高考數(shù)學專題20-立體幾何大題(解析版)

專題20立體幾何大題（解析版）立體幾何解答題高考中的必考題，占12分，一般考察立體幾何知識掌握情況及解答技巧。如線面垂直、面面垂直、線面平行，線面角、二面角等問題。立體幾何解答題中的易錯和易混點易錯點1：求兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時，如果所求的角為90°，那么就不要忘了還有一種求角的方法即用證明它們垂直的方法；易錯點2：線面平行的判定定理和性質(zhì)定理在應用時都是三個條件，但這三個條件易混為一談；面面平行的判定定理易把條件錯誤地記為＂一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行＂而導致證明過程跨步太大；易錯點3：作出二面角的平面角主要方法是什么？（定義法、三垂線法、垂面法）三垂線法：一定平面，二作垂線，三作斜線，射影可見；易錯點4：求點到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、等體積法、換點法、向量法）易錯點5：求多面體體積的常規(guī)方法是什么？（割補法、等積變換法）易錯點6：兩條異面直線所成的角的范圍：0°<α≤90°直線與平面所成的角的范圍：0o≤α≤90°二面角的平面角的取值范圍：0°≤α≤180°易錯點7：用向量法求線面角得的是正弦值，而不是余弦值；易錯點8：用向量法求二面角時，最后一步忘了判斷二面角的平面角是鈍角還是銳角，導致結(jié)果錯誤。題組一1．（2015新課標Ⅱ）如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形。（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；（2）求直線AF與平面α所成的角的正弦值?！窘馕觥浚á瘢┙痪€圍成的正方形如圖：（Ⅱ）作，垂足為，則因為為正方形，所以于是，所以以D為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所以的空間直角坐標系，則設(shè)是平面的法向量，則即所以可取又，故所以AF與平面所成角的正弦值為所以直線與平面所成角的正弦值為．2.（2016全國III）如圖，四棱錐中，⊥底面，，，，為線段上一點，，為的中點．（Ⅰ）證明平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）由已知得，取的中點，連接．由為中點知，．又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是．因為平面，平面，所以平面．（Ⅱ）取的中點，連結(jié)，由得，從而，且．以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意知，，，，，，，．設(shè)為平面的法向量，則，即，可取，于是．所以直線與平面所成角的正弦值為題組二3.（2013新課標Ⅱ）如圖，直三棱柱中，（Ⅰ）證明：//平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【解析】（Ⅰ）連結(jié)，交分別是的中點，于點O，連結(jié)DO，則O為的中點，因為D為AB的中點，所以O(shè)D∥，又因為OD平面，平面，所以//平面；（Ⅱ）由=AC=CB=AB可設(shè)：AB=，則=AC=CB=，所以AC⊥BC，又因為直棱柱，所以以點C為坐標原點，分別以直線CA、CB、為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖，則、、、，，，，，設(shè)平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個法向量為，同理可得平面的一個法向量為，則，所以，所以二面角D--E的正弦值為．4．（2012新課標）如圖，直三棱柱中，，是棱的中點，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角的大小．【解析】（Ⅰ）在中，，得：同理：得：面（Ⅱ）面取的中點，過點作于點，連接，面面面得：點與點重合且是二面角的平面角設(shè)，則，既二面角的大小為傳統(tǒng)法求二面角的大?。鹤鞒龆娼堑钠矫娼遣⑼ㄟ^解三角形計算。作平面角常用方法如下：?①先確定二面角的棱，在棱上找一點，分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角即為平面角。?②垂面法：用垂直于二面角棱的平面截二面角，兩交線所成的角即為平面角?③三垂線定理及其逆定理：過一個半平面內(nèi)一點作另一半平面的垂線，過垂足在另一個半平面內(nèi)作棱的垂線得棱上一點（即斜足），斜足與面上一點的連線和斜足與垂足連線所成角為平面角。?④利用特殊圖形的垂直關(guān)系直接作出平面角。此類問題的特征是圖形中一般有二面角的平面角，只須利用前面三種方法進行判斷即可找到二面角的平面角。題組三5.（2019全國Ⅲ理19）圖1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B-CG-A的大小.【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因為AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．（2）作EHBC，垂足為H．因為EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．