第一章第二、三節(jié)(利息基本計(jì)算、實(shí)例分析)

利率與貼現(xiàn)率的關(guān)系：利息力函數(shù)與累積函數(shù)：知識(shí)回顧:i(m)名利率與實(shí)利率的關(guān)系：d(m)名貼利率與實(shí)利率的關(guān)系：利息理論——利息基本計(jì)算Suyou教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生會(huì)用時(shí)間圖建立價(jià)值方程，從而求出原始投資的本金、投資時(shí)期的長度、利率或本金在投資期末的積累值。教學(xué)方法：多媒體演示與黑板板書相結(jié)合2023/9/2034ContentsOneTwoThreeFour價(jià)值方程等時(shí)間法利率計(jì)算Five時(shí)間單位的確定實(shí)例分析§1.2利息基本計(jì)算一個(gè)利息問題包含四個(gè)基本的量：1.原始投資的本金2.投資經(jīng)過的時(shí)間3.利率期初/期末計(jì)息：貼現(xiàn)率/利率計(jì)息方式：單利/復(fù)利利息結(jié)轉(zhuǎn)頻率：實(shí)際利率、名義利率、利息力4.本金在投資期末的累積值其中任何三個(gè)量的值都可以決定第四個(gè)量的值.

精確利息計(jì)算(exactsimpleorcompoundinterest)“實(shí)際投資天數(shù)/年實(shí)際天數(shù)”(Actual/Actual)

按實(shí)際的投資天數(shù)計(jì)算，一年為365天

普通利息計(jì)算(Ordinarysimple/compoundinterest)，一般用“30/360”

假設(shè)每月有30天，一年為360天

這時(shí)，兩個(gè)給定日期之間的天數(shù)的計(jì)算公式為

360(Y2-Y1)+30(M2-M1)+(D2-D1)

其中，Y2、M2、D2分別代表支取日的年、月、日，而

Y1、M1、D1、則分別代表存入日的年、月、日。1.2.1時(shí)間單位的確定（非整數(shù)時(shí)間問題）例：存入日：1999年3月11日支取日：2000年6月20日存期天數(shù)=360（2000–1999）+30（6-3）+（20-11）

=360+90+9=459存期天數(shù)=360(2000-1999)+30(3-6)+(11-20)=360(1999-1999)+30(12+2-6)+(30+11-20)=0+240+21=261注：大月日歷日30日與31日被視為同一天；二月當(dāng)月存入、當(dāng)月取出的，按照實(shí)際存款天數(shù)計(jì)算，跨月存入、取出的，則按照30天計(jì)算。例：存入日：1999年6月20日支取日：2000年3月11日銀行家利息法則(Banker'sRule)“實(shí)際投資天數(shù)/360”按實(shí)際的投資天數(shù)計(jì)算，但一年設(shè)為360天說明：顯然，該算法比上兩種算法對(duì)貸款方有利。注：（1）除非特別說明，總是假定起息日與到期日不能同時(shí)計(jì)入利息計(jì)算期；（2）不是所有的利息計(jì)算都需要計(jì)算天數(shù)(如銀行儲(chǔ)蓄、債券交易會(huì)涉及投資天數(shù)的計(jì)算），許多金融業(yè)務(wù)是自動(dòng)依月、季、半年或一年進(jìn)行的。問題：多筆金融業(yè)務(wù)發(fā)生在不同時(shí)刻，如何比較它們的價(jià)值？在考慮利息問題時(shí)，在不同時(shí)刻支付的金額是不能直接比較的。因?yàn)榻?jīng)歷的時(shí)間不同，資金金額的變化也不同，也就說，貨幣具有時(shí)間性，這就是所謂的“貨幣的時(shí)間價(jià)值”（timevalueofvalue）。1.2.2價(jià)值方程為了比較在不同時(shí)刻支付的金額，實(shí)際的做法是將各個(gè)不同時(shí)刻的付款積累或折現(xiàn)到同一時(shí)刻，再進(jìn)行比較。這里提及的“同一時(shí)刻”常稱為

