巖石動(dòng)載破壞的應(yīng)變能密度準(zhǔn)則

巖石動(dòng)載破壞的應(yīng)變能密度準(zhǔn)則

1材料破壞準(zhǔn)則人們提出了許多破壞模式來(lái)預(yù)測(cè)不同加載條件下各種材料的破壞，這為項(xiàng)目的建設(shè)奠定了基礎(chǔ)。目前在巖石力學(xué)領(lǐng)域中，對(duì)巖石在單獨(dú)承受靜載作用時(shí)破壞準(zhǔn)則的研究已經(jīng)比較深透，對(duì)單獨(dú)承受動(dòng)載作用時(shí)巖石破壞準(zhǔn)則的研究也取得了一定進(jìn)展[8,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21]。理論和試驗(yàn)都表明，巖石在承受動(dòng)、靜載荷時(shí)，其力學(xué)特性和破壞規(guī)律有較大差異，巖石的破壞準(zhǔn)則也是有差別的。事實(shí)上，在工程實(shí)踐中有相當(dāng)一部分巖石，如礦巖的開(kāi)挖，特別是深部采礦中，礦巖在承受動(dòng)載荷作用之前，已經(jīng)處于一定的靜應(yīng)力或地應(yīng)力狀態(tài)之中。然而，動(dòng)載荷對(duì)靜應(yīng)力作用下巖石破壞準(zhǔn)則的影響的研究顯得相對(duì)不足，因此，這些巖石在動(dòng)靜組合載荷作用下的破壞準(zhǔn)則的研究應(yīng)該引起人們的足夠重視。到目前為止，對(duì)于受靜載荷作用的巖石在動(dòng)載作用下的破壞準(zhǔn)則的研究，僅知有少數(shù)學(xué)者利用動(dòng)力三軸試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行過(guò)加圍壓的巖石三向抗壓試驗(yàn)，得到了一些與三向靜壓縮不同的結(jié)論；對(duì)于同一方向的動(dòng)靜組合載荷加載的研究，或在此基礎(chǔ)上考慮不同圍壓影響的研究，才剛開(kāi)始；對(duì)于動(dòng)靜組合加載強(qiáng)度的專門(mén)研究則更為少見(jiàn)。目前巖石材料的低應(yīng)變率(ε<10-4/s)的破壞準(zhǔn)則和高應(yīng)變率(ε&>102/s)破壞準(zhǔn)則的試驗(yàn)和理論分析較為廣泛，界于這兩者之間的中應(yīng)變率的破壞準(zhǔn)則研究，卻受試驗(yàn)條件和技術(shù)限制，顯得相對(duì)較少。此前所提出的破壞準(zhǔn)則，其力學(xué)機(jī)制可能是不同的，且經(jīng)常是適用于特定材料的強(qiáng)度理論，或者說(shuō)在某種條件下適用的理論，卻不適用于另一種條件。但一般來(lái)說(shuō)，材料破壞準(zhǔn)則可分為4大類：(1)應(yīng)力或應(yīng)變類破壞準(zhǔn)則；(2)能量類破壞準(zhǔn)則；(3)損傷類破壞準(zhǔn)則；(4)經(jīng)驗(yàn)類破壞準(zhǔn)則。前述能量類破壞準(zhǔn)則最先是由Huber開(kāi)始研究的，正是他引入勢(shì)能的概念來(lái)定義材料的破壞。后來(lái)，F(xiàn)reudenthal(1950)和Gordon(1976)強(qiáng)調(diào)了采用能量破壞準(zhǔn)則的重要性，并且注意到了彈性變形能和非彈性變形能的差別。盡管在Freudenthal之后又提出了幾種類型的能量破壞準(zhǔn)則，但是，只有少數(shù)考慮了彈性變形能和非彈性變形能的不同，如Lemaitre和Chaboche(1990)。