北師大版八年級數(shù)學(xué)上-第一章勾股定理學(xué)案

寶安實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)學(xué)案姓名：班級：第3頁共20頁1．1探索勾股定理（1）一、前提補(bǔ)償：11121314151617181920100816449362516941導(dǎo)學(xué)點(diǎn)撥：（一）：自主嘗試（1）觀察圖1-1正方形A中含有個小方格，即A的面積是個單位面積。正方形B的面積是個單位面積。正方形C的面積是個單位面積。（2）在圖1-2中，正方形A，B，C中各含有多少個小方格？它們的面積各是多少？__________________________________________（3）你能發(fā)現(xiàn)圖1-1中三個正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系嗎？____________________________________________圖1-3圖1-4（1）觀察圖1-3、圖1-4圖1-3圖1-4

A的面積（單位面積）

B的面積（單位面積）

C的面積（單位面積）

圖1－3

圖1－4

（2）三個正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系？___________________________________________（3）你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？___________________________________-（4）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎？與同伴進(jìn)行交流。結(jié)論：勾股定理：________________________________________________我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為________，較長的直角邊稱為_________，斜邊稱為_______。如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么勾股定理表示為____________________。這個式子還能變形為：_________________________________（二）合作交流剛剛我們是通過數(shù)格子的方法探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理，，那么從剛才探索的過程中，你是怎么得到正方形C的面積的，你能驗(yàn)證勾股定理嗎？A：在圖1-4中以直角三角形的三邊為邊長分別向外作正方形，你能用此圖驗(yàn)證勾股定理嗎？試一下bacbacbacbac提示：（1）（2）圖1-4圖1-4B：如圖是美國總統(tǒng)Garfield于1876年給出的一種驗(yàn)證勾股定理的辦法，你能用它來驗(yàn)證勾股定理嗎？并寫出驗(yàn)證過程。（三）應(yīng)用探究4、斜邊為17厘米、一條直角邊長15厘米的直角三角形的面積是三、學(xué)習(xí)體會本節(jié)課你有哪些收獲？你還有哪些疑惑？__________________________________________________________________________________達(dá)標(biāo)檢測：求出下列直角三角形中未知邊的長度。在Rt△ABC中，∠C＝900，已知AB=13，AC=12，那么BC＝______。在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c。（1）已知a=b=5，則C2=____________；（2）已知c=17，b=15，則a=_________；（3）已知a：b=3：4，且c=10，則a=__________；b=________；問題解決：1、在Rt△ABC中，∠C＝900，已知AB=1.3，AC=1.2，那么BC＝______。2、在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c。（1）已知a=5，b=12，則C2=____________；（2）已知c=17，b=5，則a=_________；（3）已知a＝3，b=4，則c=__________；三角形的面積為________；（4）已知a：b=3：4，且c=10，則a=__________；b=__________.拓展提高：在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，已知a：b=3：4，其中三角形的周長為24，則三角形的面積為_______.（2）已知a+c=24，b=12，則a=__________；c=________；（一）.選擇題1.已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）A.25 B.14 C.7 D.7或252.若線段a，b，c組成Rt△，則它們的比為（）A.2∶3∶4 B3∶4∶6 C.5∶12∶13 D.4∶6∶73.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，則Rt△ABC的面積是（）A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.4.