第01講基本不等式

第01講基本不等式目錄TOC\o"11"\h\u題型一：重點(diǎn)考查基本不等式公式的理解 1題型二：重點(diǎn)考查利用基本不等式比較大小 4題型三：重點(diǎn)考查利用基本不等式求最值 5題型四：重點(diǎn)考查利用基本不等式求商式的最值 8題型五：重點(diǎn)考查利用基本不等式求條件等式的最值 10題型六：重點(diǎn)考查基本不等式中“1”的妙用 13題型七：重點(diǎn)考查基本不等式中的恒成立問(wèn)題 16題型八：重點(diǎn)考查基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用 19題型一：重點(diǎn)考查基本不等式公式的理解典型例題例題1．（2023春·遼寧·高二鳳城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在中，可得，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：D.例題2．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┊?dāng)時(shí)，函數(shù)（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4【答案】A【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：A例題3．（2023春·黑龍江·高一富錦市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）以下結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小值是2 B．若，且，則C．若，則的最小值為3 D．函數(shù)的最大值為0【答案】BD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由基本不等式知當(dāng)，則，故B正確，對(duì)于C，令，方程無(wú)解，則等號(hào)不成立，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)的最大值為0，故D正確，故選：BD精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列幾個(gè)不等式中，不能取到等號(hào)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)A，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立；對(duì)B，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立；對(duì)C，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立；對(duì)D，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)脮r(shí)等號(hào)成立，無(wú)解，等號(hào)不成立．故選：D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項(xiàng)不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】x，y都是正數(shù)，由基本不等式，，，，這三個(gè)不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而題中，因此等號(hào)都取不到，所以ABC三個(gè)不等式恒成立；中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，如即可取等號(hào)，D中不等式不恒成立．故選：D．3．（多選）（2023春·陜西安康·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】對(duì)A、B：∵，則，∴，即，，A、B正確；對(duì)C∵，例如，則，顯然不滿足，C錯(cuò)誤；對(duì)D：∵，則，∴，D正確.故選：ABD.題型二：重點(diǎn)考查利用基本不等式比較大小典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知、為正實(shí)數(shù)，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)閍、b為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，綜上：.故選：B例題2．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)（、為互不相等的正實(shí)數(shù)），，則與的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】、為互不相等的正實(shí)數(shù)，則，所以，，時(shí)，，所以．故選：A．例題3．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若，，且，則在中最大的一個(gè)是.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，且，由不等式的基本性質(zhì)得，所以在中最大的一個(gè)是故答案為：精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）近來(lái)國(guó)內(nèi)天氣干旱，各地多次發(fā)布干旱紅色預(yù)警信號(hào)，導(dǎo)致白菜價(jià)格不穩(wěn)定，假設(shè)第一周、第二周的白菜價(jià)格分別為a元/斤、b元所，甲和乙購(gòu)買白菜的方式不同，甲每周購(gòu)買20元錢的白菜，乙每周購(gòu)買6斤白菜，甲、乙兩次平均單價(jià)為分別記為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的大小無(wú)法確定【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意可得．當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，由題意可得，所以，則.故選：C．2．（2023春·河北石家莊·高一?？计谥校┮阎狿＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．則P、Q的大小關(guān)系為（

）A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q【答案】C【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：C題型三：重點(diǎn)考查利用基本不等式求最值典型例題例題1．（2023秋·山西晉中·高三?？奸_學(xué)考試）已知，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，解得，故選：B例題2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？奸_學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】由于，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選:B．例題3．（2023春·云南楚雄·高二云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則的最小值是．【答案】【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則．故答案為：精練核心考點(diǎn)1．（2023春·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，則，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為.故選：C.2．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【詳解】方法一

∵當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，∴只需求出函數(shù)的最小值，令最小值大于0即可.二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為.當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，則，，∴.當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，∴，解得，∴.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.方法二:∵，∴由得.∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為，∴.故a的取值范圍為.故答案為：3．（2023春·青海海東·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知兩個(gè)正數(shù)滿足，則的最小值為．【答案】20【詳解】因?yàn)闉檎龜?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以則的最小值為20.故答案為：20.題型四：重點(diǎn)考查利用基本不等式求商式的最值典型例題例題1．（2023·四川成都·高一石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則.故選：D.例題2．（2023·湖北襄陽(yáng)·高三棗陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小值為．【答案】7【詳解】令，；則(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立)，故函數(shù)，的最小值為故答案為：7例題3．（2023·江蘇泰州·高一校考階段練習(xí)）求函數(shù)的最小值.【答案】；【詳解】解：，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有最小值；精練核心考點(diǎn)1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x：C．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)的最小值是．【答案】【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以函數(shù)的最小值是故答案為:.3．（2023·上海·高一專題練習(xí)），則的最小值是，此時(shí)a＝．【答案】2；0【詳解】顯然，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，的最小值是2，此時(shí).故答案為：2；0．題型五：重點(diǎn)考查利用基本不等式求條件等式的最值典型例題例題1．（2023秋·新疆·高一校聯(lián)考期末）設(shè)，則的最小值為（

