廣東省高州市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)試題

第PAGE"pagenumber"19頁(yè)，共NUMPAGES"numberofpages"19頁(yè)第PAGE"pagenumber"pagenumber頁(yè)，共NUMPAGES"numberofpages"19頁(yè)廣東省高州市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1.設(shè)（i是虛數(shù)單位，，），則（

）A． B． C．2 D．2.已知集合，，則集合M可能是（

）A． B． C． D．R3.已知向量，，且，則m的值為（

）A． B．2 C． D．44.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到的函數(shù)是（

）A． B．C． D．5.若圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則圓錐的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．6.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則切點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．e B．1 C． D．7.某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授擬從人工智能領(lǐng)域的語(yǔ)音識(shí)別、人臉識(shí)別、數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開(kāi)發(fā)共5個(gè)方向展開(kāi)研究，每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí)，每位研究生只參與一個(gè)方向的學(xué)習(xí)．其中小明同學(xué)因錄取分?jǐn)?shù)最高主動(dòng)選擇學(xué)習(xí)人臉識(shí)別，其余5名研究生均表示服從丁教授統(tǒng)一安排．則這6名研究生不同的分配方向共有（

）A．480種 B．360種 C．240種 D．120種8.已知函數(shù)，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2二、多選題（本大題共4小題）9.按1d（或24h）降雨量的大小可將降水強(qiáng)度分為：小雨、中雨、大雨、暴雨、大暴雨、特大暴雨．其中，小雨：1d（或24h）降雨量小于10mm；中雨：降雨量10～25mm；大雨：降雨量25～50mm；暴雨：降雨量50～100mm；大暴雨：降雨量100～250mm；特大暴雨：降雨量在250mm以上．某城市水利部門(mén)根據(jù)以往汛期的降水量得出：連續(xù)兩天下特大暴雨，則地區(qū)會(huì)出現(xiàn)內(nèi)澇．下列給出該城市汛期內(nèi)連續(xù)一周（7天）降特大暴雨的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，假設(shè)任意兩天降特大暴雨之間是互不影響的，能判定該地區(qū)一定出現(xiàn)內(nèi)澇的是（

）A．周內(nèi)有4天降特大暴雨 B．一周內(nèi)任意1天都降特大暴雨C．一周內(nèi)只有前3天降特大暴雨 D．一周內(nèi)至多有3天降特大暴雨10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)右支上，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則雙曲線(xiàn)的離心率B．若是面積為的正三角形，則C．若為雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，軸，則D．若射線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)Q，則11.若對(duì)任意的，，且，都有，則m的值可能是（

）（注…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）A． B． C． D．112.如圖，在四面體ABCD中，，底面ABC，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積不可能是（

）A．5 B．6 C．7 D．8三、填空題（本大題共3小題）13.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)，使之同時(shí)具有以下性質(zhì)：①圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；②，．14.已知銳角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則．15.已知M是拋物線(xiàn)圖象上的一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若，則．四、雙空題（本大題共1小題）16.滿(mǎn)足方程的整點(diǎn)（即都是整數(shù)）稱(chēng)為佩爾方程的解，其中是給定的整數(shù).當(dāng)是無(wú)理數(shù)時(shí)，記.若，使得恒成立，則稱(chēng)為方程的基本解.佩爾方程的所有正整數(shù)解可由基本解導(dǎo)出，具體關(guān)系為：.則佩爾方程的基本解為；佩爾方程滿(mǎn)足的正整數(shù)解構(gòu)成的集合為.五、解答題（本大題共6小題）17.在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且，．(1)求角B的大??；(2)若，求△ABC的面積．18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19.某校組織“百年黨史”知識(shí)比賽，每組有兩名同學(xué)進(jìn)行比賽，有2道搶答題目．已知甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行同一組比賽，每人搶到每道題的機(jī)會(huì)相等．搶到題目且回答正確者得100分，沒(méi)回答者得0分；搶到題目且回答錯(cuò)誤者得0分，沒(méi)搶到者得50分，2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲答對(duì)每道題目的概率為．乙答對(duì)每道題目的概率為，且兩人各道題目是否回答正確相互獨(dú)立．(1)求乙同學(xué)得100分的概率；(2)記X為甲同學(xué)的累計(jì)得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．20.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為梯形，底面ABCD，，，，E為PA的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面BCE；(2)若二面角P-BC-E的余弦值為，求三棱錐P-BCE的體積．21.已知橢圓C：，經(jīng)過(guò)圓O：上一動(dòng)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線(xiàn)．切點(diǎn)分別記為A，B，直線(xiàn)PA，PB分別與圓O相交于異于點(diǎn)P的M，N兩點(diǎn)．(1)求證：M，O，N三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)求△OAB面積的最大值．22.已知函數(shù)．其中實(shí)數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求證：關(guān)于x的方程有唯一實(shí)數(shù)解．

