橢圓性質(zhì)第二定義參數(shù)方程

橢圓性質(zhì)、第二定義、參數(shù)方程xy22y一、由橢圓方程1(ab0)研究橢圓的性質(zhì).ab2B2E2AB(1)范圍:FAAx2O從標(biāo)準(zhǔn)方程得出x21,y21,即有axa,1byb，ab22BDC1可知橢圓落在,xayb組成的矩形中．(2)對(duì)稱性:把方程中的x換成x方程不變，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．y換成稱．把x,y同時(shí)換成x,y方程也不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．方程不變，圖象關(guān)于x軸對(duì)y如果曲線具有關(guān)于x軸對(duì)稱，關(guān)于y軸對(duì)稱和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱中的任意兩種，則它一定具有第三種對(duì)稱（3）頂點(diǎn)：橢圓和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)因此橢圓共有四個(gè)頂點(diǎn)：A(a,0),A(a,0)，B(0,b),B(0,b)22加兩焦點(diǎn)F(c,0),F(c,0)共有六個(gè)特殊點(diǎn).12AA叫橢圓的長軸，BB叫橢圓的短軸．長分別為2a,2b1212a,b分別為橢圓的長半軸長和短半軸長.橢圓的頂點(diǎn)即為橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn).(4)離心率:概念：橢圓焦距與長軸長之比，決定橢圓的圓扁程度定義式：ecabe1()2a范圍：0e1y考察橢圓形狀與e的關(guān)系：Be0,c0，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時(shí)也可認(rèn)為2圓為橢圓在e0時(shí)的特例A2Ax1Oe1,ca,橢圓在e1時(shí)的特例變扁，直至成為極限位置線段FF，此時(shí)也B112可認(rèn)為圓為橢圓講解范例：例1求橢圓16x225y2400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形．解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程x2y215242abc5,4,5243所以，，2因此，橢圓的長軸的長和短軸的長分別為2a10,2b8，離心率ec3，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為a5F(3,0),F(3,0)，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)是A(5,0),A(5,0)，B(0,4),B(0,4)2212將已知方程變形為y25x2，根據(jù)y425x2，在x5的范圍內(nèi)算出幾個(gè)點(diǎn)的4055坐標(biāo)(x,y)：xy01234543.93.73.22.40先描點(diǎn)畫出橢圓的一部分，再利用橢圓的對(duì)稱性畫出整個(gè)橢圓：y4-5Ox5-4例2在同一坐標(biāo)系中畫出下列橢圓的簡(jiǎn)圖：xy2xy2（1）1（2）2122516259y43-5xO5-3-4答：簡(jiǎn)圖如下：課堂練習(xí)：1．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長軸分為3:2兩段，求其離心率(ac):(ac)=3:2,即1e32,解得e526解：由題意，1exy22．如圖，求橢圓21,(ab)內(nèi)接正方形ABCD的面積0ab22解由橢圓和正方形的中心對(duì)稱性知，正方形BFOE的面積是所求正方形面積的1/4,且B點(diǎn)橫B（t,t),代入橢圓方程求得t2a2b24ab22縱坐標(biāo)相等，故設(shè),即正方形ABCD面積為a2b2a2b2yB2AEBFAAx2O1BDC1二、橢圓的第二定義:一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)(0,1)內(nèi)常數(shù)e，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)e就是離心率yyN2KA2B22PPNN2F12BxBA1AxKF222O2KO11F1F1A1B1KN112．橢圓的準(zhǔn)線方程xya2對(duì)于21，相對(duì)于左焦點(diǎn)2F(c,0)對(duì)應(yīng)著左準(zhǔn)線l:x；1ab2c12相對(duì)于右焦點(diǎn)F(c,0)對(duì)應(yīng)著右準(zhǔn)線l:xa2c22yx2a2；c2對(duì)于1，相對(duì)于下焦點(diǎn)F(0,c)對(duì)應(yīng)著下準(zhǔn)線l:ya2b2112相對(duì)于上焦點(diǎn)F(0,c)對(duì)應(yīng)著上準(zhǔn)線l:yac22a2準(zhǔn)線的位置關(guān)系：xaca2c2b2焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離pa2c（焦參數(shù)）ccc講解范例：xy(2)2116812例3、求下列橢圓的準(zhǔn)線