文基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和不可逆熱力學(xué)分析了應(yīng)變能破壞準(zhǔn)則的力學(xué)機(jī)制，認(rèn)為應(yīng)變能破壞準(zhǔn)則的臨界值與材料破壞之前的不可逆變形過(guò)程和外界條件有關(guān)，而不可逆變形過(guò)程主要是由于材料的非彈性變形、損傷和其他內(nèi)部耗散機(jī)制引起的。因此，當(dāng)材料的破壞受耗散控制時(shí)，可采用耗散能量密度破壞準(zhǔn)則來(lái)判斷材料的破壞，該準(zhǔn)則主要適用于韌性破壞；如果在破壞之前的變形過(guò)程中，內(nèi)部耗散可忽略，此時(shí)可采用比彈性應(yīng)變能密度準(zhǔn)則來(lái)判斷材料的破壞，該準(zhǔn)則主要適用于脆性材料的破壞；對(duì)于動(dòng)載作用下的材料破壞，則主要用塑性應(yīng)變能密度準(zhǔn)則來(lái)判斷，但應(yīng)變率對(duì)準(zhǔn)則的臨界值的影響還不清楚，有待進(jìn)一步研究。可見(jiàn)，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和不可逆熱力學(xué)理論框架范圍內(nèi)，可以得到多種成功的破壞準(zhǔn)則，這使材料應(yīng)變能破壞準(zhǔn)則具有普遍意義。綜觀上述研究，都貫穿著一個(gè)思想：材料的破壞主要是由內(nèi)部耗散引起的，并且是不可逆的。至于有代表性的應(yīng)變能破壞準(zhǔn)則——形狀改變比能理論(第四強(qiáng)度理論)，實(shí)踐證明，對(duì)于塑性材料，該理論主要適用于拉、壓性質(zhì)相同的情況，但對(duì)于三向等值拉伸卻無(wú)能為力；對(duì)于脆性材料，該理論主要適用于與三向壓應(yīng)力相近的情況。究其原因是該理論認(rèn)為，單元體達(dá)到屈服或破壞的條件是：形狀改變比能密度值達(dá)到單向應(yīng)力狀態(tài)下單元體的形狀改變比能密度值，而不考慮體積變形能。這樣做是基于靜水壓力很大而材料并不過(guò)渡到破壞狀態(tài)的情況，亦即體積改變能的大小并不影響材料的破壞。但是在一定的外載作用下微裂紋的閉合又可能導(dǎo)致材料剛度的部分恢復(fù)，反映到體積變形上就是：體積的減小而不是體積的增加有利于單元體強(qiáng)度的提高。此外，從脆性材料和塑性材料在拉伸和壓縮時(shí)的性能比較來(lái)看，可以認(rèn)為單元體承受壓縮的性能優(yōu)于其承受拉抻的性能。所以，反映靜水壓力的體積變形能在某些應(yīng)力狀態(tài)下的材料破壞中是不能忽略的。這也說(shuō)明，材料破壞耗散理論的不可逆性在某些條件下應(yīng)該適當(dāng)修正。因此，文提出用體積變形比能和形狀改變比能之和即應(yīng)變能密度作為材料破壞的準(zhǔn)則。各種機(jī)械模型已成功應(yīng)用于巖石的本構(gòu)特性的研究，文利用簡(jiǎn)單的機(jī)械模型建立了受靜載荷作用的巖石在動(dòng)載作用下的本構(gòu)模型，利用該模型計(jì)算得到的本構(gòu)曲線與試驗(yàn)結(jié)果具有較好的一致性，顯然巖石的本構(gòu)特性和破壞強(qiáng)度是緊密相連的。同時(shí)，應(yīng)用突變理論研究巖石的破壞強(qiáng)度是一條有效的途徑，然而處理巖石的沖擊失穩(wěn)破壞等動(dòng)力穩(wěn)定性問(wèn)題在數(shù)學(xué)上會(huì)遇到很大困難，所以通常采用準(zhǔn)靜態(tài)的研究方法。雖然文應(yīng)用突變理論采用準(zhǔn)靜態(tài)的研究方法研究了巖石受靜載荷時(shí)的破壞過(guò)程，但是應(yīng)用突變理論研究巖石在沖擊作用下的破壞相對(duì)較少，應(yīng)用突變理論研究受靜載的巖石在沖擊作用下的破壞強(qiáng)度更為少見(jiàn)。