靜電場習題-張冰 2013529

1、1大學物理習題課大學物理習題課靜電學部分靜電學部分2013.5.292基本概念基本概念 1.電場強度：電場強度：電場中某點電場強度的大小等于單位電場中某點電場強度的大小等于單位 電荷在該點受力的大小，方向為正電電荷在該點受力的大小，方向為正電 荷在該點受力的方向荷在該點受力的方向/EF q點電荷的場強：點電荷的場強：0204qErr電荷組的場強：電荷組的場強：021014niiiiqErr連續(xù)分布電荷的場強：連續(xù)分布電荷的場強：0201d4qErr32.電勢：電勢： 電場中某點的電勢在數(shù)值上等于將單位電場中某點的電勢在數(shù)值上等于將單位 正電荷由該點移動到電勢零點時電場力正電荷由該點移動到電勢零

2、點時電場力 所做的功所做的功(0)0dPppWUElq點電荷的電勢：點電荷的電勢：04qUr電荷組的電勢：電荷組的電勢：1014niiiqUr連續(xù)分布電荷的電勢：連續(xù)分布電荷的電勢：01d4qUr電場強度與電勢的關(guān)系電場強度與電勢的關(guān)系EU 43.電勢差：電勢差：電場中電場中a、b兩點的電勢差，在數(shù)值上兩點的電勢差，在數(shù)值上 等于單位正電荷從等于單位正電荷從a點移到點移到b點時，電點時，電 場力做的功。場力做的功。dbababaUUUEl4.電勢能：電勢能：電荷電荷q在電場中某點的電勢能，在數(shù)在電場中某點的電勢能，在數(shù) 值上等于把電荷值上等于把電荷q從該點移到電勢零從該點移到電勢零 點時，電場

3、力所做的功。點時，電場力所做的功。(0)daaaWqElqU5一、一、 真空中的靜電場真空中的靜電場基本規(guī)律基本規(guī)律 iEEqFE0/庫侖定律庫侖定律還有電荷守恒定律，它時刻都起作用。還有電荷守恒定律，它時刻都起作用。 iirireqEi204LSlEqsE0dd0內(nèi)0 () ()dPPPVEl1. 線索線索62. 求靜電場的方法：求靜電場的方法：靜電場靜電場 可以用電場可以用電場 強度來描述，強度來描述，靜電場靜電場 也可以用電勢來描述。也可以用電勢來描述。(1)求求E場強疊加法場強疊加法高斯定理法高斯定理法電勢梯度法電勢梯度法補償法補償法SqsE0d內(nèi)VgradE7 疊加法：疊加法：場強積

4、分法：場強積分法：(2)求求V （零點要同）（零點要同）； VVii 。），（，（ 04d0VVqrq；分段，積分也要分段）分段，積分也要分段）（ E ， d)()(0VPPplE83. 幾種典型電荷分布的幾種典型電荷分布的EV和 點電荷（？）點電荷（？） 均勻帶電球面（？）均勻帶電球面（？） 均勻帶電球體（？）均勻帶電球體（？） 均勻帶電無限長直線（？）均勻帶電無限長直線（？） 均勻帶電無限大平面（？）均勻帶電無限大平面（？） 均勻帶電細圓環(huán)軸線上一點（？）均勻帶電細圓環(huán)軸線上一點（？） 無限長均勻帶電圓柱面（？）無限長均勻帶電圓柱面（？）9均勻帶電球面：均勻帶電球面：200()1()4rR

5、QErRr均勻帶電球體：均勻帶電球體：30201()41()4QrErRRQErRr無限長均勻帶電直線：無限長均勻帶電直線：012Er001()41()4QUrRRQUrRr10均勻帶電半徑為均勻帶電半徑為R的細的細圓環(huán)軸線上一點：圓環(huán)軸線上一點：223/2014()QxExR無限長均勻帶電平面兩側(cè)：無限長均勻帶電平面兩側(cè)：02E電偶極子軸線延長線上一點電偶極子軸線延長線上一點:(距電偶極子中心距電偶極子中心x)30124pEx電偶極子中垂線上一點電偶極子中垂線上一點:(距電偶極子中心距離距電偶極子中心距離y)3014pEy 22 1/2014()QUxR11靜電平衡靜電平衡-導體內(nèi)部和表面無

