數(shù)學(xué)新攻略大一輪浙江專用ppt課件正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例

§4.8正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例§4.8正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例1教材研讀1.正弦定理和余弦定理在實(shí)際測(cè)量中的主要應(yīng)用有:測(cè)量距離、高度、角度問(wèn)題,計(jì)算面積問(wèn)題等.2.實(shí)際問(wèn)題中的常用角3.解三角形應(yīng)用題的一般步驟教材研讀1.正弦定理和余弦定理在實(shí)際測(cè)量中的主要應(yīng)用有:測(cè)量考點(diǎn)突破

考點(diǎn)一測(cè)量距離問(wèn)題

考點(diǎn)二測(cè)量高度

考點(diǎn)三測(cè)量角度問(wèn)題考點(diǎn)突破考點(diǎn)一測(cè)量距離問(wèn)題考點(diǎn)二測(cè)量高度考點(diǎn)三1.正弦定理和余弦定理在實(shí)際測(cè)量中的主要應(yīng)用有:測(cè)量距離、高度、角度問(wèn)題,計(jì)算面積問(wèn)題等.教材研讀1.正弦定理和余弦定理在實(shí)際測(cè)量中的主要應(yīng)用有:測(cè)量距離、高42.實(shí)際問(wèn)題中的常用角(1)仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在

水平線①

上方

的角叫仰角,目標(biāo)視線在水平線②

下方

的角叫俯

角(如圖甲).2.實(shí)際問(wèn)題中的常用角5

(2)方向角:一般指相對(duì)于正北或正南方向的水平銳角,如南偏東30°,北

偏西45°等.(3)方位角從③

正北

方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角,如點(diǎn)B的

6方位角為α(如圖乙).(4)坡角:坡面與水平面所成的銳二面角.(附:坡度(坡比):坡面的鉛直高度與水平寬度之比)方位角為α(如圖乙).73.解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)理解題意,弄清問(wèn)題的實(shí)際背景,明確已知與未知,理清量與量之間的

關(guān)系;(2)根據(jù)題意畫出示意圖,將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題;(3)根據(jù)題意選用正弦定理或余弦定理進(jìn)行求解;(4)將所得結(jié)論還原到實(shí)際問(wèn)題,注意實(shí)際問(wèn)題中有關(guān)單位、近似計(jì)算

等的要求.3.解三角形應(yīng)用題的一般步驟81.從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α與β的關(guān)系為(

B)A.α>β

B.α=β

C.α+β=90°

D.α+β=180°1.從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α與β92.如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔

A在觀察站C的北偏東20°的方向上,燈塔B在觀察站C的南偏東40°的方

向上,則燈塔A與燈塔B的距離為

(B)

A.akmB.

akmC.

akmD.2akm2.如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a103.要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度,在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是4

5°,在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°,并測(cè)得水平面上的∠BCD=120°,CD=

40m,則電視塔的高度為

(D)

A.10

mB.20mC.20

mD.40m3.要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度,在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的114.在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,

則A、C兩點(diǎn)之間的距離為

千米.4.在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若∠CAB=75125.一艘船自西向東勻速航行,上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75°距燈塔68

海里的M處,下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則此船航行的速

度為

海里/時(shí).5.一艘船自西向東勻速航行,上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西7513解析如圖,由題意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.

在△PMN中,

=

,∴MN=68×

=34

(海里).解析如圖,由題意知∠MPN=75°+45°=120°,∠P14又由M到N所用的時(shí)間為14-10=4(小時(shí)),∴此船航行的速度v=

=

海里/時(shí).又由M到N所用的時(shí)間為14-10=4(小時(shí)),15

測(cè)量距離問(wèn)題典例1如圖所示,某旅游景點(diǎn)有一座山峰,山上有一條筆直的山路BC和

一條索道AC,而小王和小李打算花2個(gè)小時(shí)的時(shí)間進(jìn)行徒步攀登,已知∠

ABC=120°,∠ADC=150°,BD=1km,AC=3km.假設(shè)小王和小李徒步攀登

的速度為每小時(shí)1250米,請(qǐng)問(wèn):小王和小李能否在2個(gè)小時(shí)內(nèi)徒步登上山

頂?(即從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)C點(diǎn))考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破16解析在△ABD中,由題意知,∠ADB=∠BAD=30°,所以AB=BD=1,因?yàn)?/p>

∠ABD=120°,由正弦定理得

=

,解得AD=

.解析在△ABD中,由題意知,∠ADB=∠BAD=30°,所17在△ACD中,由AC2=AD2+DC2-2AD·CD·cos150°,得9=3+CD2+2

×

CD,即CD2+3CD-6=0,解得CD=

,所以BC=BD+CD=

,2個(gè)小時(shí)小王和小李可徒步攀登1250×2=2500(米)=2.5(千米),而

<

=

=2.5,所以小王和小李可以在2個(gè)小時(shí)內(nèi)徒步登上山頂.在△ACD中,由AC2=AD2+DC2-2AD·CD·cos18◆探究

若本例條件“BD=1km,AC=3km”變?yōu)椤癇D=200m,CD=300

m”,其他條件不變,則這條索道AC長(zhǎng)為

100

m.◆探究若本例條件“BD=1km,AC=3km”變?yōu)椤癇19解析在△ABD中,BD=200,∠ABD=120°.因?yàn)椤螦DB=30°,所以∠DAB=30°,由正弦定理,得

=

,所以

=

,所以AD=200

(m).在△ADC中,DC=300m,∠ADC=150°,所以AC2=AD2+DC2-2AD×DC×cos∠ADC解析在△ABD中,BD=200,∠ABD=120°.所以A20=(200

