第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

第2章控制系統(tǒng)數(shù)學模型目錄2-l

微分方程2-2

非線性數(shù)學模型線性化

2-3

傳遞函數(shù)

2-4

結(jié)構(gòu)圖

2-5

信號流圖

2-6

利用MATLAB描述和求解系統(tǒng)數(shù)學模型第1頁1自動控制理論以自動控制系統(tǒng)為研究對象，不論是對控制系統(tǒng)進行分析還是對校正裝置進行綜合，都需要建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型。

所謂數(shù)學模型是指能夠描述系統(tǒng)變量之間關(guān)系數(shù)學表示式。工程系統(tǒng)普通都是動態(tài)系統(tǒng)，時域內(nèi)連續(xù)時間集中參數(shù)系統(tǒng)數(shù)學模型是反應(yīng)系統(tǒng)輸入量和輸出量之間關(guān)系微分方程。第2頁2 以數(shù)學模型為依據(jù)控制系統(tǒng)能夠被分類為連續(xù)系統(tǒng)和離散（時間）系統(tǒng)、線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)、定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)等?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型不是惟一，依據(jù)不一樣建模目標能夠建立不一樣數(shù)學模型，即使對于相同建模目標也能夠建立不一樣形式數(shù)學模型，對于工程上常見線性定常連續(xù)系統(tǒng)，慣用數(shù)學模型有微分方程和傳遞函數(shù)等.第3頁32-l微分方程建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型方法有解析法和試驗法兩種。解析法也稱機理分析法，屬于理論建模范圍，是經(jīng)過分析控制系統(tǒng)工作原理，利用系統(tǒng)各組成部分所遵照物理學基本定律來建立變量之間關(guān)系式。試驗法也稱試驗辨識法，是經(jīng)過試驗對系統(tǒng)在已知輸入信號作用下輸出響應(yīng)數(shù)據(jù)進行測量，利用模型辨識方法，來建立反應(yīng)輸入量和輸出量之間關(guān)系數(shù)學方程。第4頁4普通只有較簡單系統(tǒng)能夠經(jīng)過機理分析法建立其數(shù)學模型，大多數(shù)系統(tǒng)數(shù)學模型還需要經(jīng)過試驗法取得，這里只是為了滿足系統(tǒng)分析和系統(tǒng)綜合需要，從認識數(shù)學模型和了解不一樣數(shù)學模型之間轉(zhuǎn)換關(guān)系角度出發(fā)，介紹經(jīng)過機理分析建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型方法。

第5頁5用解析法建立控制系統(tǒng)微分方程普通步驟：1)確定系統(tǒng)輸入量（包含擾動量）和輸出量，引入必要中間變量；2)分析系統(tǒng)工作原理，依據(jù)系統(tǒng)運動過程中各個部分所遵照物理學基本定律建立描述變之間關(guān)系方程式；3)將上面這些關(guān)系式聯(lián)立起來，消去中間變量，并寫成微分方程標準形式；4)必要時將所得微分方程系數(shù)整理并表示為含有一定物理意義量（如時間常數(shù)等）。第6頁6復雜系統(tǒng)是由一些簡單裝置按照一定方式聯(lián)結(jié)起來組成，在已建立系統(tǒng)各組成部分微分方程基礎(chǔ)上，依據(jù)它們在系統(tǒng)中連接關(guān)系消去中間變量，并寫成標準形式，就是描述系統(tǒng)總輸入和總輸出之間關(guān)系微分方程。需要注意是：在對系統(tǒng)組成部分進行劃分時，只有不存在負載效應(yīng)前后兩級才能夠分開建立各自數(shù)學模型，對于有負載效應(yīng)前后兩級，因為后一級存在會對前一級運動狀態(tài)產(chǎn)生影響，所以只能作為一個整體建模。當負載效應(yīng)很小或串聯(lián)兩級之間有隔離放大器時，可不考慮負載效應(yīng)。第7頁71.電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng)中最常見是由電阻元件、電容元件、電感元件以及運算放大器等組成無源或有源電路，也稱電氣網(wǎng)絡(luò)。2.1.1微分方程建立例2-1圖2-1所表示為經(jīng)典RLC串聯(lián)電路，以ui(t)為輸入量，uo(t)為輸出量。列寫該電路微分方程。C＋＋－－圖2-1RLC串聯(lián)電路第8頁8整理，可得描述系統(tǒng)輸入量和輸出量之間關(guān)系微分方程解：引入回路電流作為中間變量，列寫變量關(guān)系方程令——二階線性定常系統(tǒng)（2-3）第9頁9選擇電容器極板上電荷量q作為輸出量代入式（2-3）中，可得（2-6）電感值為零時——慣用RC濾波網(wǎng)絡(luò)數(shù)學模型：第10頁102.機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)是指存在有機械運動裝置，經(jīng)典機械位移系統(tǒng)由質(zhì)量、彈簧和阻尼器組成。例2-2圖2-2所表示由質(zhì)量、彈簧和阻尼器組成得機械位移系統(tǒng)。其中m為物體質(zhì)量，k為彈簧彈性系數(shù)，f為阻尼器阻尼系數(shù)。要求確定外力F(t)為輸入量，位移y(t)為輸出量時，系統(tǒng)數(shù)學模型。解：

質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)m（2-9）（2-8）（2-10）第11頁11（2-12）（2-11）依據(jù)牛頓第二定律，能夠?qū)懗鑫矬w受力平衡方程為將式（2-8）、式（2-9）和式（2-10）帶入式（2-11）中，消去中間變量并將所得方程整理成標準形式，有顯然，這也是一個二階線性定常系統(tǒng)。第12頁12（2-12）（2-4）比較式（2-4）和式（2-12）能夠看出，兩個不一樣性質(zhì)物理系統(tǒng)能夠含有相同數(shù)學模型來。像這么含有相同數(shù)學模型不一樣物理系統(tǒng)我們稱之為相同系統(tǒng)，稱相同系統(tǒng)中位于對應(yīng)位置上物理量為相同量。依據(jù)相同系統(tǒng)輸入變量對相同系統(tǒng)進行分類：力-電壓相同系統(tǒng)、力-力矩相同系統(tǒng)、力-電流相同系統(tǒng)等。第13頁133.熱力系統(tǒng)凡是包含有能將熱量從一個物質(zhì)傳遞到另一個物質(zhì)過程稱為熱力系統(tǒng)。例2-3圖2-3所表示熱力系統(tǒng)，要求建立平衡狀態(tài)下，輸入到系統(tǒng)熱流量（由加熱器提供熱量）改變量為hi、其它原因不變時，輸出液體溫度改變量θ與hi關(guān)系方程。假設(shè)：1.容器處于隔絕狀態(tài)，不向周圍空氣散發(fā)燒量；2.容器中液體混合均勻，液體中各點溫度是相同；3.表示變量符號為建立系統(tǒng)數(shù)學模型圖2-3熱力系統(tǒng)第14頁14θi——流入容器液體穩(wěn)態(tài)溫度(oC)θo——流出容器液體穩(wěn)態(tài)溫度(oC)G——穩(wěn)態(tài)液體流量(kg/s);M——容器內(nèi)液體質(zhì)量(kg)c——液體比熱(千卡/kg.oC);R——熱阻(oC.s/千卡)C——熱容(千卡/oC);H——穩(wěn)態(tài)時輸入熱流量(千卡/s)解：