由已知，菱形BCGE的邊長為2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H為坐標原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．設(shè)平面ACGD的法向量為n=（x，y，z），則即所以可取n=（3，6，–）．又平面BCGE的法向量可取為m=（0，1，0），所以．因此二面角B–CG–A的大小為30°．附：平面圖形的翻折問題：?（1）將平面圖形沿直線翻折成立體圖形，實際上是以該直線為軸的一個旋轉(zhuǎn)?（2）求解翻折問題的基本方法是：先比較翻折前后的圖形，弄清哪些量和位置關(guān)系在翻折過程中不變，哪些已發(fā)生變化，然后將不變的條件集中到立體圖形中，將問題歸結(jié)為一個條件與結(jié)論均明朗化的立幾問題。?（3）把平面圖形翻折成空間圖形后的有關(guān)計算問題，必須抓住在翻折過程中點、線、面之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系中，哪些是變的，哪些不變，特別要抓住不變量。一般地，在同一個半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是不變的，涉及到兩個半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是變的。題組四6．（2017新課標Ⅲ）如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，．(1)證明：平面⊥平面；(2)過的平面交于點，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值．【解析】（1）由題設(shè)可得，，從而．又是直角三角形，所以取的中點，連接，，則，．又由于是正三角形，故．所以為二面角的平面角．在中，．又，所以，故．所以平面平面．由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．由題設(shè)知，四面體的體積為四面體的體積的，從而到平面的距離為到平面的距離的，即為的中點，得．故，，設(shè)是平面的法向量，則即可取設(shè)是平面的法向量，則同理可得則所以二面角的余弦值為．

7．（2018全國卷Ⅲ）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．(1)證明：平面平面；(2)當三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．【解析】(1)由題設(shè)知，平面⊥平面，交線為．因為⊥，平面，所以⊥平面，故⊥．因為為上異于，的點，且為直徑，所以⊥．又=，所以⊥平面．而平面，故平面⊥平面．(2)以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．當三棱錐體積最大時，為的中點．由題設(shè)得，，，，，，，設(shè)是平面的法向量，則即可?。瞧矫娴姆ㄏ蛄浚虼?，，所以面與面所成二面角的正弦值是．題組五8．（2014新課標=2\*ROMANII）如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點．（Ⅰ）證明：∥平面；（Ⅱ）設(shè)二面角為60°，=1，=，求三棱錐的體積．【解析】（Ⅰ）連接交于點，連結(jié)．因為為矩形，所以為的中點．又為的中點，所以∥．平面,平面，所以∥平面．（Ⅱ）因為平面，為矩形，所以，，兩兩垂直．如圖，以為坐標原點，的方向為軸的正方向，為單位長，建立空間直角坐標系，則．設(shè)，則．設(shè)為平面的法向量，則即，可?。譃槠矫娴姆ㄏ蛄?，由題設(shè)，即，解得．因為為的中點，所以三棱錐的高為．三棱錐的體積．9．（2011新課標）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）因為，由余弦定理得從而，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD．故PABD（Ⅱ）如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標系D-，則，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即因此可取=設(shè)平面的法向量為，則可取=（0，-1，）故二面角A-PB-C的余弦值為．題組六10．（2010新課標）如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，垂足為，是四棱錐的高，為中點.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】以為原點，分別為軸，線段的長為單位長，建立空間直角坐標系如圖，則（Ⅰ）設(shè)，則可得因為，所以（Ⅱ）由已知條件可得設(shè)為平面的法向量則即因此可以取，由，可得，直線與平面所成角的正弦值.立體幾何十大經(jīng)典類型（解題思想方法歸納）類型一：證明線線平行 1.證明兩直線、平行，若直線和直線共面時，則可以用平面幾何中常用的一些方法（如證明和是一個平行四邊形的一組對邊）證明它們無公共點。在立體幾何中一般還有以下幾種思路：①根據(jù)公理4②根據(jù)“線面平行”的性質(zhì)定理③根據(jù)“線面垂直”的性質(zhì)定理，若直線和都與平面垂直，則//。④根據(jù)“面面平行”的性質(zhì)定理=5\*GB3⑤根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)。?