2021版 一次函數(shù)壓軸題突破9：一次函數(shù)與菱形（含解析）

一次函數(shù)壓軸題之菱形

1.如圖，直線11：y=-—x+b分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與直線1：y=kx-6交于點(diǎn)C(4,2)

22

(1)求直線L和直線L的解析式；

(2)點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)E作EF〃y軸，交直線k于點(diǎn)F,若以0、B、E、F為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求m值；

(3)若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，則在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)Q,使得以P、Q,A、B為頂點(diǎn)的四邊形是

2.如圖1,矩形OABC的邊OA、0C分別在x軸、y軸上，B點(diǎn)坐標(biāo)是(8,4),將AAOC沿對角線AC翻折得

△ADC,AD與BC相交于點(diǎn)E.

(1)求證：4CDE絲Z\ABE；

(2)求E點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)如圖2,若將AADC沿直線AC平移得aA'D'C(邊A'C)始終在直線AC上)，是否存在四邊形1)1)'

C'C為菱形的情況？若存在，請直接寫出點(diǎn)C'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

D'

\D

3.如圖，直線L：y=--x+b分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與直線L：y=kx-6交于點(diǎn)C(4,2).

2

(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)及k,b的值；

(2)在直線BC上有一點(diǎn)E,過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線k于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)m為何值時(shí),

以0、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

(3)若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，在坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)Q,使得P、Q.A、B四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)菱形？若存在,

求出所有符合條件的Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，BC〃OA,BC=3,0A=6,AB=3旄

(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)已知D、E分別為線段OC、0B上的點(diǎn)，0D=5,0E=2BE,直線DE交x軸于點(diǎn)F,求直線DE的解析式；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)M是直線DE上的一點(diǎn)，在x軸上方是否存在另一個(gè)點(diǎn)N,使以0、D、M、N為頂

點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+b與坐標(biāo)軸交于C,D兩點(diǎn)，直線AB與坐

標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn)，線段OA,0C的長是方程x?-3x+2=0的兩個(gè)根(OA>OC).

(1)求點(diǎn)A,C的坐標(biāo)；

(2)直線AB與直線CD交于點(diǎn)E,若點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，求直線AB的解析式；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)M在直線CD上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)B,E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形

是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-Sx+b分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B,且點(diǎn)A坐標(biāo)為(8,0),點(diǎn)C為

4

AB中點(diǎn).

(1)請直接寫出點(diǎn)B坐標(biāo)(,).

(2)點(diǎn)M為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，分別與直線AB、直線0C交于點(diǎn)P、Q,設(shè)點(diǎn)M的橫

坐標(biāo)為m,線段PQ的長度為d,求d與m的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量m的取值范圍.

(3)在(2)條件下，當(dāng)點(diǎn)M在線段0A(點(diǎn)M不與0、A重合)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使

得以0、B、P、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)若不存在，請說明理由.

7.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對角線AC=12,ZAC0=30°,

(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)把矩形沿直線DE對折使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，DE與AC相交于點(diǎn)F,求直線DE的解析式；

(3)若點(diǎn)M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以0、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直

接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

8.如圖，已知點(diǎn)A(-12,0),B(3,0),點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且/ACB=90°.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求RtZ\ACB的角平分線CD所在直線1的解析式；

(3)在1上求出滿足SA?C=2S△物的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

2

(4)已知點(diǎn)M在1上，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以0、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接

寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在.請說明理由.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，QOABC的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，對角線

AC、OB交于點(diǎn)D,且OA、0B的長是方程--12x+32=0的兩根(0AV0B).

(1)求直線AC的函數(shù)解析式；

(2)若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng)，連接0P.設(shè)AOPD的面積為S,點(diǎn)P的運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

(3)若點(diǎn)M是直線AC上一點(diǎn)，則在平面上是否存在點(diǎn)N,使以A、B、M、N為頂點(diǎn)四邊形為菱形？若存在，

請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB〃OC,ZA0C=90°,

ZBC0=45°,BC=12&,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-18,0).

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)若直線DE交梯形對角線BO于點(diǎn)D,交y正半軸于點(diǎn)E,且0E=4,0D=2BD,求直線DE的解析式；

(3)若點(diǎn)P是(2)中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使以0、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊

形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

11.如圖，在RtZXOAB中，ZA=90°,ZAB0=30°,0B=：。，邊AB的垂直平分線CD分別與AB、x軸、

3

y軸交于點(diǎn)C、G、D.

(1)求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(2)求直線CD的解析式；

(3)在直線CD上和平面內(nèi)是否分別存在點(diǎn)Q、P,使得以0、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求

出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

12.已知直線y=J私+4“與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，NABC=60°,BC與x軸交于點(diǎn)C.

