北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （平行線的性質(zhì)）平行線的證明教育教學(xué)課件

初中數(shù)學(xué)（北師大版）八年級(jí)上冊(cè)第七章平行線的證明

知識(shí)點(diǎn)一

平行線的性質(zhì)定理:(1)兩直線平行,同位角相等.符號(hào)表示:如圖7-4-1,∵a∥b(已

知),∴∠1=∠2(兩直線平行,同位角相等).(2)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.符號(hào)表示:如圖7-4-2,∵a∥b(已知),∴∠1=

∠2(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).4平行線的性質(zhì)

圖7-4-1圖7-4-2圖7-4-3(3)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).符號(hào)表示:如圖7-4-3,∵a∥b(已知),∴∠1

+∠2=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)).4平行線的性質(zhì)例1如圖7-4-4所示,如果AB∥DF,DE∥BC,且∠1=65°,那么你能說出

∠2、∠3、∠4的度數(shù)嗎?為什么?

圖7-4-4分析由DE∥BC,可得∠1=∠4,∠1+∠2=180°,從而可得∠4與∠2的度

數(shù);由DF∥AB,可得∠3=∠2,從而可得∠3的度數(shù).4平行線的性質(zhì)解析因?yàn)镈E∥BC(已知),所以∠4=∠1=65°(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠2+∠1=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)),所以∠2=180°-∠1=180°-65°=115°.因?yàn)镈F∥AB(已知),所以∠3=∠2(兩直線平行,同位角相等),所以∠3=115°(等量代換).4平行線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)二

平行線的性質(zhì)與判定1.定理:平行于同一條直線的兩條直線平行.符號(hào)表示:如圖7-4-5,∵a∥b,b∥c,∴a∥c.

圖7-4-54平行線的性質(zhì)例2如圖7-4-6所示,若AB∥CD,∠B=120°,∠C=25°,則∠α的度數(shù)為

()

圖7-4-6A.35°

B.50°

C.65°

D.85°4平行線的性質(zhì)解析如圖7-4-7所示,過點(diǎn)E作EF∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥EF∥CD,∴∠CEF=∠C=25°,∠BEF=180°-∠B=180°-120°=60°,∴∠α=∠BEF+∠CEF=85°.故選D.

圖7-4-7答案

D4平行線的性質(zhì)2.平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系平行線的判定是由角的位置及數(shù)量關(guān)系來確定直線的位置關(guān)系,平行線

的性質(zhì)是由直線的位置關(guān)系及角的位置關(guān)系來確定角的數(shù)量關(guān)系.4平行線的性質(zhì)例3如圖7-4-8,在△ABC中,AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,AD平分∠BAC,

求證:∠E=∠3.

圖7-4-84平行線的性質(zhì)證明∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知),∴∠ADC=∠EFD=90°(垂直的定義),∴AD∥EF(同位角相等,兩直線平行),∴∠3=∠BAD(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠DAC=∠E(兩直線平行,同位角相等),∵AD平分∠BAC(已知),∴∠BAD=∠DAC(角平分線的定義),∴∠E=∠3(等量代換).4平行線的性質(zhì)題型

平行線的性質(zhì)在折疊問題中的應(yīng)用例如圖7-4-9所示,把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后,ED'與BC的

交點(diǎn)為G,點(diǎn)D、C分別落在D',C'的位置上.(1)當(dāng)∠1=110°時(shí),求∠2的度數(shù);(2)當(dāng)∠2等于多少度時(shí),D‘C’∥BC?圖7-4-94平行線的性質(zhì)解析(1)∵四邊形ABCD為長(zhǎng)方形,∴AD∥BC,∴∠1+∠2=180°,∵∠1=110°,∴∠2=70°.(2)由折疊的性質(zhì)得∠D'=90°,若D'C'∥BC,則有∠EGF=∠D'=90°,∵AD∥BC,∴∠2=∠EGF=90°,則當(dāng)∠2等于90度時(shí),D'C'∥BC.點(diǎn)撥本題綜合考查了折疊的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì),熟練掌握平

行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.4平行線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一

平行線的性質(zhì)1.(2017湖南株洲中考)如圖7-4-1,直線l1,l2被直線l3所截,且l1∥l2,則α的度

數(shù)是

()

