第二章膨脹波

第二章膨脹波第1頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1微擾動(dòng)的傳播當(dāng)彈丸在空氣中以超音速飛行或者超音速氣流圍繞固定的彈丸時(shí)，如圖所示，自彈丸頭部以及其他部位發(fā)出的暗線，都是擾動(dòng)傳播的結(jié)果。顯然，這種擾動(dòng)是由于氣流在彈體表面發(fā)生折轉(zhuǎn)而形成的，擾動(dòng)在超音速氣流中傳播開來就形成了這些暗線。隨著彈丸運(yùn)動(dòng)或者氣流流過彈丸，彈丸表面各點(diǎn)不斷發(fā)出擾動(dòng)，我們把這種連續(xù)發(fā)出擾動(dòng)的點(diǎn)叫擾動(dòng)源，將連續(xù)地發(fā)出微擾動(dòng)的點(diǎn)叫微擾動(dòng)源?，F(xiàn)在考慮在靜止均勻的氣體中以速度V運(yùn)動(dòng)的微擾動(dòng)源，其微擾動(dòng)的傳播速度為a，在某一瞬時(shí)t擾動(dòng)的傳播情況分以下四種：第2頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1微擾動(dòng)的傳播一、點(diǎn)擾動(dòng)源的速度為零擾動(dòng)以o點(diǎn)為球心往四面八方傳播，如果擾動(dòng)源以每隔一秒發(fā)出一個(gè)擾動(dòng)，那么在t秒末就有t個(gè)同心的擾動(dòng)球面。當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，擾動(dòng)就會(huì)遍及于全流場(chǎng)，如圖(a)所示。二、點(diǎn)擾動(dòng)源的速度為亞音速在t瞬時(shí)，擾動(dòng)源運(yùn)動(dòng)到o點(diǎn)，要找在該瞬時(shí)擾動(dòng)的傳播情況。就是要找t以前擾動(dòng)源所發(fā)出的擾動(dòng)到t時(shí)傳播的情況。當(dāng)V<a時(shí)，擾動(dòng)源發(fā)出的擾動(dòng)，連續(xù)地布滿全部空間。第3頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1微擾動(dòng)的傳播三、點(diǎn)擾動(dòng)源的速度等于音速用相樣的方法可以作出t瞬時(shí)擾動(dòng)的傳播圖形。因?yàn)閂=a，2V=2a…所得的擾動(dòng)球面均通過o點(diǎn)。且在o點(diǎn)與垂直于V的平面相切(見圖c)，即擾動(dòng)不能通過此平面，只能傳播到擾動(dòng)源所經(jīng)過的那一邊。該平面以左為作用區(qū)或擾動(dòng)區(qū)，以右為寂靜區(qū)。當(dāng)V=a時(shí)，擾動(dòng)連續(xù)地布滿以通過擾動(dòng)源垂直于V的平面為界的半空間。第4頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1微擾動(dòng)的傳播四、點(diǎn)擾動(dòng)源的速度大于音速用同樣的方法可以作出在t瞬時(shí)擾動(dòng)的傳播圖形，因?yàn)閂>a,2V>2a……所有的擾動(dòng)球面均與一圓錐面相切。此圓柱面以o點(diǎn)為頂點(diǎn)，以V為軸，包圍擾動(dòng)源所經(jīng)過的區(qū)域(如圖d)。由此可見，當(dāng)V>a時(shí)，擾動(dòng)連續(xù)布滿圓錐形空間。第5頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求圓錐的母線與其軸的夾角μ，即圓錐的半頂角。由圖看出2.1微擾動(dòng)的傳播OA為擾動(dòng)空間和未擾動(dòng)空間的分界面，叫微擾動(dòng)波（馬赫波），μ叫微擾動(dòng)角（馬赫角），也就是速度V與微擾動(dòng)波的夾角?？偨Y(jié)：(1)當(dāng)V≥a時(shí)才出現(xiàn)馬赫角；當(dāng)V=a時(shí)μ=π/2；當(dāng)V>a時(shí)，。(2)微弱擾動(dòng)傳播的區(qū)域：M<1時(shí)，微弱擾動(dòng)可傳播到整個(gè)區(qū)域；M≥1時(shí)，微弱擾動(dòng)可傳播到馬赫錐以內(nèi)的區(qū)域，馬赫波和馬赫錐只在超音速流場(chǎng)中存在。第6頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

