2020-2021年中考數(shù)學(xué)一輪突破 基礎(chǔ)過關(guān) 第16講二次函數(shù)

第16講二次函數(shù)

▼備考指南＜,

(1)通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義.

(2)會用描點法畫出二次函數(shù)的圖像，通過圖像了解二次函數(shù)

的性質(zhì).

(3)會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a(x-

課標(biāo)要求hA+k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)，說

出圖像的開口方向，畫出圖像的對稱軸，并能解決簡單實際

問題.

(4)會利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解.

(5)*知道給定不共線三點的坐標(biāo)可以確定一個二次函數(shù).

該內(nèi)容主要是以填空、選擇、二次函數(shù)綜合題的形式來

考查，特別是二次函數(shù)綜合題居多，分值為3?15分.主要

考點為二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、確定二次函數(shù)的表達(dá)式、二

考情分析

次函數(shù)與一元二次方程及不等式的關(guān)系、二次函數(shù)與圖形的

綜合等.預(yù)測2021年中考以上考點依然會出現(xiàn)，建議加強理

解圖象與性質(zhì)，熟練題型與方法，并加以練習(xí)鞏固.

第1課時

▼基礎(chǔ)梳理r

一、二次函數(shù)的概念

一般地，形如(a,b,c是常數(shù)，且a)的函數(shù)，叫做

二次函數(shù).

二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c用配方法可化成y=a(x—h)2+k的形式，其中

h—

h=-T-,k=--.(h,k)就是二次函數(shù)的_______坐標(biāo).

2.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式

@y=ax2；(2)y=ax2+k；

③y=a(x—h)2；@y=a(x—h)2+k；

(§)y=ax2+bx+c

三、二次函數(shù)圖象及圖象的變換

二次函數(shù)的圖象是一條,它是軸對稱圖形，它的對稱軸平行或重合

于軸.

1.平移步驟

(1)將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,確定其頂點坐標(biāo)(h,k)；

(2)保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到(h,k)處，具體平移方法

如下:

I----------1向上(&〉0)［或向下3＜0)］平移四個單位I--------------

|尸苗21---------------------------------------------------------＞|y=axUk

向右(方＞0)［或左(肛0)］

向右(方＞0)

平移閥個單位向右(方＞0)

［或左(JK0)］［或左(左0)］

向上伏＞0)或下伏＜0)

平移同個單位平移向個單位

平移附個單位

"回向上@＞。)威下儕。)］平邸少單位小=”“巴H

2.平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”.概括

成八個字“左加右減，上加下減”.

四、二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象和性質(zhì)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,

b,c為常數(shù)，aWO）

條件a>0a<0

圖象4

開口方向開口向上開口向下

對稱軸直線x=-^-

b4ac-b2

頂點坐標(biāo)「a，4a)

在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x＜一在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)X＜—

靠時，y隨x的增大而減??；裊寸，y隨X的增大而增大；

Nd

增減性

在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)X＞一在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)X＞一

當(dāng)寸，y隨X的增大而增大%寸，y隨X的增大而減小

NdNd

當(dāng)X=一^時，y有最小值為當(dāng)X=一品時，y有最大值為

Nd

最值

4ac-b24ac~~b2

4a4a

，▼重點突破。

錯誤!，

二次函數(shù)圖象的變換

圓n（2018.北部灣經(jīng)濟區(qū)，第9小題，3分）

將拋物線y=1x2-6x+21向左平移2個單位后，得到新拋物線的解析式為

A.y=2（x-8）2+5B.y=2（x-4）2+5

C.y=z（x—8）2+3D.y=T（x—4）2+3

【思路點撥】方法一：先將解析式進(jìn)行配方變?yōu)轫旤c式，再將頂點平移.拋

物線y=￥—6x+21,可配方成y=T（x—6產(chǎn)+3,頂點坐標(biāo)為（6,3）.因為圖象

向左平移2個單位，所以頂點向左平移2個單位，即新的頂點坐標(biāo)變?yōu)椋?,3）,

而拋物線開口大小不變，于是新拋物線的解析式為y=；（x—4/+3.

方法二：直接運用函數(shù)圖象左右平移的“左加右減”法則進(jìn)行解題.向左平

移2個單位，即原來解析式中所有的x都要變成（x+2）,于是新拋物線解析式為

y=2（x+2）2—6（x+2）+21,整理，得y=*—4x+U,配方后得y=；（x—4/+

3.