圖7-4-1A.41°

B.49°

C.51°

D.59°答案

B兩條平行線被第三條直線所截,內(nèi)錯(cuò)角相等.因此α=49°,故選B.4平行線的性質(zhì)2.(2017江蘇宿遷中考)如圖7-4-2,直線a,b被直線c,d所截,若∠1=80°,∠2=

100°,∠3=85°,則∠4的度數(shù)是

()

圖7-4-2A.80°

B.85°

C.95°

D.100°答案

B因?yàn)椤?+∠2=80°+100°=180°,所以a∥b,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等得∠4=∠3=85°.4平行線的性質(zhì)3.(2017內(nèi)蒙古赤峰中考)如圖7-4-3,直線a∥b,Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C在

直線a上,若∠1=35°,則∠2等于

()

圖7-4-3A.65°

B.50°

C.55°

D.60°4平行線的性質(zhì)答案

C如圖,∵直角頂點(diǎn)C在直線a上,∠1=35°,∴∠3=55°,∵直線a∥

b,∴∠2=∠3=55°.故選C.

4平行線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)二

平行線的性質(zhì)與判定4.已知:如圖7-4-4,已知∠B+∠BCD=180°,∠B=∠D,那么∠E=∠DFE成

立嗎?為什么?下面是彬彬同學(xué)進(jìn)行的推理,請(qǐng)你將彬彬同學(xué)的推理過程

補(bǔ)充完整.

圖7-4-44平行線的性質(zhì)解:成立.∵∠B+∠BCD=180°(已知),∴

(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行).∴∠B=∠DCE().又∵∠B=∠D(已知),∴∠DCE=∠D(等量代換).∴AD∥BE().∴∠E=∠DFE().答案AB∥CD;兩直線平行,同位角相等;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等4平行線的性質(zhì)5.完成下列推理過程.如圖7-4-5,已知AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,試說明AD∥BE.

圖7-4-5證明:∵AB∥CD(已知),∴∠4=∠

(

).∵∠3=∠4(已知),∴∠3=∠

(

).4平行線的性質(zhì)∵∠1=∠2(已知),∴∠CAE+

=∠CAE+

,即∠

=∠

,∴∠3=∠

,∴AD∥BE(

).答案BAE;兩直線平行,同位角相等;BAE;等量代換;∠1;∠2;BAE;

DAC;DAC;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行4平行線的性質(zhì)6.如圖7-4-6,已知∠1+∠2=180°,∠A=∠C,DA平分∠FDB,試證明∠3=

∠4.

圖7-4-64平行線的性質(zhì)證明因?yàn)椤?+∠2=180°(已知),∠2+∠7=180°(平角的定義),所以∠1=∠7(等量代換),所以AE∥CF(同位角相等,兩直線平行),所以∠A=∠6,∠3=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).因?yàn)椤螦=∠C(已知),所以∠3=∠A=∠6(等量代換),所以AD∥BC(同位角相等,兩直線平行),所以∠4=∠5(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).因?yàn)椤?=∠6(角平分線的性質(zhì)),所以∠3=∠4(等量代換).4平行線的性質(zhì)1.(2017湖北天門中考)如圖,已知AB∥CD∥EF,FC平分∠AFE,∠C=25°,則∠A的度數(shù)是

()

A.25°

B.35°

C.45°

D.50°答案

D∵CD∥EF,∠C=25°,∴∠CFE=∠C=25°,又∵FC平分∠AFE,

∴∠AFE=2∠CFE=50°,∵AB∥EF,∴∠A=∠AFE=50°.4平行線的性質(zhì)2.(2016湖北荊州中考)如圖,AB∥CD,射線AE交CD于點(diǎn)F.若∠1=115°,

則∠2的度數(shù)是

()

A.55°

B.65°

C.75°

D.85°答案

B如圖,∵AB∥CD,∴∠1+∠3=180°,又∵∠3=∠2,∠1=115°,從

而∠2=180°-115°=65°.故選B.

4平行線的性質(zhì)3.如圖,AB∥CD,∠B=42°,∠2=35°,則∠1=

,∠A=

,∠ACB=

,∠BCD=

.

