2024屆焦作市重點中學九年級數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

2024屆焦作市重點中學九年級數(shù)學第一學期期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，在中，D在AC邊上，，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，則（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：32．對一批襯衣進行抽檢，統(tǒng)計合格襯衣的件數(shù)，得到合格襯衣的頻數(shù)表如下：抽取件數(shù)501001502005008001000合格頻數(shù)4288141176448720900估計出售2000件襯衣，其中次品大約是（）A．50件 B．100件 C．150件 D．200件3．不透明袋子中裝有紅、綠小球各一個，除顏色外無其他差別，隨機摸出一個小球后，放回并搖勻，再隨機摸出一個，兩次都摸到紅球的概率為（）A． B． C． D．4．如圖是一個幾何體的三視圖，這個幾何體是（）．A．三棱錐 B．三棱柱 C．長方體 D．圓柱體5．如圖，在邊長為的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個頂點在格點上，若點是的中點，則的值為（）A． B． C． D．6．已知點A（﹣3，a），B（﹣2，b），C（1，c）均在拋物線y＝3（x+2）2+k上，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．已知是實數(shù)，則代數(shù)式的最小值等于（）A．-2 B．1 C． D．8．如圖，這是一個由四個半徑都為1米的圓設(shè)計而成的花壇，圓心在同一直線上，每個圓都會經(jīng)過相鄰圓的圓心，則這個花壇的周長（實線部分）為（）A．4π米 B．π米 C．3π米 D．2π米9．順次連接梯形各邊中點所組成的圖形是（）A．平行四邊形 B．菱形 C．梯形 D．正方形10．如圖，等腰與等腰是以點為位似中心的位似圖形，位似比為，則點的坐標是（）A． B． C． D．11．如圖，已知正五邊形內(nèi)接于，連結(jié)相交于點，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．12．將拋物線y=3x2﹣3向右平移3個單位長度，得到新拋物線的表達式為（）A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2 C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣6二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，把直角三角板的直角頂點放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點、．量得，，則該圓玻璃鏡的半徑是__________．14．用正五邊形鋼板制作一個邊框總長為40cm的五角星（如圖），則正五邊形的邊長為cm（保留根號）__________．15．已知點P是線段AB的黃金分割點，PA＞PB，AB＝4cm，則PA＝____cm．16．如圖是小孔成像原理的示意圖，點與物體的距離為，與像的距離是，.若物體的高度為，則像的高度是_________.17．已知為銳角，且，那么等于_____________．18．如圖，在□ABCD中，AB＝5，AD＝6，AD、AB、BC分別與⊙O相切于E、F、G三點，過點C作⊙O的切線交AD于點N，切點為M．當CN⊥AD時，⊙O的半徑為____．三、解答題（共78分）19．（8分）（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為．（2）（拓展探究）如圖②，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖②進行說明．（3（解決問題）如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O為AC的中點．若點D在直線BC上運動，連接OE，則在點D的運動過程中，線段OE長的最小值為（直接寫出結(jié)果）．20．（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=30°，O是線段AB上的一個動點，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O交BC于點D，過點D作直線AC的垂線，垂足為E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）設(shè)OB=x，求∠ODE的內(nèi)部與△ABC重合部分的面積y的最大值．21．（8分）已知：如圖，中，平分，是上一點，且．判斷與的數(shù)量關(guān)系并證明．22．（10分）如圖所示的是夾文件用的鐵(塑料)夾子在常態(tài)下的側(cè)面示意圖．AC，BC表示鐵夾的兩個面，O點是軸，OD⊥AC于點D，且AD＝15mm，DC＝24mm，OD＝10mm．已知文件夾是軸對稱圖形，試利用圖②，求圖①中A，B兩點間的距離．23．（10分）如圖，拋物線的表達式為y=ax2+4ax+4a-1（a≠0），它的圖像的頂點為A，與x軸負半軸相交于點B、點C（點B在點C左側(cè)），與y軸交于點D，連接AO交拋物線于點E，且S△AEC:S△CEO=1:3.（1）求點A的坐標和拋物線表達式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△BDP的內(nèi)心也在對稱軸上，若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）連接BD，點Q是y軸左側(cè)拋物線上的一點，若以Q為圓心，為半徑的圓與直線BD相切，求點Q的坐標.24．（10分）如圖，是的直徑，弦于點，點在上，恰好經(jīng)過圓心，連接.（1）若，，求的直徑；（2）若，求的度數(shù).25．（12分）如圖:在平面直角坐標系中，點.(1)尺規(guī)作圖:求作過三點的圓;(2)設(shè)過三點的圓的圓心為M，利用網(wǎng)格，求點M的坐標;(3)若直線與相交，直接寫出的取值范圍.26．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求證：△DEH∽△BCA．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】過O作BC的平行線交AC與G，由中位線的知識可得出，根據(jù)已知和平行線分線段成比例得出，再由同高不同底的三角形中底與三角形面積的關(guān)系可求出的比．【題目詳解】解：如圖，過O作，交AC于G，∵O是BD的中點，∴G是DC的中點．又，設(shè)，又，，故選B．【題目點撥】考查平行線分線段成比例及三角形的中位線的知識，難度較大，注意熟練運用中位線定理和三角形面積公式．2、D【分析】求出次品率即可求出次品數(shù)量．【題目詳解】2000×(件)．故選：D．【題目點撥】本題考查了樣本估計總體的統(tǒng)計方法，求出樣本的次品率是解答本題的關(guān)鍵．3、D【分析】用列表法或樹狀圖法可以列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后看符合條件的占總數(shù)的幾分之幾即可．【題目詳解】解：兩次摸球的所有的可能性樹狀圖如下：第一次第二次開始∴兩次都是紅球．故選D．【題目點撥】考查用樹狀圖或列表法，求等可能事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，然后用分數(shù)表示，同時注意“放回”與“不放回”的區(qū)別．4、B【解題分析】試題解析：根據(jù)三視圖的知識，主視圖為三角形，左視圖為一個矩形，俯視圖為兩個矩形，故這個幾何體為三棱柱．故選B.5、C【分析】利用勾股定理求出△ABC的三邊長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以得出△ABC為直角三角形，再利用直角三角形斜邊中點的性質(zhì)，得出AE=CE，從而得到∠CAE=∠ACB，然后利用三角函數(shù)的定義即可求解．【題目詳解】解：依題意得，AB=，AC=，BC=，∴AB2+AC2=BC2，