結(jié)構(gòu)的屈曲與巖石的破裂與失穩(wěn)有一定的相似性。在結(jié)構(gòu)的屈曲研究方面，文用經(jīng)典力學(xué)方法研究了靜力預(yù)加載結(jié)構(gòu)的沖擊屈曲問(wèn)題；文用突變理論研究了有缺陷的簡(jiǎn)單雙桿結(jié)構(gòu)的彈性屈曲問(wèn)題，研究認(rèn)為，在恒定幅值動(dòng)載荷作用下，不考慮衰減時(shí)，只要適當(dāng)確定動(dòng)力平衡曲面的奇異集和相應(yīng)控制平面的分叉集，就可將靜態(tài)突變推廣到相應(yīng)的動(dòng)態(tài)突變，并可求出結(jié)構(gòu)靜態(tài)屈曲和動(dòng)態(tài)屈曲的臨界載荷；文分別建立了結(jié)構(gòu)的沖擊屈曲突變模型與靜力預(yù)加載結(jié)構(gòu)的沖擊屈曲突變模型。根據(jù)上述分析，本文將在文建立的受靜載荷作用的巖石在動(dòng)載作用下的本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上提出應(yīng)變能密度破壞準(zhǔn)則；同時(shí)，根據(jù)靜力預(yù)加載結(jié)構(gòu)的沖擊屈曲突變模型，建立靜加載巖石系統(tǒng)的沖擊破壞模型，進(jìn)一步分析了動(dòng)靜組合加載下巖石的破壞。2浮動(dòng)組合加載本構(gòu)模型巖石作為地質(zhì)運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)物，內(nèi)部存在大量的晶界、位錯(cuò)、孔洞、微裂隙等裂紋源。在荷載作用下，其成核與擴(kuò)展將使巖石材料內(nèi)部性質(zhì)不斷惡化，因而嚴(yán)重影響材料的宏觀力學(xué)性質(zhì)，表現(xiàn)為材料應(yīng)變軟化、剛度和強(qiáng)度劣化、直至宏觀斷裂破壞。如果動(dòng)載荷為擾動(dòng)，當(dāng)一定強(qiáng)度的擾動(dòng)作用于受靜載的巖石時(shí)，將產(chǎn)生2種效應(yīng)：(1)材料剛度的劣化。這表明在動(dòng)力擾動(dòng)下，巖石內(nèi)部的微裂隙在原來(lái)的基礎(chǔ)上繼續(xù)演化，擾動(dòng)能量同時(shí)也產(chǎn)生耗散；(2)提高了擾動(dòng)能量利用率。這主要是在動(dòng)力擾動(dòng)過(guò)程中靜應(yīng)力一直存在，使巖石中的一些不連續(xù)界面處于閉合狀態(tài)，使得本來(lái)常中止于此的裂紋重新擴(kuò)展，在相同的擾動(dòng)能量下可能產(chǎn)生更多的裂紋?？傊?，受靜載的巖石在動(dòng)力擾動(dòng)過(guò)程中，擾動(dòng)應(yīng)力與靜應(yīng)力聯(lián)合作用，共同影響巖石內(nèi)部的損傷與破壞。文建立的動(dòng)靜組合加載下巖石的本構(gòu)模型主要是基于如下基本觀點(diǎn)：(1)巖石單元同時(shí)具有統(tǒng)計(jì)損傷特性和粘性液體的特性，因而可以把巖石單元看成損傷體Da和粘缸ηb的組合體，即由損傷體Da1與粘缸ηb并聯(lián)再與損傷體Da2串聯(lián)，如圖1所示。(2)損傷體Da具有各向同性損傷特性，在損傷之前是線彈性的，平均彈性模量為E，強(qiáng)度服從參數(shù)為(m，α)的概率分布。損傷參數(shù)D按照巖石的受力狀態(tài)可表示為：一維加載時(shí)有式中：εa為損傷體的應(yīng)變。損傷體的本構(gòu)關(guān)系σa-εa可表示為式中：σa為損傷體的應(yīng)力。