答案42°;35°;103°;138°解析因?yàn)锳B∥CD,所以∠1=∠B=42°,∠A=∠2=35°,∠BCD=180°-∠B=138°.易得∠ACB=180°-∠1-∠2=103°.4平行線的性質(zhì)4.(2016江蘇淮陰中學(xué)期末)如圖,已知CD⊥AB,垂足為點(diǎn)D,點(diǎn)F是BC上

異于B、C的任意一點(diǎn),FE⊥AB,垂足為點(diǎn)E,且∠1=∠2=30°,∠3=84°,求

∠4的度數(shù).

解析因?yàn)镃D⊥AB(已知),FE⊥AB(已知),所以EF∥CD(同一平面內(nèi),

垂直于同一條直線的兩直線平行),所以∠2=∠DCB(兩直線平行,同位

角相等),又因?yàn)椤?=∠2(已知),所以∠1=∠DCB(等量代換).所以DH∥

BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行),所以∠3=∠ACB(兩直線平行,同位角相

等),所以∠4=∠3-∠DCB=84°-30°=54°.4平行線的性質(zhì)1.(2016山東濱州中考)如圖7-4-7,AB∥CD,直線EF與AB,CD分別交于點(diǎn)

M,N,過點(diǎn)N的直線GH與AB交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

()

圖7-4-7A.∠EMB=∠END

B.∠BMN=∠MNCC.∠CNH=∠BPG

D.∠DNG=∠AME4平行線的性質(zhì)答案

D∵AB∥CD,∴∠EMB=∠END(兩直線平行,同位角相等),∠BMN=∠MNC(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),故A,B正確;∵AB∥CD,∴∠CNH=∠MPN(兩直線平行,同位角相等),∵∠MPN=∠BPG(對(duì)頂角相等),∴∠CNH=∠BPG(等量代換),故C正確;無法判定∠DNG與∠AME相等.故選D.4平行線的性質(zhì)2.如圖7-4-8,E為DF上一點(diǎn),B為AC上一點(diǎn),∠1=∠2,∠C=∠D.試說明DF

∥AC.

圖7-4-8證明由∠1=∠3,∠1=∠2,可得∠2=∠3,從而BD∥EC,所以∠C=∠DBA,又因?yàn)椤螩=∠D,所以∠DBA=∠D,所以DF∥AC.4平行線的性質(zhì)1.如圖所示,一條公路修到湖邊時(shí),需拐彎繞湖而過,如果第一次拐彎的

∠A是120°,第二次拐彎的∠B是150°,第三次拐彎的角是∠C,這時(shí)的道

路恰好與第一次拐彎前的道路平行,則∠C等于

()

A.150°

B.140°

C.130°

D.120°4平行線的性質(zhì)答案

A如圖,作BF∥AE,

則∠1=∠A=120°,∵∠ABC=150°,∴∠2=30°.∵AE∥CD,∴BF∥CD,∴∠2+∠C=180°,∴∠C=150°.4平行線的性質(zhì)2.如圖,AB∥EF,∠C=90°,則α、β、γ的關(guān)系是

()

A.β+γ-α=90°

B.α+β+γ=180°C.α+β-γ=90°

D.β=α+γ4平行線的性質(zhì)答案

C如圖,分別過點(diǎn)C,D作CM∥AB,DN∥AB,所以CM∥ND.

又因?yàn)锳B∥EF,所以AB∥CM∥ND∥EF,所以∠1=α,∠2=∠3,∠4=γ.由圖知∠1+∠2=∠BCD=90°,∠3+∠4=β,所以α+∠2=90°,∠3+γ=β,即∠2=90°-α,∠3=β-γ,所以90°-α=β-γ,即α+β-γ=90°.4平行線的性質(zhì)3.(2016四川資陽安岳期末)

是大眾汽車的標(biāo)志圖案,其中蘊(yùn)涵著許多幾何知識(shí).如圖,已知BC∥AD,BE∥AF.