參考答案1.【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法求出x、y，即可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B2.【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)求集合N，再根據(jù)交集結(jié)果，結(jié)合各選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的集合M判斷正誤即可.【詳解】由題設(shè)，，A：，不合要求；B：，符合要求；C：，則，不合要求；D：，不合要求.故選：B3.【答案】A【分析】利用向量平行的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】，，，，解得：.故選：A4.【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移寫(xiě)出的解析式即可.【詳解】由題設(shè)，.故選：A5.【答案】D【分析】根據(jù)條件求得圓錐的底面半徑和母線(xiàn)長(zhǎng)，即可求解圓錐的側(cè)面積.【詳解】設(shè)圓錐的軸截面的邊長(zhǎng)為，則，則，得圓錐底面半徑，母線(xiàn)，則圓錐的側(cè)面積.故選：D6.【答案】B【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)得到切線(xiàn)的斜率，寫(xiě)出切線(xiàn)方程，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線(xiàn)方程，解出即可.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)，由，得，所以，∴曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，又過(guò)（0，0），∴，解得，∴切點(diǎn)，縱坐標(biāo)為1．故選：B．7.【答案】B【分析】分人臉識(shí)別不安排或安排研究生兩種情況，應(yīng)用組合、排列數(shù)求總分配方式即可.【詳解】1、人臉識(shí)別方向不安排其它研究生，則種.2、人臉識(shí)別方向安排1名其它研究生，則種.綜上，共有360種分配.故選：B8.【答案】B【分析】首先利用方程組法求函數(shù)的解析式，由解析式判斷的對(duì)稱(chēng)性，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)有唯一的零點(diǎn)知極小值，即可求正實(shí)數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，，可得：，由，易知：關(guān)于對(duì)稱(chēng).當(dāng)時(shí)，，則，所以單調(diào)遞增，故時(shí)單調(diào)遞減，且當(dāng)趨向于正負(fù)無(wú)窮大時(shí)都趨向于正無(wú)窮大，所以?xún)H有一個(gè)極小值點(diǎn)1，則要使函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即，解得.故選：B9.【答案】BC【分析】分析每個(gè)選項(xiàng)，判斷是否一定有滿(mǎn)足連續(xù)2天下特大暴雨，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.一周共7天，4天降特大暴雨，可能出現(xiàn)在周一，周三，周五，周日，沒(méi)有連續(xù)2天下特大暴雨，所以不一定出現(xiàn)內(nèi)澇，故A錯(cuò)誤；B.一周內(nèi)任意1天都降特大暴雨，即每天都下特大暴雨，所以一定出現(xiàn)內(nèi)澇，故B正確；C.一周內(nèi)前3天降特大暴雨，即有連續(xù)3天降特大暴雨，則一定出現(xiàn)內(nèi)澇，故C正確；D.由A可知，一周內(nèi)至多有3天降特大暴雨，不一定連續(xù)兩天降特大暴雨，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.【答案】AB【分析】對(duì)選項(xiàng)A，由題意列式得，即可求得；對(duì)選項(xiàng)B，利用等邊三角形的性質(zhì)求解得，，即可得；對(duì)選項(xiàng)C，可得，即可判斷，對(duì)選項(xiàng)D，舉出反例即可判斷.【詳解】由題意，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以的中垂線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有交點(diǎn)，即有，解得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋獾?，所以，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題意可得顯然不等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若為右頂點(diǎn)時(shí)，則為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.11.【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，令，可得，得出在上是減函數(shù)，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意，，得，則等價(jià)于，即，所以，則，令，可得，又，所以在上是減函數(shù)，所以，解得，則.故m可能值B、C、D符合要求.故選：BCD.12.【答案】CD【分析】根據(jù)已知條件將三棱錐補(bǔ)為直三棱柱，找出球心，求出△ABC的外接圓半徑，從而求出棱長(zhǎng)，分析△ABC面積的變化，從而得到三棱錐體積的范圍.【詳解】如圖：根據(jù)已知條件可將三棱錐補(bǔ)為直三棱柱，則三棱錐的外接球即為該三棱柱的外接球.設(shè)直三棱柱的上下底面三角形的外接圓圓心分別為，，外接球球心為O，則O為中點(diǎn)，根據(jù)已知條件可知＝AD＝AC.設(shè)外接球半徑為R，設(shè)上下底面三角形外接圓半徑為＝r.由，設(shè)，則，OB＝R＝，在△ABC中，由正弦定理知：，在中由勾股定理得：，即，即，則，，AC＝AD＝2.△ABC及其外接圓的如圖：I為AC中點(diǎn)，則CI＝，，，當(dāng)B為延長(zhǎng)線(xiàn)圓的交點(diǎn)時(shí)，易知tan∠IBC＝，則，則，和已知∠ABC的大小符合，∵∠ABC是優(yōu)弧所對(duì)的角，∴當(dāng)點(diǎn)B在優(yōu)弧上移動(dòng)時(shí)，∠ABC始終為60°，∴△ABC面積最大為：，∴三棱錐D－ABC的體積最大為：.故答案為：CD.13.【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)題設(shè)函數(shù)性質(zhì)的描述，只需寫(xiě)出一個(gè)周期為4的偶函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可寫(xiě)出函數(shù)解析式.【詳解】由題設(shè)，寫(xiě)出一個(gè)周期為4的偶函數(shù)即可，所以滿(mǎn)足題設(shè)要求.故答案為：(答案不唯一)14.【答案】或者【分析】由三角函數(shù)的定義可得，化簡(jiǎn)結(jié)合條件可得答案.【詳解】由題意可得又為銳角，所以故答案為：15.【答案】4【分析】先得出直線(xiàn)的傾斜角為,過(guò)點(diǎn)作垂直于拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，為垂足，設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為,結(jié)合拋物線(xiàn)的定義可得，從而得出答案.【詳解】由拋物線(xiàn)，則，，則直線(xiàn)的傾斜角為.過(guò)點(diǎn)作垂直于拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，為垂足，設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為由拋物線(xiàn)的定義可得即，所以故答案為：416.【答案】