(1)試確定直線BC的解析式.

(2)若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)(不與A、C重合)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CBA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)

(不與C、A重合)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長度，動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)單位長度.設(shè)

△APQ的面積為S,P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍.

(3)在(2)的條件下，當(dāng)AAPQ的面積最大時(shí)，y軸上有一點(diǎn)M,平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使以A、Q、M、

N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A為第二象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸垂線交x軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C為x

軸正半軸上一點(diǎn)，且OB、0C的長分別為方程x?-4x+3=0的兩根(OB<OC).

(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)作直線AC,過點(diǎn)C作射線CE_LAC于C,在射線CE上有一點(diǎn)M(5,2),求直線AC的解析式；

(3)在(2)的條件下，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q和點(diǎn)P(點(diǎn)P在直線AC上)，使以0、C、P、Q為頂點(diǎn)的

四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

14.如圖I,直線y=-3x+6與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)D,直線AB交x軸于點(diǎn)B,AAOB沿直線AB

4

折疊，點(diǎn)0恰好落在直線AD上的點(diǎn)C處.

(1)求0B的長；

(2)如圖2,F,G是直線AB上的兩點(diǎn)，若aDEG是以FG為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)如圖3,點(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AD上一點(diǎn)，且P,Q均在第四象限，點(diǎn)E是x軸上一點(diǎn),

若四邊形PQDE為菱形，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

1.【解答】解：（1）將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入h、k表達(dá)式得：

2=--x4+b,2=4k-6,

2

解得：b=4,k=2,

故直線L和直線k的解析式分別為：y=-—x+4,y=2x-6,

2

則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8,0）、（0,4）；

（2）設(shè)點(diǎn)E（m,-工m+4）,點(diǎn)F（m,2m-6）,

2

當(dāng)以0、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，

則EF=FB,即|-品+4-2m+6|=4,

2

解得：m=』2或毀；

55

（3）①當(dāng)AB是菱形的一條邊時(shí)，

則AP=AB=Ay82+42=4V5?

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8+4泥，0）或（8-4加，0）或（-8,0）,

則點(diǎn)Q（4泥，4）或（-4遙，4）或（0,-4）；

②當(dāng)AB是菱形的對角線時(shí)，

設(shè)點(diǎn)P（m,0）,點(diǎn)Q（s,t）,

由中點(diǎn)公式得：8=m+s,4=t…①，

由菱形性質(zhì)知：PA=PB得：（m-8）三療+一…②,

聯(lián)立①②并解得：t=4,s=5,

故點(diǎn)Q（5,4）,

綜上，點(diǎn)Q（4近，4）或（-4旄，4）或（5,4）或（0,-4）.

2.【解答】解：（1）證明：二?四邊形0ABC為矩形，

.,.AB=0C,ZB=ZA0C=90°,

/.CD=0C=AB,ZD=ZA0C=ZB,

又/CED=/ABE,.,.△CDE^AABE（AAS）,

，CE=AE；

（2）VB（8,4）,即AB=4,BC=8.

.?.設(shè)CE=AE=n,貝|BE=8-n,

可得(8-n)2+42=n2,

解得：n—5,

?.E(5,4)；

(3)設(shè)點(diǎn)C在水平方向上向左移動(dòng)m個(gè)單位，則在垂直方向上向上移動(dòng)了旦個(gè)單位,

2

則點(diǎn)C'坐標(biāo)為(-m,4+/m),

則；四邊形DD'C'C為菱形，

...CC'2=(-m)2+(工m)2=5m2=CD2=16,

24

解得：m=±3返，

5___

故點(diǎn)C'的坐標(biāo)為(國豆，4+士匹)或(色度，4-&Y5).

5555

3.【解答】解：(1)將C(4,2)代入y=kx-6,y=--x+b

2

得：2=4k-6,2=-上X4+b,解得：k=2,b=4

2

二直線L：y=-』x+4,直線k：y=2x-6

2

在y=-/x+4中，令x=0,得y=4,：.B(0,4)

令y=0,得0=-2x+4,解得：x=8,；.A(8,0)；

2

(2)設(shè)E(m,-工m+4),則F(m,2m-6),

2

如圖1,當(dāng)0WmW4時(shí)，EF=10至n，

2

?.?四邊形OBEF是平行四邊形

；.OB=EF即4=103n，解得：m=—,

25

如圖2,當(dāng)m>4時(shí)，

,；四邊形OBFE是平行四邊形

/.OB=FE,即4=2m-10,解得：m=毀，

25

...m=1y2?4或m=-=2^8-；

55

(3)存在.如圖3,

①當(dāng)以AB為邊時(shí)，

?.?點(diǎn)A(8,0),B(0,4)