(1)∠A與∠B相等嗎?請(qǐng)說明理由;(2)若∠DOB=135°,求∠A的度數(shù).4平行線的性質(zhì)解析(1)相等.理由:因?yàn)锽C∥AD(已知),所以∠B=∠DOE(兩直線平行,

同位角相等).因?yàn)锽E∥AF(已知),所以∠A=∠DOE(兩直線平行,同位角

相等),所以∠A=∠B(等量代換).(2)因?yàn)锽C∥AD(已知),所以∠B+∠DOB=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互

補(bǔ)),又因?yàn)椤螪OB=135°,所以∠B=180°-135°=45°,又∠A=∠B,所以∠A=45°.4平行線的性質(zhì)4.如圖所示,點(diǎn)A、B、C在同一條直線上,且∠1=∠2,∠3=∠D.試說明

BD∥EC.

4平行線的性質(zhì)證明∵∠1=∠2(已知),∴AD∥BE(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).∴∠D=∠DBE(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).又∵∠D=∠3(已知),∴∠3=∠DBE(等量代換),∴DB∥EC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).4平行線的性質(zhì)一、選擇題1.(2018河北保定十七中期末,5,★☆☆)如圖7-4-9,把一塊含有45°角的直

角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上,若∠1=20°,則∠2的度數(shù)是

()

圖7-4-9A.15°

B.20°

C.25°

D.30°答案

C∠2=45°-∠1=45°-20°=25°.4平行線的性質(zhì)二、填空題2.(2017江蘇南京師大附中期中,14,★☆☆)如圖7-4-10,直線a∥b,直線l

與a相交于點(diǎn)P,與直線b相交于點(diǎn)Q,且PM垂直于l,若∠1=58°,則∠2=

.

圖7-4-104平行線的性質(zhì)答案32°解析如圖,∵a∥b,∴∠3=∠1=58°,又∵PM⊥l,∴∠4=90°,∴∠2=180°-∠3-∠4=32°,故答案為32°.

4平行線的性質(zhì)三、解答題3.(2018山東日照果莊中學(xué)月考,17,★★☆)如圖7-4-11,在△ADF與△CBE中,點(diǎn)A、E、F、C在同一條直線上,已知AD∥BC,AD=CB,∠B=∠D.求證:AF=CE.

圖7-4-114平行線的性質(zhì)證明∵AD∥BC,∴∠A=∠C.∵AD=CB,∠B=∠D,∴△ADF≌△CBE.∴AF=CE.4平行線的性質(zhì)4.(2016北師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考,17,★★☆)如圖7-4-12,已知∠1=∠2,

∠C=∠D.試問∠A與∠F有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由.

圖7-4-124平行線的性質(zhì)解析∠A與∠F相等.理由:∵∠1=∠2,∴BD∥CE,∴∠C+∠CBD=180°,又∵∠C=∠D,∴∠D+∠CBD=180°,∴AC∥DF,∴∠A=∠F.4平行線的性質(zhì)1.(2016江西南昌二中期末,7,★★☆)如圖,直線a∥b,直角三角形ABC的

頂點(diǎn)B在直線b上,∠C=90°,∠β=55°,則∠α的度數(shù)為

.

4平行線的性質(zhì)解析如圖,過點(diǎn)C作CD∥a,則∠1=∠β,∵a∥b,∴CD∥b,∴∠2=∠α,∴∠ACB=∠α+∠β,∵∠β=55°,∠ACB=90°,∴∠α=90°-55°=35°.

答案35°4平行線的性質(zhì)2.(2017廣西桂林一中期末,18,★☆☆)已知,如圖,CD⊥AB,GF⊥AB,∠B

=∠ADE,試說明∠1=∠2.

4平行線的性質(zhì)證明∵∠B=∠ADE(已知),∴DE∥BC(同位角相等,兩直線平行),∴∠1=∠DCB(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).∵CD⊥AB,GF⊥AB,∴∠BDC=90°,∠BFG=90°,∴CD∥FG(同位角相等,兩直線平行),∴∠2=∠DCB(兩直線平行,同位角相等).∴∠1=∠2(等量代換).4平行線的性質(zhì)一、選擇題1.(2017遼寧大連中考,5,★☆☆)如圖7-4-13,直線a,b被直線c所截,若直線

a∥b,∠1=108°,則∠2的度數(shù)為

()