；【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得是的一組實(shí)數(shù)解，進(jìn)而得，，再根據(jù)得或，最后分別討論即可得答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，令，則所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，由于是的一組實(shí)數(shù)解，所以，當(dāng)，使得恒成立，所以為方程的基本解.所以其所有正整數(shù)解為：，因?yàn)?，故所以所以，由于，所以，由于，，，，，所以或，?dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足；所以佩爾方程滿(mǎn)足的正整數(shù)解構(gòu)成的集合為.故答案為：；.17.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系，及已知條件可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角性質(zhì)求B的大??；（2）由（1）及余弦定理求c，再根據(jù)三角形面積公式求面積即可.(1)由正弦定理知：，則，所以，則且，可得或，又，所以.(2)由題設(shè)，，則，又，所以，整理得，解得，滿(mǎn)足題設(shè).由，所以，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；18.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用可得，轉(zhuǎn)化為可得答案；（2）求得，利用錯(cuò)位相減可得答案.(1)由可得，由得，所以，即，所以，，所以數(shù)列是公差為1，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列.(2)由（1），得，所以，，兩式相減得，所以.19.【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的概率求法，求乙同學(xué)得100分的概率；（2）由題意知可能值為，分別求出對(duì)應(yīng)概率，寫(xiě)出分布列，進(jìn)而求期望.(1)由題意，乙同學(xué)得100分的基本事件有{乙搶到兩題且一道正確一道錯(cuò)誤}、{甲乙各搶到一題都回答正確}、{甲搶到兩題且回答錯(cuò)誤}，所以乙同學(xué)得100分的概率為.(2)由題意，甲同學(xué)的累計(jì)得分可能值為，；；；；；分布列如下：050100150200所以期望.20.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得，若為中點(diǎn)，連接，由正方形的性質(zhì)及勾股定理可得，再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)有面，最后根據(jù)面面垂直的判定證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)求相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再求面、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示，結(jié)合二面角的余弦值求參數(shù)m，最后求、向量法求到面的距離，再由體積公式求棱錐的體積.(1)因?yàn)榈酌鍭BCD，面，則，由，，則，又，則，若為中點(diǎn)，連接，易知：為正方形，則，又，即，所以，綜上，，即，又，則面，又面，所以平面平面BCE.(2)由題設(shè)，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，若，則，，，，，所以，，，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，整理得，所以，即，易得：，由底面ABCD，面，則，又，即，由，則面，面，即，所以在直角△中，，在△中，、、，即，則，所以.由上有：且面的一個(gè)法向量，則，故到面的距離，所以.21.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，設(shè)在第一象限，討論、斜率不存在或?yàn)?、斜率存在且不為0兩種情況，再設(shè)切線(xiàn)方程并聯(lián)立橢圓，由及韋達(dá)定理，求證即可證結(jié)論.（2）同（1）設(shè)在第一象限，，，討論、斜率不存在或?yàn)?、斜率存在且不為0兩種情況，分別求△OAB面積情況，注意斜率存在且不為0時(shí)，根據(jù)P在、上求直線(xiàn)的方程，再聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線(xiàn)距離公式及三角形面積公式得到關(guān)于所設(shè)參數(shù)的表達(dá)式，最后應(yīng)用基本不等式求范圍確定面積的最大值.(1)由圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)在第一象限，若斜率不存在，則直線(xiàn)為，所以，則另一條切線(xiàn)為(即斜率為0)，此時(shí)；若、斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為，聯(lián)立橢圓方程有，整理得，所以，整理得，且，所以，又，故，即；綜上，有，又M，N兩點(diǎn)圓O上，即，由圓的性質(zhì)知：是圓O的直徑，所以M，O，N三點(diǎn)共線(xiàn)，得證；(2)同（1），由圓的對(duì)稱(chēng)性，設(shè)在第一象限，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，、斜率都存在且不為0，令為，聯(lián)立橢圓并整理得：，由，整理得，所以，又在橢圓上，則，故，所以直線(xiàn)的方程為，化簡(jiǎn)得，即；同理可得：直線(xiàn)的方程為，又在直線(xiàn)、直線(xiàn)上，則，所以直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得：，又，則，故，所以，，又