?期D（2020.百色,第11小題，3分）

將拋物線y=（x+I）'+1平移得到拋物線y=x2+6x+6，是怎樣平移

得到的（）

A.先向左平移1個單位長度,再向上平移5個單位長度

B.先向左平移2個單位長度,再向下平移4個單位長度

C.先向右平移1個單位長度,再向上平移5個單位長度

D.先向右平移2個單位長度,再向下平移4個單位長度

錯誤!,二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)）

圓囪（2016.玉林、防城港，第8小題，3分）

拋物線y=1x2,y=x2,y=-x2的共同性質(zhì)是:

①都是開口向上；②都以點（0,0）為頂點；

③都以y軸為對稱軸；④都關(guān)于x軸對稱.

其中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

■朝?(2017.玉林、防城港，第18小題，3分)

已知拋物線：y=ax2+bx+c(a>0)經(jīng)過A(—l,1),B(2,4)兩點，頂點坐標(biāo)

為(m,n),有下列結(jié)論：

①b<l；②c<2；③0<m<|；④nWL

則所有正確結(jié)論的序號是.

■EI(2020?梧州,第9小題,3分)

如圖，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+h交于A、B兩點，下列是關(guān)

于x的不等式或方程，結(jié)論正確的是()

A.ax2+(b—k)x+c>h的解集是：2Vx<4

B.ax2+(b—k)x+c>h的解集是：x>4

C.ax2+(b—k)x+c>h的解集是：x<2

D.ax2+(b—k)x+c=h的解集是：xi=2,X2=4

【思路點撥】ax2+(b—k)x+c>h即為ax?+bx+c>kx+h,即拋物線在直

2

線上方部分的x的取值范圍，可根據(jù)圖象得到ax+(b-k)x+c>h的解集是x<

2或x>4,故選項A、B、C錯誤；ax2+(b—k)x+c=h的解，即為兩函數(shù)圖象

交點的橫坐標(biāo)，故選項D正確.

國63庖(2015.玉林、防城港,第12小題,3分)

如圖，反比例函數(shù)y=1的圖象經(jīng)過二次函數(shù)y=ax2+bx圖象的頂點錯誤!(m

>0),則有()

A.a=b+2k

B.a—b—2k

C.k<b<0

D.a<k<0

■E!(2020.貴港,第18小題，3分)

y.力力

對于拋物線yi=-x2+x+l,y2=—x2+2x+l,yj=-x2+3x+l,給出以

下結(jié)論：

①這三條拋物線都經(jīng)過點C(0,1)；

②拋物線y3的對稱軸可由拋物線yi的對稱軸向右平移一個單位而得到；

③這三條拋物線的頂點在同一條直線上；

④這三條拋物線與直線y=l的交點中，相鄰兩點之間的距離相等，其中正

確的結(jié)論序號是.

【思路點撥】算出函數(shù)與x軸以及y=l的交點，觀察函數(shù)的對稱軸.

解此類題型要認(rèn)真觀察圖象，根據(jù)題意找到

圖象對應(yīng)對齊的x軸、y軸的部分，這一部

分就是自變量x的取值范圍及函數(shù)值y的取

值范圍.

一期d(2020.梧州，第12小題，3分)

二次函數(shù)y=(a—l)x2—(2a—3)x+a—4的圖象與x軸有兩個公共點，a取

滿足條件的最小整數(shù)，將圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余部分保持不

變，得到一個

新圖象，當(dāng)直線y=kx—2與新圖象恰有三個公共點時，則k的值不可能是

()

A.-1B.—2

C.XD.2

■V達(dá)標(biāo)檢測/

1.在拋物線y=—x2+l上的一個點是()

A.(1,0)B.(0,0)

C.(0,-1)D.(1,1)

2.將拋物線y=-x2向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是()

A.y=-(x+2)2B.y=-x2+2

C.y=—(x—2)2D.y=—x2—2

3.對于函數(shù)y=-2(x—m)2的圖象，下列說法不正確的是()

A.開口向下B.對稱軸是直線x=m

C.最大值為0D.與y軸不相交

4.拋物線丫=a*2+5*—3過點(2,4),則代數(shù)式8a+4b+l的值為()

A.-2B.2

C.15D.-15

5.如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為x=2,點A,B均在拋物線

上，且AB與x軸平行，其中點A的坐標(biāo)為(0,3),則點B的坐標(biāo)為()

A.(2,3)B.(3,2)

C.(3,3)D.(4,3)

6.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax?+bx

+c<0的解集是()

A,—l<x<5

B.x>5

C.xv—l且x>5

D.xv—1或x>5

7.(2020.玉林)把二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象作關(guān)于x軸的對稱變

換，所得圖象的解析式為y=-a(x—l)2+4a,若(m—l)a+b+c《O,則m的最

大值為()

A.-4B.0C.2D.6

8.拋物線y=-2x2+1的對稱軸是.