2.2膨脹波的形成及其特點(diǎn)一、膨脹波的形成設(shè)有流速為M的定常直勻超音速氣流沿直壁AOB由左向流來，如圖所示，略去壁面的摩擦作用，直壁AOB和氣流完全平行，它對(duì)氣流是不產(chǎn)生任何擾動(dòng)的?，F(xiàn)假定在壁面的o點(diǎn)有一微小毛疵，這毛疵會(huì)對(duì)流場(chǎng)產(chǎn)生一個(gè)極微弱的擾動(dòng)，擾動(dòng)的傳播線是馬赫線OL，OL和壁面之間的夾角是對(duì)應(yīng)于M的馬赫角μ。第7頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2膨脹波的形成及其特點(diǎn)現(xiàn)在若壁面在O點(diǎn)不是一小毛疵，而是一微小外凸角dδ角。此時(shí)沿壁面流動(dòng)的氣流也就隨著向外折轉(zhuǎn)一個(gè)dδ角，繼續(xù)沿壁面流動(dòng)，折轉(zhuǎn)點(diǎn)O為擾動(dòng)源，氣流經(jīng)O點(diǎn)產(chǎn)生一道微弱擾動(dòng)波OL，弱擾動(dòng)波與波前氣流的夾角也為μ，并且。第8頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2膨脹波的形成及其特點(diǎn)這說明超音速氣流受外凸擾動(dòng)時(shí)，流管截面積是增大的，此時(shí)氣流速度必然要加速，同時(shí)壓強(qiáng)、溫度、密度等參數(shù)相應(yīng)地降低。因此，超音速氣流流經(jīng)由微小外折角所引起的微弱擾動(dòng)波是膨脹波。其中dδ—?dú)饬髡坜D(zhuǎn)角，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)。在圖所示的情況下，dδ<0,故∠BOL=μ-dδ。由于,所以dA>0。氣流向外折轉(zhuǎn)時(shí)其截面面積要發(fā)生變化，變化量dA為第9頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2膨脹波的形成及其特點(diǎn)設(shè)想超音速氣流在O點(diǎn)外折了一個(gè)微小角度dδ后，在O1、O2等一系列點(diǎn)，繼續(xù)外折一系列微小的角度dδ1、dδ2‥‥‥。在壁面的每一個(gè)折轉(zhuǎn)處，都產(chǎn)生一道膨脹波O1L1、O2L2‥‥‥，個(gè)膨脹波與波前氣流方向的夾角為μ1μ2