依據(jù)熱力學基本定律，有聯(lián)立方程，消去中間變量ho，可得第15頁154.液位系統(tǒng)出水流量Q2圖2-4液位控制系統(tǒng)示意圖閥門目標水位H0實際水位H進水流量Q1例2-4考慮圖2-4所表示液位控制系統(tǒng)，其中水箱水位H為被控量，忽略次要原因，引發(fā)水箱水位改變物理量主要是輸入流量Q1和負載流量Q2。試確定該系統(tǒng)，節(jié)流閥開度一定時水箱水位與輸入流量關(guān)系方程。第16頁16解：依據(jù)物質(zhì)守恒定律，列出液位系統(tǒng)流體過程關(guān)系方程——非線性微分方程式中，A為容器截面積。當節(jié)流閥開度一定時，經(jīng)過包含連接導管和容器液體流量為式中，K為節(jié)流閥流量系數(shù)。將式（2-18）代入（2-17）中可得水箱水位與進水流量關(guān)系方程（2-17）（2-18）第17頁175.直流電動機調(diào)速系統(tǒng)功率放大器＋＋＋－－電動機負載運算放大器Ⅰ運算放大器Ⅱ電位器測速發(fā)電機＋－ωuf反饋連接ugu1u2Mc圖2-5轉(zhuǎn)速自動控制系統(tǒng)原理圖····例2-5圖2-5所表示為一直流調(diào)速系統(tǒng)，其中執(zhí)行機構(gòu)是一臺電樞控制他勵直流電動機，利用測速發(fā)電機實現(xiàn)速度負反饋，圖中ω為電動機轉(zhuǎn)速，Mc為折合到電動機軸上總負載轉(zhuǎn)矩，Ua為電動機電樞電壓，建立系統(tǒng)微分方程。第18頁18運算放大器運算放大器功率放大器電動機測速機ugufueu1u2uaωMc＋－圖2-6轉(zhuǎn)速自動控制系統(tǒng)方塊圖·解：直流調(diào)速系統(tǒng)中，電動機和負載組成廣義被控對象，系統(tǒng)輸出量為電動機轉(zhuǎn)速ω，ug為給定輸入，Mc是擾動作用。系統(tǒng)由輸入電位器、運算放大器I、運算放大器II、控制對象和反饋部分組成。運算放大器I起信號求差作用；運算放大器II起校正作用，它使系統(tǒng)穩(wěn)定工作且有很好動態(tài)性能，圖2-6所表示為該系統(tǒng)方框圖。第19頁191）運算放大電路I：2）運算放大電路II：3）功率放大器：（2-19）（2-20）（2-21）圖2-7電樞控制他激直流電動機＋－Mciaea＋－電樞控制他激直流電動機原理圖如圖2-7所表示。

4）電動機：第20頁20__電氣時間常數(shù)(s)__機電時間常數(shù)__電壓作用系數(shù)__轉(zhuǎn)矩作用系數(shù)（2-27）聯(lián)立式（2-22）~式（2-25），消去中間變量，可得與轉(zhuǎn)速ω與電樞電壓ua以及負載擾動Mc關(guān)系方程為整理可得第21頁215）發(fā)電機測速反饋部分：（2-28）合并式（2-19）~（2-21）和式（2-27）、式（2-28），可得（2-29）深入整理，并令；，則有第22頁22被控量ω，既受到給定輸入量Ug控制也受擾動量Mc改變影響。因為線性系統(tǒng)符合疊加原理，即Ug和Mc共同作用下系統(tǒng)輸出響應(yīng)等于它們各自單獨作用下系統(tǒng)響應(yīng)疊加，所以式（2-30）也可表示成下面兩個方程，即Ug單獨作用下（Mc=0）系統(tǒng)微分方程和Mc單獨作用下（Ug=0）系統(tǒng)微分方程第23頁23上述系統(tǒng)微分方程建立中，不一樣類型系統(tǒng)可含有形式相同數(shù)學模型，這些含有形式相同數(shù)學模型相同系統(tǒng)揭示了不一樣物理現(xiàn)象之間相同關(guān)系，當這些相同系統(tǒng)中相同參數(shù)取一樣數(shù)值、輸入變量含有相同函數(shù)形式時，這兩個系統(tǒng)輸出量改變規(guī)律是相同。所以，利用相同系統(tǒng)概念，能夠用一個易于實現(xiàn)系統(tǒng)來研究與其相同復雜系統(tǒng)。相同系統(tǒng)理論也是控制系統(tǒng)仿真研究法依據(jù)。第24頁24普通情況下，描述線性定常連續(xù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系微分方程，可表示為（2-33）

式中，r(t)為輸入量，y(t)為輸出量，ai(i=0,1,2,…,n)和bj(j=0,1,2,…,m)是由系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定系數(shù)，實際系統(tǒng)中這些系數(shù)都是實數(shù)，且第25頁25從微分方程式能夠看出，若電動機處于平衡狀態(tài)，變量各階導數(shù)均為零，則微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程，式（2-27）表示電動機轉(zhuǎn)速與電樞電壓及負載轉(zhuǎn)矩關(guān)系為2.1.2微分方程增量表示這是平衡狀態(tài)下系統(tǒng)輸入量和輸出量之間關(guān)系方程，稱為靜態(tài)特征方程，也稱靜態(tài)數(shù)學模型。系統(tǒng)靜態(tài)數(shù)模模型是一個代數(shù)方程，也能夠用關(guān)系曲線來表示，稱為靜態(tài)特征曲線。第26頁26在恒轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)中，直流電動機平衡狀態(tài)是一個恒定轉(zhuǎn)速非零平衡狀態(tài)。這時輸出量和輸入量可表示為代入式（2-27）中，整理可得且有（2-36）（2-35）這是電動機微分方程在平衡狀態(tài)附近增量化表示，描述是平衡狀態(tài)附近變量改變量之間關(guān)系。位置隨動系統(tǒng)中，直流電動機平衡狀態(tài)就是零平衡狀態(tài)，增量本身就是變量。

