考研數(shù)學(xué)公式大全(考研必備)

高等數(shù)學(xué)公式篇·平方關(guān)系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·積的關(guān)系：

sinα=tanα*cosα

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

·倒數(shù)關(guān)系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1,

·兩角和與差的三角函數(shù)：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·輔助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·降冪公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·萬能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·積化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化積公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·推導(dǎo)公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

部分高等內(nèi)容

[編輯本段]

·高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級數(shù)易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒展開有無窮級數(shù)，e^z=exp(z)＝1＋z/1?。珃^2/2?。珃^3/3?。珃^4/4?。珃^n/n?。?/p>

此時三角函數(shù)定義域已推廣至整個復(fù)數(shù)集。

·三角函數(shù)作為微分方程的解：

對于微分方程組y=-y'';y=y''''，有通解Q,可證明

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。

補充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)——雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。

導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：SKIPIF1<0一些初等函數(shù)：兩個重要極限：三角函數(shù)公式：·和差角公式：·和差化積公式：·倍角公式：·半角公式：SKIPIF1<0·正弦定理：SKIPIF1<0·余弦定理：SKIPIF1<0·反三角函數(shù)性質(zhì)：SKIPIF1<0高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：SKIPIF1<0中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：SKIPIF1<0曲率：SKIPIF1<0定積分的近似計算：SKIPIF1<0定積分應(yīng)用相關(guān)公式：SKIPIF1<0空間解析幾何和向量代數(shù)：SKIPIF1<0SKIPIF1<0多元函數(shù)微分法及應(yīng)用SKIPIF1<0SKIPIF1<0微分法在幾何上的應(yīng)用：SKIPIF1<0方向?qū)?shù)與梯度：SKIPIF1<0多元函數(shù)的極值及其求法：SKIPIF1<0重積分及其應(yīng)用：SKIPIF1<0柱面坐標和球面坐標：SKIPIF1<0曲線積分：SKIPIF1<0SKIPIF1<0高斯公式：SKIPIF1<0曲面積分SKIPIF1<0斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系：SKIPIF1<0常數(shù)項級數(shù)：SKIPIF1<0級數(shù)審斂法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0絕對收斂與條件收斂：SKIPIF1<0冪級數(shù)：SKIPIF1<0函數(shù)展開成冪級數(shù)：SKIPIF1<0一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：SKIPIF1<0歐拉公式：SKIPIF1<0三角級數(shù)：SKIPIF1<0傅立葉級數(shù)：SKIPIF1<0周期為SKIPIF1<0的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：SKIPIF1<0微分方程的相關(guān)概念：SKIPIF1<0一階線性微分方程：SKIPIF1<0全微分方程：SKIPIF1<0二階微分方程：SKIPIF1<0二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(*)式的通解兩個不相等實根SKIPIF1<0SKIPIF1<0兩個相等實根SKIPIF1<0SKIPIF1<0一對共軛復(fù)根SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二階常系數(shù)非齊次線性微分方程SKIPIF1<01、行列式SKIPIF1<0行列式共有SKIPIF1<0個元素，展開后有SKIPIF1<0項，可分解為SKIPIF1<0行列式；代數(shù)余子式的性質(zhì)：①、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小無關(guān)；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為SKIPIF1<0；代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0行列式SKIPIF1<0：將SKIPIF1<0上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；將SKIPIF1<0順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，所得行列式為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；將SKIPIF1<0主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；將SKIPIF1<0主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；行列式的重要公式：①、主對角行列式：主對角元素的乘積；②、副對角行列式：副對角元素的乘積SKIPIF1<0；③、上、下三角行列式（SKIPIF1<0）：主對角元素的乘積；④、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0：副對角元素的乘積SKIPIF1<0；⑤、拉普拉斯展開式：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0⑥、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；⑦、特征值；對于SKIPIF1<0階行列式SKIPIF1<0，恒有：