(3)粘缸沒(méi)有損傷特性，遵循的本構(gòu)關(guān)系為式中：εb為粘缸的應(yīng)變，σb為粘缸的應(yīng)力。(4)單元體在損傷之前是粘彈性體。上述以簡(jiǎn)單的機(jī)械模型為基礎(chǔ)所建立的受靜載荷作用的巖石在動(dòng)載作用下的本構(gòu)模型，即動(dòng)靜組合加載本構(gòu)模型，反映了巖石彈性的變化，這與巖石的損傷相關(guān)，而所反映的巖石的粘性等非彈性并不考慮與損傷的耦合。但按照能量觀點(diǎn)，當(dāng)巖石產(chǎn)生非彈性變形后，巖石所能承擔(dān)的非彈性變形能已大大降低，即巖石的本構(gòu)能已降低，這也是由于巖石微觀結(jié)構(gòu)發(fā)生變化而引起巖石性能劣化的一種表現(xiàn)。正是由于巖石彈性的劣化和非彈性變形的產(chǎn)生才導(dǎo)致巖石強(qiáng)度的降低。此外，動(dòng)靜組合加載本構(gòu)模型反映了巖土類材料的變形與強(qiáng)度不僅與所受應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且與加載速率有關(guān)的性質(zhì)。所以，機(jī)械模型能夠反映材料單元體彈性的劣化和非彈性變形的產(chǎn)生以及加載速率的影響。3變形比能與形狀改變比能根據(jù)一維動(dòng)靜組合加載下巖石的破壞機(jī)制，本文嘗試?yán)脵C(jī)械模型來(lái)初步反映動(dòng)靜組合加載下巖石的破壞機(jī)理。受一維靜載荷作用的巖石在動(dòng)載作用下的破壞試驗(yàn)和分析表明，巖石破壞之前，損傷與非彈性變形并存；不同的受力狀態(tài)對(duì)巖石破壞的影響不同；巖石表現(xiàn)為脆性和韌性的混合破壞。因此，可認(rèn)為體積變形比能和形狀改變比能都對(duì)巖石破壞產(chǎn)生影響，是引起巖石破壞的主要因素。亦即，無(wú)論什么應(yīng)力狀態(tài)，只要巖石單元體的應(yīng)變能密度達(dá)到一維受靜載荷作用的巖石在動(dòng)載作用下相應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的極限值時(shí)，巖石就產(chǎn)生破壞。3.1應(yīng)變能密度的確定建立應(yīng)變能密度破壞準(zhǔn)則的關(guān)鍵是要確定其臨界值?，F(xiàn)在文的基礎(chǔ)上，利用機(jī)械模型對(duì)受一維靜載荷作用的巖石在動(dòng)載作用下破壞的應(yīng)變能密度的極限值進(jìn)行確定。假設(shè)在中應(yīng)變率下，靜載能量和動(dòng)載能量全部轉(zhuǎn)化為巖石單元組合體的應(yīng)變能，并忽略受載變形過(guò)程中的其他能量(如熱能)，根據(jù)能量守恒定律，單元組合體的能量等于各分體能量之和。為了簡(jiǎn)單方便，進(jìn)一步假設(shè)各分體質(zhì)量分別為1/3單位質(zhì)量，巖石單元組合體考慮損傷后的應(yīng)變能可由粘彈性體的應(yīng)變能根據(jù)Sidoroff等人提出的能量等效假設(shè)求得。巖石單元組合體先在靜載荷S作用下產(chǎn)生位移εs，再在與靜載荷同方向的動(dòng)載荷σr(t)作用下，繼續(xù)產(chǎn)生位移εr(t)。令σ=S+σr(t)，ε=εs+εr(t)，則巖石單元組合體有微位移dε時(shí)，應(yīng)變能密度W在未考慮損傷時(shí)可表示為式中：εs為靜載荷S對(duì)應(yīng)的應(yīng)變，且εs=S/E1。