南昌市重點中學2024屆數(shù)學九上期末學業(yè)水平測試試題含解析

南昌市重點中學2024屆數(shù)學九上期末學業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．下列運算中，正確的是（）．A．2xx2 B．x2yyx2 C．xx42x D．2x36x32．在△ABC中，tanC＝，cosA＝，則∠B＝（）A．60° B．90° C．105° D．135°3．如圖是二次函數(shù)y=ax1+bx+c（a≠0）圖象的一部分，對稱軸是直線x=﹣1．關于下列結論：①ab<0；②b1﹣4ac>0；③9a﹣3b+c>0；④b﹣4a=0；⑤方程ax1+bx=0的兩個根為x1=0，x1=﹣4，其中正確的結論有（）A．②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤4．如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉得到，其中點與點是對應點，且點在同一條直線上；則的長為()A． B． C． D．5．如圖1，點F從菱形ABCD的頂點A出發(fā)，沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運動到點B，圖2是點F運動時，△FBC的面積y（cm2）隨時間x（s）變化的關系圖象，則a的值為（）A． B．2 C． D．26．如圖，分別是的邊上的點，且，相交于點，若，則的值為（）A． B． C． D．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正確的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosB＝8．下列事件中是必然發(fā)生的事件是（）A．投擲一枚質地均勻的骰子，擲得的點數(shù)是奇數(shù)；B．某種彩票中獎率是1%，則買這種彩票100張一定會中獎；C．擲一枚硬幣，正面朝上；D．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°．9．已知拋物線的解析式為，則下列說法中錯誤的是（）A．確定拋物線的開口方向與大小B．若將拋物線沿軸平移，則，的值不變C．若將拋物線沿軸平移，則的值不變D．若將拋物線沿直線：平移，則、、的值全變10．如圖，將繞點按逆時針方向旋轉后得到，若，則的度數(shù)為()A． B． C． D．11．如圖，以原點O為圓心的圓交x軸于點A、B兩點，交y軸的正半軸于點C，D為第一象限內(nèi)上的一點，若，則的度數(shù)是A．B．C．D．12．某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準備更換一段新管道．如圖所示，污水水面AB寬為80cm，管道頂端最高點到水面的距離為20cm，則修理人員需準備的新管道的半徑為（）A．50cm B．50cm C．100cm D．80cm二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，中，，，，將繞頂點逆時針旋轉到處，此時線段與的交點恰好為的中點，則的面積為______.14．已知△ABC與△DEF相似，相似比為2：3，如果△ABC的面積為4，則△DEF的面積為_____．15．已知實數(shù)m，n滿足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求的值是_____．16．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖像如圖所示，當y＜3時，x的取值范圍是____．17．在這三個數(shù)中，任選兩個數(shù)的積作為的值，使反例函數(shù)的圖象在第二、四象限的概率是______．18．如圖，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面積為8，則△ABC的面積為______三、解答題（共78分）19．（8分）如圖1，已知平行四邊形，是的角平分線，交于點．（1）求證：．（2）如圖2所示，點是平行四邊形的邊所在直線上一點，若，且，，求的面積．20．（8分）如圖，在中，，點為邊的中點，請按下列要求作圖，并解決問題：（1）作點關于的對稱點；（2）在（1）的條件下，將繞點順時針旋轉，①面出旋轉后的（其中、、三點旋轉后的對應點分別是點、、）；②若，則________．