∴△ABC是直角三角形，

又∵E為BC的中點，

∴AE=CE，

∴∠CAE=∠ACB，

∴sin∠CAE=sin∠ACB=．故選：C．【題目點撥】此題主要考查了三角函數(shù)的定義，也考查了勾股定理及其逆定理，首先根據(jù)圖形利用勾股定理求出三角形的三邊長，然后利用勾股定理的逆定理和三角函數(shù)即可解決問題．6、C【分析】通過確定A、B、C三個點和函數(shù)對稱軸的距離，確定對應(yīng)y軸的大小．【題目詳解】解：函數(shù)的對稱軸為：x＝﹣2，a＝3＞0，故開口向上，x＝1比x＝﹣3離對稱軸遠，故c最大，b為函數(shù)最小值，故選：C．【題目點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)題意，巧妙地利用性質(zhì)進行解題是解此題的關(guān)鍵7、C【分析】將代數(shù)式配方，然后利用平方的非負性即可求出結(jié)論．【題目詳解】解：====∵∴∴代數(shù)式的最小值等于故選C．【題目點撥】此題考查的是利用配方法求最值，掌握完全平方公式是解決此題的關(guān)鍵．8、A【分析】根據(jù)弧長公式解答即可．【題目詳解】解：如圖所示：∵這是一個由四個半徑都為1米的圓設(shè)計而成的花壇，圓心在同一直線上，每個圓都會經(jīng)過相鄰圓的圓心，∴OA＝OC＝O'A＝OO'＝O'C＝1，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝60°，∴這個花壇的周長＝，故選：A．【題目點撥】本題考查了圓的弧長公式，找到弧所對圓心角度數(shù)是解題的關(guān)鍵9、A【解題分析】連接AC、BD，根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥AC，EH＝AC，同理FG∥AC，F(xiàn)G＝AC，進一步推出EH＝FG，EH∥FG，即可得到答案．【題目詳解】解：連接AC、BD，∵E是AD的中點，H是CD的中點，∴EH＝AC，同理FG＝AC，∴EH＝FG，同理EF＝HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，故選：A．【題目點撥】本題考查了中位線的性質(zhì),平行四邊形的判定,屬于簡單題,熟悉中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.10、A【分析】根據(jù)位似比為，可得，從而得：CE=DE=12，進而求得OC=6，即可求解．【題目詳解】∵等腰與等腰是以點為位似中心的位似圖形，位似比為，∴，即：DE=3BC=12，∴CE=DE=12，∴，解得：OC=6，∴OE=6+12=18，∴點的坐標是：．故選A．【題目點撥】本題主要考查位似圖形的性質(zhì)，掌握位似圖形的位似比等于相似比，是解題的關(guān)鍵．11、C【分析】連接OA、OB、OC、OD、OE，如圖，則由正多邊形的性質(zhì)易求得∠COD和∠BOE的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理可得∠DBC和∠BCF的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可.【題目詳解】解：連接OA、OB、OC、OD、OE，如圖，則∠COD=∠AOB=∠AOE=，∴∠BOE=144°，∴，，∴.故選：C.【題目點撥】本題考查了正多邊形和圓、圓周角定理和三角形的內(nèi)角和定理，屬于基本題型，熟練掌握基本知識是解題關(guān)鍵.12、A【解題分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象平移規(guī)律：左加右減，上加下減，即可得出.【題目詳解】拋物線向右平移3個單位,得到的拋物線的解析式是故選A.【題目點撥】本題主要考查二次函數(shù)的圖象平移規(guī)律：左加右減，上加下減.二、填空題（每題4分，共24分）13、1．【解題分析】解：∵∠MON=90°，∴為圓玻璃鏡的直徑，，∴半徑為．故答案為：1．14、【分析】根據(jù)正五邊形的概念可證得，利用對應(yīng)邊成比例列方程即可求得答案.【題目詳解】如圖，由邊框總長為40cm的五角星，知：，ABCDE為圓內(nèi)接正五邊形，∴，，∴，∴，同理：，∴，∴，設(shè)，則，∵，，∴，，即：，化簡得：，配方得：，解得：2(負值已舍)，故答案為：2【題目點撥】本題考查了圓內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程的解法，判定是正確解答本題的關(guān)鍵.15、2－2【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知AP是較長線段；則AP=AB，代入運算即可．【題目詳解】解：由于P為線段AB=4的黃金分割點，且AP是較長線段；則AP=4×=cm，故答案為：（2－2）cm.【題目點撥】此題考查了黃金分割的定義，應(yīng)該識記黃金分割的公式：較短的線段=原線段的，難度一般．16、7【分析】根據(jù)三角形相似對應(yīng)線段成比例即可得出答案.【題目詳解】作OE⊥AB與點E，OF⊥CD于點F根據(jù)題意可得：△ABO∽△DCO，OE=30cm，OF=14cm∴即解得：CD=7cm故答案為7.【題目點撥】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，注意兩三角形相似不僅對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)中線和對應(yīng)高線也成比例，周長同樣成比例，均等于相似比.17、【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出答案．【題目詳解】故答案為：．【題目點撥】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．18、2或1.5【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，切線長定理得出線段之間的關(guān)系，利用勾股定理列出方程解出圓的半徑.【題目詳解】解：設(shè)半徑為r，∵AD、AB、BC分別與⊙O相切于E、F、G三點，AB＝5，AD＝6∴GC=r，BG=BF=6-r，∴AF=5-（6-r）=r-1=AE∴ND=6-（r-1）-r=7-2r，在Rt△NDC中，NC2+ND2=CD2，

