（人教A版）2021年新高二數(shù)學暑假講義-第九講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

第九講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

【基礎知識】

1.對數(shù)的概念

一般地，對于指數(shù)式d=N,我們把“以a為底N的對數(shù)〃'記作log，,即b=log°N(a>0,且

aWl).其中，數(shù)生叫做對數(shù)的底數(shù)，”叫做真數(shù)，讀作等于以。為底N的對數(shù)”.

2.對數(shù)的性質、換底公式與運算性質

⑴對數(shù)的性質：①小/=&；②log/im〉。，且aWl).

⑵對數(shù)的運算法則

如果a〉0且aWl,M>0,N>0,那么

?log?(MN)=log?M+logJV；

A/

②logaR=10g^M—10g^；

③logaA/"=n\ogaM(n￡R)；

@log?=~log?M(m,〃0R,且〃zW0).

⑶換底公式：logW=^%a,匕均大于零且不等于1).

3.對數(shù)函數(shù)及其性質

(1)概念：函數(shù)y=log“x(a>0,且aWl)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,

+°°).

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質

a>\0<?<1

y

1尸尸log/A=1

圖象5

。心0)P

1

定義域：(0,+8)

值域：R

性質當x=l時，y=0,即過定點(1,0)

當Q1時,y>0；當x>l時,y<0；

當0<x〈l時，y<0當0<x<l時，y>0

在（0,+8）上是增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

4.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)丫=或?！?,且aWl）與對數(shù)函數(shù)y=logHa>0,且。工1）互為反函數(shù)，它們的圖象關

于直線y=x對稱.

【考點剖析】

考點一對數(shù)的運算

【例1-1】（1）計算：（屆一1g25）+100—3=.

2

，…生（1—log3）+log21og618

⑵計算：-------6-砌---6------=--------

【解析】⑴原式=（lg2*2-|g52）Xl（xg=lg（昱學）X10=lg1（F2X10=-2X10=-20.

1—210g63+（log63）2+log61log6（6X3）

Q）原式二砌一：

1121og63++!—（log63了

Iog64

2（1—log63）log66—1饞31網(wǎng)2

-—

-210g62-log62log62?

規(guī)律方法1.在對數(shù)運算中，先利用幕的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)纂的形式，使賽的底數(shù)

最簡，然后正用對數(shù)運算法則化簡合并.

2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算,然后逆用對數(shù)的運算法則，轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、

商、寐再運算.

3.a"=Nob—log“N（a>0,且aW1）是解決有關指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應注意互化.

考點二對數(shù)函數(shù)的圖象及應用

【例2-1]（1）若函數(shù)加）="一，*（4>0且aWl）在F1上為減函數(shù)，則函數(shù)），=1。&,（|川一1）的圖象可以是（）

即K/1：：1V

ABCD

（2）當天￡（1,2）時，不等式a-lpvlogd恒成立，貝！。的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（l2）

D(0,

C.(l,2]

【解析】⑴由?r)在R上是減函數(shù)，知Ov“<l.

又y=log“(|x|—1)是偶函數(shù)，定義域是(-8,-1)U(1,+?>).

.,.當x>l時，y=k)g“(x—1)的圖象由y=log〃x向右平移一個單位得到.因此選項D正確.

(2)由題意，易知a>l.

在同一坐標系內(nèi)作出y=(x-])2,xw(],2)及y=k>g“r的圖象.

若y=log“t過點(2,I),得log“2=l,所以。=2.

根據(jù)題意，函數(shù)y=logd,x￡(l,2)的圖象恒在y=(x-l)2,x￡(l,2)的上方.

結合圖象，a的取值范圍是(1,2],

考點三對數(shù)函數(shù)的性質及應用

【例3—1]己知函數(shù)_/(x)=lnx+ln(2-x),則()

A於)在(0,2)上單調遞增

在(0,2)上單調遞減

C.)，=/(x)的圖象關于直線x=l對稱

D.y=/(x)的圖象關于點(1,0)對稱

解析由題意知，>U)=lnx+ln(2—x)的定義域為(0,2),y(x)=ln[x(2-x)]=

lnr-a-l)2+l],由復合函數(shù)的單調性知，函數(shù)兀v)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，所以排除A,

B；又貝2-x)=ln(2—x)+lnx=/(x),所以_/(?的圖象關于直線x=1對稱，C正確，D錯誤.