）A． B．C． D．6【答案】A【詳解】由題意，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：A例題2．（多選）（2023春·重慶·高二校聯(lián)考期末）若，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，B，因?yàn)?，，所以，則，即，得或（舍），則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以A錯(cuò)誤，B正確.對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，則，即，得或（舍），則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以C正確.對(duì)于D，因?yàn)?，，即，則，所以，則，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以D正確.故選：BCD.例題3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）（1）已知，且，求的最小值.（2）已知，且，求的最小值.【答案】（1）9；（2）16【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.（2）因?yàn)?，，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)校考開學(xué)考試）若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．的最小值為4 B．的最大值為4C．的最小值為 D．的最大值為8【答案】D【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，整理得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，由A項(xiàng)可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由題可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，，又，所以的最小值為8，當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí)取得最小值，故D錯(cuò)誤.故選：D.2．（2023春·天津和平·高二統(tǒng)考期末）已知，則的最小值是．【答案】【詳解】∵，∴且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故答案為：.3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）（1）設(shè).若，求的取值范圍；（2）設(shè)，，.若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，即，解得或，即的取值范圍為.（2）因?yàn)椋?，則，所以，即，則，即，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以的取值范圍為．題型六：重點(diǎn)考查基本不等式中“1”的妙用典型例題例題1．（2023秋·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B．0 C．1 D．【答案】A【詳解】，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故選：A例題2．（2023春·河南許昌·高一?？计谥校┤簦瑒t的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】由，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為3.故選：C.例題3．（多選）（2023春·湖南邵陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）若正實(shí)數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．的最大值為1 B．的最大值為2C．的最小值為2 D．的最小值為2【答案】AD【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最大值為1，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為2，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2，故D項(xiàng)正確.故選：AD.例題4．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是.【答案】【詳解】因?yàn)椋?，即，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）當(dāng)時(shí)，的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為9．故選：B2．（2023春·陜西寶雞·高二校聯(lián)考期末）已知，，，則的最小值為（

）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【詳解】由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又由（當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，b＝2時(shí)取等號(hào)），有，可得的最小值為32．故選：D．3．（2023秋·河南許昌·高三許昌高中?？奸_學(xué)考試）若正數(shù)a，b滿足，則的取值范圍是．【答案】【詳解】，因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足，所以，所以．故答案為：4．（2023春·湖南常德·高一統(tǒng)考期末）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】/【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，的最小值為.故答案為：題型七：重點(diǎn)考查基本不等式中的恒成立問(wèn)題典型例題例題1．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若對(duì)，，有恒成立，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故選：D．例題2．（2023秋·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽(yáng)中學(xué)?？计谀┮阎獙?shí)數(shù)滿足，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．9 B．25 C．16 D．12【答案】B【詳解】由得，又因?yàn)?，所以?shí)數(shù)均是正數(shù)，若不等式恒成立，即；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；所以，，即實(shí)數(shù)的最大值為25.故選：B.例題3．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，都是正實(shí)數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)閍，b都是正實(shí)數(shù)，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)閍，b都是正實(shí)數(shù)，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，故恒成立，C正確；D選項(xiàng)，a是正實(shí)數(shù)，故，其中，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D錯(cuò)誤.故選：AC例題4．（多選）（2023秋·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】AB【詳解】要使不等式恒成立，只需要即可.由，得，因?yàn)椋裕裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為，即，故的最大值為.故選：AB.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，不等式，即不等式恒成立，因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立，所以，所以.故選：D.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是（

）A． B．2 C．1 D．【答案】D【詳解】∵，，不等式恒成立，即恒成立，∴只需,∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，∴，∴m的最小值為，故選：D3．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】BCD【詳解】由，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ?，結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)B、C、D符合題意.故選：BCD.4．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)，，時(shí)，恒成立，則的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2【答案】AB【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)椋艉愠闪?，則，解得．故選：AB.題型八：重點(diǎn)考查基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用典型例題例題1．（多選）（2023·全國(guó)·高一課堂例題）《九章算術(shù)》中“勾股容方”問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法：如圖（1），用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為和的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖（2）所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為，寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)d．由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖（3），設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，作直角三角形的內(nèi)接正方形的對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)F，則下列推理正確的是（

）A．由題圖（1）和題圖（2）面積相等得B．由可得C．由可得D．由可得【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，由題圖（1），（2）面積相等得，所以，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)題圖（3）中內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為t，根據(jù)三角形相似可得，解得，所以．因?yàn)?，所以，整理可得，故B正確．對(duì)于C，因?yàn)镈為斜邊BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，整理得，故C正確．對(duì)于D，因?yàn)椋?，整理得，故D正確．故選：BCD例題2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在實(shí)驗(yàn)課上，小明和小芳利用一個(gè)不等臂的天平秤稱取藥品.實(shí)驗(yàn)一：小明將克的砝碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實(shí)驗(yàn)二：小芳將克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中小明和小芳共秤得的藥品（

）A．大于克 B．小于克C．大于等于克 D．小于等于克【答案】C【詳解】設(shè)天平左、右兩邊臂長(zhǎng)分別為，小明、小芳放入的藥品的克數(shù)分別為，，則由杠桿原理得：，于是，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：C.例題3．（2023秋·廣西南寧·高三南寧市武鳴區(qū)武鳴高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知兩城市的距離是?根據(jù)交通法規(guī)，兩城市之間的公路車速應(yīng)限制在，假設(shè)油價(jià)是6元，以的速度行駛時(shí)，汽車的耗油率為，其它費(fèi)用是36元.為了這次行車的總費(fèi)用最少，那么最經(jīng)濟(jì)的車速是（精確到，參考數(shù)據(jù)）【答案】【詳解】設(shè)汽車以行駛時(shí)，行車的總費(fèi)用，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