（7-r）2+（2r）2=52，解得r=2或1.5.故答案為：2或1.5.【題目點撥】本題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，正確得出線段關(guān)系，列出方程是解題關(guān)鍵.三、解答題（共78分）19、（1）①CF＝DG；②45°；（2）成立，證明詳見解析；（3）．【分析】（1）【問題發(fā)現(xiàn)】連接AF．易證A，F(xiàn)，C三點共線．易知AF＝AG．AC＝AD，推出CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．（2）【拓展探究】連接AC，AF，延長CF交DG的延長線于點K，AG交FK于點O．證明△CAF∽△DAG即可解決問題．（3）【解決問題】證明△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠ABC＝45°，可得∠BCE＝90°，推出點E的運動軌跡是在射線OCE上，當OE⊥CE時，OE的長最短．【題目詳解】解：（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①中，①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為CF＝DG；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為45°．理由：如圖①中，連接AF．易證A，F(xiàn)，C三點共線．∵AF＝AG．AC＝AD，∴CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．故答案為CF＝DG，45°．（2）【拓展探究】結(jié)論不變．理由：連接AC，AF，延長CF交DG的延長線于點K，AG交FK于點O．∵∠CAD＝∠FAG＝45°，∴∠CAF＝∠DAG，∵AC＝AD，AF＝AG，∴，∴△CAF∽△DAG，∴，∠AFC＝∠AGD，∴CF＝DG，∠AFO＝∠OGK，∵∠AOF＝∠GOK，∴∠K＝∠FAO＝45°．（3）【解決問題】如圖3中，連接EC．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝90°，∴點E的運動軌跡是在射線CE上，當OE⊥CE時，OE的長最短，易知OE的最小值為，故答案為.【題目點撥】本題考查的知識點是正方形的旋轉(zhuǎn)問題，主要是利用相似三角形性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)來求證線段間的等量關(guān)系，弄清題意，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.20、(1)證明見解析；（2）【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠C=∠B，∠ODB=∠C，從而∠ODB=∠C，根據(jù)同位角相等兩直線平行可證OD∥AC，進而可證明結(jié)論；（2）①當點E在CA的延長線上時，設(shè)DE與AB交于點F，圍成的圖形為△ODF;②當點E在線段AC上時，圍成的圖形為梯形AODE.根據(jù)三角形和梯形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【題目詳解】證明：（1）連接OD，∵AB=AC，∴∠C=∠B．∵OB=OD，∴∠ODB=∠B∴∠ODB=∠C∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．（2）①當點E在CA的延長線上時，設(shè)DE與AB交于點F，圍成的圖形為△ODF．∵OD=OB=x，∠B=30°，∴∠FOD=60°，∵∠ODE=90°，∴DF=x，∴S△ODF=x·x=，(0＜x≤)當x=時，S△ODF最大，最大值為；②當點E在線段AC上時，圍成的圖形為梯形AODE．∵AB=AC=10，∠B=30°，∴BC=10，作OH⊥BC，∵OD=OB=x，∠B=30°，∴BD=2BH=x，∴CD=10－x，∵∠C=30°，∠DEC=90°，∴DE=(10－x)，CE=(10－x)=15－x，∴AE=x－5，∴S梯形AODE=(x－5+x)·(10－x)=(－+12x－20)(＜x＜10)當x=6時，S梯形AODE最大，最大值為10；綜上所述，當x=6時，重合部分的面積最大，最大值為10．