9.拋物線y=(x-l)2+2的頂點坐標(biāo)是.

10.已知二次函數(shù)y=-2x2-2x+3的圖象上有兩點A(-7,yi),B(—8,

y2),則yi_______y2.(選填“或"=").

11.函數(shù)y=x2+mx—4,當(dāng)x<2時，y隨x的增大而減小，則m的取值范

圍是.

12.把二次函數(shù)y=(x-l)2+2的圖象繞原點旋轉(zhuǎn)180。后得到的圖象的解析

式為.

13.拋物線y=x2—4x+￥與x軸的一個交點的坐標(biāo)為(L0),則此拋物線

與X軸的另一個交點的坐標(biāo)是.

14.如圖，已知OP的半徑為2,圓心P在拋物線y=1x2—i上運動，當(dāng)。p

與x軸相切時，圓心P的坐標(biāo)為.

15.如圖，已知二次函數(shù)y=—￥+bx+c的圖象經(jīng)過A(2,0),B(0,一6)

兩點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點C,連接BA,BC,求4ABC

的面積.

16.如圖，拋物線y=—1x?+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點

C,且OA=2,OC=3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點D(2,2)是拋物線上一點，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點

P,使得△BDP的周長最小，若存在，請求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理

由.

(注：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0)的對稱軸是直線x=一會)

第2課時

基礎(chǔ)梳理/

一、拋物線y=ax2+bx+c中a,b,c的作

用

1.a決定開口方向及開口大小，這與y=ax2中的a完全一樣.

2.b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y=ax2+bx+c的對

稱軸是直線x=-B故：

(l)b=O時，對稱軸為y軸；

(2月>0(即a,b同號)時，對稱軸在y軸左側(cè)；

(3)?<0(即a,b異號)時，對稱軸在y軸右側(cè).

3.c的大小決定拋物線y=ax?+bx+c與y軸交點的位置.當(dāng)x=0時，y=

c,所以拋物線y=ax?+bx+c與y軸有且只有一個交點(0,c)：

(l)c=0,拋物線經(jīng)過原點；

(2)00,與y軸交于正半軸；

(3)c<0,與y軸交于負(fù)半軸.

以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，

則:<0.

d

二、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

1.一般式：y=ax2+bx+c(aW0).已知圖象上三點或三對x,y的值，通常

選擇一般式.

2.頂點式：y=a(x—h)2+k(a#0).已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂

點式.

3.交點式：已知圖象與x軸的交點橫坐標(biāo)xi,X2,通常選用交點式：y=a(x

—xi)(x—X2)(a00).

三、直線與拋物線的交點

1.y軸與拋物線y=ax2+bx+c的交點為(0,c).

2.與y軸平行的直線x=h與拋物線y=ax2+bx+c有且只有一個交點(h,

ah2+bh+c).

3.拋物線與x軸的交點：二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸的兩個交

點的橫坐標(biāo)xi,X2是對應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的兩個實數(shù)根.拋

物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點拋物線與x軸相交；

②有一個交點(頂點在x軸上)oA=00拋物線與x軸相切；

③沒有交點0△<0Q拋物線與x軸相離.

4.平行于x軸的直線與拋物線的交點同樣可能有0個交點、1個交點、2個

交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k,則橫坐標(biāo)是ax?

+bx+c=k(aW0)的兩個實數(shù)根.

5.一次函數(shù)y=kx+n(k#0)的圖象1與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖

fy=kx+n,

象G的交點，由方程組彳2Lu,的解的數(shù)目來確定：

[y=ax，十bx十c

(1)方程組有兩組不同的解時ol與G有兩個交點；

⑵方程組只有一組解時ol與G只有一個交點；(3)方程組無解時ol與G沒

有交點.

6.拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y=ax2+bx+c(aW0)與x軸

兩交點為A(xi,0),B(X2,0),AB=|xi—x2|.