圖7-4-13A.108°

B.82°

C.72°

D.62°答案

C由∠2的同位角是∠1的鄰補(bǔ)角,結(jié)合平行線的性質(zhì)可得∠2=

180°-∠1=180°-108°=72°,故選C.4平行線的性質(zhì)2.(2017湖北黃岡中考,3,★☆☆)已知:如圖7-4-14,直線a∥b,∠1=50°,∠2

=∠3,則∠2的度數(shù)為

()

圖7-4-14A.50°

B.60°

C.65°

D.75°答案

C∵a∥b,∴∠1+∠2+∠3=180°,又∵∠2=∠3,∠1=50°,∴50°+2∠2=180°,∴∠2=65°,故選C.4平行線的性質(zhì)3.(2017四川內(nèi)江中考,4,★★☆)如圖7-4-15,直線m∥n,直角三角板ABC

的頂點(diǎn)A在直線m上,則∠α的余角等于

()

圖7-4-15A.19°

B.38°

C.42°

D.52°4平行線的性質(zhì)答案

D如圖,過C作CD∥直線m,∵m∥n,∴CD∥m∥n,∴∠DCA=∠FAC=52°,∠α=∠DCB,∵∠ACB=90°,∴∠α=90°-52°=38°,則∠α的余角是52°.

4平行線的性質(zhì)二、填空題4.(2017四川廣安中考,12,★☆☆)如圖7-4-16,若∠1+∠2=180°,∠3=110°,則∠4=

.

圖7-4-16答案110°解析∵∠1+∠2=180°,∴a∥b,∵∠3=110°,∴∠4=∠3=110°.4平行線的性質(zhì)5.(2017湖南郴州中考,13,★☆☆)如圖7-4-17,直線EF分別交AB,CD于點(diǎn)

E,F,且AB∥CD,若∠1=60°,則∠2=

.

圖7-4-17答案120°解析由平行線的性質(zhì)結(jié)合題圖可知:∠2與∠1的一個(gè)鄰補(bǔ)角是同位

角,∴∠2=180-∠1=180°-60°=120°.4平行線的性質(zhì)6.(2017浙江金華中考,14,★★☆)如圖7-4-18,已知l1∥l2,直線l與l1,l2相交

于C,D兩點(diǎn),把一塊含30°角的三角尺按如圖所示的位置擺放.若∠1=130°,則∠2=

°.

圖7-4-184平行線的性質(zhì)解析如圖,∵∠1=130°,∴∠3=180°-∠1=180°-130°=50°.∵l1∥l2,∴∠BDC=∠3=50°.∵∠BDC=∠BDA+∠2,∠BDA=30°,∴∠2=∠BDC-∠BDA=50°-30°=20°.

答案204平行線的性質(zhì)三、解答題7.(2015湖南益陽中考,15,★★☆)如圖7-4-19,直線AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=65°,求∠2的度數(shù).

圖7-4-19解析∵AB∥CD,∴∠ABC=∠1=65°,∠ABD+∠BDC=180°,∵BC平分∠ABD,∴∠ABD=2∠ABC=130°,∴∠BDC=180°-∠ABD=50°,∴∠2=∠BDC=50°.4平行線的性質(zhì)1.(2017湖南邵陽中考,2,★☆☆)如圖所示,已知AB∥CD,下列結(jié)論正確

的是

()

A.∠1=∠2

B.∠2=∠3C.∠1=∠4

D.∠3=∠4答案

C∠1與∠4是直線AB、CD被AC所截形成的內(nèi)錯(cuò)角,∵AB∥

CD,∴∠1=∠4.4平行線的性質(zhì)2.(2017四川南充中考,4,★★☆)如圖,直線a∥b,將一個(gè)直角三角尺按如

圖所示的位置擺放,若∠1=58°,則∠2的度數(shù)為

()

A.30°

B.32°

C.42°

D.58°4平行線的性質(zhì)答案

B如圖,過直角頂點(diǎn)作c∥a.∵a∥b,∴c∥b.∴∠3=∠2,∠4=∠1.

∴∠2+∠1=∠3+∠4=90°.∵∠1=58°,∴∠2=90°-∠1=32°.故選B.