第27頁27在組成控制系統(tǒng)各部分中只要有一個非線性步驟，這部分數(shù)學模型就是非線性，致使得出整個系統(tǒng)數(shù)學模型是非線性微分方程。實際上，任何一個元件都存在有非線性，只是非線性程度不一樣而已，所以，嚴格意義上講實際系統(tǒng)數(shù)學模型都是非線性，但因為非線性微分方程不像線性微分方程那樣有一個統(tǒng)一求解方法，這給控制系統(tǒng)分析帶來很大困難。假如我們能夠在提出合理假設(shè)前提條件下或在一定范圍內(nèi)對非線性數(shù)學模型進行線性化處理，得到非線性系統(tǒng)線性化數(shù)學模型，這么就能夠?qū)⒕€性系統(tǒng)理論應(yīng)用于非線性系統(tǒng)研究中。2-2非線性數(shù)學模型線性化

第28頁28非線性特征線性化基本思緒是在控制系統(tǒng)工作在一個平衡狀態(tài)附近工作時，在平衡狀態(tài)處將非線性特征展開用泰勒級數(shù)表示，若系統(tǒng)在工作中滿足偏離靜態(tài)工作點不大條件，則可忽略泰勒級數(shù)表示中偏差那些非線性項，用只含有偏差線性項關(guān)系式近似表示工作點附近非線性特征。幾何上表現(xiàn)為在靜態(tài)工作點處小范圍內(nèi)用工作點處切線代替實際非線性特征曲線來對系統(tǒng)進行分析。所以，在對非線性特征數(shù)學模型進行線性化時，應(yīng)滿足下面幾個基本假定：第29頁291）非線性步驟含有靜態(tài)非線性特征，即式中，x、y分別表示非線性步驟輸入量和輸出量，非線性函數(shù)f(.)連續(xù)且各階導數(shù)存在。。xyy2y1y0x1x0x2圖2-8非線性函數(shù)線性化2）控制系統(tǒng)有一個額定工作狀態(tài)，即系統(tǒng)有一個靜態(tài)工作點（平衡狀態(tài)），如圖2-8中A(x0,y0)。3）系統(tǒng)工作過程中，自變量偏離工作點偏差量Δx很小，即滿足微偏條件。第30頁30將式（2-39）表示非線性特征在圖2-8中A點處展開成泰勒級數(shù)，有而且還滿足當上述三個條件滿足時，系統(tǒng)中變量可表示為第31頁31當滿足微偏條件，即（x-x0）高階項很小時，可忽略，所以有式中，是一個與工作點相關(guān)常數(shù)。線性化后系統(tǒng)方程是增量形式方程，在求取系統(tǒng)總數(shù)學模型時，組成系統(tǒng)其它部分也要用增量形式方程表示，得到系統(tǒng)線性化數(shù)學模型是一個增量形式線性微分方程。為了方便，普通可略去增量符號，直接用x、y等來表示增量。將式（2-41）代入上式并整理，可得即第32頁32例2-6三相橋式可控硅整流電路輸入量為觸發(fā)器控制角，輸出量為整流輸出電壓。控制角與整流輸出電壓之間關(guān)系為：其中，是輸入交流電電壓有效值。求其線性化數(shù)學模型。解：顯然，整流輸出電壓是觸發(fā)器控制角非線性連續(xù)函數(shù)，連續(xù)，且各階導數(shù)存在。設(shè)額定工作點為，當系統(tǒng)在額定工作點附近工作時，能夠在處將非線性函數(shù)展開成泰勒級數(shù)表示，有第33頁33寫成增量形式式中，是一個由工作點確定常數(shù)。在額定工作點附近改變量不大，即很小時，能夠忽略高次項，得到控制角與輸出直流電壓線性關(guān)系式第34頁34微分方程是在時域中描述系統(tǒng)動態(tài)性能數(shù)學模型。在給定輸入和初始條件已知情況下，直接對微分方程進行求解，可得系統(tǒng)輸出響應(yīng)。這種方法含有直觀、準確特點，但當系統(tǒng)階次較高時，微分方程求解將十分困難。即使微分方程解與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)相關(guān)，但要找出二者之間這種對應(yīng)關(guān)系并不輕易。另外，假如微分方程解（即系統(tǒng)輸出響應(yīng)）不滿足設(shè)計要求，依據(jù)時域響應(yīng)確定系統(tǒng)應(yīng)有結(jié)構(gòu)和參數(shù)幾乎是不可能。第35頁35傳遞函數(shù)是線性定常連續(xù)系統(tǒng)最主要數(shù)學模型之一，是數(shù)學模型在復頻域內(nèi)表示形式。利用傳遞函數(shù)，無須求解微分方程就能夠求取初始條件為零系統(tǒng)在任意形式輸入信號作用下輸出響應(yīng)，還能夠研究結(jié)構(gòu)和參數(shù)改變對控制系統(tǒng)性能影響。經(jīng)典控制理論主要研究方法——根軌跡分析法和頻域分析法都是建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上。2-3傳遞函數(shù)

第36頁362.3.1傳遞函數(shù)定義傳遞函數(shù)定義為：零初始條件下，線性定常連續(xù)系統(tǒng)輸出量拉氏變換像函數(shù)與輸入量拉氏變換像函數(shù)之比。控制系統(tǒng)最基本數(shù)學模型是時域內(nèi)微分方程，n階系統(tǒng)微分方程普通形式為第37頁37零初始條件下對微分方程進行拉氏變換則有若用G(s)表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)，則（2-49）第38頁38顯然，傳遞函數(shù)是以復變量s為自變量、且含有有理分式形式復變函數(shù)，傳遞函數(shù)分母多項式對應(yīng)于微分方程等號左邊與輸出量相關(guān)各項，且對應(yīng)項系數(shù)相同，只是用代替了輸出量i(i=0,1,2,…,n)階導數(shù)；分子多項式對應(yīng)于微分方程中等號右邊與輸入量相關(guān)各項，且對應(yīng)項系數(shù)相同，只是用代替了輸出量j(j=0,1,2,…,m)階導數(shù)。據(jù)此，傳遞函數(shù)能夠由微分方程直接寫出。式（2-49）也能夠?qū)懽?/p>