答案C

【例3—2】(1)(一題多解)已知a=log2e,Z?=ln2,c=log，貝！Ia,b,c的大小關系為()

\.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

⑵若log“(q2+i)viog2av0,則a的取值范圍是()

A.(0,1)B(0,￡

C.&l)D.(0,I)U(1,+8)

【解析】(1)法一因為a=log2e>l,b=ln2G(0,1),c=log￥=log23>log2e=o>l,所以c>a>6.

法二—Iog23,如圖，在同一坐標系中作出函數(shù)y=k)g2X,y=lnx的圖象，由圖知

(2)由題意得a>0且。孚:1,故必有層+［>2a,

2

又loga(tz+l)<loga2?<0,所以0<a<1,

同時24>1,.,.懸綜上，1).

【例3—3】已知函數(shù)fix)—log?(3—ax).

(1)當xG［O,2］時，函數(shù)兀0恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)是否存在這樣的實數(shù)”，使得函數(shù)加0在區(qū)間［1,2］上為減函數(shù)，并且最大值為1?如果存在，試求出

的值；如果不存在，請說明理由.

【解析】且aWL設心)=3—or,

則f(x)=3—ar為減函數(shù)，

xG［0,2J時，心)的最小值為3-2”，

當xC［0,2］時,危)恒有意義,

即xW［0,2］時,3-ax>0恒成立.

；?3—2a>0.，a<|.

又a>0且二。的取值范圍是(0,1)U(1,號.

(2)/(x)=3—ax,*/a>0,

二.函數(shù)r(x)為減函數(shù).

:/W在區(qū)間［1,2］上為減函數(shù)，.nulog1為增函數(shù)，

a>\,xS［l,2］時，/(x)最小值為3—2a,/(x)最大值為./(l)=log“(3—a),

［3-2a>0,Ia<2,

即《、

log”(3—a)=1,_3

la-2,

故不存在這樣的實數(shù)。，使得函數(shù)y(x)在區(qū)間n，2］上為減函數(shù)，并且最大值為1.

【真題演練】

1.（2021?全國高考真題）已知a=log52,b=log83,c=g,則下列判斷正確的是（）

A.c<b<aB.h<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【詳解】

a=log52<log5A/5=；=log82\/2<log83=b,即

故選：C.

2.（2021?全國高考真題（文））青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用

五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)4和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)丫的滿足L=5+lgV.已

知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（016x1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【詳解】

由L=5+lgV,當L=4.9時;lgV=-0.1,

II

則VZ=]0FI=1010=,——X-?-0-.-8-.

,V101.259

故選：C.

3.(2021?全國高考真題(理))設a=21nl.01,Z?=lnl.O2,C=VLO4-1.則()

A.a<b<cB.b<c<aC.h<a<cD.c<a<h

【答案】B

【詳解】

a=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=/?.

所以hva;

卜面比較c與兄b的大小關系

222

記〃x)=21n(l+x)—Jl+4x+l,則〃0)=0"M)

1+xJl+4x(1+x)Jl+4x

由于l+4x-(l+x『=2X-X2=X(2-X)

所以當0a<2時、l+4x-(l+x)2>0，即Vl+4x>(l+x)..f(x)>0.

所以/(x)在［0,2］上單調遞增，

所以/(0.01)>/(0)=0,即21nl.01>1,即

/、/、I-----/、222“1+4x-1-2x)

令g(x)=In(1+2x)-Jl+4x+UJII］g(O)=0,g［x)=--------=—------/)

V7l+2x加石(l+x)Vl+4^

由于l+4x—(l+2x)~=-4%2,在x>0時,l+4x-(l+2x)~<0,

所以g'(x)<0,即函數(shù)g(x)在［(),+oo)上單調遞減，所以g(0.01)<g(0)=0,即In1.02<JT5Z_1,即b<c-

綜上，b<c<a,

故選：B.