點睛：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，切線的判定，解直角三角形，三角形和梯形的面積公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，知識點比較多，難度比較大.熟練掌握切線的判定方法及二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.21、，理由見解析.【分析】根據(jù)題意，先證明∽，則，得到，然后得到結(jié)論成立.【題目詳解】證明：；理由如下：如圖：∵平分，∴，∵，∴∽，∴，∴，∴.【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及等角對等邊，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進行解題.22、AB＝30(mm)【解題分析】解：如圖所示，連接AB，與CO的延長線交于點E．∵夾子是軸對稱圖形，對稱軸是CE，且A，B為一組對稱點，∴CE⊥AB，AE＝EB．在Rt△AEC和Rt△ODC中，∵∠ACE＝∠OCD，∴Rt△AEC∽Rt△ODC，∴．∵(mm)，∴(mm)．∴AB＝2AE＝15×2＝30(mm)．23、（1）拋物線表達式為y=x2+4x+3；（2）P（-2，-3）；（3）Q（-4，3）.【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸易求得頂點坐標，再根據(jù)S△AEC:S△CEO=1:3，求得OE：OA=3:4，再證得△OFE∽△OMA，求得點E的坐標，從而求得答案；（2）根據(jù)內(nèi)心的定義知∠BPM=∠DPM，設(shè)點P（-2，b），根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，繼而求得的值，從而求得答案；（3）設(shè)Q（m，m2+4m+3），分類討論，①點Q在BD左上方拋物線上，②點Q在BD下方拋物線上，利用的不同計算方法求得的值，從而求得答案.【題目詳解】（1）由拋物線y=ax2+4ax+4a-1得對稱軸為直線，當時，，∴，∵S△AEC:S△CEO=1:3，∴AE：OE=1:3，∴OE：OA=3:4，過點E作EF⊥x軸，垂足為點F，設(shè)對稱軸與x軸交點為M，如圖，∵EF//AM，∴△OFE∽△OMA，∴，∴，∴，把點代入拋物線表達式y(tǒng)=ax2+4ax+4a-1得，解得：a=1，∴拋物線表達式為：y=x2+4x+3；（2）三角形的內(nèi)心是三個角平分線的交點，∴∠BPM=∠DPM，過點D作DH⊥AM，垂足為點H，設(shè)點P（-2，b），∵tan∠BPM=tan∠DPM，∴，∴，∴，∴P（-2，-3），（3）∵拋物線表達式為：y=x2+4x+3，∴拋物線與軸和軸的交點坐標分別為：B(-3，0)，C(-1，0)，D(0，3)，∴，∴設(shè)Q（m，m2+4m+3），①點Q在BD左上方拋物線上，如圖：作BG⊥x軸交BD于G，QF⊥x軸交于F，作QE⊥BD于E，設(shè)直線QD的解析式為：，∵點Q的坐標為（m，m2+4m+3）代入得：，∴直線QD的解析式為：，當時，，∴點G的坐標為；，∴，∵，∴，即：，解得：或(不合題意，舍去)，∴點的坐標為：）；②點Q在BD下方拋物線上，如圖：QF⊥x軸交于F，交BD于G，作QE⊥BD于E，設(shè)直線BD的解析式為：，將點B(-3，0)代入得：，∴直線BD的解析式為：，當時，，∴點G的坐標為；，∴，∵，∴，即：，∵∴方程無解，綜上：點的坐標為：）.【題目點撥】本題考查了運用待定系數(shù)法求直線及拋物線的解析式，三角函數(shù)的定義，勾股定理，三角形的面積，綜合性比較強，學會分類討論的思想思考問題，利用三角形面積的不同計算方法構(gòu)建方程求值是解答本題的關(guān)鍵.24、（1）1；（2）【分析】（1）由CD＝16，BE＝4，根據(jù)垂徑定