（2-51）第39頁39式（2-51）說明，若已知傳遞函數(shù)，利用傳遞函數(shù)能夠求取在任意輸入信號作用下系統(tǒng)時域響應(yīng)需要注意是：1.傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義，利用傳遞函數(shù)只能求取系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，是初始條件為零時系統(tǒng)全響應(yīng)。當初始條件不為零時，為求系統(tǒng)全解還應(yīng)該考慮非零初始條件對系統(tǒng)輸出影響。2.一個傳遞函數(shù)只能反應(yīng)控制系統(tǒng)中一個輸入量和一個輸出量之間關(guān)系，假如系統(tǒng)輸入量不止一個（如給定輸入和擾動輸入）或輸出量不止一個（如被控制量和偏差），那么就需要同時使用多個傳遞函數(shù)來描述系統(tǒng)。第40頁40例2-7已知控制系統(tǒng)微分方程為求出控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：在零初始條件下，對微分方程式兩邊同時進行拉氏變換，可求得故控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)：第41頁41例2-7已知例2-5轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)中各步驟微分方程（式（2-19）~（2-21）、式（2-27）和式（2-28）），寫出各步驟傳遞函數(shù)及控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：微分方程式兩邊同時進行拉氏變換，可求得系統(tǒng)各組成部分傳遞函數(shù)。1.運算放大電路I：2.運算放大電路II：故有第42頁423.功率放大器：4.電動機：故有對式（2-28）進行拉氏變換，當初始條件為零時有第43頁43可得轉(zhuǎn)速對應(yīng)電樞電壓傳遞函數(shù)為1)當2)當可得轉(zhuǎn)速對應(yīng)負載轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)為時，負載擾動單獨作用下電動機轉(zhuǎn)速時，電樞電壓單獨作用下電動機轉(zhuǎn)速第44頁44依據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理，電樞電壓和負載擾動共同作用下，電動機轉(zhuǎn)速為5.測速發(fā)電機連同分壓器傳遞函數(shù)可得由式（2-29）得第45頁45式（2-51）~式（2-59）為速度控制系統(tǒng)各組成部分傳遞函數(shù)，合并系統(tǒng)各組成部分傳遞函數(shù)，可得到整個系統(tǒng)傳遞函數(shù)。式（2-53）~式（2-55）代入式（2-58）中，可得再將式（2-59）代入式（2-60）中整理，可得第46頁46____系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)速對應(yīng)給定輸入傳遞函數(shù)____系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)速對應(yīng)負載轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)合并系統(tǒng)各步驟傳遞函數(shù)時，也能夠先畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，然后再利用結(jié)構(gòu)圖等效變換求取控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及結(jié)構(gòu)圖等效改變方法將在下一節(jié)中討論。第47頁47在求取傳遞函數(shù)時，普通都要先列寫微分方程，但對于電氣網(wǎng)絡(luò)來說，能夠采取電路理論中運算阻抗概念和方法，對于輸入輸出變量均為電壓電路網(wǎng)絡(luò)，電壓之比等于對應(yīng)運算阻抗之比。第48頁48例2-8圖2-9所表示有源RC電路,假設(shè)電容兩端初始電壓為零，求該電路傳遞函數(shù)。圖2-9運算放大電路＋－＋－（a）（b）解：用Z來表示運算放大電路輸出運算阻抗第49頁49依據(jù)運算放大器反向輸入時特征，可得第50頁50利用傳遞函數(shù)分析系統(tǒng)時，不一樣分析方法中往往采取傳遞函數(shù)不一樣表示形式，慣用有三種：有理真分式形式、零-極點表示形式和時間常數(shù)表示形式2.3.2傳遞函數(shù)慣用形式

1.有理真分式形式

第51頁51傳遞函數(shù)零點，也稱步驟或系統(tǒng)零點2.傳遞函數(shù)零-極點表示形式傳遞函數(shù)極點，也稱步驟或系統(tǒng)極點（2-61）第52頁52共軛復數(shù)零點為共軛復數(shù)極點為（2-62）這里Zj和Pi可能是實數(shù)，也可能是成對出現(xiàn)共軛復數(shù)。通常在傳遞函數(shù)零-極點表示中將一對共軛復數(shù)一階因子合并用一個系數(shù)為實數(shù)二階因子表示，并考慮傳遞函數(shù)中有v個等于0極點，那么式（2-61）可寫為第53頁53將式（2-72）所表示傳遞函數(shù)零-極點表示形式中各簡單因子常數(shù)項整理成1，可得式中，τi、τk為分子各因子時間常數(shù)；Tj、Tl為分母各因子時間常數(shù)；K為傳遞系數(shù)，也稱放大系數(shù)。時間常數(shù)和實數(shù)零點、極點以及二階因子參數(shù)之間關(guān)系為（2-63）3.傳遞函數(shù)時間常數(shù)表示形式，，，第54頁54放大系數(shù)和根軌跡增益之間關(guān)系為（2-64）第55頁551．作為一個數(shù)學模型，傳遞函數(shù)只適合用于線性定常系統(tǒng)，這是因為傳遞函數(shù)是經(jīng)拉普拉斯變換導出，而拉氏變換是一個線性積分運算。2.3.3傳遞函數(shù)特點

2．傳遞函數(shù)是以系統(tǒng)本身參數(shù)描述線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量關(guān)系式，它表示了系統(tǒng)內(nèi)在固有特征，只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)相關(guān)，而與輸入量或輸入函數(shù)形式無關(guān)。第56頁563．傳遞函數(shù)能夠是無量綱，也能夠是有量綱，視系統(tǒng)輸入、輸出量而定，它包含著聯(lián)絡(luò)輸入量與輸出量所必須單位，它不能表明系統(tǒng)物理特征和物理結(jié)構(gòu)。許多物理性質(zhì)不一樣系統(tǒng)，有著相同傳遞函數(shù)，正如一些不一樣物理現(xiàn)象能夠用相同微分方程描述一樣。4．傳遞函數(shù)只表示單輸入和單輸出(SISO)之間關(guān)系，對多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，可用多個傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)陣表示。5．傳遞函數(shù)零、極點完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)。將傳遞函數(shù)零、極點標在復平面上，則得傳遞函數(shù)零極點分布圖，其中零點用“o”表示，極點用“×”表示。傳遞函數(shù)零極點分布決定系統(tǒng)響應(yīng)過渡過程。第57頁576．傳遞函數(shù)分母多項式稱為特征多項式，記為而D(s)=0稱為特征方程。傳遞函數(shù)分母多項式階次總是大于或等于分子多項式階次，即n≥m，這是因為實際系統(tǒng)或步驟慣性所造成。7．傳遞函數(shù)拉氏反變換是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)g(t)單位脈沖響應(yīng)是在零初始條件下，線性系統(tǒng)對理想單位脈沖輸入信號輸出響應(yīng)。此時，即（2-66）所以有第58頁58例2-9已知系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為求系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)。解：依據(jù)式（2-66）有第59頁592.3.4經(jīng)典步驟傳遞函數(shù)