二▼重點突破<

錯誤!,

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

國n求滿足下列條件的函數(shù)解析式：

(1)已知拋物線經(jīng)過點(1,3),(-1,1),(0,-1)；

(2)已知拋物線的對稱軸是直線x=L且經(jīng)過點(3,4),與y軸的交點是(0,

1)；

(3)已知拋物線經(jīng)過點(1,0),(—3,0),(0,6).

【思路點撥】一般地，求二次函數(shù)的解析式時，已知三點(不是與x軸的交

點)，用一般式；已知對稱軸或頂點坐標(biāo)，用頂點式；已知與x軸的兩個交點，

用交點式.

國曲口經(jīng)過A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三點的拋物線解析式是.

錯誤!，

二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

胸?(2014.柳州,第11小題，3分)小蘭畫了一個函數(shù)y=x2+ax+b的圖

象如圖，則關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的解是()

A.無解

B.x=l

C.x=—4

D.x=-1或x=4

【思路點撥】關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的解是拋物線y=x2+ax+b與x

軸交點的橫坐標(biāo).如圖，,函數(shù)y=x2+ax+b的圖象與x軸交點坐標(biāo)分別是（一

1,0）,（4,0）,關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的解是x=—1或x=4.

國曲?（2016?南寧，第12小題，3分）二次函數(shù)丫=2*2+6*+皿70）和

正比例函數(shù)y=：x的圖象如圖所示，則方程ax2+（b—1）x+c=0（aW0）的兩根之

和（）

A.大于0

B.等于0

C.小于0

D.不能確定

錯誤!,

二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

國?（2019.河池，第11小題，3分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸

為直線x=l,則下列結(jié)論中，錯誤的是（）

A.ac<0B.b2—4ac>0

C.2a-b=oD.a-b+c=o

二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，常見的解題方

法如下：①由拋物線開口方向確定a;②由

對稱軸位置確定b,ab;③由拋物線與y軸

的交點位置確定C；④由拋物線與X軸的交點

的個數(shù)確定b2-4ac;⑤由對稱軸x=±l確定

小結(jié)

2a±b;⑥根據(jù)特殊點確定由a,b,c組成的

式子，如x=l,根據(jù)圖象可確定a+b+c與

0的關(guān)系，x=—1,根據(jù)圖象可確定a-b+

c與0的關(guān)系，同理可判斷x=2,x=-2,

x=3,x=-3時相關(guān)的式子與。的關(guān)系.

豳國EJ（2017?賀州,第17小題,3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c為

常數(shù)，a#0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：

0abc<0；?2a+b<0；（3）b2-4ac=0；?8a+c<0；（§）a：b：c=（-l）：2：3,

其中正確的結(jié)論有

■一二達(dá)標(biāo)檢測

1.拋物線y=-3x2—x+4與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)是（）

A.3個B.2個C.1個D.0個

2.關(guān)于拋物線y=-x2+2x—3,下列結(jié)論正確的是（）

A.與x軸有兩個交點

B.開口向上

C.與y軸的交點坐標(biāo)是（0,3）

D.頂點坐標(biāo)是（1,—2）

3.如圖，函數(shù)y=-x2+bx+c的部分圖象與x軸、y軸的交點分別為A（L

0）,B（0,3）,對稱軸是x=-l.在下列結(jié)論中，錯誤的是（）

A.頂點坐標(biāo)為（-1,4）

B.函數(shù)的解析式為y=-x2—2x+3

C.當(dāng)x<0時，y隨x的增大而增大

D.拋物線與x軸的另一個交點是（一3,0）

4.（2020.眉山）已知二次函數(shù)y=x2-2ax+a2-2a-4（a為常數(shù)）的圖象與x

軸有交點，且當(dāng)x>3時，y隨x的增大而增大，則a的取值范圍是（D）

A.a2—2B.a<3

C.一2《aV3D.一2?

5.（2020.杭州）設(shè)函數(shù)y=a（x—h/+k（a,h,k是實數(shù)，aWO）,當(dāng)x=l時，

y=l;當(dāng)x=8時，y=8,（C）

A.若h=4,則aVOB.若h=5,則a>0

C.若h=6,則aVOD.若h=7,則a>0

6.（2020.嘉興）已知二次函數(shù)y=x2,當(dāng)aWxWb時，mWyWn,則下列說法

正確的是（B）

A.當(dāng)n—m=l時，b—a有最小值

B.當(dāng)n—m=l時，b—a有最大值

C.當(dāng)b—a=l時，n—m無最小值

D.當(dāng)b—a=l時，n—m有最大值

7.（2020.黔西南州）如圖,拋物線y=ax2+bx+4交y軸于點A,交過點A

且平行于x軸的直線于另一點B,交x軸于C,D兩點（點C在點D右邊），對稱

軸為直線x=l連接AC,AD,BC.若點B關(guān)于直線AC的對稱點恰好落在線

段OC上，下列結(jié)論中錯誤的是（D）

A.點B坐標(biāo)為(5,4)