根據(jù)能量守恒定律，應(yīng)變能密度W應(yīng)同時(shí)等于損傷體Da1、損傷體Da2和粘缸ηb所消耗的能量之和(見(jiàn)圖1)，即式中：等式右邊第1項(xiàng)為損傷體Da1產(chǎn)生變形ε1所消耗的能量，主要表征靜載荷作用的性質(zhì)；等式右邊第2項(xiàng)為損傷體Da2產(chǎn)生變形ε2所消耗的能量，主要表征動(dòng)載荷作用的性質(zhì)(這兩項(xiàng)在考慮損傷時(shí)，可以表征巖石在動(dòng)靜組合載荷作用下的損傷特性)；等式右邊第3項(xiàng)為巖石在動(dòng)靜組合載荷作用下所消耗的塑性能，表征變形過(guò)程中的塑性特性。此時(shí)組合體中損傷體和粘缸的應(yīng)力及應(yīng)變滿足如下關(guān)系：在不考慮損傷時(shí)，同時(shí)考慮式(2)，(3)和(6)，則式(5)可以化為式中：E1a,Ea2分別為損傷體Da1和損傷體Da2未考慮損傷時(shí)的彈性模量。根據(jù)文，Ea1與靜載荷作用下的彈性模量值1E相近，Ea2與動(dòng)靜組合加載時(shí)的彈性模量值E2相近。與式(4)對(duì)應(yīng)，同時(shí)考慮靜加載時(shí)σ&=ε&=0，則式(7)可化為假設(shè)動(dòng)靜組合加載下的巖石的應(yīng)變率ε&與應(yīng)力加載速率σ&均為常數(shù)，則式(8)可化為按照前面的分析，巖石的損傷主要反映在彈性的損傷上，所以，反映塑性的粘缸不考慮損傷。將式(9)中的彈性模量以有效彈性模量代替，即可得到巖石單元組合體在受靜加載和動(dòng)載過(guò)程中考慮損傷時(shí)的應(yīng)變能dW為按能量等效原理，應(yīng)有E～=1(-D)2，但在驗(yàn)證中發(fā)現(xiàn)，其結(jié)果與實(shí)際相差較大，而取E～=1(-D)，結(jié)果卻與實(shí)際較接近，所以，本文采用E～=1(-D)。如果以動(dòng)靜組合加載開(kāi)始點(diǎn)為應(yīng)變0點(diǎn)，受靜載的巖石單元組合體在動(dòng)載作用下的動(dòng)力破壞強(qiáng)度定為σdc，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變?yōu)棣與，此時(shí)的臨界損傷值為cD，則相應(yīng)的應(yīng)變能密度dW的極限值為cW，且式中：1D為靜載荷S對(duì)應(yīng)的損傷變量，可用下式表示為在通常情況下，動(dòng)靜組合加載時(shí)的臨界損傷值可定為Dc=0.2～0.5；但對(duì)于純脆性損傷，則取Dc=0，或用下式表示：式(12)，(13)中的概率分布參數(shù)α和m可根據(jù)文所建立的本構(gòu)模型規(guī)定的方法確定，其值與本構(gòu)模型相同。式(11)中的粘性系數(shù)η與本構(gòu)模型中的意義相同，但大小不同。從式(11)可看出，巖石單元組合體在動(dòng)靜組合加載下的應(yīng)變能密度的極限值cW，不僅與靜載荷大小和動(dòng)載荷的性質(zhì)有關(guān)，還與巖石的性質(zhì)及其力學(xué)響應(yīng)有關(guān)，這與實(shí)際情況是一致的。對(duì)于式(11)的特例，如果S=0，則為單軸動(dòng)載時(shí)的臨界值；如果σc=0，εc=0，σ&=ε&=0，且S為抗壓強(qiáng)度時(shí)，則為單軸靜載時(shí)的臨界值；如果，則為彈脆性破壞時(shí)的彈性應(yīng)變能。所以，式(11)反映的變形能密度既包含了脆性破壞的情況，又包含了韌性破壞的情況，可以進(jìn)行巖石破壞的綜合判斷。