自動控制系統(tǒng)是由一些元件或裝置組合而成，這些有著不一樣物理結(jié)構(gòu)和作用原理元件裝置卻可能含有相同傳遞函數(shù)，也就含有了相同動態(tài)性能。從方便研究控制系統(tǒng)動態(tài)性能角度考慮，我們能夠按照傳遞函數(shù)形式去劃分步驟。式（2-62）和式（2-63）將傳遞函數(shù)寫成了實系數(shù)最簡因子乘積形式。這些最簡因子就是經(jīng)典步驟對應(yīng)傳遞函數(shù)，線性定常系統(tǒng)中經(jīng)典步驟有百分比步驟、積分步驟、慣性步驟、二階振蕩步驟、微分步驟和延遲步驟等。第60頁60屬于同一經(jīng)典步驟元件裝置，它們物理過程能夠有很大差異，但其運動規(guī)律卻是相同。任何一個系統(tǒng)傳遞函數(shù)都能夠?qū)懗山?jīng)典步驟傳遞函數(shù)乘積形式，需要指出是：經(jīng)典步驟是依據(jù)數(shù)學模型劃分，和組成系統(tǒng)實際步驟普通沒有一一對應(yīng)關(guān)系。一個簡單系統(tǒng)可能就是一個經(jīng)典步驟，而一個復雜步驟，其數(shù)學模型可能包含多個經(jīng)典步驟。第61頁61百分比步驟傳遞函數(shù)1.百分比步驟實際中分壓器、測速發(fā)電機、忽略彈性變形后杠桿以及不考慮非線性和慣性電子放大器等都能夠近似地認為是百分比步驟。百分比步驟輸出量與輸入量成一定百分比，時域中數(shù)學模型是一個代數(shù)方程第62頁62積分步驟傳遞函數(shù)2.積分步驟積分步驟輸出量是輸入量積分。時域中輸出量和輸入量之間關(guān)系表示為在單位階躍輸入信號，即或作用下，積分步驟輸出響應(yīng)如圖2-10（a）所表示，輸出隨時間改變直線上升。積分步驟在處有一個極點，在復平面上用“×”表示,見圖2-10（b）。第63頁633.慣性步驟T為慣性步驟時間常數(shù)

一階慣性步驟輸出量和輸入量之間關(guān)系為一階慣性步驟傳遞函數(shù)為式中，第64頁64慣性步驟階躍響應(yīng)是單調(diào)上升是非周期過程，因而也稱慣性步驟為非周期步驟。圖2-11慣性步驟(b)×0-1/T0tr(t)0.632斜率1/T

r(t)y(t)1(a)[s]j在單位階躍輸入信號，即或作用下，一階慣性步驟輸出響應(yīng)y(t)如圖2-11（a）所表示，y(t)上升過程是非周期，因而也稱一階慣性步驟為非周期步驟。一階慣性步驟在s平面上極點為，見圖2-11（b）。

第65頁654.二階振蕩步驟式中,ζ-阻尼系數(shù)或阻尼比;T-時間常數(shù);二階步驟輸出量與輸入量之間關(guān)系為二階步驟傳遞函數(shù)或：:為無阻尼自然振蕩頻率時，二階步驟是兩個慣性步驟傳遞函數(shù)乘積，而當時，二階步驟在單位階躍輸入信號作用下輸出響應(yīng)如圖2-12（a）所表示第66頁66此時二階步驟輸出量展現(xiàn)衰減振蕩形式，二階振蕩步驟所以得名。二階振蕩步驟極點在s平面上位置如圖2-12（b）所表示。圖2-12振蕩步驟（a）0tr(t)y(t)r(t)y(t)××0（b）j[s]第67頁675.微分步驟對應(yīng)傳遞函數(shù)：微分步驟特點是輸出量與輸入量導數(shù)成百分比關(guān)系。按方程式不一樣，微分步驟有三種，即純微分步驟、一階微分步驟（也叫百分比微分步驟）和二階微分步驟。它們微分方程分別為

對應(yīng)傳遞函數(shù)：第68頁68微分步驟傳遞函數(shù)只有零點而無極點。純微分步驟零點為0，一階微分步驟零點是一個實數(shù)而二階微分步驟零點是一對共軛復數(shù)。因為微分步驟輸出量與輸入量各階導數(shù)相關(guān)，所以能夠預(yù)示輸入信號改變趨勢，經(jīng)常被用來改進控制系統(tǒng)動態(tài)性能。純微分步驟在實際中是得不到，因為在實際系統(tǒng)或元件中慣性是普遍存在，所以實際微分步驟常帶有慣性。其傳遞函數(shù)為第69頁69在單位階躍輸入信號作用下，理想純微分步驟和實際純微分步驟輸出響應(yīng)分別如圖2-13（a）、（b）所表示。圖2-13純微分步驟階躍響應(yīng)（a）（b）y(t)y(t)圖2-14RC微分電路圖2-14所表示RC電路傳遞函數(shù)為式中，T=RC為電路時間常數(shù)；顯然只有當T足夠小時，電路才近似為純微分步驟。

第70頁706.延遲步驟延遲步驟輸出量在經(jīng)過延遲時間后復現(xiàn)輸入量τ圖2-15延遲步驟輸入和輸出響應(yīng)過程控制系統(tǒng)中，燃料從輸入口到輸出口有傳輸時間，介質(zhì)壓力和質(zhì)量在管道中傳輸有傳輸延遲，在晶閘管整流裝置中，晶閘管一旦被觸發(fā)，就有一段失控時間，在這段時間內(nèi)即便控制電壓發(fā)生改變，也不會影響輸出，只有在晶閘管下一個觸發(fā)脈沖到來時，才能反應(yīng)新控制作用等，都能夠看成是延遲步驟。

第71頁71結(jié)構(gòu)圖是動態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡稱，也稱方框圖等。結(jié)構(gòu)圖利用方框、信號線、信號相加點和信號分支點等符號直觀地反應(yīng)控制系統(tǒng)組成、控制系統(tǒng)各組成部分之間連接關(guān)系以及系統(tǒng)中信號傳遞方向和運算關(guān)系等。經(jīng)過結(jié)構(gòu)圖簡化，能夠取得系統(tǒng)傳遞函數(shù)，也能夠求取系統(tǒng)在任意輸入信號作用下輸出響應(yīng)。2-3結(jié)構(gòu)圖