‥‥‥，因氣流每經(jīng)過一道膨脹波，M數(shù)都有所增加，那么μ則逐漸減小，膨脹波沿流線越來越傾斜，是發(fā)散形的。根據(jù)極限的概念，曲線可以看成是由無數(shù)段微元折線所組成的。因此，超音速氣流繞外凸曲壁流動(dòng)的問題與上述問題的本質(zhì)是相同的。曲壁上每一點(diǎn)都相當(dāng)于一個(gè)折點(diǎn)，都有一道膨脹波，氣流每經(jīng)過一條膨脹波就折轉(zhuǎn)一個(gè)微小的角度dδ，參數(shù)就發(fā)生一個(gè)微小的變化。經(jīng)過無限多個(gè)微小量的變化后，參數(shù)將累積發(fā)生一個(gè)有限值的變化，并折轉(zhuǎn)一個(gè)有限的角度δ。第10頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.定常直勻超音速氣流繞外凸壁流動(dòng)時(shí)，在壁面折轉(zhuǎn)處必定產(chǎn)生一扇形膨脹波系，此扇形膨脹波系是由無限多的馬赫波所組成。2.氣流經(jīng)過膨脹波系時(shí)氣流參數(shù)是連續(xù)的變化(速度增大，壓強(qiáng)、溫度、密度相應(yīng)減小)。3.氣流穿過膨脹波系的流動(dòng)過程是等熵的膨脹過程。氣流穿過膨脹波系后，將平行于壁面流動(dòng)，即氣流方向朝著離開波面的方向轉(zhuǎn)折。4.沿著膨脹波系中的任意一條馬赫波，所有的氣流參數(shù)相同，而且馬赫波都是直線。5.對(duì)于給定的起始條件，膨脹波系中的任意一點(diǎn)的速度大小只與該點(diǎn)的氣流方向有關(guān)或轉(zhuǎn)折角的大小有關(guān)。二、超音速氣流繞外凸壁流動(dòng)的特點(diǎn)2.2膨脹波的形成及其特點(diǎn)第11頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3膨脹波計(jì)算公式（一）膨脹波前后氣流速度變化與折轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系設(shè)超音速氣流以速度V流過一具有微小外凸角dδ的外凸壁，在折轉(zhuǎn)處產(chǎn)生與波前氣流方向V成μ角的膨脹波(如圖)。在波上取一控制區(qū)“aa1bb1”，aa1和bb1與波面平行且無限接近，而ab1和a1b與波面垂直。波前氣流參數(shù)為M、V、ρ、p、T，氣流經(jīng)過此波后折轉(zhuǎn)了dδ角。波后氣流參數(shù)為M1=M+dM，V1=V+dV，p1=p+dp，ρ1=ρ+dρ，T1=T+dT。為了分析方便．將速度V、V1分解成平行OL被面的Vt、V1t與垂直于OL波面的Vn、V1n。設(shè)m表示單位時(shí)間內(nèi)通過OL波面的單位面積的質(zhì)量。一、超音速氣流小角向外折轉(zhuǎn)（）第12頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)連續(xù)方程展開并略去二階小量，得或作用在控制面上的力在法向的分力為根據(jù)動(dòng)量方程有(a)2.3膨脹波計(jì)算公式第13頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將代入上式，得將(a)代入上式得(b)由于，故有說明膨脹波前氣流法向分速必等于當(dāng)?shù)匾羲佟?.3膨脹波計(jì)算公式第14頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于在平行波面方向上沒有壓強(qiáng)變化，因此作用在控制區(qū)表面上的合力在該方向的分量為零。根據(jù)動(dòng)量方程即上式說明氣流經(jīng)過膨脹波時(shí)，在平行于波面方向上的分速Vt保持不變?？梢娛街衐δ<0，將cos(μ-dδ)展開得由于dδ為無限小量，故，。(c)(d)(e)2.3膨脹波計(jì)算公式第15頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因故代入（e）式有此式就是超音速氣流沿外凸壁流動(dòng)的基本微分方程，也是膨脹波前后的流速變化關(guān)系式。二、膨脹波前后壓強(qiáng)、密度、溫度等變化與轉(zhuǎn)折角流速變化關(guān)系式1.壓強(qiáng)關(guān)系式根據(jù)微分形式的動(dòng)量方程可求得超音速氣流流過微小外凸角dδ后，膨脹前后的壓強(qiáng)變化關(guān)系式。2.3膨脹波計(jì)算公式第16頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一維形式動(dòng)量方程或者將式代入上式，得2.密度關(guān)系式根據(jù)音速公式可得膨脹波前后密度變化關(guān)系式所以2.3膨脹波計(jì)算公式第17頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.溫度關(guān)系根據(jù)音速公式可得膨脹波前后密度變化關(guān)系式由得代入壓強(qiáng)關(guān)系式和密度關(guān)系式得說明：外凸角dδ越大，超音速氣流折轉(zhuǎn)后的壓強(qiáng)、密度、溫度下降越多；氣流M數(shù)增大，等式右邊分子項(xiàng)要隨增大，而分母項(xiàng)要隨氣流M數(shù)增大，因此壓強(qiáng)、密度、強(qiáng)度降低較或的比例為小。2.3膨脹波計(jì)算公式第18頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3膨脹波計(jì)算公式二、超音速氣流大角向外折轉(zhuǎn)由前面的分析知，超音速氣流大角向外折轉(zhuǎn)時(shí)，在折轉(zhuǎn)處要產(chǎn)生扇形膨脹波系。氣流通過扇形區(qū)域過程，連續(xù)地向外折轉(zhuǎn)，氣流參數(shù)連續(xù)變化，所以此時(shí)膨脹過程可看作是等熵過程。為了導(dǎo)出氣流的方向角δ和M數(shù)之間的變化。首先從超音速氣流沿外凸壁流動(dòng)的基本微分方程出發(fā)，即：為了積分上式。要知道V和M之間的關(guān)系，利用V=aM取對(duì)數(shù)積分得第19頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3膨脹波計(jì)算公式而絕能等熵過程時(shí)，a0=常數(shù)，對(duì)上式積分整理得代入基本微分方程得積分得第20頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3膨脹波計(jì)算公式令于是式中δ為氣流流動(dòng)的方向角，即氣流速度方向?qū)τ趚軸正向的傾角(規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎?，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù))。

