦,連接點(diǎn)、支承面等處的外摩擦及介質(zhì)阻力等.c-----阻尼系數(shù)

阻尼力：在振動(dòng)分析當(dāng)中用于代替阻尼作用的阻礙振動(dòng)的力。粘滯阻尼理論假定阻尼力的大小與速度成正比，方向與速度相反。2.計(jì)阻尼的自由振動(dòng)

1.運(yùn)動(dòng)方程及其解m令運(yùn)動(dòng)方程設(shè)特征方程根為令方程的通解為由初始條件不振動(dòng)--臨界阻尼系數(shù)---阻尼比不振動(dòng)小阻尼情況臨界阻尼情況超阻尼情況2.振動(dòng)分析周期延長計(jì)算頻率和周期可不計(jì)阻尼振動(dòng)是衰減的對數(shù)衰減率

利用此式,通過實(shí)驗(yàn)可確定體系的阻尼比.上式也可寫成：例14-17:對圖示體系作自由振動(dòng)試驗(yàn).用鋼絲繩將上端拉離平衡位置2cm,用力16.4kN,將繩突然切斷,開始作自由振動(dòng).經(jīng)4周期,用時(shí)2秒,振幅降為1cm.求:1.阻尼比2.剛度系數(shù)3.無阻尼周期4.重量5.阻尼系數(shù)6.若質(zhì)量增加800kg體系的周期和阻尼比為多少2cm3.無阻尼周期4.重量5.阻尼系數(shù)6.若質(zhì)量增加800kg,體系的周期和阻尼比為多少解:1.阻尼比2.剛度系數(shù)§14.4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)一.運(yùn)動(dòng)方程及其解

二階線性非齊次常微分方程受迫振動(dòng)---動(dòng)荷載引起的振動(dòng)。mEIlP(t)P---荷載幅值---荷載頻率運(yùn)動(dòng)方程或通解其中設(shè)代入方程,可得通解為二.純受迫振動(dòng)分析mEIlP(t)---荷載幅值作為靜荷載所引起的靜位移---動(dòng)力系數(shù)---穩(wěn)態(tài)振幅---頻比1111---共振增函數(shù)減函數(shù)為避開共振一般應(yīng)大于1.25或小于0.75.1.250.75共振區(qū)若要使振幅降低,應(yīng)采取何種措施?通過改變頻比可增加或減小振幅.應(yīng)使頻比減小.增加結(jié)構(gòu)自頻.增加剛度、減小質(zhì)量.應(yīng)使頻比增大.減小結(jié)構(gòu)自頻.減小剛度、增大質(zhì)量.例1求圖示體系振幅和動(dòng)彎矩幅值圖，已知三.動(dòng)位移、動(dòng)內(nèi)力幅值計(jì)算計(jì)算步驟:1.計(jì)算荷載幅值作為靜荷載所引起的位移、內(nèi)力；2.計(jì)算動(dòng)力系數(shù)；3.將得到的位移、內(nèi)力乘以動(dòng)力系數(shù)即得動(dòng)位移幅值、動(dòng)內(nèi)力幅值。mEIEIlPl/4解.Pl/3動(dòng)彎矩幅值圖例2求圖示梁中最大彎矩和跨中點(diǎn)最大位移已知:解.Ql/2l/2重力引起的彎矩重力引起的位移l/4振幅動(dòng)彎矩幅值跨中最大彎矩跨中最大位移[動(dòng)荷載不作用于質(zhì)點(diǎn)時(shí)的計(jì)算]m=1=1令P仍是位移動(dòng)力系數(shù)是內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)嗎?運(yùn)動(dòng)方程穩(wěn)態(tài)解振幅[列幅值方程求內(nèi)力幅值]解:例:求圖示體系振幅、動(dòng)彎矩幅值圖.已知同頻同步變化mEIl/2l/2PP=1P動(dòng)彎矩幅值圖解:例:求圖示體系右端的質(zhì)點(diǎn)振幅mlmkllAPo§14.5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)m將任意荷載看成是連續(xù)作用的一系列沖量，求出每個(gè)沖量引起的位移后將這些位移相加即為動(dòng)荷載引起的位移。一.瞬時(shí)沖量的反應(yīng)1.t=0時(shí)作用瞬時(shí)沖量m2.

時(shí)刻作用瞬時(shí)沖量二.動(dòng)荷載的位移反應(yīng)---杜哈梅積分計(jì)阻尼時(shí)若t=0時(shí)體系有初位移、初速度例.求突加荷載作用下的位移，開始時(shí)靜止，不計(jì)阻尼。m解：§14.6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)自由振動(dòng)分析的目的是確定體系的動(dòng)力特性。可不計(jì)阻尼。一.運(yùn)動(dòng)方程及其解或m1m2運(yùn)動(dòng)方程設(shè)方程的特解為：代入方程,得：---頻率方程代入方程,得另一種表達(dá)形式：同樣設(shè)其解為：用柔度形式表示：m1m2解頻率方程得的兩個(gè)根值小者記作稱作第一頻率也稱作基本頻率;值大者記作稱為第二頻率或高階頻率.將頻率代入振型方程特解1特解2通解：二.頻率與振型體系按特解振動(dòng)時(shí)有如下特點(diǎn)1)各質(zhì)點(diǎn)同頻同步;2)任意時(shí)刻,各質(zhì)點(diǎn)位移的比值保持不變定義:體系上所有質(zhì)量按相同頻率作自由振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)形狀稱作體系的主振型。幾點(diǎn)說明：1）按振型作自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的速度的比值也為常數(shù)，且與位移比值相同。2）發(fā)生按振型的自由振動(dòng)是有條件的.3）振型與頻率是體系本身固有的屬性,