“比較日”（comparisondate）。比較日通過“一維時(shí)間圖”表示：時(shí)間沿一維正方向度量，付款則置于圖的上部，而沿另一個(gè)方向的付款則在圖的下部。比較期用一個(gè)箭頭表示。012345678910100200500x比較日的選擇：期初和期末是兩個(gè)特殊的比較日。其它中間時(shí)刻也可以作為比較日。復(fù)利計(jì)算，最終計(jì)算結(jié)果與比較日的選取無關(guān)?！笆罩嗟取痹瓌t一般地，要衡量在多個(gè)時(shí)刻付款的總價(jià)值時(shí)，總是先選取一個(gè)比較日期，然后分別將各次付款積累或折現(xiàn)到比較日期，將調(diào)整到比較日的計(jì)算結(jié)果按照收支相等的原則列出的等式叫做“價(jià)值等式”，也稱為“價(jià)值方程”。012345678910100200500x每個(gè)度量期計(jì)息一次解價(jià)值方程的有力工具------時(shí)間流程圖上圖表示某人先取得(借貸)500元，按分期付款償還.第一、二、三時(shí)期末各付100元，第四時(shí)期末需付多少？符號(hào)表示比較日期。時(shí)間流程圖：用一條直線表示時(shí)間（從左到右），上面的刻度為事先給定的時(shí)間單位，發(fā)生的現(xiàn)金流量寫在對(duì)應(yīng)時(shí)間的上方或下方（一般同一流向的現(xiàn)金流寫在同一方）。例2：

某人愿意立即支付100元，第5年末支付200元，第10年末再支付X元。作為回報(bào)，他在第8年末得到600元。假定半年結(jié)算一次的年名義利率為8％。請(qǐng)計(jì)算第10年末他應(yīng)該支付多少？解法一：時(shí)間單位＝半年。取期初為比較日。則半年的實(shí)際利率為4％，貼現(xiàn)因子為，價(jià)值方程為X012345678910100200600解得解法二：時(shí)間單位＝半年。半年的實(shí)際利率為j=4%,取期末為比較日，則價(jià)值方程為X012345678910100200600解法三：時(shí)間單位＝半年。我們?nèi)〉?年末為比較日。價(jià)值方程為可以看出，不同比較日的計(jì)算結(jié)果相同，X=186.76。X0123456789101002006001.2.3未知時(shí)間問題(unknowntime)一、一次付款的未知時(shí)間問題（主要采用對(duì)數(shù)法）。例3：以每月計(jì)息的年名義利率12%投資1萬元，若欲累計(jì)到1.5萬元，需要幾年時(shí)間？解：設(shè)要n年，則價(jià)值方程為因此：需要n=3.4年

假設(shè)有兩種投資方式方式一：分別于投入；方式二：在時(shí)刻t一次投入元。若這兩種的投資價(jià)值相等，求時(shí)刻t。……t1t2t3tn……s1s2s3snt二、多次付款的未知時(shí)間問題。

不同時(shí)刻多次付款，而要求數(shù)值上等于這些付款之和的一次付款未知時(shí)間。（等時(shí)間法）解法一（精確解）：兩者在時(shí)刻0的價(jià)值相等的價(jià)值方程為得精確解為

解法二（等時(shí)間法）：作為近似，t常用各個(gè)付款時(shí)間的加權(quán)平均來計(jì)算，20例4：預(yù)定在第一、三、五、八年末分別付款200元、400元、300元、600元，假設(shè)年實(shí)際利率為5%，試確定一個(gè)付款1500元的時(shí)刻使這次付款與上面四次付款等價(jià)。1）用等時(shí)間法；2）用精確方法。解：2）價(jià)值方程為1）t=4.96年在現(xiàn)實(shí)中經(jīng)常會(huì)遇到利率給定的情況下，一筆投資要多長時(shí)間才能翻倍。設(shè)利率為i，投資額為1，積累值為2，則：三、“72”算法

即當(dāng)i在8%左右時(shí)，有近似公式：

稱此式為72算法。72“定律”是一個(gè)著名的規(guī)律，一方面因?yàn)樗暮唵我子?，另一方面則是因?yàn)樗谝粋€(gè)很大的利率范圍內(nèi)會(huì)產(chǎn)生較準(zhǔn)確的結(jié)果。下表中列出了一些數(shù)據(jù)。年利率%72定律（年）準(zhǔn)確值（年）41817.67514.414.2161211.9710.2910.24899.01107.27.271266.121844.19使存款翻倍的時(shí)間長度一、用帶有指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的計(jì)算器求i。例5：投資1000元，在6年后累積到1600元，問每季度計(jì)息的年名義利率為多少？每季度計(jì)息的年名義利率為7.91%。1.2.4利率的計(jì)算解：價(jià)值方程為二、用代數(shù)法求解價(jià)值方程中的i(一般用于n值較小的情形)。例6：某人在第2年末支付2000元的現(xiàn)值與第4年末支付3000元的現(xiàn)值之和為4000元，問實(shí)際利率是多少？解：價(jià)值方程為實(shí)際利率為0.0730