方程：（1）22x4y4x2解：⑴方程x4y24可化為y1，是焦點(diǎn)在x軸上且a2,b1，c3的橢圓224所以此橢圓的準(zhǔn)線方程x4343為3xy⑵方程21是焦點(diǎn)在y軸上且a9,b4，c265的橢圓1681所以此橢圓的準(zhǔn)線方程y81658165為65xy2例4、橢圓21上有一點(diǎn)P，它到橢圓的左準(zhǔn)線距離為10，求點(diǎn)P到橢圓的右焦點(diǎn)的10036距離y解：橢圓21的離心率為e4，根據(jù)橢圓的第二定義xy2B210P10036左焦點(diǎn)距離為10e8第一定義得，點(diǎn)P到橢圓的5N1得，點(diǎn)P到橢圓的AxAF22KO11F1再根據(jù)橢圓的右焦點(diǎn)的距離為20B1－8＝12課堂練習(xí)：1．求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程xy2（1）21（2）222xy810036⑴焦點(diǎn)坐標(biāo)F(8,0),F(8,0)；準(zhǔn)線方程100252答案：x8128x42⑵焦點(diǎn)坐標(biāo)F(0,2),F(0,2)；準(zhǔn)線方程122．已知橢圓的兩條準(zhǔn)線方程為y9，離心率為1，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3答案：21x2y89三、橢圓的焦半徑公式：設(shè)M(x,y)是橢圓x21(ab0)2y2的一點(diǎn),r和r分別是點(diǎn)M00ab122與點(diǎn)F(c,0),F(c,0)的距離.12那么（左焦半徑）raex,（右焦半徑）raex,其中e是1020y離心率MFaey同理有焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的焦半徑公式：MFaeya+ca-c10xBF1OAF202（其中分別是橢圓的下上焦點(diǎn)）FF12注意：焦半徑公式的兩種形式的區(qū)別只和焦點(diǎn)的左右有關(guān)，而與點(diǎn)在左在右無關(guān)可以記為：左加右減，上減下加講解范例例6、橢圓y21(ab0)，其上一點(diǎn)P(3,y)到兩焦點(diǎn)的x2距離分別是6.5和3.5，求a2b2橢圓方程解：由橢圓的焦半徑公式，得a3e6.5ae1，從而有c52,bac22754，解得5,2a3e3.52x4y221所求橢圓方程為課堂練習(xí)：2575x2y21．P為橢圓FF1上的點(diǎn)，且P與,的連線互相垂直，求P259124457258116解：由題意，得(5x)2(5x)2＝64x2，y2516000P的坐標(biāo)為(579,)，(57,9)，(57,9)，(579,)44444444A(x,y),B(4,9),C(x,y)與焦點(diǎn)F(4,0)的距離成等差數(shù)列，51122x2y22．橢圓1上不同三點(diǎn)259求證xx8124證明：由題意，得(54x)(5x)＝2(544)xx855512123．設(shè)P是以0為中心的橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，求證：以線段FP為直徑的圓與此橢22圓長軸為直徑的圓內(nèi)切yPxy221,(ab0)，證明：設(shè)橢圓方程為O1ab22A1xA2OF1F2焦半徑FP是圓O的直徑，21PF2aPFPF則由aOO知，兩圓半徑之差等于圓心距，1122222所以，以線段FP為直徑的圓與此橢圓長軸為直徑的圓內(nèi)切2O為圓心，分別以a,b(ab0問題：如圖，以原點(diǎn))為半徑作兩個(gè)圖，點(diǎn)B是大圓半徑OAA作NA⊥OX垂足為N，過點(diǎn)B作BM⊥AN，垂足為M．求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)OM的軌跡的與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)參數(shù)方程解答：設(shè)A的坐標(biāo)為(x,y),NOA，取為參數(shù)，那么yNM|OB|sinyxON|OA|cosxacos(為參數(shù))也就是ybsinAMB這就是所求點(diǎn)A的軌跡的參數(shù)方程N(yùn)xOxcosybsinxacosa將變形為ysinbxy22發(fā)現(xiàn)它可化為1(ab0)，說明A的軌跡是橢圓ab22ybsinxacosNOM(為參數(shù))注意：角不是角四、.橢圓的參數(shù)方程三、講解范例：例1把下列參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為參數(shù)方程x3cos4siny(1)(2)x2y218(為參數(shù))4sinyx3cosxy2(為參數(shù))21解：(1)3242x22cosx2(為參數(shù))(2)y21ysin81xy＝cossin2sin()2,224xcosy1上的點(diǎn)P(),求.xy的取值范圍x,y2(a0,b0,為參數(shù))例2已知橢圓2sin解：xy例3已知橢圓21(ab0)與x軸的正半軸交于A,O是原點(diǎn)2,若橢圓上存在一點(diǎn)M,ab22使MA⊥MO,求橢圓離心率的取值范圍解：A(a,0)，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(acos,bsin)（