與外界因素?zé)o關(guān).4）N自由度體系有N個(gè)頻率和N個(gè)振型頻率方程解頻率方程得,從小到大排列依次稱作第一頻率,第二頻率...第一頻率稱作基本頻率,其它為高階頻率.將頻率代入振型方程得N個(gè)振型N個(gè)振型是線性無關(guān)的.5）若已知柔度矩陣時(shí)6）求振型、頻率可列幅值方程.振型方程頻率方程按振型振動(dòng)時(shí)m1m2

振型可看作是體系按振型振動(dòng)時(shí)，慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移。三.求頻率、振型例題例一.求圖示體系的頻率、振型解令1111第一振型第二振型對稱體系的振型分成兩組:一組為對稱振型一組為反對稱振型按對稱振型振動(dòng)=1l/3按反對稱振型振動(dòng)=1l/9對稱系的振型分成兩組:一組為對稱振型一組為反對稱振型解:例二.求圖示體系的頻率、振型.

已知:m1m211.61810.618例3.求圖示體系的頻率、振型解:令例3.求圖示體系的頻率、振型解:令例3.求圖示體系的頻率、振型解:令§14.7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧載荷作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程設(shè)特解為解方程,得其中1.在平穩(wěn)階段,作簡諧振動(dòng),振動(dòng)頻率與荷載同。2.當(dāng)時(shí)3.當(dāng)時(shí)4.當(dāng)或時(shí)n自由度體系有n個(gè)共振區(qū)。5.求穩(wěn)態(tài)振幅可列幅值方程---慣性力幅值6.內(nèi)力幅值的計(jì)算例：求圖示體系的穩(wěn)態(tài)振幅、動(dòng)彎矩幅值圖。已知：解：不存在統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)利用對稱性可簡化計(jì)算對稱荷載反對稱荷載§14.8振型分解法一.振型正交性i振型i振型上的慣性力j振型i振型上的慣性力在j振型上作的虛功j振型上的慣性力在i振型上作的虛功由虛功互等定理振型對質(zhì)量的正交性的物理意義i振型上的慣性力在j振型上作的虛功等于0振型對剛度的正交性:振型對剛度的正交性的物理意義i振型上的彈性力在j振型上作的虛功等于0振型正交性的應(yīng)用1.檢驗(yàn)求解出的振型的正確性。例:試驗(yàn)證振型的正確性2.對耦聯(lián)運(yùn)動(dòng)微分方程組作解耦運(yùn)算等等.例:已知圖示體系的第一振型,

試求第二振型.解:例:已知圖示體系在動(dòng)荷載作用下的振幅為解:試從其中去掉第一振型分量.二.振型分解法(不計(jì)阻尼)運(yùn)動(dòng)方程設(shè)---j振型廣義質(zhì)量---j振型廣義剛度---j振型廣義荷載折算體系二.振型分解法(不計(jì)阻尼)運(yùn)動(dòng)方程設(shè)---j振型廣義質(zhì)量---j振型廣義剛度---j振型廣義荷載折算體系計(jì)算步驟:1.求振型、頻率;2.求廣義質(zhì)量、廣義荷載;3.求組合系數(shù);4.按下式求位移;例一.求圖示體系的穩(wěn)態(tài)振幅.解:計(jì)算步驟:1.求振型、頻率;2.求廣義質(zhì)量、廣義荷載;3.求組合系數(shù);4.按下式求組合系數(shù);EI例一.求圖示體系的穩(wěn)態(tài)振幅.解:EI例一.求圖示體系的穩(wěn)態(tài)振幅.解:EI例一.求圖示體系的穩(wěn)態(tài)振幅.解:EI從結(jié)果看,低階振型貢獻(xiàn)大一般不需要用全部振型疊加,用前幾個(gè)低階振型疊加即可。例二.求圖示體系在突加荷載作用下的位移反應(yīng).解:m1m2已知:加荷前靜止。三.振型分解法(計(jì)阻尼)阻尼力--阻尼矩陣--當(dāng)質(zhì)點(diǎn)j有單位速度,其余質(zhì)點(diǎn)速度為0時(shí),質(zhì)點(diǎn)i上的阻尼力.若下式成立則將稱作正交阻尼矩陣,稱作振型j的廣義阻尼系數(shù).運(yùn)動(dòng)方程設(shè)三.振型分解法(計(jì)阻尼)運(yùn)動(dòng)方程設(shè)令--第j振型阻尼比(由試驗(yàn)確定).計(jì)算步驟:1.求振型、頻率;2.求廣義質(zhì)量、廣義荷載;4.求組合系數(shù);5.按下式求位移;3.確定振型阻尼比;正交阻尼矩陣的構(gòu)成---比例阻尼(Rayleigh阻尼)已知兩個(gè)阻尼比例.求圖示體系的正交阻尼矩陣和阻尼比.mmm321已知:解:4.1能量法（瑞利法）能量法是計(jì)算體基本頻率近似值的一種常用方法。設(shè)體系按i振型作自由振動(dòng)。t時(shí)刻的位移為速度為動(dòng)能為勢能為§14.9計(jì)算頻率的近視法動(dòng)能為勢能為最大動(dòng)能為最大勢能為由能量守恒，有最大動(dòng)能為最大勢能為由能量守恒，有選滿足位移邊界條件的，形狀與振型相近的向量代入上式求頻率的近似值。通常將重力作為荷載所引起的位移代入上式求基本頻率的近似值。例.用能量法計(jì)算圖示體系的基頻.mm