B.AB=AD

C.a=—o7

D.OCOD=16

8.如圖，垂直于x軸的直線AB分別與拋物線G：y=x2(x20)和拋物線C2：

丫=拳＞20)交于A,B兩點，過點A作CD/7x軸分別與y軸和拋物線C2交于點

C,D,過點B作EF〃x軸分別與y軸和拋物線Ci交于點E,F,則^----的值

'△EAD

為()

A或R也C1D1

A.6B.4JD.6

9.拋物線y=ax2+bx+c(a#0)的頂點是A(2,1),且經(jīng)過點B(l,0),則拋

物線的函數(shù)關(guān)系式為

10.將y=2x2的函數(shù)圖象向左平移2個單位長度后，得到的函數(shù)解析式是

11.若拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過點(-1,10),則a—b+c=.

12.某同學(xué)利用描點法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#())的圖象時，列出的部

分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

X01234

y30-203

經(jīng)檢查，發(fā)現(xiàn)表格中恰好有一組數(shù)據(jù)計算錯誤，請你根據(jù)上述信息寫出

該二次函數(shù)的解析式:

13.(2020.無錫)二次函數(shù)丫=2*2—32*+3的圖象過點人(6,0),且與y軸交

于點B,點M在該拋物線的對稱軸上，若AABM是以AB為直角邊的直角三角

形，則點M的坐標(biāo)為

14.如圖，二次函數(shù)y=ax2—4x+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，與x軸交于點

A（—4,0）.

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)在拋物線上存在點P,滿足SMOP=8,請直接寫出點P的坐標(biāo).

15.已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a#0)與x軸相交于兩點A(l,0),

B(3,0),與y軸相交于點C(0,3).

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若點D(,m)是拋物線y=ax2+bx+c上的一點，請求出m的值，并求

出此時△ABD的面積.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(a#0)經(jīng)過A(-2,

-4),0(0,0),B(2,0)三點.

⑴求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；

(2)若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OM的最小值.

17.(2020.杭州)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)yi=x?+bx+a,y2=ax2

+bx+l(a,b是實數(shù)，aWO).

(1)若函數(shù)yi的對稱軸為直線x=3,且函數(shù)yi的圖象經(jīng)過點(a,b),求函數(shù)

yi的表達(dá)式；

(2)若函數(shù)yi的圖象經(jīng)過點(r,0),其中rNO,求證：函數(shù)y2的圖象經(jīng)過點

(p°)；

(3)設(shè)函數(shù)yi和函數(shù)、工的最小值分別為m和n,若m+n=0,求m,n的

值.

第3課時

-V基礎(chǔ)梳理＜

一、二次函數(shù)的應(yīng)用

1.二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實際上就是求函數(shù)的最大(小)

值.

2.二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實際問題中變量

之間的二次函數(shù)關(guān)系；運用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大(小)值問題.

3.解決實際問題時的基本思路：(1)理解問題;(2)分析問題中的變量和常量；

(3)用函數(shù)表達(dá)式表示出它們之間的關(guān)系；(4)利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解;

(5)檢驗結(jié)果的合理性，對問題加以拓展等.

二、與二次函數(shù)有關(guān)的綜合題

二次函數(shù)綜合題，一般涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、拋物線的對稱軸、頂

點坐標(biāo)；圖形平移、對稱、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰三角形、平行四邊形、矩形、菱形、

正方形、圓等特殊圖形的性質(zhì)；轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程

思想等多種數(shù)學(xué)思想.

,■點突破，

錯誤!，

二次函數(shù)的實際應(yīng)用

團n(2015.玉林、防城港，第24小題，9分)某超市對進(jìn)貨價為10元/千克

的某種蘋果的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)每天銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）

存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.

203Qr/（元/千克）

⑴求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；

⑵應(yīng)怎樣確定銷售價，使該品種蘋果的每天銷售利潤最大？最大利潤是多

【思路點撥】⑴認(rèn)真觀察圖象，把點（20,20）,（30,0）分別代入y=kx+b

建立方程組即可求出k,b的值，從而得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.（2）求出利潤

與銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)確定最大利潤.