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0階主子式；證明SKIPIF1<0的方法：①、SKIPIF1<0；②、反證法；③、構(gòu)造齊次方程組SKIPIF1<0，證明其有非零解；④、利用秩，證明SKIPIF1<0；⑤、證明0是其特征值；2、矩陣SKIPIF1<0是SKIPIF1<0階可逆矩陣：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（是非奇異矩陣）；SKIPIF1<0SKIPIF1<0（是滿秩矩陣）SKIPIF1<0SKIPIF1<0的行（列）向量組線性無關(guān)；SKIPIF1<0齊次方程組SKIPIF1<0有非零解；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0總有唯一解；SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0等價；SKIPIF1<0SKIPIF1<0可表示成若干個初等矩陣的乘積；SKIPIF1<0SKIPIF1<0的特征值全不為0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0是正定矩陣；SKIPIF1<0SKIPIF1<0的行（列）向量組是SKIPIF1<0的一組基；SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中某兩組基的過渡矩陣；對于SKIPIF1<0階矩陣SKIPIF1<0：SKIPIF1<0無條件恒成立；SKIPIF1<0SKIPIF1<0矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可逆：若SKIPIF1<0，則：Ⅰ、SKIPIF1<0；Ⅱ、SKIPIF1<0；②、SKIPIF1<0；（主對角分塊）③、SKIPIF1<0；（副對角分塊）④、SKIPIF1<0；（拉普拉斯）⑤、SKIPIF1<0；（拉普拉斯）3、矩陣的初等變換與線性方程組一個SKIPIF1<0矩陣SKIPIF1<0，總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：SKIPIF1<0；等價類：所有與SKIPIF1<0等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0；行最簡形矩陣：①、只能通過初等行變換獲得；②、每行首個非0元素必須為1；③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可逆，且SKIPIF1<0；②、對矩陣SKIPIF1<0做初等行變化，當SKIPIF1<0變?yōu)镾KIPIF1<0時，SKIPIF1<0就變成SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0；③、求解線形方程組：對于SKIPIF1<0個未知數(shù)SKIPIF1<0個方程SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可逆，且SKIPIF1<0；初等矩陣和對角矩陣的概念：①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；②、SKIPIF1<0，左乘矩陣SKIPIF1<0，SKIPIF1<0乘SKIPIF1<0的各行元素；右乘，SKIPIF1<0乘SKIPIF1<0的各列元素；③、對調(diào)兩行或兩列，符號SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，例如：SKIPIF1<0；④、倍乘某行或某列，符號SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，例如：SKIPIF1<0；⑤、倍加某行或某列，符號SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，如：SKIPIF1<0；矩陣秩的基本性質(zhì)：①、SKIPIF1<0；②、SKIPIF1<0；③、若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；④、若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可逆，則SKIPIF1<0；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）⑤、SKIPIF1<0；（※）⑥、SKIPIF1<0；（※）⑦、SKIPIF1<0；（※）⑧、如果SKIPIF1<0是SKIPIF1<0矩陣，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0矩陣，且SKIPIF1<0，則：（※）Ⅰ、SKIPIF1<0的列向量全部是齊次方程組SKIPIF1<0解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）；Ⅱ、SKIPIF1<0⑨、若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0階方陣，則SKIPIF1<0；三種特殊矩陣的方冪：①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）SKIPIF1<0行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；②、型如SKIPIF1<0的矩陣：利用二項展開式； 二項展開式：SKIPIF1<0； 注：Ⅰ、SKIPIF1<0展開后有SKIPIF1<0項；Ⅱ、SKIPIF1<0Ⅲ、組合的性質(zhì)：SKIPIF1<0；③、利用特征值和相似對角化：伴隨矩陣：①、伴隨矩陣的秩：SKIPIF1<0；②、伴隨矩陣的特征值：SKIPIF1<0；③、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0矩陣秩的描述：①、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中有SKIPIF1<0階子式不為0，SKIPIF1<0階子式全部為0；（兩句話）②、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中有SKIPIF1<0階子式全部為0；③、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中有SKIPIF1<0階子式不為0；線性方程組：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0矩陣，則：①、SKIPIF1<0與方程的個數(shù)相同，即方程組SKIPIF1<0有SKIPIF1<0個方程；②、SKIPIF1<0與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組SKIPIF1<0為SKIPIF1<0元方程；線性方程組SKIPIF1<0的求解：①、對增廣矩陣SKIPIF1<0進行初等行變換（只能使用初等行變換）；②、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；③、特解：自由變量賦初值后求得；由SKIPIF1<0個未知數(shù)SKIPIF1<0個方程的方程組構(gòu)成SKIPIF1<0元線性方程：①、SKIPIF1<0；②、SKIPIF1<0（向量方程，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0矩陣，SKIPIF1<0個方程，SKIPIF1<0個未知數(shù)）③、SKIPIF1<0（全部按列分塊，其中SKIPIF1<0）；④、SKIPIF1<0（線性表出）⑤、有解的充要條件：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性SKIPIF1<0個SKIPIF1<0維列向量所組成的向量組SKIPIF1<0：SKIPIF1<0構(gòu)成SKIPIF1<0矩陣SKIPIF1<0；SKIPIF1<0個SKIPIF1<0維行向量所組成的向量組SKIPIF1<0：SKIPIF1<0構(gòu)成SKIPIF1<0矩陣SKIPIF1<0；含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；①、向量組的線性相關(guān)、無關(guān) SKIPIF1<0有、無非零解；（齊次線性方程組）②、向量的線性表出 