三角形的三邊長為（a+b）2＝c2+2ab，則這個三角形是（）A.等邊三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.銳角三角形5.已知，如圖長方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（）A.6cm2 B.8cm2 C.10cm2 D.8、已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里寶安實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級數(shù)學(xué)學(xué)案姓名_________________班級_________PAGEPAGE9第9頁共20頁（二.）填空題1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，①若a＝5，b＝12，則c＝___________；②若a＝15，c＝25，則b＝___________；③若c＝61，b＝60，則a＝__________；④若a∶b＝3∶4，c＝10，則SRt△ABC＝________。2.直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高為__________。3.在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為2米，問這里水深是________m。4.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為___________cm25.在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高_(dá)________________________米。（三.）解答題1.如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？2.小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。1.1探索勾股定理（2）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握勾股定理。能熟練地運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題,增強(qiáng)解決問題的能力。學(xué)習(xí)過程：學(xué)前準(zhǔn)備基礎(chǔ)回顧：在Rt△ABC中，∠C=90°，則三角形三邊AB、AC、BC之間有什么等量關(guān)系：ACB其中勾是，股是，弦是ACB2、勾股定理的幾種驗(yàn)證方法：3、嘗試練習(xí)40005000（課本p9例1）我方偵察員小王在距離東西向公路4000米處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方飛機(jī)在公路上疾駛，他趕緊拿出紅外測距儀，發(fā)現(xiàn)汽車與他相距4000米，2040005000二、課內(nèi)學(xué)習(xí)自主嘗試1、如圖是某沿江地區(qū)交通平面圖，為了加快經(jīng)濟(jì)發(fā)展，該地區(qū)擬修建一條連接M,O,Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建設(shè)成本是100萬元/千米，該沿江高速的造價預(yù)計是多少？（二）合作交流1、（P15隨堂練習(xí)1）一個直角三角形的斜邊為20cm2、如圖，一個25m長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時的AO距離為24m，如果梯子的頂端A沿墻下滑4m，那么梯子底端B也外移4m嗎？（三）應(yīng)用探究三、自我測試1、求圖中直角三角形中未知的長度:b=__________,c=____________.第1題圖第5題圖第1題圖第5題圖2、放學(xué)以后，小紅和小穎從學(xué)校分手，分別沿著東南方向和西南方向回家，若小紅和小穎行走的速度都是40米/分，小紅用15分鐘到家，小穎用20分鐘到家，小紅和小穎家的距離為（600米；B、800米；C、1000米3、如果梯子的底端離建筑物5米,13米長的梯子可以達(dá)到該建筑物的高度是()A、12米B.、13米C.、14米D、15米4、飛機(jī)在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機(jī)距離這個男孩5000米5、有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高2米，兩樹相距3米．一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了6、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，求Rt△ABC的面積.四、問題解決：1、如圖，從電線桿離地面6m處向地面拉一條長10m的纜繩，這條纜繩在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部有多遠(yuǎn)2、小明從家出發(fā)向正北方向走了150米，接著向正東方向走到離家250米遠(yuǎn)的地方，小明向正東方向走了多遠(yuǎn)？