%。三、線性插值法。對(duì)于積累函數(shù)的計(jì)算公式：令線性插值方法如下：fi線性插值示意圖未知利率可用如下公式計(jì)算：例7：某人現(xiàn)投資1000元，3年后再投資2000元，若10年后積累到5000元，求1年計(jì)息2次的名義利率？解：設(shè)j=i(2)/2,由題意知價(jià)值方程為：令則所求的實(shí)際利率即為f(j)=0的解,由試湊法得：利用線性插值可得j的近似值為故可得i(2)=2j=0.0642或6.42%。迭代法指通過多次線性插值求得數(shù)值結(jié)果的方法，其結(jié)果能達(dá)到所需要的精度。以具體例題來說明。四、迭代法例8：用迭代法重做上例題目，精度到小數(shù)點(diǎn)6位。解：由題可知：j的第一次近似值j1=0.0321，f(0.0321)=-3.6930，由于f(j)單調(diào)遞增，試算：f(0.0322)=1.7590介于2點(diǎn)間再用一次線性插值法得：j2=0.03218f(0.03218)=0.18346，而f(0.03217)=-0.60402介于2點(diǎn)間再用一次線性插值法得：j3=0.032178故可得i(2)=2j=0.064356。一般說，銀行的公布利率都是有著指定含義的。例如：經(jīng)常有這種表示“一年定期存單為利率7.91%/收益率8.15%”或“資金拆借市場為利率8.00%/收益率8.30%”。它們的實(shí)際含義是：前面的數(shù)字是名利率，后面的數(shù)字是實(shí)利率。在第一種情況下，意味著：i(4)=7.91%或

i=8.15%；在第二種情況下，意味著：i(12)=8.00%或i=8.30%。但是，注意兩種情況都沒有指明結(jié)算次數(shù)，所以，必須了解實(shí)際背景。金融現(xiàn)象——掛牌利率例9.2012年7月8日中國人民銀行公布的金融機(jī)構(gòu)人民幣定期存款利率如表右表所示，表中的利率水平是單利方式，計(jì)算各種期限的年實(shí)利率。3個(gè)月：1+i=（1+

2.85%/

4）4半年：1+i=（1+

3.05%/

4）2

解:項(xiàng)目年利率(%)整存整取3個(gè)月2.85半年3.051年3.252年3.753年4.255年4.752年：（1+i）2=1+3.75%×23年：（1+i）3=1+4.25%×35年：（1+i）5=1+4.25%×5

1年：i=3.25%

金融現(xiàn)象——計(jì)息天數(shù)在實(shí)際計(jì)算中，銀行在計(jì)算利息的天時(shí)，常用一些靈活的算法。例如：銀行公布“日換算掛牌利率為6%，收益率為6.27%”。這時(shí)，無論用一年360天還是365天都只能得到6.18%的年收益率。即：那么，銀行公布的數(shù)字是如何計(jì)算的呢？實(shí)際上，銀行的數(shù)字是由下面的算法得到的：金融現(xiàn)象——利率與貼現(xiàn)率在現(xiàn)實(shí)的金融市場中，人們常常將各種收益率簡稱為利息率，但它們的含義會(huì)有所不同。以美國的市場為例，在短期債券中以美國財(cái)政部（UnitedStatesTreasury）發(fā)行的短期國庫券“T－bills”（TreasuryBill）為主，期限通常為三個(gè)月（13周）、六個(gè)月（26周）和十二個(gè)月（52周）。三月期和六月期的每星期一發(fā)行，十二月期的每月第四個(gè)星期發(fā)行。它們的利息通常是用貼現(xiàn)率表示的。例，面額為100元的三月期國庫券發(fā)行時(shí)買96元，或公布貼現(xiàn)率為16%，而實(shí)際的年利率為17.74%。長期的國庫券在發(fā)行時(shí)則是依年利率表示它們的利息收入。因此，這兩者的表面的利率是不能直接比較的，必須統(tǒng)一為同一種度量。金融現(xiàn)象——信用卡信用卡上的利息通常是在每個(gè)月的月底依照卡上的結(jié)余（balance）計(jì)算的。所以，每個(gè)月中間的欠款是不用付利息的，也就是說，如果持卡人在每個(gè)月內(nèi)能夠完全付清卡上的欠款，實(shí)際上享受著短期無息貸款。另一方面，對(duì)于那些每月都有未決欠款的用戶，將付出很高的利息。在許多定期存款業(yè)務(wù)中，都考慮了提前支取的處罰。例如，兩年定期存款的年