應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題中的最優(yōu)化問

題，實際上就是求函數(shù)的最大（小）值.解題時

要先根據(jù)題目提供的條件，確定國數(shù)關(guān)系

式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定最大（小）值,

從而確定最優(yōu)方案.

國寄II（2019.梧州，第24小題，10分）我市某超市銷售一種文具，進(jìn)價為

5元/件.售價為6元/件時，當(dāng)天的銷售量為100件.在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：售價

每上漲0.5元，當(dāng)天的銷售量就減少5件.設(shè)當(dāng)天銷售單價統(tǒng)一為x元/件（x26,

且x是按0.5元的倍數(shù)上漲），當(dāng)天銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）要使當(dāng)天銷售利潤不低于240元，求當(dāng)天銷售單價所在的范圍；

（3）若每件文具的利潤不超過80%,要想當(dāng)天獲得利潤最大，每件文具售價

為多少元？并求出最大利潤.

錯誤!，

與二次函數(shù)有關(guān)的綜合題

圓?(2020.貴港，第25小題，11分)如圖，已知拋物線y=*+bx+c與

x軸相交于A(—6,0),B(l,0)兩點，與y軸相交于點C,直線1_LAC,垂足為

C.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)若直線I與該拋物線的另一個交點為D,求D的坐標(biāo)；

(3)設(shè)動點P(m,n)在該拋物線上，當(dāng)NPAC=45。時，求m的值.

【思路點撥】(1)將A、B兩點帶進(jìn)去即可求得b、c的值；(2)利用三角形相

似求出1的解析式，進(jìn)而聯(lián)立方程組求出交點的橫坐標(biāo)；(3)分類討論點P的位

置，通過求AP延長線于1的交點坐標(biāo)，進(jìn)而得到AP所在直線的解析式為解題

突破口.

在幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系式，體現(xiàn)了數(shù)形

結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，要注意運用圖形的有關(guān)性

小結(jié)

質(zhì)或公式(如相似、幾何圖形面積等)建立有關(guān)

關(guān)系式，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.

，國?(2020.玉林，第26小題，12分)

已知拋物線yi=-x2—2x+3與x軸交于A,B兩點(A在B的左側(cè))，與y

軸交于點C.

(1)直接寫出點A,B,C的坐標(biāo)；

(2)將拋物線y.經(jīng)過向右和向下平移，使得到的拋物線y2與x軸交于B,B，

兩點(B，在B的右側(cè))，頂點D的對應(yīng)點D。若NBD，B，=90。，求點B，的坐標(biāo)及

拋物線y2的解析式；

(3)在(2)的條件下，若點Q在x軸上，則在拋物線yi或y2上是否存在點P,

使以B，，C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有符合條

件的點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

■V達(dá)標(biāo)檢測/

1.如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一

個簡易的秋千.拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀,

身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低

點距地面的距離為米.

2.如圖，從地面豎直向上拋出一個小球，小球的高度h（單位：m）與小球運

動時間t（單位：s）之間的關(guān)系式為h=30t—5t2,那么小球從拋出至回落到地面所

需要的時間是S.

3.某種火箭被豎直向上發(fā)射時，它的高度h（m）與時間t（s）的關(guān)系可以用公

式h=-5t2+150t+10表示.經(jīng)過________s,火箭達(dá)到它的最高點.

4.向空中發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時間與高度的關(guān)系為

y=ax2+bx+c（a^0）.若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則在下列時

間中炮彈所在高度最高的是（）

A.第8秒B.第10秒

C.第12秒D.第15秒

5.（2019.無錫）某賓館共有80間客房.賓館負(fù)責(zé)人根據(jù)經(jīng)驗作出預(yù)測：今年

7月份，每天的房間空閑數(shù)y（間）與定價x（元/間）之間滿足y=x—42（x2168）.若

賓館每天的日常運營成本為5000元，有客人入住的房間，賓館每天每間另外還

需支出28元的各種費用，賓館想要獲得最大利潤，同時也想讓客人得到實惠，

應(yīng)將房間定價確定為（B）

A.252元/間B.256元/間

C.258元/間D.260元/間

6.（2020.賀州）某學(xué)生在一平地上推鉛球，鉛球出手時離地面的高度為:米,

出手后鉛球在空中運動的高度y（米）與水平距離x（米）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-

^x2+bx+c,當(dāng)鉛球運行至與出手高度相等時，與出手點水平距離為8米，則

該學(xué)生推鉛球的成績?yōu)槊?