（用含的式子表示）21．（8分）我市某公司用800萬元購得某種產(chǎn)品的生產(chǎn)技術后，進一步投入資金1550萬元購買生產(chǎn)設備，進行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工，已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品每件還需成本費40元.經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品的銷售單價需要定在200元到300元之間較為合理.銷售單價（元）與年銷售量（萬件）之間的變化可近似的看作是如下表所反應的一次函數(shù)：銷售單價（元）200230250年銷售量（萬件）14119（1）請求出與之間的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量的取值范圍；（2）請說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最少虧損是多少？22．（10分）拋物線與軸交于兩點（點在點的左側），與軸交于點.已知，拋物線的對稱軸交軸于點.（1）求出的值；（2）如圖1，連接，點是線段下方拋物線上的動點，連接.點分別在軸，對稱軸上，且軸.連接.當?shù)拿娣e最大時，請求出點的坐標及此時的最小值；（3）如圖2，連接，把按照直線對折，對折后的三角形記為，把沿著直線的方向平行移動，移動后三角形的記為，連接，，在移動過程中，是否存在為等腰三角形的情形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.23．（10分）如圖是一種簡易臺燈的結構圖，燈座為△ABC，A、C、D在同一直線上，量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，燈桿CD長為40cm，燈管DE長為15cm.求臺燈的高(即臺燈最高點E到底盤AB的距離).(結果取整，參考數(shù)據(jù)sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73)24．（10分）如圖①，在平面直角坐標系中，圓心為P（x，y）的動圓經(jīng)過點A（1，2）且與x軸相切于點B．（1）當x=2時，求⊙P的半徑；（2）求y關于x的函數(shù)解析式；判斷此函數(shù)圖象的形狀；并在圖②中畫出此函數(shù)的圖象；（3）當⊙P的半徑為1時，若⊙P與以上（2）中所得函數(shù)圖象相交于點C、D，其中交點D（m，n）在點C的右側，請利用圖②，求cos∠APD的大?。?5．（12分）為了創(chuàng)建文明城市，增強學生的環(huán)保意識．隨機抽取8名學生，對他們的垃圾分類投放情況進行調查，這8名學生分別標記為，其中“√”表示投放正確，“×”表示投放錯誤，統(tǒng)計情況如下表．學生垃圾類別廚余垃圾√√√√√√√√可回收垃圾√×√××√√√有害垃圾×√×√√××√其他垃圾×√√××√√√（1）求8名學生中至少有三類垃圾投放正確的概率；（2）為進一步了解垃圾分類投放情況，現(xiàn)從8名學生里“有害垃圾”投放錯誤的學生中隨機抽取兩人接受采訪，試用標記的字母列舉所有可能抽取的結果．26．如圖，四邊形是平行四邊形，分別是的平分線，且與對角線分別相交于點.(1)求證:；(2)連結，判斷四邊形是否是平行四邊形，說明理由.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減；合并同類項，系數(shù)相加字母和字母的指數(shù)不變；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，對各選項計算后利用排除法求解．【題目詳解】A.2xxx,故本選項錯誤，B.x2yyx2,故本選項正確，C.,故本選項錯誤，D.,故本選項錯誤.故選B.【題目點撥】此題考查冪的乘方與積的乘方、合并同類項、同底數(shù)冪的除法，解題關鍵在于掌握運算法則.2、C【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出∠C=30°，∠A=45°，進而得出答案．【題目詳解】解：∵tanC＝，cosA＝，