6、電荷定向移動導體內(nèi)部和表面無電荷定向移動靜電平衡時靜電平衡時, ,導體是個等勢體，導體表面是個等勢面導體是個等勢體，導體表面是個等勢面推論：推論：導體表面場強垂直表面導體表面場強垂直表面2.導體的靜電平衡導體的靜電平衡有導體存在時靜電場的分析與計算有導體存在時靜電場的分析與計算導體上的電荷重新分布導體上的電荷重新分布電場電場利用：利用：相互影響相互影響靜電場的基本規(guī)律靜電場的基本規(guī)律（高斯定理和環(huán)路定理）（高斯定理和環(huán)路定理）電荷守恒定律電荷守恒定律導體的靜電平衡條件導體的靜電平衡條件靜電場的疊加原理靜電場的疊加原理12電容：電容：表征導體和導體組靜電性質(zhì)的一個物理量表征導體和導體組靜電性質(zhì)的

7、一個物理量孤立導體的電容孤立導體的電容QCU孤立導體球的電容孤立導體球的電容04CR平行板電容器平行板電容器0rSCd 同心球形電容器同心球形電容器012214/()rCR RRR 同軸柱形電容器同軸柱形電容器0212ln/rLCRR 133.3.靜電場中的電介質(zhì)靜電場中的電介質(zhì)電介質(zhì)對電場的影響電介質(zhì)對電場的影響D的高斯定律的高斯定律0intsD dSq0DEP電位移矢量電位移矢量在解場方面的應用在解場方面的應用,在具有某種對稱性的情況下在具有某種對稱性的情況下,可可以首先由高斯定理解出以首先由高斯定理解出:DEPq 思路思路14靜電場的能量密度靜電場的能量密度2121122eEDED E

8、對任意電場都適合對任意電場都適合靜電場的能量靜電場的能量eeVWdV 電容器的能量：電容器的能量： 22111222ABQWCUQUUVVC 4. 能量：能量：15例例1. 如圖所示在真空中有兩塊相距為如圖所示在真空中有兩塊相距為 d，面積均為，面積均為 S， 帶電量帶電量 分別為分別為 +Q 和和 -Q 的的 平行板。平行板。 兩板的線度兩板的線度 遠大于遠大于 d，因此可忽略邊緣效應。（，因此可忽略邊緣效應。（作業(yè)作業(yè)6.2）2024dQf 對下面幾種說法你認為對還是錯？對下面幾種說法你認為對還是錯？為什么？為什么？Sd+Q-Q（A）根據(jù)庫侖定律，）根據(jù)庫侖定律， 兩板間的作用力大小為兩板

9、間的作用力大小為錯。錯。 （不是點電荷間的作用力）（不是點電荷間的作用力）【答答】16（C）兩板間的作用力大小為）兩板間的作用力大小為 SQqSQqqEfQQQ0200222 d/dd)()()(（B）根據(jù)電場力的定義兩板間的作用力大小為）根據(jù)電場力的定義兩板間的作用力大小為SQqSQqqEfQQQ0200 d/dd)()()(錯。錯。 （ 不應用總場強不應用總場強 E 計算）計算）正確。正確?！敬鸫稹俊敬鸫稹款愃频膯栴}，作業(yè)類似的問題，作業(yè)6.20，請認真思考！，請認真思考！17例例 2 一錐頂角一錐頂角為為的圓臺，上下底面半徑分別為的圓臺，上下底面半徑分別為 R1 和和R2 ，在它的側(cè)面上

10、均勻帶電，電荷面密度為在它的側(cè)面上均勻帶電，電荷面密度為，求頂點，求頂點 O的的電勢和場強。電勢和場強。r解解: 在在 x 處取一小圓臺，其到處取一小圓臺，其到 O 點的母點的母線長為線長為 r，小圓臺的側(cè)面積為：，小圓臺的側(cè)面積為：drrds)sin(2XR1R2O小圓臺帶電荷為小圓臺帶電荷為: :dsdq小圓臺在小圓臺在 O點的電勢為點的電勢為:rdqdU04圓臺在圓臺在 O點的電勢點的電勢sin/sin/0212sinRRdrUxdrrsin2rdrr04sin2dr02sin)(2120RR 電勢疊加原理求電勢疊加原理求U！18求電場強度求電場強度322204()xdqdExR120s