4平行線的性質(zhì)1.實(shí)驗(yàn)證明,平面鏡反射光線的規(guī)律是:射到平面鏡上的光線和被反射出

的光線與平面鏡所夾的銳角相等.(1)如圖7-4-20,一束光線m射到平面鏡a上,被a反射到平面鏡b上,又被b反

射.若被b反射出的光線n與光線m平行,且∠1=50°,則∠2=

°,∠3=

°;(2)在(1)中,若∠1=55°,則∠3=

°;若∠1=40°,則∠3=

°;(3)由(1)、(2),請(qǐng)你猜想:當(dāng)兩平面鏡a、b的夾角∠3=

°時(shí),可以

使任何射到平面鏡a上的光線m,經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后,反射出4平行線的性質(zhì)圖7-4-20的光線n與入射光線m平行.你能說明理由嗎?(注:三角形內(nèi)角和為180°)4平行線的性質(zhì)解析(1)100;90.理由:如圖,由題意知∠4=∠1,∠6=∠5,易得∠7=180°-∠1-∠4=80°,

因?yàn)閙∥n,所以∠2+∠7=180°,即∠2=180°-∠7=100°,所以∠5=∠6=(180°-100°)÷2=40°,因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°,所以∠3=180°-∠4-∠5=90°.(2)90;90.4平行線的性質(zhì)(3)90.理由:因?yàn)椤?=90°時(shí),∠4+∠5=90°,又∠1=∠4,∠5=∠6,所以∠2+∠7=180°-(∠5+∠6)+180°-(∠1+∠4)=360°-2∠4-2∠5=360°-2(∠4+∠5)=180°.由同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行,可知m∥n.4平行線的性質(zhì)2.如圖7-4-21,已知直線l1∥l2,直線l3和直線l1、l2分別交于點(diǎn)C和D,P為直

線l3上一點(diǎn),A、B分別是直線l1、l2上的不動(dòng)點(diǎn).其中AP與l1的夾角為∠1,

PA、PB的夾角為∠2,BP與l2的夾角為∠3.

圖7-4-21(1)若P點(diǎn)在線段CD(C、D兩點(diǎn)除外)上運(yùn)動(dòng),問∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系是什么?這種關(guān)系是否變化?(2)當(dāng)P點(diǎn)在線段CD之外時(shí),∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系又怎樣?說

明理由.4平行線的性質(zhì)解析(1)∠2=∠1+∠3;不變化.(2)①如圖,當(dāng)P點(diǎn)在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí),∠2=∠3-∠1.理由:過P點(diǎn)作PF∥l1,則∠FPA=∠1.∵l1∥l2,∴PF∥l2,∴∠FPB=∠3,∴∠2=∠FPB-∠FPA=∠3-∠1.

②如圖,當(dāng)點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí),4平行線的性質(zhì)∠2=∠1-∠3.理由:過P點(diǎn)作PE∥l2,則∠EPB=∠3.∵l1∥l2,∴PE∥l1,∴∠EPA=∠1,∴∠2=∠EPA-∠EPB=∠1-∠3.

4平行線的性質(zhì)(1)如圖,AC平分∠DAB,∠1=∠2,試說明AB與CD的位置關(guān)系,并予以

證明;(2)如圖,已知AB∥CD,AB的下方兩點(diǎn)E,F滿足:BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,若∠DFB=20°,∠CDE=70°,求∠ABE的度數(shù).4平行線的性質(zhì)解析(1)AB∥CD.證明:∵AC平分∠DAB(已知),∴∠1=∠3(角平分線定義).又∠1=∠2(已知),∴∠2=∠3(等量代換),∴AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).4平行線的性質(zhì)(2)過F作FM∥CD,∵CD∥AB,

∴FM∥CD∥AB.∵∠CDE=70°,DF平分∠CDE,∴∠CDF=35°.∵CD∥

FM,∴∠CDF=∠DFM=35°.又∠DFB=20°,∴∠1=15°,又AB∥FM,∴∠2=∠1=15°.又BF平分∠ABE,∴∠ABE=30°.4平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)

第七章平行線的證明1.理解并掌握平行線的性質(zhì)公理和定理．（重點(diǎn)）2.能熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理證明．（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)兩直線平行

1.同位角相等2.內(nèi)錯(cuò)角相等3.同旁內(nèi)角互補(bǔ)問題

平行線的判定方法是什么？思考反過來,如果兩條直線平行,同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角各有什么關(guān)系呢?回顧與思考導(dǎo)入新課合作探究問題1：根據(jù)“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等”.你能作出相關(guān)的圖形嗎？ABCDEFMN12講授新課平行線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1問題2：你能根據(jù)所作的圖形寫出已知、求證嗎？

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.