4.(2021?全國高三其他模擬(文))已知k)g3a+log3h=log3(a+〃)+l，則a+劭的最小值是()

A.12B.18C.24D.27

【答案】D

【詳解】

log3a+log3b=log3(a+/?)+1,即log3(ab)=log3(3a+3b),ab=3a+3b,

所以‘3：+{|=l,

所以，a+48=3(a+4咆+")=3(5+/撲3(5+2厝卜27,

當且僅當。=如時，等號成立，因此，。+4人的最小值為27.

故選：D.

5.(2021.濟南市.山東省實驗中學高三二模)中國科學院院士吳文俊在研究中國古代數(shù)學家劉徽著作的基

礎上，把劉徽常用的方法概括為“出入相補原理”：一個圖形不論是平面的還是立體的，都可以切割成有限多

塊，這有限多塊經(jīng)過移動再組合成另一個圖形，則后一圖形的面積或體積保持不變利用這個原理，解決下

面問題:已知函數(shù)"X)滿足"4—x)=/(x),且當xe[0,2]時的解析式為

/(“)=17，則函數(shù)y=/(x)在xe[0,4]的圖象與直線y=-l圍成封閉圖形的面積

log,1V，

是()

A.2B.210g23C.4D.41og23

【答案】C

【詳解】

.、-log,(2-x),0<x<l

由題意知：關于x=2對稱，而/(x)=,二.，且/(0)=/(4)=-1,/⑵=1,

[log2x,l<x<2

...在x?0,4],f(x)、/(4-x)及y=-l的圖象如下，

將所圍成的圖形在x軸下半部分陰影區(qū)域分成兩部分相補到x軸上半部分陰影區(qū)域，可得到圖示：由x

軸、y軸、y=l、x=4所圍成的矩形的面積,

二函數(shù)y=/（X）在Xe[0,4]的圖象與直線y=-l圍成封閉圖形的面積為4.

【過關檢測】

1.已知集合4={劃-L,尤<3),B={x|ln(x-2)<1},則4r|5=()

A.{x|-啜k3}B.{x|2<x<3}

C.{x|-1,,x<e+2}D,{x|3<x<e+2}

【答案】B

【詳解】

解：因為ln(x-2)<1,所以2<x<e+2,

所以B={x\2<x<e+2},

所以Ac8={x[2<x<3}.

2.設x,y>l,z>0,z為x與y的等比中項，則萼一+;^一的最小值為（）

21gx41gy

A.-+—B.2V2+-C.-+—D.26

84232

【答案】A

【詳解】

x,y>l,z>0,且z為x和y的等比中項，則z?=芍;，

Igz,Igz5愴(町)，51gQ)')_lgx+lgy,Igx+lgy3,Igy,Igx

------1------=---------1---------------------1----------=--1-------1------

21gx41gy21gx41gy41gx81gy841gx81gy

(當且僅當7^=三的即lgx=J?lgy時取等號)

41gx81gy

故選：A

3.為了測量某種海魚死亡后新鮮度的變化.研究人員特意通過檢測該海魚死亡后體內(nèi)某微量元素的含量來決

定魚的新鮮度.若海魚的新鮮度力與其死亡后時間八小時）滿足的函數(shù)關系式為6=1-加刀'.若該種海魚死

亡后2小時，海魚的新鮮度為80%,死亡后3小時，海魚的新鮮度為60%,那么若不及時處理，這種海魚

從死亡后大約經(jīng)過（）小時后，海魚的新鮮度變?yōu)?0%.（參考數(shù)據(jù)：ln2?0.7,ln3?l.l）

A.3.3B.3.6C.4D.4.3

【答案】B

【詳解】

h（2）=1—ma2=0.8

由題思可得：〈，二,3解得a=2,加=0.05,

"3）=1—〃/=o.6

所以〃（。=1-0.（）5X2'.令//（。=1—（）.（）5*2'=（）.4,可得2'=12，兩邊問時取對數(shù)，

In12_21n2+ln3

*3.6小時,故選B.