7.（2020.廣州）對某條線段的長度進(jìn)行了3次測量，得到3個結(jié)果（單位：

mm）:9.9,10.1,10.0,若用a作為這條線段長度的近似值，當(dāng)a=mm

時，（a—9.9）2+（a—10.1）2+（a—10.0）2最小.對另一條線段的長度進(jìn)行了n次測

量，得到n個結(jié)果（單位：mm）：xi,x2,xn,若用x作為這條線段長度的近

似值，當(dāng)x=mm時，（X—Xl）2+（x—X2）2+…+（x—Xn）2最小.

8.某農(nóng)場擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），已

知計劃中的建筑材料可建圍墻的總長為50m.設(shè)飼養(yǎng)室長為x（單位：m）,占地

面積為y（單位：m2）.

（1）如圖1,問飼養(yǎng)室長x為多少時，占地面積y最大？

（2）如圖2,現(xiàn)要求在圖中所示位置留2m寬的門，且仍使飼養(yǎng)室的占地面積

最大，小敏說：“只要飼養(yǎng)室長比⑴中的長多2m就行了請你通過計算，判

斷小敏的說法是否正確.

9.某商場以每件50元的價格購進(jìn)一種商品，銷售中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷

售量m（件）與每件的銷售價格x（元）滿足一次函數(shù)，其圖象如圖所示.

⑴每天的銷售數(shù)量m（件）與每件的銷售價格x（元）的函數(shù)解析式是

（2）求該商場每天銷售這種商品的銷售利潤y（元）與每件的銷售價格x（元）之

間的函數(shù)解析式；

（3）每件商品的銷售價格在什么范圍內(nèi)，每天的銷售利潤隨著銷售價格的提

高而增加？

10.某賓館有50個房間供游客住宿，當(dāng)每個房間的房價為每天180元時，

房間會全部住滿.當(dāng)每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空

閑.賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用.根據(jù)規(guī)定，每個

房間每天的房價不得高于340元.設(shè)每個房間的房價每天增加x元（x為10的正

整數(shù)倍).

(1)設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y,直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取

值范圍；

(2)設(shè)賓館一天的利潤為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？

11.用長度一定的不銹鋼材料設(shè)計成外觀為矩形的框架(如圖①②③中的一

種).

設(shè)豎檔AB=x米，請根據(jù)以下圖案回答下列問題：(題中的不銹鋼材料總長

度均指各圖中所有黑線的長度和，所有橫檔和豎檔分別與AD,AB平行)

(1)在圖①中，如果不銹鋼材料總長度為12米，當(dāng)x為多少時，矩形框架

ABCD的面積為3平方米？

(2)在圖②中，如果不銹鋼材料總長度為12米，當(dāng)x為多少時，矩形框架

ABCD的面積S最大？最大面積是多少？

(3)在圖③中，如果不銹鋼材料總長度為a米，共有n條豎檔，那么當(dāng)x為

多少時，矩形框架ABCD的面積S最大？最大面積是多少？

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC為等腰直角三角形，ZACB=90°,

拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過A,B兩點，其中點A,C的坐標(biāo)分別為(L0),(―

4,0),拋物線的頂點為點D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點E是直角三角形ABC斜邊AB上的一個動點(不與A,B重合)，過點

E作x軸的垂線，交拋物線于點F,當(dāng)線段FE的長度最大時，求點E的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，拋物線上是否存在一點P,使4PEF是以EF為直角邊的

直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

13.如圖，已知拋物線經(jīng)過A(—2,0),B(-3,3)及原點O,頂點為C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以A,O,D,E為頂

點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標(biāo)；

(3)P是拋物線上第一象限內(nèi)的動點，過點P作PM_Lx軸，垂足為M,是否

存在點P,使得以P,M,A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

\0

C

14.已知一元二次方程x2—4x+3=0的兩根是m,n,且m<n.如圖，若拋

物線y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(m,0),B(0,n).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若(1)中的拋物線與x軸的另一個交點為C.根據(jù)圖象回答,當(dāng)x取何值時，

拋物線的圖象在直線BC的上方？

(3)點P在線段OC上，作PE±x軸與拋物線交于點E,若直線BCWACPE

的面積分成相等的兩部分，求點P的坐標(biāo).