3.2維浮動(dòng)組合加載根據(jù)文所建立的本構(gòu)模型，受一維靜載作用的巖石在動(dòng)載作用下的應(yīng)變能密度W在未考慮巖石損傷時(shí)可由式(4)并考慮式(2)求得式中：第1項(xiàng)為巖石只受靜載作用時(shí)的應(yīng)變能，第2項(xiàng)為巖石在動(dòng)靜組合加載下的應(yīng)變能。根據(jù)前述方法，可得到組合體在一維動(dòng)靜組合加載下考慮損傷時(shí)積聚的應(yīng)變能W1d為式中：為動(dòng)靜組合加載時(shí)對(duì)應(yīng)的損傷變量。式(15)中W1d值的大小可用全應(yīng)力–應(yīng)變曲線的峰值應(yīng)力前的應(yīng)變能代替。根據(jù)假設(shè)，受一維靜載荷作用的巖石在動(dòng)力擾動(dòng)下，只要有巖石就產(chǎn)生破壞。4干預(yù)組合下巖石破壞的突變理論分析本文主要討論的動(dòng)載荷是沖擊載荷的情況。4.1受靜荷載作用下的突變?cè)囼?yàn)為運(yùn)用突變理論研究加載系統(tǒng)的失穩(wěn)過(guò)程，取由試驗(yàn)機(jī)和巖樣構(gòu)成加載系統(tǒng)。研究表明，在巖石的靜態(tài)失穩(wěn)破壞中，其靜態(tài)臨界載荷就是以巖石靜加載系統(tǒng)的勢(shì)能為勢(shì)函數(shù)的突變系統(tǒng)的分叉集。在巖石試樣承受階躍沖擊載荷作用時(shí)，本文采用文的結(jié)果，即以R(x)為勢(shì)函數(shù)的突變系統(tǒng)的分叉集對(duì)應(yīng)著巖石試樣失穩(wěn)破壞的臨界階躍載荷。R(x)的形式為式中：x為巖石試樣的廣義位移，V(x)為巖石加載系統(tǒng)的勢(shì)能。值得說(shuō)明的是，從式(17)的推導(dǎo)過(guò)程看，對(duì)應(yīng)的載荷不一定是沖擊載荷，使介質(zhì)產(chǎn)生中應(yīng)變率的單調(diào)上升動(dòng)載荷也能滿足式(17)的要求。對(duì)于靜加載巖石系統(tǒng)承受沖擊載荷，即一巖石試樣，首先承受一個(gè)靜載荷p的作用，然后再作用一個(gè)階躍載荷P。令x0表示在靜力p作用下的穩(wěn)定平衡位置(p這里顯然應(yīng)小于巖樣的靜態(tài)抗壓強(qiáng)度)，Vp(x)是靜力p作用下巖樣產(chǎn)生x位移時(shí)系統(tǒng)的勢(shì)能，Vp+P(x)，Vp+P(x0)分別是巖石加載系統(tǒng)在載荷(p+P)作用下分別產(chǎn)生x位移和x0位移時(shí)的勢(shì)能。根據(jù)文，受靜加載巖石系統(tǒng)在沖擊載荷作用下失穩(wěn)破壞的突變理論模型可表示為：在靜力p作用下的巖石加載系統(tǒng)沖擊失穩(wěn)破壞的臨界階躍載荷Pcr為作為勢(shì)函數(shù)的突變系統(tǒng)的分叉集，的形式為其中，式中：x=x0+z,z為沖擊載荷作用下試樣產(chǎn)生的位移；Q(x)為外力Q作用下巖樣靜態(tài)位移x的變化規(guī)律。顯然，當(dāng)p=0時(shí)，x0=0，則式(18)退化為式(17)。4.21-靜加載巖石系統(tǒng)的影響損失理論分析現(xiàn)應(yīng)用上述靜加載巖石系統(tǒng)沖擊失穩(wěn)破壞的突變模型對(duì)一維靜加載巖石系統(tǒng)沖擊失穩(wěn)破壞進(jìn)行分析。4.2.1靜加載突變系統(tǒng)的平衡面方程對(duì)于試驗(yàn)機(jī)和巖樣構(gòu)成的加載系統(tǒng)，可建立如圖2所示的力學(xué)模型。對(duì)于截面面積為A，長(zhǎng)為L(zhǎng)的試樣，載荷Q與變形x的關(guān)系可表示為式中：λ為巖樣的初始剛度，且λ=EA/L;E為彈性模量；u0為荷載–變形曲線峰值荷載所對(duì)應(yīng)的變形值。