=6\*GB3⑥根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)。?=7\*GB3⑦根據(jù)對應線段成比例。?2.設(shè)法轉(zhuǎn)化為線面平行、面面平行、線面垂直的相關(guān)問題3.向量方法：證明向量共線。類型二：證明線面平行1.傳統(tǒng)幾何方法：①根據(jù)直線與平面平行的定義②根據(jù)直線與平面平行的判定定理③根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理2.方法②通過“線線平行證明線面平行”，是由低維升向高維的一種思維方式；方法③通過“面面平行證明線面平行”，是由高維降向低維的一種思維方式。這兩種思維方式是立體幾何中基本的思維方法。3.向量方法：①轉(zhuǎn)化為證明向量共線。②根據(jù)共面向量定理。③證明向量與平面的法向量相互垂直。類型三：證明面面平行1．傳統(tǒng)幾何方法：①根據(jù)兩個平面平行的定義②根據(jù)兩個平面平行的判定定理③垂直于同一條直線的兩個平面平行④平行于同一平面的兩個平面平行思維過程：注意三者的轉(zhuǎn)化線線平行線面平行面面平行線線平行線面垂直面面平行向量方法：①轉(zhuǎn)化為用向量證明線線平行、線面平行問題。②證明兩個平面的法向量共線。類型四：證明線線垂直證明線線垂直，若兩條直線在同一平面內(nèi)，可用平面幾何中證明兩條直線垂直的方法來證明它們垂直。立體幾何一般有以下幾種證明方法：①根據(jù)定義②如果直線//直線，直線直線，則③如果直線平面，則④三垂線定理及其逆定理⑤根據(jù)二面角的平面角的定義=6\*GB3⑥等腰（等邊）三角形中的中線=7\*GB3⑦菱形（正方形）的對角線互相垂直=8\*GB3⑧勾股定理中的三角形=9\*GB3⑨1::2的直角梯形中=10\*GB3⑩利用相似或全等證明直角，直徑所對的圓周角向量方法：證明向量相互垂直。類型五：證明線面垂直傳統(tǒng)幾何方法：①如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任何一條直線，則這條直線和這個平面垂直②線面垂直的判定定理③如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則這條直線也與另一個平面垂直④兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面⑤面面垂直的性質(zhì)定理向量方法：①轉(zhuǎn)化為證明向量垂直。②證明向量與平面的法向量共線。類型六：證明面面垂直1．傳統(tǒng)幾何方法：①根據(jù)面面垂直的定義：如果兩個平面相交所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面互相垂直②根據(jù)面面垂直的判定定理③利用結(jié)論：如果一個平面垂直于兩個平行平面中的一個，則它垂直于另一個平面2．向量方法：①轉(zhuǎn)化為用向量證明線線垂直、線面垂直問題。②證明兩個平面的法向量相互垂直。類型七：求異面直線所成角傳統(tǒng)幾何方法：先判斷這個角是否是直角，如果是直角可直接證明并得出結(jié)論，一般求角的步驟是：（1）利用平移作出要計算的角；（2）構(gòu)造含該角的三角形；（3）解三角形求角異面直線所成的角作法：①定義。在具體問題中異面直線的給出是異面線段形式表示的，因此由異面直線所成角的定義我們可以選擇兩條線段的四個端點，過其中一個端點作另外一條線段的平行線，選擇點的原則是過這點作另外一條線段的平行線要容易作（往往是這點和另外一條線段在一個三角形中且這點在三角形的一邊上，或這點和另外一條線段在已知一個平面內(nèi)且作平行線要好作）②利用中位法。如給出異面直線AB和CD，連接AC、AD、BC，然后再分別取這三條線段的中點E、F、G，連接EF、EG、FG得到△EFG，則∠FEG就是所求角或所求角的補角。這種方法優(yōu)點是作異面直線所成角比較容易，但缺點是△EFG中有一邊GF的長度不容易求。向量方法：轉(zhuǎn)化成求兩個向量的夾角（即等于所求的異面直線所成的角或其補角的大?。╊愋桶耍呵笃矫娴男本€與平面所成角傳統(tǒng)幾何方法：①轉(zhuǎn)化為求斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角，通過直角三角形求解。②利用三面角定理（即最小角定理）求。向量方法：設(shè)為平面的法向量，直線與平面所成的角為，則類型九：求二面角作出二面角的平面角并通過解三角形計算。作平面角常用方法如下：①先確定二面角的棱，在棱上找一點，分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角即為平面角。②垂面法：用垂直于二面角棱的平面截二面角，兩交線所成的角即為平面角。③三垂線定理及其逆定理：過一個半平面內(nèi)一點作另一半平面的垂線，過垂足在另一個半平面內(nèi)作棱的垂線得棱上一點（即斜足），斜足與面上一點的連線和斜足與垂足連線所成角為平面角。④利用特殊圖形的垂直關(guān)系直接作出平面角。此類問題的特征是圖形中一般有二面角的平面角，只須利用前面三種方法進行判斷即可找到二面角的平面角。求二面角的大小有時也可不必作平面角，只須判斷出二面角與某個線面角或線線角相等，求出即可。①用射影面積公式：（其中為斜面面積，為射影面積，為斜面與其射影面所成的二面角的平面角）。此法適用于棱未給出或平面角難以作出的情形。②公式法：如利用兩條異面直線上兩點間的距離公式可求出二面角，公式為：③向量方法：只要在兩個半平面內(nèi)各有棱的垂線、（不必相交），則向量、所成的角的大小等于所求二面角或其補角的大小。另法：設(shè)、分別為兩個半平面的法向量，則它們所成的