江蘇省江陰市南菁高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期普通班第一次階段數(shù)學(xué)試卷

20202021學(xué)年江蘇省無錫市江陰市南菁高級中學(xué)普通班高一（下）第一次階段數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題5分）.1．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若與方向相同，則k等于（）A．1 B．± C．﹣ D．2．設(shè)是任意向量，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．3．如圖，已知點(diǎn)C為△OAB邊AB上一點(diǎn)，且AC＝2CB，若存在實(shí)數(shù)m，n，使得，則m﹣n的值為（）A． B．0 C． D．4．體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為370N，則該學(xué)生的體重（單位：kg）約為（）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g＝10m/s2，＝1.732）A．64 B．70 C．76 D．605．已知向量，滿足||＝2，＝（1，1），＝﹣2，則cos＜，＞＝（）A． B． C． D．6．《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即S＝，現(xiàn)有周長為5+的△ABC滿足sinC：sinA：sinB＝2：3：，則用以上給出的公式求得△ABC的面積為（）A． B． C． D．37．已知，，．若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且＝，則的最大值為（）A．13 B． C． D．8．在平行四邊形ABCD中，AB＝，AD＝2，∠A＝135°，E，F(xiàn)分別是AB，AD上的點(diǎn)，且，，（其中λ，μ∈（0，1）），且4λ+μ＝1．若線段EF的中點(diǎn)為M，則當(dāng)||取最小值時，的值為（）A．36 B．37 C．38 D．39二、選擇題（在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．本題共4小題，每小題5分，共20分）9．下列說法正確的是（）A．對于任意兩個向量，若|，且與同向，則 B．已知，為單位向量，若，則在上的投影向量為 C．設(shè)為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得”是“”的充分不必要條件 D．若，則與的夾角是鈍角10．對于△ABC，有如下命題，其中錯誤的是（）A．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，則△ABC為銳角三角形 B．若AB＝，AC＝1，B＝30°，則△ABC的面積為 C．P在△ABC所在平面內(nèi)，若，則P是△ABC的重心 D．若sin2A＝sin2B，則△ABC為等腰三角形11．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的對邊，已知，a＝7，則以下判斷正確的是（）A．△ABC的外接圓面積是 B．bcosC+ccosB＝7 C．b+c可能等于16 D．作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，則AA'的最大值是12．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2+2abcosC＝3b2，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．2（a2+b2）＝c2 B．tanA＝3tanB C． D．tanC存在最大值三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．復(fù)數(shù)5+2i與﹣2+4i分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)的模為．14．已知點(diǎn)A、B、C滿足，，，則的值是．15．已知A，B，C，D是平面內(nèi)四點(diǎn)，且，，則的最小值為．16．已知向量、滿足||＝1，||＝2，則|+|+|﹣|的最小值是，最大值是．四、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.本題共6小題，共70分）17．已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）．（1）復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若z對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限，求m的取值范圍．18．在△ABC中，B＝45°，，．（1）求BC邊的長；（2）求AB邊上的中線CD的長．19．已知，，其中0＜α＜β＜π．（1）求向量與所成的夾角；（2）若與的模相等，求的值（k為非零的常數(shù)）．20．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c．已知asin＝bsinA．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．21．目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見到5G基站的身影、如圖1，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山頂上的一座5G基站AB，已知基站高AB＝50mm（眼睛到水平面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰角為37°，測得基站頂端A的仰角為45°．（1）求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）如圖2，當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置M處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離MD＝xm，且記在M處觀測基站底部B的仰角為α，觀測基站頂端A的仰角為β．試問當(dāng)x多大時，觀測基站的視角∠AMB最大？參考數(shù)據(jù)：sin8°≈0.14，sin37°≈0.6，sin45°≈0.7．sin127°≈0.8．22．在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，對角線AC交BD于點(diǎn)O，點(diǎn)M在AB上，且滿足OM⊥BD．