)2+3002-2×200

×300×cos150°=390000,所以AC=100

m.故這條索道AC長(zhǎng)為100

m.=(200?)2+3002-2×200?×300×cos121方法技巧求解距離問(wèn)題的一般步驟(1)畫出示意圖,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形問(wèn)題;(2)明確所求的距離在哪個(gè)三角形中,有幾個(gè)已知元素;(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形.方法技巧22易錯(cuò)警示解三角形時(shí),為避免誤差的積累,應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù)),少

用間接求出的量.易錯(cuò)警示231-1如圖,為了測(cè)量A,C兩點(diǎn)間的距離,選取同一平面上的B,D兩點(diǎn),測(cè)出

四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度:AB=5km,BC=8km,CD=3km,DA=5km,且∠B

與∠D互補(bǔ),則AC的長(zhǎng)為

(A)

A.7kmB.8km

C.9kmD.6km1-1如圖,為了測(cè)量A,C兩點(diǎn)間的距離,選取同一平面上的B24解析

∵82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cosD,∴cosD=-

,∴在△ACD中,由余弦定理可計(jì)算得AC=

=7.則AC的長(zhǎng)為7km.

解析

∵82+52-2×8×5×cos(π-D)=3225測(cè)量高度典例2如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得

公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測(cè)得此

山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=

100

m.

測(cè)量高度典例2如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,26解析依題意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°,在△ABC中,由

=

,得

=

,有CB=300

,在Rt△BCD中,CD=CB·tan30°=100

,則此山的高度CD=100

m.解析依題意有AB=600,∠CAB=30°,27易錯(cuò)警示解決高度問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)在解決有關(guān)高度的問(wèn)題時(shí),要理解仰角、俯角的概念.(2)在實(shí)際問(wèn)題中,可能會(huì)遇到同時(shí)研究空間與平面(地面)的問(wèn)題,這時(shí)

最好畫兩個(gè)圖形,一個(gè)空間圖形,一個(gè)平面圖形,這樣處理起來(lái)既清楚又

不容易出錯(cuò).(3)一般是把高度問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題,要注意三角形中的邊角關(guān)

系的應(yīng)用,若是空間的問(wèn)題,則要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合.易錯(cuò)警示282-1

(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)如圖,為了估測(cè)某塔的高度,在同一水

平面的A,B兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量,在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂C在西偏北20°的方向上,

仰角為60°,在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂C在東偏北40°的方向上,仰角為30°.若A,B

兩點(diǎn)相距130m,則塔CD的高度為

10

m.

2-1

(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)如圖,為了估測(cè)某29解析設(shè)CD=hm,則AD=

m,BD=

hm,在△ADB中,∠ADB=180°-20°-40°=120°,∴由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos120°,可得1302=3h2+

-2·

h·

·

,解得h=10

(負(fù)值舍去),故塔的高度為10

m.

解析設(shè)CD=hm,則AD=?m,BD=?hm,在△A30典例3如圖,在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中,紅方一艘偵察艇(位于A處)發(fā)

現(xiàn)在北偏東45°方向,相距12km的水面B處,有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)

10km的速度沿南偏東75°方向前進(jìn),若紅方偵察艇以每小時(shí)14km的速

度,沿北偏東45°+α方向攔截藍(lán)方的小艇.若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住,求

紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值.測(cè)量角度問(wèn)題典例3如圖,在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中,紅方一艘偵察艇(位于31解析如圖,設(shè)紅方偵察艇在C處攔截住藍(lán)方的小艇,且經(jīng)過(guò)的時(shí)間為x

小時(shí),

則AC=14x(km),BC=10x(km),∠ABC=120°.解析如圖,設(shè)紅方偵察艇在C處攔截住藍(lán)方的小艇,且經(jīng)過(guò)的時(shí)間32根據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,解得x=2(負(fù)值舍去).故AC=28km,BC=20km.根據(jù)正弦定理得

=

,解得sinα=

=

.所以要使紅方偵察艇在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住藍(lán)方小艇,則所需要的時(shí)間

為2小時(shí),角α的正弦值為

.根據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xc33易錯(cuò)警示解決測(cè)量角度問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)明確方向角的含義;(2)分析題意,分清已知與所求,根據(jù)題意正確畫出示意圖,這是最關(guān)鍵、

最重要的一步;(3)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后,注意正弦、余弦定

理的綜合運(yùn)用.易錯(cuò)警示343-1從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條路線.路線1是從A沿直

線步行到C,路線2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處,然后從B沿直線步行

到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行,甲的速度是乙的速

度的

倍,甲走路線2,乙走路線1,最后他們同時(shí)到達(dá)C處.經(jīng)測(cè)量,AB=1040m,BC=500m,則sin∠BAC等于

.

3-1從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條路線.路線1是35解析依題意,設(shè)乙的速度為xm/s,則甲的速度為

xm/s,因?yàn)锳B=1040m,BC=500m,所以

=

,解得AC=1260m,在△ABC中,由余弦定理可知cos∠BAC=

=

=

,解析依題意,設(shè)乙的速度為xm/s,36所以sin∠BAC=

=

=

.所以sin∠BAC=?=?=?.37dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5ktkeirh893y89ey698vhkrnelkhgi8eyokbnkdhf98hodfhxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkwkjfegiudsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5ktkeirh893y89ey698vhkrnelkhgi8eyokbnkdhf98hodfhxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkwkjfegiudsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8gendsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y456384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm563848666￥11111111111111111111111111111112222222222222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333333333333333333333333333333333333333