已知，如圖，直線AB∥CD,∠1和∠2是直線AB、CD被直線EF截出的同位角.求證：∠1=∠2.文字語言符號(hào)語言ABCDEFMN12一般地，平行線具有如下性質(zhì)：定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等.

b12ac∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）∵a∥b（已知）應(yīng)用格式:總結(jié)歸納議一議利用上述定理，你能證明哪些熟悉的結(jié)論？?jī)芍本€平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).嘗試來證明一下定理2：兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.12bc3a已知：直線a∥b，∠1和∠2是直線a，b被直線c截出的內(nèi)錯(cuò)角.求證：∠1=∠2.證明：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(兩條直線平行，同位角相等)∵∠1＝∠3(對(duì)頂角相等)，∴∠1=∠2(等量代換)定理3：兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)12bc3a已知：直線a∥b，∠1和∠2是直線a，b被直線c截出的同旁內(nèi)角.求證：∠1+∠2=180°.證明：∵a∥b(已知)∴∠2＝∠3(兩條直線平行，同位角相等)∵∠1+∠3=180°(平角等于180°)∴∠1+∠2=180°(等量代換).證明：∵a∥b，∴∠1=∠2，同理∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥c.定理：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.已知：如圖，直線a,b,c被直線d所截，且a∥b,c∥b.求證：a∥c.平行線的性質(zhì)公理:兩直線平行,同位角相等.∵a∥b,∴∠1=∠2.性質(zhì)定理1:兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.∵a∥b,∴∠1=∠2.性質(zhì)定理2:

兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).∵a∥b,∴∠1+∠2=1800.abc21abc12abc12這里的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.總結(jié)歸納歸納總結(jié)證明一個(gè)命題的一般步驟：(1)弄清題設(shè)和結(jié)論；(2)根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形；(3)根據(jù)題設(shè)和結(jié)論寫出已知,求證；(4)分析證明思路,寫出證明過程.典例精析ADCB例1：如圖所示，已知四邊形ABCD

中，AB∥CD，AD∥BC,試問∠A與∠C，∠B與∠D的大小關(guān)系如何？解：∠A=∠

C,∠B=∠D.理由：∵AB∥CD

（已知）∴∠B+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

又∵AD∥BC

（已知）∴∠C+∠D=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴∠

B=∠D

（同角的補(bǔ)角相等）同理∠A=∠C.ADCB例2：已知，如圖，AB∥CD，∠B=∠D，求證：AD∥BC.

證法一：

∵AB∥DC（已知）

∴∠B+∠C=180°

（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∵∠B=∠D（已知）

∴∠D+∠C=180°（等量代換）

∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）ADCB

證法二：如圖，延長(zhǎng)BA（構(gòu)造一組同位角）

∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵∠B=∠D（已知）

∴∠1=∠B（等量代換）

∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）1例2：已知，如圖，AB∥CD，∠B=∠D，求證：AD∥BC.ADCB

證法三：如圖，連接BD（構(gòu)造一組內(nèi)錯(cuò)角）

∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵∠B=∠D（已知）

∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性質(zhì)）

∴∠2=∠3∴AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）1234例2：已知，如圖，AB∥CD，∠B=∠D，求證：AD∥BC.兩直線平行

同位角相等內(nèi)錯(cuò)角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ)平行線的判定平行線的性質(zhì)線的關(guān)系角的關(guān)系性質(zhì)角的關(guān)系線的關(guān)系判定討論：平行線三個(gè)性質(zhì)的條件是什么？結(jié)論是什么？它與判定有什么區(qū)別？（分組討論）平行線的判定與性質(zhì)1.下列圖形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是()B隨堂練習(xí)解:∠A=∠D.理由：∵AB∥DE(

)∴∠A=_______

(