（1）求的值；（2）若N為線段AC上任意一點(diǎn)，求的最小值．參考答案一、選擇題（在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.本題共8小題，每小題5分，共40分）1．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若與方向相同，則k等于（）A．1 B．± C．﹣ D．解：向量＝（1，k），＝（k，2），若與方向相同，則，解得k＝．故選：D．2．設(shè)是任意向量，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．解：因?yàn)橄蛄康臄?shù)量積是數(shù)量，所以A不正確；是方向上的向量，是方向上的向量，顯然等式不恒成立，所以B不正確．因?yàn)?，所以C不正確，，向量的數(shù)量積滿足乘法的運(yùn)算法則，所以D正確．故選：D．3．如圖，已知點(diǎn)C為△OAB邊AB上一點(diǎn)，且AC＝2CB，若存在實(shí)數(shù)m，n，使得，則m﹣n的值為（）A． B．0 C． D．解：因?yàn)锳C＝2CB，易得，所以m﹣n＝．故選：A．4．體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為370N，則該學(xué)生的體重（單位：kg）約為（）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g＝10m/s2，＝1.732）A．64 B．70 C．76 D．60解：由題意知，＝＝370N，夾角θ＝60°，所以++＝，即＝﹣（+）；所以＝＝3702+2×370×370×cos60°+3702＝3×3702；||＝370（N），則該學(xué)生的體重（單位：kg）約為37＝37×≈64（kg）．故選：A．5．已知向量，滿足||＝2，＝（1，1），＝﹣2，則cos＜，＞＝（）A． B． C． D．解：cos＜，＞＝＝＝＝．故選：C．6．《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即S＝，現(xiàn)有周長為5+的△ABC滿足sinC：sinA：sinB＝2：3：，則用以上給出的公式求得△ABC的面積為（）A． B． C． D．3解：周長為5+的△ABC滿足sinC：sinA：sinB＝2：3：，利用正弦定理整理得：c：a：b＝2：3：，令，所以c＝2k，a＝3k，b＝，利用a+b+c＝2k+3k+k＝5+，解得k＝1，故c＝2，b＝3，b＝．故＝．故選：A．7．已知，，．若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且＝，則的最大值為（）A．13 B． C． D．解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y）則B（t，0），C（0，）（t＞0），，，所以，即P（1，2），故，，所以＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立．故選：B．8．在平行四邊形ABCD中，AB＝，AD＝2，∠A＝135°，E，F(xiàn)分別是AB，AD上的點(diǎn)，且，，（其中λ，μ∈（0，1）），且4λ+μ＝1．若線段EF的中點(diǎn)為M，則當(dāng)||取最小值時，的值為（）A．36 B．37 C．38 D．39解：根據(jù)題意，建立如圖直角坐標(biāo)系，AB＝，AD＝2，∠A＝135°，所以B（﹣1.1），D（2，0），C（1，1），由＝λ（﹣1，1）＝（﹣λ，λ），得E（﹣λ，λ），由＝μ（2，0）＝（2μ，0），得F（2μ，0），所以M（，），CM2＝＝＝，當(dāng)時，取到最小值，此時，故的最小值為37，故選：B．二、選擇題（在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．本題共4小題，每小題5分，共20分）9．下列說法正確的是（）A．對于任意兩個向量，若|，且與同向，則 B．已知，為單位向量，若，則在上的投影向量為 C．設(shè)為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得”是“”的充分不必要條件 D．若，則與的夾角是鈍角解：對于任意兩個向量，若|，且與同向，但是不能說，因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，所以A不正確；已知，為單位向量，若，則在上的投影為：＝﹣3，投影向量為，所以B正確；存在負(fù)數(shù)λ，使得，則與反向共線，夾角為180°，此時成立，當(dāng)成立時，則與夾角滿足90°＜θ≤180°，則與不一定反向共線，即“存在負(fù)數(shù)λ，使得”是“”的充分而不必要條件成立，故C正確，若，則與的夾角是鈍角或平角，所以D不正確；故選：BC．10．對于△ABC，有如下命題，其中錯誤的是（）A．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，則△ABC為銳角三角形 B．若AB＝，AC＝1，B＝30°，則△ABC的面積為 C．P在△ABC所在平面內(nèi)，若，則P是△ABC的重心 D．若sin2A＝sin2B，則△ABC為等腰三角形解：對于A：sin2A+sin2B+cos2C＜1，整理得：sin2A+sin2B＜1﹣cos2C＝sin2C，即sin2A+sin2B﹣sin2C＜0，根據(jù)正弦定理：a2+b2﹣c2＜0，故，則△ABC為鈍角三角形．故A錯誤；對于B：若AB＝，AC＝1，B＝30°，設(shè)BC＝x，則利用余弦定理：，解得x＝1或2，即BC＝1或2，當(dāng)BC＝1時，，當(dāng)BC＝2時，，故B錯誤；對于C：P在△ABC所在平面內(nèi)，若，則P是△ABC的重心，故C正確；對于D：若sin2A＝sin2B，所以：2A＝2B，整理得：A＝B，或2A＝π﹣2B，整理得A+B＝，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，故D錯誤．故選：ABD．11．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的對邊，已知，a＝7，則以下判斷正確的是（）A．△ABC的外接圓面積是 B．bcosC+ccosB＝7 C．b+c可能等于16 D．作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，則AA'的最大值是解：對于A，在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知，a＝7，由＝2R，可得R＝，可得△ABC的外接圓的面積是πR2＝，故正確；對于B，bcosC+ccosB＝b?