第16講二次函數(shù)

第1課時

【基礎(chǔ)梳理】

一、y=ax2+bx+cW0二、1.頂點三、拋物線y

【重點突破】

[例1]D[變式1]B[例2]B[變式2]①②④

[例3]D[變式3]D[例4]①②④[變式4]D

【達(dá)標(biāo)檢測】

1.A2.A3.D4.C5.D6.D7.D

8.y軸9.(1,2)1O.>ll.m^-4

12.y=-(x+l)2-213.(3,0)

14.(^6,2)或(一遍2)

15.解：⑴把A(2,0),B(0,一6)代入y=-，2+bx+c,

b=4,

得解得

、c=-6.、c=-6.

，這個二次函數(shù)的解析式為y=—1x2+4x—6.

(2)該拋物線對稱軸為直線x=--”不=4，

.?.點C的坐標(biāo)為(4,0).

.,.AC=OC-OA=4-2=2.

.，.SAABC=|AC-OB=1X2X6=6.

16.解：⑴由已知條件得A(—2,0),C(0,3),將A(—2,0),C(0,3)代入

y=—^x2+bx+c,得

refl1

c=3,b=k，

〈解得＜2

-2-2b+c=0.,

lc=3.

.,?此二次函數(shù)的解析式為y=一32+上+3.

(2)如圖，連接AD交對稱軸于點P,則P為所求的點，設(shè)直線AD解析式為

y=kx+b,

—2k+b=0,

由已知得

2k+b=2.

解得卜當(dāng)

、b=1.

直線AD解析式為y=1x+l.

對稱軸為直線：x=—當(dāng)*=/寸，y=|,

M，I)

第2課時

【重點突破】

［例1］解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax?+bx+c.

(a+b+c=3,fa=3,

由題意，得｛a-b+c=L解得<b=l,

lc=—1.lc=-1.

所以拋物線的解析式為y=3x2+x-l.

(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-l)2+b.

a(3—1)2+b=4>

由拋物線經(jīng)過點(3,4),(0,1),可得彳

［a(0—1)2+b=l.

解得a=Lb=0.因此，拋物線的解析式為y=(x—1)4

(3)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-l)(x+3).

由拋物線經(jīng)過點(0,6),可得

6=a(0-l)(0+3).解得a=-2.

因此，拋物線的解析式為y=-2(x—l)(x+3).

33

［變式l］y=—鏟?+於+3

[例2]D[變式2]A[例3]C[變式3]①④⑤

【達(dá)標(biāo)檢測】

1.A2.D3.C4.D5.C6.B7.D8.D

9.y=-x2+4x-310.y=2(x+2)211.10

12.y=x2—4x+313.r|,一9)或6)

c=0,

14.解：⑴由已知條件得黑_

(4)2—4X(—4)+c=0,

a=—1

解得

c=0.

...此二次函數(shù)的解析式為y=-x2-4x.

(2)點P的坐標(biāo)是：(一2,4)或(一2+26，-4)或

(―2—2/，—4).

fa+b+c=0,(a=l,

15.解：(1)由已知得《9a+3b+c=0,解得｛b=—4,

lc=3.lc=3.

/.y=x2—4x+3.

(2)把DQ，m)代入y=x2—4X+3,得m=；,

16.解：(1)把A(—2,-4),0(0,0),B(2,0)代入y=ax°+bx+c,

4a—2b+c=—4,

4a+2b+c=0,解這個方程組,得｝b=l,

｛c=0.

、c=0.

所以解析式為y=—1x2+x.

(2)由y=—；x2+x=-1(x—l)2+*5TM,拋物線的對稱軸為x=L并且對稱

軸垂直平分線段OB,

.,.OM=BM.

.,.AM+OM=AM+BM.

連接AB交直線x=l于M點，

則此時AM+OM最小.

過點A作AN±x軸于點N,

在RtAABN中，

AB=^AN2+BN2=^42+42=4V2,

因此AM+OM最小值為4市.

17.(1)解：由題意，得到一0=3,

解得b=-6,

;函數(shù)yi的圖象經(jīng)過點(a,b),

/?a2—6a+a=—6,解得a=2或a=3?

/.函數(shù)yi=x2—6x+2或yi=x2—6x+3.

⑵證明：???函數(shù)yi的圖象經(jīng)過點(r,0),

Ar2+br+a=0.

???rWO,兩邊同除以F,得1+\+§=0,

rr

即a^2+b-1+l=O,

.?［是方程ax2+bx+l=0的一個實數(shù)根，

即函數(shù)y2的圖象經(jīng)過點Q，0)