ν(M)稱為普朗特-邁耶(Prandtl-Meyer)函數(shù)，其值取決于氣體性質(zhì)(k值)和M數(shù)。顯然，ν(M)的單位是角度單位。至于積分常數(shù)C_,可由已知的未被擾動(dòng)氣流的方向角δ1和Ml數(shù)來確定。即則有第21頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3膨脹波計(jì)算公式若M1=1得由此可見，普朗特-邁耶函數(shù)表示由M=1氣流膨脹到M數(shù)大于1時(shí)的氣流折轉(zhuǎn)角，稱之為普朗特-邁耶角。當(dāng)最終M數(shù)為無限大時(shí)，普朗特-邁耶角為最大值。第22頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3膨脹波計(jì)算公式

如果超音速氣流沿著如圖所示的外凸壁面流動(dòng)，則在折轉(zhuǎn)處會(huì)產(chǎn)生右伸膨脹波系(由無限多的右伸馬赫線所組成)。此時(shí)氣流穿過每道膨脹波，折轉(zhuǎn)角dδ是正的，因此用上述相同的方法可導(dǎo)得積分得或第23頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3膨脹波計(jì)算公式

由上式可見，在給定波前的氣流參數(shù)的條件下，只需知道壁面的折轉(zhuǎn)角就可確定ν(M2)，從而就可確定波后氣流的馬赫數(shù)M2。最后即可確定波后其它的氣流參數(shù)。因此超音速氣流繞外凸壁流動(dòng)時(shí)，氣流參數(shù)值的總變化只決定于波前氣流參數(shù)和總共的折轉(zhuǎn)角度，而與氣流的折轉(zhuǎn)方式無關(guān)。即不論是一次折轉(zhuǎn)，還是多次折轉(zhuǎn)，也不論是壁面突然折轉(zhuǎn)還是經(jīng)曲壁的逐漸折轉(zhuǎn)，只要總的折轉(zhuǎn)角度相同，其最后的參數(shù)值是相同的。設(shè)膨脹波系后的氣流方向角為δ2，馬赫數(shù)為M2。則對(duì)于右伸膨脹波系為第24頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3膨脹波計(jì)算公式例題：M數(shù)為1的均勻空氣流繞外凸壁膨脹流動(dòng)，氣流按逆時(shí)針方向折轉(zhuǎn)20，計(jì)算經(jīng)膨脹波系后的最終M數(shù)。。解：因?yàn)槌跏紒砹鱉1=1，故，而氣流穿過膨脹波系為逆時(shí)針方向折轉(zhuǎn)，故此膨脹波系為右伸膨脹波系，有將帶入上式，則得查表得第25頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4微弱壓縮波

如圖所示，超音速直勻氣流沿內(nèi)凹壁AOB流動(dòng)，壁面在O點(diǎn)向內(nèi)折轉(zhuǎn)一個(gè)微小的角度dδ，于是在折轉(zhuǎn)處將產(chǎn)生一道馬赫波OL，氣流穿過波OL流動(dòng)方向向內(nèi)折轉(zhuǎn)了一個(gè)微小的角度dδ（dδ>0）與壁面OB相平行，氣流參數(shù)也發(fā)生一個(gè)微小的變化。從圖上所示流管截面積的變化可以看出，通過波OL時(shí)，流管截面積是減小的。即這說明超音速氣流受內(nèi)凹擾動(dòng)時(shí)，流管截面積變小，此時(shí)壓強(qiáng)、溫度、密度等參數(shù)將相應(yīng)地增大。這種微弱擾動(dòng)波就是微弱壓縮波。第26頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4微弱壓縮波但是超音速氣流大角向外折轉(zhuǎn)的處理方法對(duì)大角向內(nèi)折轉(zhuǎn)是不適用的。這是因?yàn)闅饬鹘?jīng)壓縮波是減速的，這樣，每經(jīng)過一道壓縮波，氣流已向內(nèi)折轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，再加上μ角又是逐漸加大的，各壓縮波將會(huì)相交聚集而成強(qiáng)壓縮波(即激波)。有關(guān)激波的理論將在下一章詳細(xì)研究。關(guān)于微弱壓縮波后氣流參數(shù)的計(jì)算，如果是左伸微弱壓縮波仍用式：如果是右伸微弱壓縮波仍用式第27頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5波的反射和相交上面討論的都是在流場(chǎng)中只存在單波系(左伸波系或右伸波系)的流動(dòng)情況。但實(shí)際情況是，往往同時(shí)存在著左伸和右伸波系的問題。例如：膨脹波(或微弱壓縮波)在固壁面或自由邊界面上的反射、兩族膨脹波(或微弱壓縮波)的相交等問題。