11、in 24R ctgR ctgdxEdEx場強疊加原理求場強疊加原理求E（電荷（電荷連續(xù)分布）！連續(xù)分布）！R1R2OrXx32220202sin2cos44()tgxxdxdxxxx tg 201sin2ln4RR 19板板ppqP 對否？理由如何？對否？理由如何？錯在兩個相疊加的電勢的零點不一致。錯在兩個相疊加的電勢的零點不一致。例例3. 電荷分布如圖所示電荷分布如圖所示設(shè)設(shè) q 0, 0不對。不對。a Pa /2 q無限大均勻帶電板無限大均勻帶電板有人由電勢疊加原理求得有人由電勢疊加原理求得P點電勢為：點電勢為：22)2/(400aaq 【答答】20正確作法：正確作法： aaaaxxxq

12、2022024/d)(d 板板PPqP 0044 aaq 可統(tǒng)一選大平板處可統(tǒng)一選大平板處 P0 點電勢為零，點電勢為零，)22)2/(4(00aaq q Pa /20ax 0p22)12/1(400aaaq 電勢零點選擇問題！電勢零點選擇問題！21例例4. 如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為R的導體球原來帶電的導體球原來帶電Q ，現(xiàn)將一，現(xiàn)將一 點電荷點電荷q放在球外離球心距離為放在球外離球心距離為x(x R) 處，求導體處，求導體 上的電荷在上的電荷在P點點 產(chǎn)生的場強和電勢。產(chǎn)生的場強和電勢。/2OPROR+-+Pqx解解: :由于靜電感應，球面上的由于靜電感應，球面上的電荷重新分布，保證

13、球內(nèi)處電荷重新分布，保證球內(nèi)處處場強為零。因此，處場強為零。因此，P點總的點總的電場強度為零。電場強度為零。該點的電場強度是導體球面上非均勻分布的電荷該點的電場強度是導體球面上非均勻分布的電荷及球外點電荷及球外點電荷q所共同產(chǎn)生的。于是，所求場強等所共同產(chǎn)生的。于是，所求場強等于總場強減去球外點電荷產(chǎn)生的場強：于總場強減去球外點電荷產(chǎn)生的場強：2004()2PqERx 22同理，所求同理，所求P點的電勢等于點的電勢等于P點總的電勢減去球外點電點總的電勢減去球外點電荷荷q在在P點產(chǎn)生的電勢，即點產(chǎn)生的電勢，即04()2PpqUURx OR+-+Pqx由于導體達到靜電平衡時為等勢體，所以由于導體達

14、到靜電平衡時為等勢體，所以P點總的電點總的電勢與勢與O點總的電勢相等，即點總的電勢相等，即poUU由點電荷的電勢公式及電勢疊加原理，有由點電荷的電勢公式及電勢疊加原理，有000000444444oQqqqQqURRRxRx于是，有于是，有000444 (/2)pQqqURxxR 由上式可知，導體上的電荷在不同位置處產(chǎn)生的電勢不同。由上式可知，導體上的電荷在不同位置處產(chǎn)生的電勢不同。23例例5. 如圖，有一空氣平板電容器極板面積為如圖，有一空氣平板電容器極板面積為S，間，間 距為距為d?，F(xiàn)將該電容器接在端電壓為?，F(xiàn)將該電容器接在端電壓為U的電源上充的電源上充 電，求極板上的電荷電，求極板上的電荷

15、Q、極板間電場強度、極板間電場強度E和電容和電容 器的電容器的電容C 。 (1)充足電后充足電后 (2)平行插入一塊面積相同、厚度為平行插入一塊面積相同、厚度為 、 相對電容率為相對電容率為 的電介質(zhì)板；的電介質(zhì)板； (3)將上述電介質(zhì)板換為相同大小的導體板時。將上述電介質(zhì)板換為相同大小的導體板時。()d rUdr24解解:(1)空氣平板電容器的電容空氣平板電容器的電容00SCd充電后，極板上的電荷、極板間的電場強度充電后，極板上的電荷、極板間的電場強度E0為為00SQUd(2)插入電介質(zhì)后，視為空氣平板電容器與介質(zhì)插入電介質(zhì)后，視為空氣平板電容器與介質(zhì)平板電容器的串聯(lián)平板電容器的串聯(lián)(2)(

16、2)平行插入一塊面積相同、厚度為平行插入一塊面積相同、厚度為 、相對電容、相對電容 率為率為 的電介質(zhì)板？的電介質(zhì)板？()d rUd0UEd222222QQUUUCCUdr25則此時電容器的電容為則此時電容器的電容為02()rrSQCUd 02()rrSUQCUd 介質(zhì)內(nèi)的電場強度介質(zhì)內(nèi)的電場強度21()rUUEd 空氣中的電場強度空氣中的電場強度21()rrUUEdd2200()rQQUdSS Udr26(3)插入導體板后，極板上的自由電荷與插入導體插入導體板后，極板上的自由電荷與插入導體板上的感應電荷在導體板內(nèi)激發(fā)的電場相互抵消，板上的感應電荷在導體板內(nèi)激發(fā)的電場相互抵消，與電源相接的極板