AAA′BAB′OA3、一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米4、如圖在△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，D為垂足，AC=3cm,BC=4cm.求（1）△ABC的面積；DCBA（2）DCBA（3）斜邊AB上的高CD的長五、拓展提高：1、等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，求這個三角形的面積AABCD1.2能得到直角三角形嗎一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理），并能進(jìn)行簡單應(yīng)用。2、熟記一些勾股數(shù).3、理解勾股定理和勾股定理的逆定理之間的區(qū)別。二、直角三角形判定定理：一個直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方（即勾股定理）。反過來如果一個三角形中，有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這是直角三角形嗎？①直角三角形判定定力：如果三角形的三邊為，，，滿足_____________________，那么這個三角形是直角三角形。②滿足a2+b2=c2的三個_____________，稱為勾股數(shù)．思考：要判定一個三角形是直角三角形，有哪幾種方法呢？三、課堂練習(xí)：［例1］判斷以a=10，b=8，c=6為邊組成的三角形是不是直角三角形.解：∵a2+b2=100+64=164≠c2即a2+b2≠c2，∴a，b，c不能組成直角三角形.請問：上述解法對嗎？為什么？練習(xí)：1、下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長？說說你的理由。（1）8，15，17；（2）4，5，6；（3）5，8，10；（4）8，39，402、如圖，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，說說你的理由。［例2］一個零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角.工人師傅量出了這個零件各邊尺寸，那么這個零件符合要求嗎？變式：四邊形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠BAD=900，求這個四邊形的面積．［例3］1、猜想：如果將直角三角形的三條邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)，得到的三角形還是直角三角形嗎？2、填寫下表，并驗(yàn)證你所填的數(shù)是否滿足“勾股數(shù)”2倍3倍4倍5倍3,4,56,8,105,12,1315,36,398,15,1732,60,687,24,2570,240,250結(jié)論：四、課堂檢測：1、下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是（）A、1.5，2，3B、7，24，25C、6，8，10D、9，12，152、將直角三角形的三條邊長同時擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是（）A、鈍角三角形B、直角三角形C、銳角三角形D、不能確定3、滿足下列條件的△ABC，不是直角三角形的是（）A、b2=c2－a2B、a∶b∶c=3∶4∶5C、∠C=∠A－∠BD、∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15ACACBS1S2S3在△ABC外用三個正方形，S1、S2、S3分別表示這三個正方形的面積，S1=81，S3=225，則S2=_________。BAC5、如圖，供電所李師傅要安裝電線桿，按要求，電線桿要與地面垂直，因此，從離地面BAC6、已知：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm.求證：AB=AC課后練習(xí)1、如果三條線段a、b、c滿足，這三條線段組成的三角形是（）A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等腰三角形2、a、b、c是△ABC的三邊，①a=5,b=12,c=13②a=8,b=15,c=17③a∶b∶c=3∶4∶5④a=15,b=20,c=25上述四個三角形中直角三角形有（）A、1個B、2個C、3個D、4個3、滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三內(nèi)角之比為1∶2∶3B.三邊長的平方之比為1∶2∶3C.三邊長之比為3∶4∶5D.三內(nèi)角之比為3∶4∶54、一直角三角形的三邊分別為2、3、x，那么以x為邊長的正方形的面積為（）A、13B、5C、13或5D、無法確定5、若一個三角形的三邊長的平方分別為：32，42，x2則此三角形是直角三角形的x2的值是（）A.42 B.52C.7 D.526、小強(qiáng)在操場上向東走80m后，又走了60m，再走100m回到原地．小強(qiáng)在操場上向東走了80m后，又走60m的方向是

