微分形式的基本方程省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

本章主要內(nèi)容有：1.微分方程基本形式。2.本構(gòu)方程。3.N-S方程。N-S方程討論?；痉匠掏ㄓ眯问健：?jiǎn)單應(yīng)用例子。第1頁3．1基本方程3．1．1連續(xù)性方程由（2-32）式，積分處處為零，故被積函數(shù)應(yīng)為零，即

或

（3-1）

（3-2）

若為不可壓縮流體，ρ=constant,此時(shí)有（3-3）

若為恒定可壓，則有

（3-4）

第2頁3．1．2動(dòng)量方程因?yàn)?/p>

(3-5)

將上式代入（2-16）式可得

(3-6)

故有動(dòng)量方程

(3-7)

式中，P為應(yīng)力張量，

為單位質(zhì)量力。

第3頁2．3．1．3能量方程因?yàn)椋?/p>

由熱力學(xué)傅立葉定律

其中，λ為導(dǎo)熱系數(shù)，W／ｍ?Κ。，T為溫度。將上式代入（2-17）式得

（3-7）

第4頁故有：（3-8）

（3-2）、（3-6）和（3-8）式即為粘性流體運(yùn)動(dòng)三大方程，它能適合用于全部流體運(yùn)動(dòng)。第5頁3．2Navier-Stokes方程3．2．1本構(gòu)方程本構(gòu)方程討論是應(yīng)力張量與應(yīng)變張量關(guān)系。

將應(yīng)力張量稍作變形為：

（3-9）

其中δ為單位應(yīng)力張量，D為偏應(yīng)力張量。斯托克斯三假定：Ι）應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系——線性假定П）應(yīng)力與應(yīng)變速率關(guān)系在流體中各向同性Ш）在靜止流體中，切應(yīng)力為零，正壓力數(shù)值為靜壓。

第6頁由（3-9）：

由假定Ι）

再由假定П）

其中E為應(yīng)變速率張量。將（3-11）代入（3-12）得對(duì)于牛頓流體，由廣義牛頓內(nèi)摩擦定律知，粘性應(yīng)力與流體變形率成百分比，即

（3-13）

（3-11）

（3-12）

第7頁由假定Ι）得

所以

（3-14）

將上面三式相加得因?yàn)?/p>

而令

第8頁故有

（3-15）

現(xiàn)定義

（3-16）

pm稱為運(yùn)動(dòng)流體平均動(dòng)壓強(qiáng)（流體微團(tuán)法向應(yīng)力算術(shù)平均值，負(fù)號(hào)表示和應(yīng)力方向相反）。

由假定Ι）、П），取平衡態(tài)壓強(qiáng)（3-17）

再利用假定Ш），靜止時(shí)，所以：C=0。

令：

——第二粘性系數(shù)

第9頁將（3-14）、（3-15）、（3-18）分別代入（3-13）即可得到本構(gòu)方程

（3-19）

其中，應(yīng)變率張量分量

（3-20）

這么一來，流體力學(xué)基本方程（3-2）、（3-6）、（3-8）和（3-20）封閉。

第10頁其張量分量形式為

（3-21）

第11頁3．2．2應(yīng)力與應(yīng)變張量深入討論3．2．2．1Navier-Stokes方程動(dòng)量方程（3-6）式中，關(guān)于應(yīng)力張量散度

，可證實(shí)（3-22）

（3-22）式也可寫成

（3-23）

證實(shí)：設(shè)ф是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，則

第12頁推廣有

（a）

(b)

將（a）、(b)代入（3-6）式即可得到（3-23）式。從而（3-6）式N-S方程形式為

（3-24）

第13頁其中，第二粘性系數(shù)普通可?。?/p>

。對(duì)于不可

壓縮流體，有

3．2．2．2能量方程另一個(gè)形式對(duì)動(dòng)量方程（2-37）式兩邊同時(shí)點(diǎn)乘

得

（3-25）

或

將能量方程（3-8）式減去上式，并考慮到

（3-27）

第14頁式中，

為全部表面力所做功，由此可得到

（3-28）其中，

可證實(shí)為

ф——稱為耗散函數(shù)。

（3-29）

（3-30）

證實(shí)：

第15頁因?yàn)?/p>

所以

因而得到

第16頁將（3-29）代入（3-28）可得到能量方程另一個(gè)形式

（3-31）

或

（3-32）

對(duì)于不可壓縮流體，有

（3-33）

第17頁柱坐標(biāo)N—S方程（3-34）

第18頁（3-35）

第19頁其中：

2．3．3基本方程通用形式粘性流體運(yùn)動(dòng)基本方程為

（3-36）

第20頁（3-36）中三式可寫成以下通用形式

或

（3-37）

（3-38）

式中，φ為通用變量，能夠代表u、v、w、T等求解變量，Γ為廣義擴(kuò)散系數(shù)，S為廣義源項(xiàng)。（3-37）式普通可稱為廣義對(duì)流擴(kuò)散方程，其中各項(xiàng)依次為：瞬態(tài)項(xiàng)，對(duì)流項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)和源項(xiàng)。

第21頁對(duì)于特定方程，φ、Γ、S含有特定形式，表2-1給出了不可壓縮流體中三個(gè)符號(hào)與各特定方程對(duì)應(yīng)關(guān)系。

符號(hào)方程φΓS連續(xù)性方程100動(dòng)量方程viμ能量方程T2μE2第22頁方程求解實(shí)例如圖2—2為水平放置等徑圓管，不可壓縮流體在管內(nèi)作恒定充分發(fā)展流動(dòng)。取圓柱坐標(biāo)系如圖所表示，Z軸與管軸重合。因質(zhì)量力只有重力，而且對(duì)于有壓管路，重力能夠忽略，所以

，列

出沿Z軸方向N—S方程：

第23頁（3-38）

液體在等徑管中作軸對(duì)稱流動(dòng)，所以速度僅是半徑r函數(shù)，而且沿Z軸方向不變。即有：

所以上術(shù)方程可簡(jiǎn)為：

第24頁（3-39）

由第二、第三方程可知，壓力與坐標(biāo)無關(guān)。所以：

故有：第25頁設(shè)管長L上壓降為△P,則

式中“—”號(hào)表示壓強(qiáng)增量dp沿管中流動(dòng)方向?yàn)樨?fù)值。代入方程得

積分兩次后可得：

（3-40）

第26頁若管壁溫度為TW,則管道中