17、將會從電源獲得電荷，使間隙中與電源相接的極板將會從電源獲得電荷，使間隙中的電場增強，以維持電勢差不變，并有的電場增強，以維持電勢差不變，并有3330()QQUdCS則此時電容器的電容為則此時電容器的電容為03SCd03SQUd導體中的電場強度為導體中的電場強度為20E 空氣中的電場強度為空氣中的電場強度為2UEd(3)(3)將上述電介質(zhì)板換為相同大小的導體板時？將上述電介質(zhì)板換為相同大小的導體板時？Ud27例例6 如圖所示，兩導體球如圖所示，兩導體球A、B，半徑分別為，半徑分別為R1=0.5m， R2=1.0m，中間以導線連接，兩球外分別包以內(nèi)半徑為，中間以導線連接，兩球外分別包以內(nèi)半徑為R=

18、1.2m的同心導體球殼（與導線絕緣）并接地，導體間的介的同心導體球殼（與導線絕緣）并接地，導體間的介質(zhì)均為空氣。已知：空氣的擊穿場強為質(zhì)均為空氣。已知：空氣的擊穿場強為3106 V/m，現(xiàn)使，現(xiàn)使A、B兩球所帶電荷逐漸增加，計算：兩球所帶電荷逐漸增加，計算：(1) 此系統(tǒng)此系統(tǒng)何處首先被擊穿？何處首先被擊穿？這里這里場強為何值？場強為何值？(2) 擊穿擊穿時兩球所帶的時兩球所帶的總電荷總電荷Q為多少？為多少？（設(shè)導線不帶電，且對電場無影響。真空介電常數(shù)為）（設(shè)導線不帶電，且對電場無影響。真空介電常數(shù)為） -212120mNC1085. 8AR1RBR2R28AR1RBR2R(1)此系統(tǒng)此系統(tǒng)何

19、處首先被擊穿？何處首先被擊穿？這里這里場強為何值？場強為何值？解：解：(1) 兩導體球殼接地，兩導體球殼接地，殼外無電場殼外無電場，且導體球，且導體球A、B外的電場均呈球?qū)ΨQ分布。外的電場均呈球?qū)ΨQ分布?，F(xiàn)比較兩球外場強的大小，擊穿首先發(fā)生在場強最現(xiàn)比較兩球外場強的大小，擊穿首先發(fā)生在場強最大處。大處。設(shè)擊穿時設(shè)擊穿時A、B所帶的電荷分別為所帶的電荷分別為Q1、Q2，由于，由于A、B用導線連接，故用導線連接，故兩者等電勢兩者等電勢，即滿足：，即滿足：11220100204444QQQQRRRR7/1/21QQ代入數(shù)據(jù)得：代入數(shù)據(jù)得：29B球表面處的場強最大，這里先達到擊穿場強球表面處的場強最大

20、，這里先達到擊穿場強而被擊穿，即而被擊穿，即V/m 103462202max2RQE744/421222122022101max1max1RQRQRQRQEE兩導體表面上的場強最強，其最大場強之比為：兩導體表面上的場強最強，其最大場強之比為：AR1RBR2R30(2) 擊穿擊穿時兩球所帶的時兩球所帶的總電荷總電荷Q為多少？為多少？由由E2max解得：解得：Q2=3.310-4 CQ1=Q2/7=0.4710-4 CQ=Q1+Q2=3.7710-4 C擊穿時兩球所帶的總電荷擊穿時兩球所帶的總電荷Q為為:AR1RBR2R31例例7. 如圖所示，平行板電容器兩極板相距如圖所示，平行板電容器兩極板相距