+c?＝a＝7，故正確；對于C，b+c＝2R（sinB+sinC）＝[sin（﹣α）+sin（+α）]＝?2sincosα＝14cosα，（﹣＜α＜），可得b+c∈（7，14]，b+c不可能等于16，故錯誤；對于D，作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，設(shè)A到BC的距離為h，可得ah＝bcsin，即有h＝bc，由a2＝b2+c2﹣2bccos＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，即bc≤49，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c取得等號，可得h≤，則|AA'|的最大值是7．故錯誤．故選：AB．12．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2+2abcosC＝3b2，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．2（a2+b2）＝c2 B．tanA＝3tanB C． D．tanC存在最大值解：∵a2+2abcosC＝3b2，∴由余弦定理可得：2a2＝2b2+c2，可得2（a2﹣b2）＝c2，故A錯誤，∴2sin2A＝2sin2B+sin2C，∴1﹣cos2A＝1﹣cos2B+sin2C，∴﹣2sin（B+A）sin（B﹣A）＝sin2C，∴2sin（A﹣B）＝sinC＝sin（A+B），∴2sinAcosB﹣2cosAsinB＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB＝3cosAsinB，銳角△ABC中．可得：tanA＝3tanB，故B正確，則必有tanB＞．否則C為鈍角．﹣tanC＝＝．tanAtanBtanC＝＝，tanB＞，故C正確，令tanA＝x，則tanB＝3x，則tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣＝，令f（x）＝，x∈（，+∞），f′（x）＝＝＝，可知f′（x）在x∈（，+∞）恒小于0，所以f（x）在x∈（，+∞）單調(diào)遞減，∴f（x）沒有最大值，即tanC不存在最大值，故D錯誤．故選：BC．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．復(fù)數(shù)5+2i與﹣2+4i分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)的模為．解：由題意得＝5+2i，＝﹣2+4i，則＝＝5+2i+2﹣4i＝7﹣2i，故||＝．故答案為：．14．已知點(diǎn)A、B、C滿足，，，則的值是﹣25．解：∵∴∴∴＝＝故答案為﹣2515．已知A，B，C，D是平面內(nèi)四點(diǎn)，且，，則的最小值為．解：設(shè)，則＝（x+1，y+2），，所以?＝（x+1）（x﹣2）+（y+2）2＝，故當(dāng)時，?取得最小值．故答案為：16．已知向量、滿足||＝1，||＝2，則|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是．解：記∠AOB＝α，則0≤α≤π，如圖，由余弦定理可得：|+|＝，|﹣|＝，令x＝，y＝，則x2+y2＝10（x、y≥1），其圖象為一段圓弧MN，如圖，令z＝x+y，則y＝﹣x+z，則直線y＝﹣x+z過M、N時z最小為zmin＝1+3＝3+1＝4，當(dāng)直線y＝﹣x+z與圓弧MN相切時z最大，由平面幾何知識易知zmax即為原點(diǎn)到切線的距離的倍，也就是圓弧MN所在圓的半徑的倍，所以zmax＝×＝．綜上所述，|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是．故答案為：4、．四、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.本題共6小題，共70分）17．已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）．（1）復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若z對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限，求m的取值范圍．解：（1）復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則且m2﹣2m﹣15≠0?m＝3，（2）z對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限，則且m2﹣2m﹣15＜0?3＜m＜5，所以m的取值范圍為（3，5）．18．在△ABC中，B＝45°，，．（1）求BC邊的長；（2）求AB邊上的中線CD的長．解：（1）由，得，，由正弦定理，得，（2）由正弦定理，得，，由余弦定理，得．19．已知，，其中0＜α＜β＜π．（1）求向量與所成的夾角；（2）若與的模相等，求的值（k為非零的常數(shù)）．解：（1）由已知得：，則：，因此：，因此，向量與所成的夾角為90°；（2），，∵，∴，∴（kcosα+cosβ）2+（ksinα+sinβ）2＝（cosα﹣kcosβ）2+（sinα﹣ksinβ）2，∴k2cos2α+cos2β+2kcosαcosβ+k2sin2α+sin2β+2ksinαsinβ＝cos2α+k2cos2β﹣2kcosαcosβ+sin2α+k2sin2β﹣2ksinαsinβ，整理得，2kcos（α﹣β）＝﹣2kcos（α﹣β），且k≠0，∴cos（α﹣β）＝0，∵0＜α＜β＜π，∴﹣π＜α﹣β＜0，∴，∴．20．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c．已知asin＝bsinA．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．解：（1）asin＝bsinA，即為asin＝acos＝bsinA，可得sinAcos＝sinBsinA＝2sincossinA，∵sinA＞0，∴cos＝2sincos，若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin＝，由0＜B＜π，可得B＝；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b＝＝，由三角形ABC為銳角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，且1+a2＞a2﹣a+1，解得＜a＜2，可得△ABC面積S＝a?sin＝a∈（，）．21．目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見到5G基站的身影、如圖1，某同學(xué)在一條水平