第72頁722.4.1結(jié)構(gòu)圖繪制在如圖1-3所表示控制系統(tǒng)方框圖中，將系統(tǒng)各步驟傳遞函數(shù)填寫在對應(yīng)方框中，得到就是傳遞函數(shù)方框圖，即結(jié)構(gòu)圖。結(jié)構(gòu)圖是小到組成系統(tǒng)元件、裝置大到整個控制系統(tǒng)數(shù)學模型圖形化表示，其中填寫了傳遞函數(shù)方框稱為一個函數(shù)框，函數(shù)框和與它相連信號線組成了結(jié)構(gòu)圖基本單元，圖2-16所表示結(jié)構(gòu)圖基本單元反應(yīng)變量變換關(guān)系為圖2-16結(jié)構(gòu)圖基本單元第73頁73繪制控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖除利用以上方法外，也可利用系統(tǒng)各組成部分微分方程得到，其普通步驟為：1）列寫控制系統(tǒng)各組成部分微分方程，零初始條件進行拉氏變換，寫出表示各步驟輸出量與輸入量之間關(guān)系方程式。輸出量寫在等式左邊，輸入量寫在等式右邊。輸入量要在最少一個方程右邊出現(xiàn)，除輸入量外，在某方程右邊出現(xiàn)中間變量，一定要在另外方程左邊出現(xiàn)。2）依據(jù)上述關(guān)系繪制結(jié)構(gòu)圖基本單元。3）將各結(jié)構(gòu)圖基本單元相同信號線連接起來，即可取得控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。第74頁74例2-10圖2-17所表示兩級RC濾波網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)電路。繪制該電氣網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。需要注意是：結(jié)構(gòu)圖是數(shù)學模型圖形化表示，只反應(yīng)信號傳遞和運算關(guān)系，并不代表真實系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)。建模過程中，中間變量選擇不一樣，將造成系統(tǒng)有不一樣結(jié)構(gòu)圖，但由結(jié)構(gòu)圖簡化得到系統(tǒng)輸入量輸出量之間關(guān)系是相同。圖2-17兩級RC串聯(lián)電路第75頁75（2-69）即解：引入中間變量利用運算電路和運算阻抗概念，從輸入量開始列寫各變量拉氏變換像函數(shù)之間關(guān)系式第76頁76圖中用虛線框框起來部分是式（2-69）中與各關(guān)系式對應(yīng)結(jié)構(gòu)圖。圖2-18RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖繪制各關(guān)系式對應(yīng)結(jié)構(gòu)圖，并將相同信號線連接起來可得圖2-17所表示兩級RC濾波網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)電路結(jié)構(gòu)圖，如圖2-18所表示，圖中用虛線框框起來部分是式（2-69）中與各關(guān)系式對應(yīng)結(jié)構(gòu)圖。第77頁77結(jié)構(gòu)圖清楚地反應(yīng)了控制系統(tǒng)中各變量之間關(guān)系，利用結(jié)構(gòu)圖求其系統(tǒng)傳遞函數(shù)時，總是要對結(jié)構(gòu)圖進行簡化，簡化到一個輸入量和一個輸出量之間只剩一個函數(shù)方框時，方框里傳遞函數(shù)就是對應(yīng)輸入量和輸出量之間傳遞函數(shù)。結(jié)構(gòu)圖簡化應(yīng)遵照等效標準，即變換前后各變量之間數(shù)學關(guān)系保持不變。結(jié)構(gòu)圖等效變換數(shù)學實質(zhì)是在結(jié)構(gòu)圖上進行運算，消去中間變量。簡化過程表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)圖上是步驟合并以及信號相加點和信號分支點消除。2.4.2結(jié)構(gòu)圖簡化第78頁78控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中，步驟連接方式主要有三種基本形式，即串聯(lián)連接、并聯(lián)連接和反饋連接。1.步驟合并1）串聯(lián)步驟合并

圖2-19結(jié)構(gòu)圖中幾個步驟按照信號流向首尾相連，前一步驟輸出作為后一步驟輸入，這種連接方式稱為串聯(lián)連接。圖2-19所表示為兩步驟串聯(lián)情況第79頁79因為所以，串聯(lián)連接步驟合并成為一個步驟，等效傳遞函數(shù)為

此結(jié)論能夠推廣到n個步驟串聯(lián)情況，等效步驟傳遞函數(shù)為各串聯(lián)步驟傳遞函數(shù)乘積。第80頁80在結(jié)構(gòu)圖中，總是認為步驟間是沒有負載效應(yīng)，即步驟傳遞函數(shù)不因帶負載而改變。若實際步驟間存在有負載效應(yīng)，建立結(jié)構(gòu)圖時，就應(yīng)考慮帶負載后傳遞函數(shù)。比如圖2-17所表示兩級RC網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)電路，圖2-18是該電路結(jié)構(gòu)圖，圖中由后一級信號I2引出到前一級I1相加點處反饋就反應(yīng)了負載對前一級影響，所以，在求取該網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)時必須將后級作為前級負載一同考慮，而不能直接將各自傳遞函數(shù)乘積作為這兩個步驟串聯(lián)后結(jié)果。第81頁81當兩個或多個步驟含有相同輸入量，而總輸出量為各步驟輸出量代數(shù)和時，稱步驟為并聯(lián)連接，如圖2-20所表示。2）并聯(lián)步驟合并

圖2-20由此可見，兩個步驟并聯(lián)等效傳遞函數(shù)等于兩個步驟傳遞函數(shù)代數(shù)和。第82頁82此結(jié)論可推廣到n個步驟并聯(lián)，即n個步驟并聯(lián)后等效傳遞函數(shù)為并聯(lián)各步驟傳遞函數(shù)代數(shù)和。第83頁83將步驟輸出量反送到輸入端與輸入信號進行比較后作為步驟輸入量，就組成了反饋連接，如圖2-21(a)所表示。

3）反饋連接步驟合并

圖2-21圖2-21(a)中B(s)為反饋信號，E(s)為偏差信號。假如反饋信號在相加點處取“+”號，稱為正反饋；取“-”號，稱為負反饋。第84頁84步驟反饋連接后，信號傳遞形成了閉合回路。通常把信號輸入點R(s)到信號輸出點Y(s)通道稱為前向通道，前向通道上全部步驟傳遞函數(shù)之積定義為前向通道傳遞函數(shù)；把輸出信號Y(s)到反饋信號B(s)通道稱為反饋通道，反饋通道上全部步驟傳遞函數(shù)之積定義為反饋通道傳遞函數(shù)。把偏差信號E(s)到輸出信號Y(s)再經(jīng)反饋信號B(s)到偏差信號E(s)封閉通道稱為回路，回路上全部步驟傳遞函數(shù)之積定義為回路傳遞函數(shù)。第85頁85負反饋是自動控制系統(tǒng)最基本結(jié)構(gòu)形式，當反饋極性為負時，偏差信號等于輸入信號與反饋信號之差，有整理可得系統(tǒng)反饋后閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)為同理可得，正反饋時系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)為第86頁86通常將反饋信號B(s)與偏差信號E(s)之比，定義為開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)，即顯然，開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)是前向通道傳遞函數(shù)G(s)與反饋通道傳遞函數(shù)H(s)乘積。由此可見，反饋控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)、開環(huán)傳遞函數(shù)和前向通道傳遞函數(shù)符合下面關(guān)系第87頁87若反饋步驟，則稱為單位反饋單位反饋連接閉環(huán)傳遞函數(shù)為