為了簡(jiǎn)化對(duì)問題的討論，把每個(gè)微小角度的折轉(zhuǎn)所引起的膨脹波系用一條膨脹波來替代。這條膨脹波的方向由波前氣流方向和波前馬赫角來決定(當(dāng)然也可以較為準(zhǔn)確地用波前后平均氣流方向和波前后平均馬赫角來決定)，見圖（a）。如果δ角較大，則實(shí)際存在的扇形膨脹區(qū)較大，再用一條波替代就欠準(zhǔn)確，此時(shí)可把δ角分成幾等分，由幾條膨脹波來替代，見圖（b）。第28頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5波的反射和相交在每條膨脹波之間的狹小扇形區(qū)域中氣流參數(shù)認(rèn)為是均勻的，即氣流參數(shù)的變化僅在膨脹波上發(fā)生。換句話說，每條膨脹波對(duì)應(yīng)著一個(gè)氣流折轉(zhuǎn)角，在相鄰兩條膨脹波之間的區(qū)域中，氣流的普朗特-邁耶角保持不變。第29頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5波的反射和相交一、膨脹波的相交如圖所示，氣流在兩壁面上的A及A’處分別外折δl及δu

。此時(shí)在折點(diǎn)A和A’

分別產(chǎn)生一條膨脹波，相交于B點(diǎn)。I區(qū)的氣流經(jīng)波AB和A’B進(jìn)入Ⅱ、Ⅲ區(qū)，方向分別與A、A’后的上下壁面平行。如果繼續(xù)保持這個(gè)方向流下去的話，則將在交點(diǎn)B以后會(huì)形成一個(gè)楔形真空區(qū)。但這是不可能的，氣流將自行在此膨脹而布滿此空間。因此，在B點(diǎn)也產(chǎn)生兩道膨脹波BC和BC’，而且在波后Ⅳ區(qū)內(nèi)上下兩股氣流又匯合在一起，根據(jù)平衡條件，兩股氣流應(yīng)具有相同的方向、壓強(qiáng)和速度。膨脹波相交仍為膨脹波。第30頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5波的反射和相交二、膨脹波在直固壁上的反射如圖（a），Ⅰ區(qū)初始?xì)饬鹘?jīng)膨脹波AB進(jìn)入Ⅱ區(qū)，方向和A點(diǎn)以后的下壁面平行。由于上壁面是直的，故氣流和上壁面之間會(huì)形成一個(gè)楔形真空區(qū)，這相當(dāng)于Ⅱ區(qū)氣流在B點(diǎn)又產(chǎn)生一條膨脹波BC，而波后氣流又折轉(zhuǎn)成與上壁面平行。新產(chǎn)生的波即為反射波。一般反射角并不等于入射角。如果上壁面在B點(diǎn)向內(nèi)折δ角（如圖b）

，使B點(diǎn)以后的壁面與Ⅱ區(qū)氣流平行，不產(chǎn)生新膨脹波，即反射波消失。第31頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5波的反射和相交三、膨脹波在自由界面上的反射

如圖所示，射流與外界靜止氣體間的邊界就是一種自由邊界。這種邊界的特性是，在接觸面兩邊的壓強(qiáng)相等。若超音速射流出口壓強(qiáng)P1大于外界