SKIPIF1<0是否有解；（線性方程組）③、向量組的相互線性表示 SKIPIF1<0是否有解；（矩陣方程）矩陣SKIPIF1<0與SKIPIF1<0行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組SKIPIF1<0和SKIPIF1<0同解；(SKIPIF1<0例14)SKIPIF1<0；(SKIPIF1<0例15)SKIPIF1<0維向量線性相關(guān)的幾何意義：①、SKIPIF1<0線性相關(guān) SKIPIF1<0SKIPIF1<0；②、SKIPIF1<0線性相關(guān) SKIPIF1<0SKIPIF1<0坐標成比例或共線（平行）；③、SKIPIF1<0線性相關(guān) SKIPIF1<0SKIPIF1<0共面；線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若SKIPIF1<0線性相關(guān)，則SKIPIF1<0必線性相關(guān)；若SKIPIF1<0線性無關(guān)，則SKIPIF1<0必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若SKIPIF1<0維向量組SKIPIF1<0的每個向量上添上SKIPIF1<0個分量，構(gòu)成SKIPIF1<0維向量組SKIPIF1<0：若SKIPIF1<0線性無關(guān)，則SKIPIF1<0也線性無關(guān)；反之若SKIPIF1<0線性相關(guān)，則SKIPIF1<0也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；向量組SKIPIF1<0（個數(shù)為SKIPIF1<0）能由向量組SKIPIF1<0（個數(shù)為SKIPIF1<0）線性表示，且SKIPIF1<0線性無關(guān)，則SKIPIF1<0(二版SKIPIF1<0定理7)；向量組SKIPIF1<0能由向量組SKIPIF1<0線性表示，則SKIPIF1<0；（SKIPIF1<0定理3）向量組SKIPIF1<0能由向量組SKIPIF1<0線性表示SKIPIF1<0有解；SKIPIF1<0（SKIPIF1<0定理2） 向量組SKIPIF1<0能由向量組SKIPIF1<0等價SKIPIF1<0（SKIPIF1<0定理2推論）方陣SKIPIF1<0可逆SKIPIF1<0存在有限個初等矩陣SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；①、矩陣行等價：SKIPIF1<0（左乘，SKIPIF1<0可逆）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同解②、矩陣列等價：SKIPIF1<0（右乘，SKIPIF1<0可逆）；③、矩陣等價：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可逆）；對于矩陣SKIPIF1<0與SKIPIF1<0：①、若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0行等價，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的行秩相等；②、若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0行等價，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同解，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；④、矩陣SKIPIF1<0的行秩等于列秩；若SKIPIF1<0，則：①、SKIPIF1<0的列向量組能由SKIPIF1<0的列向量組線性表示，SKIPIF1<0為系數(shù)矩陣；②、SKIPIF1<0的行向量組能由SKIPIF1<0的行向量組線性表示，SKIPIF1<0為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）齊次方程組SKIPIF1<0的解一定是SKIPIF1<0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；①、SKIPIF1<0 只有零解SKIPIF1<0只有零解；②、SKIPIF1<0 有非零解SKIPIF1<0一定存在非零解；設(shè)向量組SKIPIF1<0可由向量組SKIPIF1<0線性表示為：（SKIPIF1<0題19結(jié)論）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0） 其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0線性無關(guān)，則SKIPIF1<0組線性無關(guān)SKIPIF1<0；（SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：SKIPIF1<0；充分性：反證法） 注：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0為方陣，可當作定理使用；①、對矩陣SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的列向量線性無關(guān)；（SKIPIF1<0）②、對矩陣SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的行向量線性無關(guān)；SKIPIF1<0線性相關(guān)SKIPIF1<0存在一組不全為0的數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立；（定義）SKIPIF1<0SKIPIF1<0有非零解，即SKIPIF1<0有非零解；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；設(shè)SKIPIF1<0的矩陣SKIPIF1<0的秩為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0元齊次線性方程組SKIPIF1<0的解集SKIPIF1<0的秩為：SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的一個解，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的一個基礎(chǔ)解系，則SKIPIF1<0線性無關(guān)；（SKIPIF1<