【數(shù)學(xué)課件】導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義 2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義思考？觀察函數(shù)y=f(x)的圖象，平均變化率表示什么？瞬時(shí)變化率表示什么？我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，平均變化率表示割線P0P的斜率如圖，在曲線y=f(x）任取一點(diǎn)P（x,f(x))，如果當(dāng)點(diǎn)P（x,f(x))沿著曲線y=f(x)無(wú)限趨近于點(diǎn)P0(x0,f(x0))時(shí)，割線P0P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線P0T稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)P0處的切線。拋物線的割線和切線之間的關(guān)系類似，我們?nèi)菀字?，割線P0P的斜率記?x=x-x0.當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線y=f(x)無(wú)限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，即當(dāng)時(shí)，k無(wú)限趨近于函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)。因此，函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f’(x0)就是切線P0T的斜率k0，即這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。觀察下圖，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P0T比任何一條割線更貼近點(diǎn)P0附近的曲線。進(jìn)一步地，將點(diǎn)P0附近的曲線不斷放大，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P0附近的曲線越來(lái)越接近于直線。因此，在點(diǎn)P0附近，曲線y=f(x)可以用點(diǎn)P0處的切線P0T近似代替。數(shù)學(xué)上常用簡(jiǎn)單的對(duì)象刻畫復(fù)雜的對(duì)象。例如，用有理數(shù)3.1416近似代替無(wú)理數(shù)π，這里，我們用曲線上某點(diǎn)處的切線近似代替這一點(diǎn)附近的曲線，這是微積分中重要的思想方法——以直代曲。例1.如圖，是高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)h(t)＝一4.9t2十4.8t十11的圖象。根據(jù)圖象，請(qǐng)描述、比較曲線h(t

)在t=t0

,t1,t2，附近的變化情況．解析：我們用曲線h(t)在t=t0,t1,t2處的切線斜率，刻畫曲線h(t)在上述三個(gè)小刻附近的變化情況。（1）當(dāng)t=t0時(shí)，曲線h(x)在t=t0處的切線l0平行于t軸，h’(t0)=0.這時(shí)，在t=t0附近曲線比較平坦，幾乎沒(méi)有升降。（2）當(dāng)t=t1時(shí)，曲線h(x)在t=t1處的切線l0平行于t軸，h’(t0)<0.這時(shí)，在t=t1附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t=t1附近單調(diào)遞減。（3）當(dāng)t=t2時(shí)，曲線h(x)在t=t2處的切線l0平行于t軸，h’(t0)<0.這時(shí)，在t=t2附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t=t2附近單調(diào)遞減。可以看出，直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說(shuō)明曲線h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得緩慢。小試牛刀1．一個(gè)物體從10m高處做自由落體運(yùn)動(dòng)，ts時(shí)該物體距離地面的高度（單位：m）為h(t)=一4.9t2+10。求該物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度，并解釋此時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)狀況.解析：由題意可知物體豎直方向的位移h(t)=一4.9t2+10結(jié)合瞬時(shí)速度公式v=dh/dt可得v(t)=-9.8t當(dāng)t=1s時(shí)，v=-9.8m/s,所以此時(shí)其速度大小為9.8m/s,方向豎直向下此后物體將以該速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)至物體到達(dá)地面。小明騎車上學(xué)，開(kāi)始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛。與以上事件吻合得最好的圖象是（

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