系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)是系統(tǒng)的總能量為式中：k為試驗(yàn)機(jī)的剛度，a為系統(tǒng)的全位移。如果靜載荷為p時(shí)，巖樣的位移為x0，則有如果在靜載荷p的同一方向施加一階躍載荷P，則在靜載荷p和階躍載荷P共同作用下的勢(shì)能可表示為則式(18)所示的用于確定臨界階躍載荷Pcr的突變系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)為該突變系統(tǒng)的平衡曲面為為了求得標(biāo)準(zhǔn)形式的平衡曲面方程，將式(26)在x=0處展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，并截取至三次項(xiàng)，得到其中，令從而得到關(guān)于狀態(tài)變量為y控制變量為u,v的突變模型的標(biāo)準(zhǔn)形式平衡曲面方程：其中，按照突變理論，突變系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的分叉集為從式(31)～(33)看，突變系統(tǒng)分叉集不僅包含了材料參數(shù)k，λ和u0，還包含了系統(tǒng)的全位移a，靜加載狀態(tài)參數(shù)p和x0。按照文可認(rèn)為，有可能發(fā)生突變系統(tǒng)的分叉集不僅是由力學(xué)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定的，還與外部作用有關(guān)。這與巖石在靜載荷作用下失穩(wěn)破壞的情況是不同的，此時(shí)有可能發(fā)生突變的分叉集僅由力學(xué)系統(tǒng)的本身的性質(zhì)決定，與外部作用無(wú)關(guān)。應(yīng)用式(13)，(28)，(31)～(33)可得P的臨界值為其中，4.2.2預(yù)加靜載荷的計(jì)算以上結(jié)果難以直接看出預(yù)靜載荷變化對(duì)臨界載荷的影響，為了數(shù)值計(jì)算方便，取如下計(jì)算參數(shù)：(1)試樣為紅砂巖，其參數(shù)為：(2)根據(jù)文，試驗(yàn)機(jī)的剛度k要載荷達(dá)到一定值時(shí)才是常數(shù)。由于下節(jié)介紹的試驗(yàn)所加載荷都較小，采用類比的方法，可取k=1×109N/m。(3)試驗(yàn)機(jī)的全位移a為試樣破壞時(shí)的總位移與試驗(yàn)機(jī)的變形之和，如果不考慮試驗(yàn)機(jī)的變形，取a為試樣破壞時(shí)的總位移。根據(jù)上述原則，由式(34)～(39)可得預(yù)加靜載荷與理論臨界載荷Pcr的關(guān)系見(jiàn)表1。表1中，靜載荷所對(duì)應(yīng)的初始位移x0為近似計(jì)算數(shù)據(jù)，全位移a為x0與動(dòng)載產(chǎn)生的位移(試驗(yàn)數(shù)據(jù))z之和。從表1看，理論臨界載荷Pcr隨預(yù)加靜載荷p的增大而減小。5試驗(yàn)證實(shí)5.1測(cè)試5.1.1試件的研磨處理本試驗(yàn)選用完整性和均勻性相對(duì)較好的中等強(qiáng)度的紅砂巖，根據(jù)常規(guī)力學(xué)性能測(cè)試要求制作標(biāo)準(zhǔn)試件，即50mm×50mm×100mm的長(zhǎng)方體。并對(duì)試件的兩端進(jìn)行了仔細(xì)研磨，不平行度和不垂直度均小于0.02mm，達(dá)到國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的技術(shù)要求；試件表面光滑，沒(méi)有明顯缺陷。