．7、如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上的一點(diǎn)，且AF=AD，試判斷△EFC的形狀.8、在△ABC中，已知a=15，b=17，c=8，則△ABC的面積是多少？9、如圖所示的一塊草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900,求這塊草地的面積。1.3螞蟻怎樣走最近一、知識回顧：1．下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．2，3，4

B．3，4，6

C．5，12，13

D．4，6，72.三角形的三邊為a、b、c，由下列條件不能判斷它是直角三角形的是（）A．a(chǎn):b:c=8∶16∶17B．a(chǎn)2-b2=c2C．a(chǎn)2=(b+c)(b-c)D．a(chǎn):b:c=13∶5∶123.三角形的三邊長為,則這個三角形是()A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形.4．在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，則c=；（2）b=8，c=17，則=5．一個直角三角形，有兩邊長分別為6和8，下列說法正確的是（）A.第三邊一定為10B.三角形的周長為25C.三角形的面積為48D.第三邊可能為106．直角三角形的斜邊為20cm，兩條直角邊之比為3∶4，那么這個直角三角形的周長為（）A.27cmB.30cmC.40cmD.48cm7、一根旗桿在離地9米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，旗桿折斷之前有多高為_________。8、直角三角形兩直角邊分別為5厘米、12厘米，那么斜邊上的高是（）A、6厘米；B、8厘米；C、80/13厘米；D、60/13厘米；二．情境引入如圖：有一個圓柱，它的高為12厘米，底面半B為3厘米，在圓柱下底面的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面相對的B點(diǎn)處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？（∏的取值為3）A三．合作探究李叔叔想要檢測雕塑底座正面（如圖所示）的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺。（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？（2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米。AD邊垂直于AB邊嗎？（3）小明隨身只有一個長為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？DCAB四、知識應(yīng)用古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了如下一個問題：有一個水池，水面的邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？課后練習(xí)1、以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A．2，3，4B．10，8，4C．7，25，24D．7，15，122、已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或253、以面積為9cm2 的正方形對角線為邊作正方形，其面積為（）A．9cm2 B．13cm2 C．18cm2 D．24cm2 4、如圖，直角△ABC的周長為24，且AB:AC=5:3，則BC=（）A．6B．8C．10D．125.如圖，學(xué)校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草．6.小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1m，當(dāng)它把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為（）A．8cmB．10cmC．12cmD．14cm8．如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)點(diǎn)B200m，結(jié)果他在水中實(shí)際游了520m，求該河流的寬度為多少？7、如圖，一架云梯長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，如果梯子的頂端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑動了幾米？9．如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是多少？10.已知，如圖，折疊長方形（四個角都是直角，對邊相等）的一邊AD使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的長。1.4勾股定理復(fù)習(xí)課學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握勾股定理，能熟練地運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題掌握直角三角形的判別學(xué)習(xí)過程：知識梳理勾股定理：(用字母表示)_____________________________直角三角形的判別條件：_____________________________17151715B400225A二、課內(nèi)學(xué)習(xí)勾股定理的應(yīng)用：1、下列各圖中所示正方形的面積為多少。答：A=__，B=___。2、在ΔABC中，∠C=90o，若a:c=3:5，b=8，則a==______;c=______;三角形的面積為：_________________3、已知直角三角形的兩條邊分別為3和4，則第三邊的平方為__________.4（1）如果一輪船向東南方向航行300米，另一輪船向西南方向航行400米，則兩船相距多少米？（2）一輪船以16海里/每小時的速度離開港口向東航行，另一輪船以12海里的速度向北航行，1.5小時后兩船相距多少海里？（二）直角三角形的判定及應(yīng)用1、下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是()A.1、2、3;B.7、24、25;C.6、8、10;D.9、12、15.2、三角形的三邊長為（a+b）2=c2+2ab,則這個三角形是()A.等邊三角形;B.鈍角三角形;C.直角三角形;D.銳角三角形.3、如圖，在四邊形ABCD中，∠ACD=90o，且AB=3，BC=4，AC=5,AD=13，DBCADBCA（三）應(yīng)用1、有一個透明的玻璃杯，內(nèi)部的底面半徑為3cm，高為8cm，現(xiàn)有一支12cm的玻璃棒任意斜放在杯中（如圖），則玻璃棒露在杯口外的長度最少為多少cm？2、如圖所示，長方體的高為3cm，底面是正方形，邊長為2cm，現(xiàn)使一條繩子從A點(diǎn)出發(fā)，沿長方體表面到達(dá)C點(diǎn)，問繩子最短是多少厘米？規(guī)律小結(jié)：1、勾股定理是刻畫______三角形的三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，它直接把_____的特征轉(zhuǎn)化為三邊_____的關(guān)系；而勾股定理的逆定理則是由____的關(guān)系得到_____的特征，這兩個定理體現(xiàn)了__________的思想。2、求曲面上兩點(diǎn)距離最短問題，我們常常是把它們的側(cè)面展開，把曲面上兩點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為_______上兩點(diǎn)間的距離！3、在許多實(shí)際問題中，或者四邊形的問題中，沒有直接給出直角三角形，常常通過作輔助線構(gòu)造_______________，把它們轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題！三、自我測試1、長方形的長為4cm，對角線為5cm，則長方形的寬為_____________cm。4322、在ΔABC中，∠C=904323、如圖ΔABC中，AC⊥BC，則陰影部分的面積是_____4、有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高2米，兩樹相距3米從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了米.CEBADF5、在ΔABC中，AC=5cmCEBADF6、一個直角三角形的三邊長是不大于10的三個連續(xù)偶數(shù)，則它的面積是____。7、若5、12、x三數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)，則x=_____________。8、如圖所示，△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，若EF=5，則CE2+CF2=9、已知：如圖，⊿ABC中，∠ACB=，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，求CD的長及三角形的面積；四、課后作業(yè)：(一)選擇