（2-74）從結(jié)構(gòu)圖能夠看出，并聯(lián)連接步驟合并和反饋連接步驟合并有著相同結(jié)果，就是消除了結(jié)構(gòu)圖中信號相加點和信號分支點。

第88頁88上述三種步驟合并方法是簡化結(jié)構(gòu)圖有效路徑，但在幾乎全部系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中，都會存在有信號相加點和分支點，這就使得結(jié)構(gòu)圖中步驟之間不完全符合上述三種連接方式，甚至出現(xiàn)環(huán)路相扣情況，造成無法利用上述等價關(guān)系來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖簡化。經(jīng)過信號相加點、分支點移動和交換能夠使得步驟之間含有經(jīng)典串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接形式，最終將結(jié)構(gòu)圖簡化為一個輸入量和一個輸出量之間只有一個傳遞函數(shù)方框形式，取得系統(tǒng)傳遞函數(shù)。信號相加點、分支點移動和交換也必須遵照等效標準。2.信號相加點和信號分支點移動和交換第89頁89圖2-221）信號相加點移動

__移動支路上增加對應(yīng)步驟第90頁902）信號分支點移動

__移動支路上增加對應(yīng)步驟圖2-23第91頁91圖2-243）相鄰信號相加點和相鄰信號分支點位置交換相鄰信號相加點能夠交換位置相鄰信號相加點也能夠交換位置第92頁92結(jié)構(gòu)圖簡化關(guān)鍵是解除環(huán)路、消除信號相加點和分支點，所以，在結(jié)構(gòu)圖簡化過程中首先要設(shè)法使交叉環(huán)路分開，或形成大環(huán)套小環(huán)形式。因為結(jié)構(gòu)圖上相鄰分支點能夠彼此交換，相鄰信號相加點也能夠彼此交換，而當分支點與相加點相鄰時，它們位置是不能作簡單交換，因而解除交叉環(huán)路最有效方法是相加點朝著有相加點方向移動，分支點朝著有分支點方向移動，然后將相鄰相加點或相鄰分支點交換位置，即可將交叉環(huán)路解開。由此可見，結(jié)構(gòu)圖變換前后所滿足等效變換標準，可簡單總結(jié)為以下兩點：

①

前向傳遞函數(shù)不變；②

回路傳遞函數(shù)不變。第93頁93例2-12含有多反饋回路系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-25所表示，試利用等效變換方法簡化結(jié)構(gòu)圖，求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)Y(s)/R(s)。解：圖2-25結(jié)構(gòu)圖含有多重反饋連接，反饋連接不存在交叉現(xiàn)象，可采取由內(nèi)而外方法，逐層合并反饋連接步驟。圖2-25第94頁94（2）串聯(lián)連接步驟合并以下列圖所表示（1）內(nèi)環(huán)正反饋連接步驟合并以下列圖所表示第95頁95（3）并聯(lián)連接步驟合并以下列圖所表示（4）反饋連接步驟合并以下列圖所表示第96頁96例2-13含有針對給定賠償控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-27所表示，Y(s)/R(s)。解：（1）相加點a后移與b點交換，并將串聯(lián)步驟合并（2）分別合并并聯(lián)連接步驟和反饋連接步驟（3）合并串聯(lián)連接步驟，過程以下圖2-27第97頁97圖2-28第98頁98例2-14簡化圖2-29所表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，寫出系統(tǒng)輸出Y(s)表示式。圖2-29第99頁99圖2-30解：（1）R(s)單獨作用下，等效系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-30所表示第100頁100（2）N1(s)單獨作用下，等效系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-31所表示第101頁101圖2-32（3）N2(s)單獨作用下，等效系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-32所表示（4）依據(jù)疊加原理，3個輸入共同作用下系統(tǒng)輸出為第102頁1022-5信號流圖信號流圖是一個表示線性代數(shù)方程組圖示方法。用來描述線性控制系統(tǒng)時，信號流圖和結(jié)構(gòu)圖一樣，它也是一個描述系統(tǒng)各部分之間信號傳遞關(guān)系數(shù)學圖示模型，含有直觀形象特點。但信號流圖又與結(jié)構(gòu)圖不一樣，它只能用來描述線性系統(tǒng)。結(jié)構(gòu)圖經(jīng)過等價變換能夠得到控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，但對于復雜控制系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖簡化過程是一件很復雜事，甚至會出現(xiàn)找不到有效方法能夠解除交叉環(huán)路。對于信號流圖，能夠利用梅遜（Mason）公式直接求取系統(tǒng)輸入輸出變量之間傳遞函數(shù)而無須對信號流圖進行簡化。第103頁103信號流圖是由節(jié)點和支路兩種基本元素組成信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。其中，節(jié)點代表信號或變量用符號“o”表示，節(jié)點之間用有向線段連接，稱為支路，支路含有有向性和有權(quán)性。信號流圖基本單元與結(jié)構(gòu)圖中函數(shù)框等價，如圖2-36所表示，它們表示了一樣變量變換關(guān)系，即2.5.1信號流圖概念