試件的平均體積密度為1.94g/cm3，平均單軸抗壓強(qiáng)度為11.88MPa。5.1.2試驗(yàn)儀器和平臺(tái)試驗(yàn)在Instron1342型電液伺服材料試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行，壓力傳感器的最大載荷為±250kN，具有模擬控制和計(jì)算機(jī)控制2種控制方式，除了靜態(tài)加載外，還能完成正弦波、三角波和方波等幅信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)的低周疲勞加載，進(jìn)行各種常規(guī)力學(xué)性能和斷裂參數(shù)的測(cè)試。試驗(yàn)中應(yīng)用低頻疲勞試驗(yàn)控制軟件SAX來(lái)模擬巖石材料的動(dòng)態(tài)應(yīng)力波加載，采用江蘇省東華測(cè)試技術(shù)開(kāi)發(fā)有限公司生產(chǎn)的DH–5932數(shù)據(jù)采集記錄分析儀以及DH–3840可編程應(yīng)變放大器實(shí)行動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)采集與記錄。該系統(tǒng)包括以A/D轉(zhuǎn)換器為核心的數(shù)據(jù)采集記錄儀，以控制、記錄和分析為目的的微型計(jì)算機(jī)以及相應(yīng)的控制軟件和分析軟件?？捎糜诟鞣N電壓信號(hào)的采集、存貯、顯示和處理。5.1.3鋼墊片的加載所有試件的測(cè)試，均采用連續(xù)加載方式由計(jì)算機(jī)自動(dòng)控制，計(jì)算機(jī)軟件的操作在Windows98中文視窗下進(jìn)行。量測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)行實(shí)時(shí)同步連續(xù)采樣、存貯，整個(gè)過(guò)程由計(jì)算機(jī)自動(dòng)、完整地記錄試件受力與變形的全過(guò)程。本試驗(yàn)采用載荷控制方式。試驗(yàn)步驟如下：(1)將試件放在試驗(yàn)機(jī)的工作平臺(tái)上，上下各放置一塊50mm×50mm×10mm規(guī)格的鋼墊片；(2)試驗(yàn)參數(shù)設(shè)置：加載波形為正弦波，周期數(shù)為1，幅值按超過(guò)試件的估計(jì)強(qiáng)度值設(shè)置為100kN；這樣的設(shè)置與疲勞試驗(yàn)有很大的區(qū)別，疲勞試驗(yàn)要求周期數(shù)大、幅值小(不能超過(guò)試件強(qiáng)度)。然后選擇加荷頻率(2Hz)和數(shù)據(jù)采樣頻率，因?yàn)槭莿?dòng)態(tài)試驗(yàn)，采樣頻率為5kHz。最后設(shè)置極限保護(hù)以保障設(shè)備安全。(3)利用微調(diào)先在試件上分別施加所要求的靜載(0,5,10或15kN，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力為0,2,4或6MPa)，然后輸入動(dòng)態(tài)加載指令，將試件一次性壓壞。靜載應(yīng)力S=12MPa的試驗(yàn)結(jié)果是另外一種紅砂巖試樣按上述程序試驗(yàn)所得。5.2比較試驗(yàn)結(jié)果和理論結(jié)果的分析5.2.1密度對(duì)全應(yīng)變能的影響把峰值應(yīng)力前的應(yīng)變能定義為從動(dòng)靜載荷共同作用時(shí)開(kāi)始至達(dá)到巖石峰值載荷時(shí)為止這一段時(shí)間內(nèi)損耗的能量，試驗(yàn)全變形能為峰值應(yīng)力前的應(yīng)變能與