∴∠C=30°，∠A=45°，

∴∠B=180°-∠C-∠A=105°．

故選：C．【題目點撥】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．3、D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質即可得出答案.【題目詳解】由圖像可知，a＜0，b＜0，故①錯誤；∵圖像與x軸有兩個交點∴，故②正確；當x=-3時，y=9a﹣3b+c，在x軸的上方∴y=9a﹣3b+c>0，故③正確；∵對稱軸∴b-4a=0，故④正確；由圖像可知，方程ax1+bx=0的兩個根為x1=0，x1=﹣4，故⑤正確；故答案選擇D.【題目點撥】本題考查的是二次函數(shù)的圖像與性質，難度系數(shù)中等，解題關鍵是根據(jù)圖像判斷出a，b和c的值或者取值范圍.4、A【分析】根據(jù)旋轉的性質說明△ACC′是等腰直角三角形，且∠CAC′=90°，理由勾股定理求出CC′值，最后利用B′C=CC′-C′B′即可．【題目詳解】解：根據(jù)旋轉的性質可知AC=AC′，∠ACB=∠AC′B′=45°，BC=B′C′=1，∴△ACC′是等腰直角三角形，且∠CAC′=90°，∴CC′=＝4，∴B′C=4-1=1．故選：A．【題目點撥】本題主要考查了旋轉的性質、勾股定理，在解決旋轉問題時，要借助旋轉的性質找到旋轉角和旋轉后對應的量．5、C【分析】通過分析圖象，點F從點A到D用as，此時，△FBC的面積為a，依此可求菱形的高DE，再由圖象可知，BD=，應用兩次勾股定理分別求BE和a．【題目詳解】過點D作DE⊥BC于點E.由圖象可知，點F由點A到點D用時為as，△FBC的面積為acm1．.∴AD=a.∴DE?AD＝a.∴DE=1.當點F從D到B時，用s.∴BD=.Rt△DBE中，BE=，∵四邊形ABCD是菱形，∴EC=a-1，DC=a，Rt△DEC中，a1=11+（a-1）1.解得a=.故選C．【題目點撥】本題綜合考查了菱形性質和一次函數(shù)圖象性質，解答過程中要注意函數(shù)圖象變化與動點位置之間的關系．6、C【分析】根據(jù)題意可證明，再利用相似三角形的性質，相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可得出對應邊的比值．【題目詳解】解：∵∴∴根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，可知對應邊的比為．故選：C．【題目點撥】本題考查的知識點是相似三角形的性質，主要有①相似三角形周長的比等于相似比；②相似三角形面積的比等于相似比的平方；③相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比．7、A【分析】利用同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得答案．【題目詳解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sinA＝sin∠BCD＝；cosA＝cos∠BCD=;tanA＝；cosB＝；所以B、C、D均錯誤故選：A．【題目點撥】本題考查的是銳角三角函數(shù)定義，理解熟記銳角三角函數(shù)定義是解題關鍵，需要注意的是銳角三角函數(shù)是在直角三角形的條件下定義的．8、D【分析】直接利用隨機事件以及概率的意義分別分析得出答案．【題目詳解】解:A、投擲一枚質地均勻的骰子,擲得的點數(shù)是奇數(shù),是隨機事件,不合題意;B、某種彩票中獎率是1%,則買這種彩票100張有可能會中獎,不合題意;C、擲一枚硬幣,正面朝上,是隨機事件,不合題意;D、任意畫一個三角形,其內(nèi)角和是180°,是必然事件,符合題意．故選D．【題目點撥】本題主要考查了概率的意義以及隨機事件,解決本題的關鍵是要正確區(qū)分各事件的意義.9、D【分析】利用二次函數(shù)的性質對A進行判斷；利用二次函數(shù)圖象平移的性質對B、C、D進行判斷．【題目詳解】解：A、確定拋物線的開口方向與大小，說法正確；B、若將拋物線C沿y軸平移，則拋物線的對稱軸不變，開口大小、開口方向不變，即a，b的值不變，說法正確；C、若將拋物線C沿x軸平移，拋物線的開口大小、開口方向不變，即a的值不變，說法正確；D、若將拋物線C沿直線l：y＝x＋2平移，拋物線的開口大小、開口方向不變，即a不變，b、c的值改變，說法錯誤；故選：D．【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，由于拋物線平移后的形狀不變，所以a不變．10、A【分析】根據(jù)旋轉的性質即可得到結論．【題目詳解】解：∵將繞點按逆時針方向旋轉后得到，