圖2-36第104頁1041）輸入節(jié)點：只有輸出支路節(jié)點，代表自變量或外部輸入變量，也稱源節(jié)點，如圖2-37中節(jié)點X0。1.節(jié)點類型2）輸出節(jié)點：只有輸入支路節(jié)點，代表被控量或輸出變量，也稱匯節(jié)點，如圖2-37中X6。圖2-37第105頁1053）混合節(jié)點：現(xiàn)有輸入支路又有輸出支路節(jié)點，代表中間變量，如圖2-37中節(jié)點X1~X5?；旌瞎?jié)點兼有結(jié)構(gòu)圖中信號相加點和信號分支點功效?；旌瞎?jié)點處信號是全部輸入支路信號和，而由混合節(jié)點引出全部信號是同一個信號。任何一個混合節(jié)點都能夠經(jīng)過增加一條單位傳輸輸出支路，而變成輸出節(jié)點如圖2-37中節(jié)點X6。第106頁1062.通道及通道傳輸1）通道：從一個節(jié)點出發(fā)沿著支路箭頭方向經(jīng)過各個相連支路抵達另外一個節(jié)點路徑，通道經(jīng)過各支路傳輸乘積稱為通道傳輸或增益。2）前向通道：從源節(jié)點到匯節(jié)點、且每個節(jié)點只經(jīng)過一次通道，前向通道上各支路傳輸乘積稱為前向通道傳輸或增益。第107頁1073.回路及回路增益1）回路：起點和終點為同一個節(jié)點、且每個節(jié)點只經(jīng)過一次通道，也稱回環(huán)或反饋環(huán)，回路上各支路傳輸乘積稱為回路傳輸或回路增益。2）不接觸回路：沒有任何公共節(jié)點回路。第108頁108從結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖時，能夠把結(jié)構(gòu)圖中變量和函數(shù)方框分別對應(yīng)為信號流圖中節(jié)點和支路，傳遞函數(shù)就是支路傳輸。普通應(yīng)先確定節(jié)點，確定節(jié)點方法是：對應(yīng)輸入變量設(shè)一個輸入節(jié)點，對應(yīng)輸出變量設(shè)一個輸出節(jié)點，然后在結(jié)構(gòu)圖每個分支點處和每個相加點之后各設(shè)一個節(jié)點，按照與結(jié)構(gòu)圖上位置相對應(yīng)標準排列；再依據(jù)變量之間關(guān)系把連接節(jié)點支路畫出來。2.5.2信號流圖繪制

信號流圖能夠由結(jié)構(gòu)圖繪制，也能夠由系統(tǒng)微分方程繪制。第109頁109由系統(tǒng)微分方程式繪制信號流圖時，首先經(jīng)拉氏變換將微分方程化成s域中代數(shù)方程，再給每個變量指定一個節(jié)點，并按照系統(tǒng)中變量因果關(guān)系，從左向右按次序排列，最終依據(jù)數(shù)學表示式用標明了方向和增益支路將各個節(jié)點連接起來，系統(tǒng)信號流圖就繪制完成了。畫出系統(tǒng)信號流圖后，就能夠利用梅遜公式直接求出各變量之間傳遞函數(shù)。第110頁110例2-15已知描述線性系統(tǒng)代數(shù)方程組為假設(shè)變量X0(s)為輸入變量；變量X4(s)為輸出變量，繪制描述線性系統(tǒng)信號流圖。解：式（2-84）中，變量X0只出現(xiàn)在等式右端，是自變量，與之對應(yīng)是輸入節(jié)點，畫在信號流圖最左邊，然后按照變量之間導出關(guān)系將與各變量對應(yīng)節(jié)點按從左到右次序標出來，再按方程式表示關(guān)系，畫出標明了方向和增益支路將各節(jié)點連接起來，可得信號流圖如圖2-38所表示（2-84）

或第111頁111圖2-38第112頁112圖2-39例2-16兩級RC網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)電路結(jié)構(gòu)圖如圖2-39所表示，依據(jù)結(jié)構(gòu)圖繪制系統(tǒng)信號流圖解：圖2-40第113頁1132.5.3梅森公式

利用信號流圖求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)時，能夠無須簡化信號流圖，而是利用梅森增益公式直接求取輸入節(jié)點與輸出節(jié)點之間總傳輸，對于動態(tài)系統(tǒng)而言，這個總傳輸就是系統(tǒng)對應(yīng)輸入和輸出之間傳遞函數(shù)。第114頁114梅森增益公式n：從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點前向通道個數(shù)

：從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點第k條前向通道傳輸：特征式，計算公式為：：全部回路增益之和：全部兩兩互不接觸回路增益乘積之和：全部三個互不接觸回路增益乘積之和

：第k條前向通道特征余子式，即除去與第k條前向通道相接觸回路后特征式第115頁115例2-17控制系統(tǒng)信號流圖如圖2-41所表示，輸入節(jié)點R代表系統(tǒng)輸入量R(s)，輸出節(jié)點Y代表系統(tǒng)輸出量Y(s)，試用梅森公式計算R(s)與Y(s)之間傳遞函數(shù)G(s)解：輸入節(jié)點R和輸出節(jié)點Y之間只有一條前向通道，前向通道增益為圖2-41第116頁116信號流圖中有四個回路，這些回路增益分別為其中L1和L3是不接觸回路，不接觸回路增益乘積為特征式為圖2-41第117頁117沒有與前向通道不接觸回路，所以對于這條前向通道，特征式余子式為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為圖2-41第118頁1182-6利用MATLAB描述和求解系統(tǒng)數(shù)學模型依據(jù)數(shù)學描述方法不一樣，可建立不一樣形式數(shù)學模型。在經(jīng)典控制理論中，最慣用數(shù)學模型是傳遞函數(shù)，傳遞函數(shù)含有有理真分式、零-極點和部分分式等各種表示形式。不一樣表示形式之間存在一定等效關(guān)系，依據(jù)不一樣應(yīng)用場所實現(xiàn)不一樣形式數(shù)學模型轉(zhuǎn)換是必要第119頁1192.6.1利用MATLAB描述系統(tǒng)數(shù)學模型

假如系統(tǒng)數(shù)學模型能夠用以下傳遞函數(shù)表示則在MATLAB中，傳遞函數(shù)能夠方便地由其分子多項式系數(shù)和分母多項式系數(shù)所組成兩個向量惟一確定出來。即num=[b0,b1,…,bm];den=[1,a1,a2,…,an]當傳遞函數(shù)分子或分母由若干個多項式乘積表示時，它可由MATLAB提供多項式乘法運算函數(shù)conv()來處理，以取得分子多項式和分母多項式向量，此函數(shù)調(diào)用格式為：p=conv(p1,p2)第120頁120例2-18若系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試利用MATLAB求出其用分子和分母多項式表示傳遞函數(shù)。解：對于以上系統(tǒng)傳遞函數(shù)，能夠用MATLAB命令表示為>>num=4*[1,6,6];den=conv([1,0],conv([11],[1,3,2,5]));>>printsys(num,den)結(jié)果顯示：num/den=4s^2+24s+24------------------------------------------s^5+4s^4+5s^3+7s^2+5s第121頁121假如系統(tǒng)數(shù)學模型可用以下零極點模型表示那么，在MATLAB下，零極點模型能夠由零、極點和增益所組成列向量惟一確定出來。即Z=[z1;z2;…;zm];P=[p1;p2;…;pn];K=K第12