21、d，面積，面積為為S，電勢差為，電勢差為U，其中放有一塊厚為，其中放有一塊厚為t，面積為，面積為S，相對電容率為相對電容率為 的介質(zhì)板，介質(zhì)板上下兩邊都是空的介質(zhì)板，介質(zhì)板上下兩邊都是空氣，氣， 忽略邊緣效應。忽略邊緣效應。求：求： (1)介質(zhì)中的電場強度介質(zhì)中的電場強度E，極化強度，極化強度P 和電位移和電位移D (2)極板上的電量極板上的電量Q (3)極板和介質(zhì)間隙的場強極板和介質(zhì)間隙的場強 (4)電容電容Crrdt32解解: (1)設(shè)電容器介質(zhì)中和空氣中的場強分別為設(shè)電容器介質(zhì)中和空氣中的場強分別為 E介質(zhì)介質(zhì)，E空氣空氣 ，則，則 ()UEtEdt介質(zhì)空氣為求為求E，作如圖所示左邊的圓

22、柱形高斯面，由，作如圖所示左邊的圓柱形高斯面，由E 的高斯定律的高斯定律0dSESES空氣0E空氣式中式中 是極板面自由電荷面密度，故是極板面自由電荷面密度，故rdt33dDSD SS D0rDE 介質(zhì)故故00rrDE 介質(zhì)代入代入U的表達式，得的表達式，得()()(1)rrrUEtEdtEtEdtEtd介質(zhì)空氣介質(zhì)介質(zhì)介質(zhì)為求介質(zhì)中的為求介質(zhì)中的E ，可作圖右邊的圓柱形高斯，可作圖右邊的圓柱形高斯面，由面，由D的高斯定理的高斯定理rdt34故介質(zhì)中的場強、極化強度、電位移分別為故介質(zhì)中的場強、極化強度、電位移分別為(1)rrUEtd介質(zhì)00(1)(1)rerrUPEtd 介質(zhì)00(1)rrr

23、rUDEtd 介質(zhì)3500(1)rrrUDEtd空氣方向垂直于極板，由正極板指向負極板方向垂直于極板，由正極板指向負極板0(1)rrrSQCUtd 、 、 的方向垂直于極板，由帶正電荷的極板的方向垂直于極板，由帶正電荷的極板指向帶負電荷的極板。極板上的電量、空氣間隙中的場指向帶負電荷的極板。極板上的電量、空氣間隙中的場強、電容分別是強、電容分別是E介質(zhì)PD0(1)rrrUSQSDStd (2)(2)極板上的電量極板上的電量,(3),(3)極板和介質(zhì)間隙的場強極板和介質(zhì)間隙的場強,(4),(4)電容？電容？rdt36例例8 兩塊靠近的平行金屬板間原為真空。使兩板分兩塊靠近的平行金屬板間原為真空。

24、使兩板分別帶上面電荷密度為別帶上面電荷密度為0 的等量異號電荷，這時兩板間的等量異號電荷，這時兩板間電壓電壓U0=300V。保持兩板上電量不變，將板間一半空。保持兩板上電量不變，將板間一半空間充以相對電容率間充以相對電容率 r =5 的電介質(zhì)，的電介質(zhì)，求：求： （1）金屬板間有電介質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分的）金屬板間有電介質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分的 E, D 和板上自由電荷密度和板上自由電荷密度； （2）金屬板間電壓變?yōu)槎嗌?？電介質(zhì)上下表面束）金屬板間電壓變?yōu)槎嗌伲侩娊橘|(zhì)上下表面束縛電荷密度多大？縛電荷密度多大？0-0S3000Udr1212E1D1E2D2U37解解:(1) 有介質(zhì)部分的場強有介質(zhì)

25、部分的場強E1 與無介質(zhì)部分的場強與無介質(zhì)部分的場強E2相等：相等：dUEdUEr022011,) 1 (5, 5,2121rr由電量守恒由電量守恒) 2(2,22021021SSS解得解得020131,35r1212E1D1E2D2U電位移電位移;3,35022011DD電場強度電場強度0002213 EE38（2）插入電介質(zhì)前電壓）插入電介質(zhì)前電壓)(3000000VddEU插入電介質(zhì)后電壓插入電介質(zhì)后電壓)(1003002VddEU電介質(zhì)中電場強度電介質(zhì)中電場強度01011rE電介質(zhì)表面極化電荷面密度為電介質(zhì)表面極化電荷面密度為00134)511 (35)11 (rr1212E1D1E2D2U39例例9.一平行板空氣電容器，兩極板相距一平行板空氣電容器，兩極板相距d，面積為，面積為S，充電至帶電充電至帶電Q后與電源斷開，然后用外力緩緩地將后與電源斷開，然后用外力緩緩地將兩極間距拉開至兩極間距拉開至2d。求：。求： (1)電容器能量的改變；電容器能量