∴，

∴，

故選：A．【題目點撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，旋轉的性質的應用，能求出∠ACD的度數(shù)是解此題的關鍵．11、D【分析】根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)互余求出∠COD的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形性質即可求出答案．【題目詳解】解：連接OD，，，，，.故選D．【題目點撥】本題考查了圓周角定理，等腰三角形性質等知識.熟練應用圓周角定理是解題的關鍵．12、A【分析】連接OA作弦心距，就可以構造成直角三角形．設出半徑弦心距也可以得到，利用勾股定理就可以求出了．【題目詳解】解：如圖，過點O作于點C，邊接AO，，在中，，，解，得AO=50故選：A【題目點撥】本題考查的是垂徑定理的應用，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】A1B1與OA相交于點E，作B1H⊥OB于點H，如圖，利用勾股定理得到AB=1，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質得OD=AD=DB，則∠1=∠A，接著根據(jù)旋轉的性質得∠3=∠2，A1B1=AB=1，OB1=OB=8，OA1=OA=2，易得∠2+∠1=90°，所以∠OEB1=90°，于是可利用面積法計算出OE，再由四邊形OEB1H為矩形得到B1H=OE，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結論．【題目詳解】A1B1與OA相交于點E，作B1H⊥OB于點H，如圖，∵∠AOB=90°，AO=2，BO=8，∴AB1．∵D為AB的中點，∴OD=AD=DB，∴∠1=∠A．∵△AOB繞頂點O逆時針旋轉得到△A1OB1，∴∠3=∠2，A1B1=AB=1，OB1=OB=8，OA1=OA=2．∵∠3+∠A=90°，∴∠2+∠1=90°，∴∠OEB1=90°．∵OE?A1B1OB1?OA1，∴OE．∵∠B1EO=∠EOB=∠OHB1=90°，∴四邊形OEB1H為矩形，∴B1H=OE，∴的面積===．故答案為：．【題目點撥】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質和矩形的判定與性質．14、1【解題分析】由△ABC與△DEF的相似，它們的相似比是2：3，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可得它們的面積比是4：1，又由△ABC的面積為4，即可求得△DEF的面積．【題目詳解】∵△ABC與△DEF的相似，它們的相似比是2：3，

∴它們的面積比是4：1，

∵△ABC的面積為4，

∴△DEF的面積為：4×=1．

故答案為：1．【題目點撥】本題考查的知識點是相似三角形的性質，解題關鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方定理．15、1或﹣2【分析】分兩種情況討論：①當m≠n時，根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求出答案；②當m=n時，直接得出答案．【題目詳解】由題意可知：m、n是方程x1+1x﹣1=0的兩根，分兩種情況討論：①當m≠n時，由根與系數(shù)的關系得：m+n=﹣1，mn=﹣1，∴原式2，②當m=n時，原式=1+1=1．綜上所述：的值是1或﹣2．故答案為：1或﹣2．【題目點撥】本題考查了構造一元二次方程求代數(shù)式的值，解答本題的關鍵是熟練運用根與系數(shù)的關系，本題屬于中等題型．16、－1＜x＜3【分析】根據(jù)圖象，寫出函數(shù)圖象在y=3下方部分的x的取值范圍即可．【題目詳解】解：如圖，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知，－1＜x＜3時，y＜3，故答案為：－1＜x＜3.【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)與不等式和二次函數(shù)的對稱性，此類題目，利用數(shù)形結合的思想求解更簡便．17、【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果，并求出k為負值的情況數(shù)，再利用概率公式即可求得答案．【題目詳解】解：畫樹狀圖得：，∵共有6種等可能的結果，任選兩個數(shù)的積作為k的值，k為負數(shù)的有4種，∴反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限的概率是：．