故，=ln2~-In2

4.已知k>g23=a,3"=7,則*56=()

ab+33a-\-bQ/?+3b+3

A.------B.------C.-----

a+aba+aba+ba+ab

【答案】A

【詳解】

由3"=7，可得log37=b,

k>g3(7x23)

所以log2156=

log3(3x7)

Iog37+log32,

Iog33+log37

〃+3x1

_____a

1+b

ab+3

a-\-ab

ln(l+x)-ln(l-x)

【答案】D

【詳解】

、ln(l+x)-ln(l-x),、/、

解：/"=----------------，定義域為(-1,1)，目./(一%)=—/(X)，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點

對稱，故排除A,B,C,

故選：D.

6.已知c>l,且log/<log/<0,則下列結論正確的是（）

（cah

A.a<bB.c<c

C.log/<log/D.fllognc<b\oghc

【答案】D

【詳解】

vloguc<log^c<0,0<b<a<\.

對A,由幕函數(shù)的性質可得a，>",故A錯誤；

對B,0<h<a<l,則由指數(shù)函數(shù)的性質可得c“>c"，故B錯誤；

,,,bIga（lgb-lga）（lgb+isa）.,八

對C,log“方=-----=-------------------,因為lgb<lga<0,所以log,,》_log〃a〉0,

IgaIgbIgalgb

所以log/>log/;a,故C錯誤；

對D,logc—/Hog,c=@更一獨￡=包竺二史』吧，因為0<A<a<l,所以N〈相<a〃，所以

"，Iga1g。Igalgb

\gba<lga*.Xc>l,lgc>0,所以alog“c-01og〃c<0,即alogj<blog/,故D正確.

故選：D.

7.已知a>b>0,ab=l,若1=5,丁=1082（。+。）*=。+/,則log.、.（3x）,logv（3y）,log：（3z）的

大小關系為（）

A.logv（3x）>logv（3y）>log;（3z）B.logv（3y）>logv（3x）>log;（3z）

C.logv（3x）>log;（3z）>logv（3y）D.logv（3y）>log;（3z）>logv（3x）

【答案】D

【詳解】

因為log、.（3x）=?3（3」=i+jog、（3>）=i+-J—Jog,（3z）=1+—,

kgxlog3xlog3y-log3z

1

函數(shù)y=-——在（o,i）和（i,+8）上均單調遞減，

10g3X

又〃〉b〉O,ab=l,所以。而％=—^,y=log2(tz+Z?),z=?+—,

所以0<x<；,y>l,z>2,即y>x,z>x,可知k)g,.(3x)最小.

由于丁=10823+3=1082(〃+：),2=2。=108222"=10824",所以比較真數(shù)

a+J■與4。的大小關系.當a>l時，。+—<4",所以z>y>l,

aa

即1+"^—>1+1^一?綜上,logv（3y）>log.（3z）〉logr（3x）.

log3ylog3z

故選:D.

8.漁民出海打魚，為了保證運回魚的新鮮度（以魚肉內(nèi)的三甲胺的多少來確定魚的新鮮度，三甲胺是一種

揮發(fā)性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細菌分解產(chǎn)生的，三甲胺積聚就表明魚的新鮮度下降，魚體開始變

質，進而腐?。?，負被打上船后，要在最短的時間內(nèi)將其分揀，冷藏，已知某種魚失去的新鮮度〃與其出海

后時間f（分）滿足的函數(shù)關系式為//（1）=〃??"，若出海后20分這種魚失去的新鮮度為20%；出海后30分

鐘，這種魚失去的新鮮度為40%,那么若不及時處理，打上船的這種魚大約在多長時間剛好失去50%的新

鮮度（）考數(shù)據(jù)：1g2合。.3

A.23分鐘B.33分鐘C.50分鐘D.56分鐘

【答案】B

【詳解】

2[)

A(20)=ma—0.2i

由題意可