故答案為：．【題目點撥】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．18、18.【解題分析】∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵，∴，∴．三、解答題（共78分）19、（1）證明見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義結合兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，然后利用等角對等邊證明即可；（2）先證得為等腰三角形，設，，利用三角形內(nèi)角和定理以及平行線性質定理證得，再利用同底等高的兩個三角形面積相等即可求得答案．【題目詳解】（1）平分，，又四邊形是平行四邊形，，，，；（2），，，為等腰三角形，設，，，，又，，，，即為直角三角形，四邊形是平行四邊形，，∴．【題目點撥】本題考查了平行四邊形的性質，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，等角對等邊的性質，同底等高的兩個三角形面積相等，證得為直角三角形是正確解答(2)的關鍵．20、（1）見解析；（2）①見解析，②90°?α【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和軸對稱的性質畫出O點；（2）①利用網(wǎng)格特點和旋轉的性質分別畫出A、B、C三點對應點點E、F、G即可；②先確定∠OCB＝∠DCB＝α，再利用OB＝OC和三角形內(nèi)角和得到∠BOC＝180°?2α，根據(jù)旋轉的性質得到∠COG＝90°，則∠BOG＝270°?2α，于是可計算出∠OGB＝α?45°，然后計算∠OGC?∠OGB即可．【題目詳解】（1）如圖，點O為所作；（2）①如圖，△EFG為所作；②∵點O與點D關于BC對稱，∴∠OCB＝∠DCB＝α，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝α，∴∠BOC＝180°?2α，∵∠COG＝90°，∴∠BOG＝180°?2α＋90°＝270°?2α，∵OB＝OG，∴∠OGB＝[180°?（270°?2α）]＝α?45°，∴∠BGC＝∠OGC?∠OGB＝45°?（α?45°）＝90°?α．故答案為90°?α．【題目點撥】本題考查了作圖?旋轉變換：根據(jù)旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．21、（1）；（2）虧損，賠了110萬元【分析】（1）設，將,代入求得系數(shù)即可.（2）根據(jù)年獲利=單件利潤銷量-800-1550【題目詳解】解：（1）設，；（2），對稱軸，∵，，∴時，（萬元）1550+800-2240=110（萬元）∴賠了110萬元.【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)的實際中的應用，首先要明確題意，確定變量，建立模型解答.22、（1）；（2），最小值為；（3）或或或或.【分析】（1）由拋物線的對稱性可得到，然后將A、B、C坐標代入拋物線解析式，求出a、b、c的值即可得到拋物線解析式；（2）利用待定系數(shù)法求出直線BC解析式，作軸交于點，設，則，表示出PQ的長度，然后得到△PBC的面積表達式，根據(jù)二次函數(shù)最值問題求出P點坐標，再把向左移動1個單位得，連接，易得即為最小值；（3）由題意可知在直線上運動，設，則，分別討論：①，②，③，建立方程求出m的值，即可得到的坐標.【題目詳解】解：（1）由拋物線的對稱性知，把代入解析式，得解得：拋物線的解析式為.（2）設BC直線解析式為為將代入得，，解得∴直線的解析式為.作軸交于點，如圖，設，則，.當時，取得最大值，此時，.把向左移動1個單位得，連接，如圖.（3）由題意可知在直線上運動，設，則，∴①當時，，解得此時或；②當時，，解得此時或③當時，，解得，此時，綜上所述的坐標為或或或.【題目點撥】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，面積最值與線段最值問題，等腰三角形存在性問題，是中考?？嫉膲狠S題，難度較大，采用數(shù)形結合與分類討論是解題的關鍵.23、臺燈的高約為45cm.【分析】如圖，作DG⊥AB，EF⊥AB，交AB延長線于G、F，DH⊥EF于H，可得四邊形DGFH是矩形，可得DG=FH，根據(jù)∠A的余弦可求出AC的長，進而可得AD的長，根據(jù)∠A的正弦即可求出DG的長，由∠ADE=135°可得∠EDH=15°，根據(jù)∠DEH的正弦可得EH的長，根據(jù)EF=EH+FH求出EF的長即可得答案.【題目詳解】如圖，作DG⊥AB，EF⊥AB，交AB延長線于G、F，DH⊥EF于H，∴四邊形DGFH是矩形，∴DG=FH，∵∠A=60°，AB=16，∴AC=AB·cos60°=16×=8，∴AD=AC+CD=8+40=48，∴DG=AD·sin60°=24，∵DH⊥EF，AF⊥EF，∴DH//AF，∴∠ADH=180°-∠A=120°，∵∠ADE=135°，∴∠EDH=∠ADE-∠ADH=15°，∵DE=15，∴EH=DE·sin15°≈3.9，∴EF=EH+FH=EH+DG=24+3.9≈45，答：臺燈的高約為45cm.【題目點撥】本題主要考查解直角三角形的應用，正確應用銳角三角函數(shù)的關系是解題關鍵.24、（1）圓P的半徑為；（2）畫出函數(shù)圖象，如圖②所示；見解析；（3）cos∠APD==.【解題分析】（1）由題意得到AP=PB，求出y的值，即為圓P的半徑；

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