AB=VOA2+OB2=V82+42=4^

?.,以P、Q、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形

，AP=AB=4遙，

：.P（8-475.0）或P（8+4泥，0）,

/.Q（-4泥，4）或（4泥，4）,

當(dāng)Q與B關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，Q（0,-4）也存在滿足條件的菱形,

②當(dāng)以AB為對角線時(shí)，

設(shè)對角線的交點(diǎn)為M,則M（4,2）,

因此設(shè)AP=BP=x,貝U0P=8-x,

.,.在Rt/XBOP中，

42+（8-x）2=x>

解得：x=5,

：.P（3,0）,則Q（5,4）,

綜上所述，符合條件的Q的坐標(biāo)為：Q（-4遙，4）或（4加，4）或（5,4）或（0,-4）.

4.【解答】解:

???AG=OA-OG=OA-BC=6-3=3,

在RtZ\ABG中，由勾股定理可得AB2=AG2+BG2,即(3^5)2=32+BG2,解得BG=6,

A0C=6,

/.B(3,6)；

(2)由0D=5可知D(0,5),

VB(3,6),0E=2BE,

AE(2,4),

設(shè)直線DE的解析式是y=kx+b

k=

把I)(0,5)E(2,4)代入得＜4,

,b=5

?.?直線DE的解析式是y=-工x+5；

2

(3)當(dāng)OD為菱形的邊時(shí)，貝(]MN=0D=5,且MN〃0D,

在直線DE上,

二設(shè)M(t,-工t+5),

2

①當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M上方時(shí)，如圖2,則有OM=MN,

2

t2+(-—1+5)~—5',解得t=0或t=4,

2

當(dāng)t=0時(shí)，M與D重合，舍去，

.,.M(4,3),

AN(4,8)；

②當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M下方時(shí)，如圖3,則有MD=0D=5,

二t2+(--lt+5-5)2=5、解得t=2旄或t=-2旄,

當(dāng)t=2旄時(shí)，N點(diǎn)在x軸下方，不符合題意，舍去，

/.M(-2遙，遙+5),

??.N(-2代，娓);

在y=-2x+5中，令y=2.5可得x=5,

2

AM(5,2.5),

VM.N關(guān)于y軸對稱，

?.N(-5,2.5),

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)N,其坐標(biāo)為(4,8)或(-5,2.5)或(-2泥，泥).

5.【解答】解：(1)X2-3X+2=(x-1)(x-2)=0,

??Xi=1,X2=2,

V0A>0C,

???0A=2,0C=l,

/.A(-2,0),C(1,0).

(2)將C(1,0)代入y=-x+b中，

得：0=-l+b,解得：b=l,

???直線CD的解析式為y=-x+L

..?點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，A(-2,0),B的橫坐標(biāo)為0,

...點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-1.

?點(diǎn)E為直線CD上一點(diǎn)，

AE(-1,2).

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,則有12k+b=0,

I-k+b=2

解得仆=2,

1b=4

直線AB的解析式為y=2x+4.

(3)假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,-m+1),

以點(diǎn)B,E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形分兩種情況(如圖所示)：

①以線段BE為邊時(shí)，(-1,2),A(-2,0),E為線段AB的中點(diǎn)，

AB(0,4),

BE=/AB=-1-^22+42=泥.

:四邊形BEMN為菱形,

，EM=BE或BE=B.M.

當(dāng)EM=BE時(shí)，有EM=Y(m+i)2+(_m+l_2)2=BE=^,

解得：m2=-2W10)

22__

AM(2啊2+場或(士叵2-?

2222

VB(0,4),E(-1,2),

AN4+^S)或4-^-)；

2422

當(dāng)BE=BM時(shí)，有BM=兀干E不二BE;何插不,

解得：ni3=-l（舍去），m，i=-2,

.\M(-2,3),

VB(0,4),E(-1,2),

.,.N(-3,1)；

②以線段BE為對角線時(shí)，MB=ME,

■'V(m+1)^+(-m+l-2)-Vm^+(-m+l-4)，

解得：m=-—,

a2

AM(

22

VB(0,4),E(-1,2),

AN(0-1+工，4+2-9),即(5,3).

2222

綜上可得：坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)B,E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-1G,4+

_2

土頁)或(10,4-10)或(-3,1)或($,旦)；

42222

6.【解答】解：(1)I.直線y=-3x+b過點(diǎn)A(8,0),

4

.,.0=-6+b,解得：b=6,

二直線AB的解析式為y=-3x+6.

4

令y=-3x+6中x=0,則y=6,

4

二點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,6).

故答案是：(0,6).

(2)依照題意畫出圖形，如圖3所示.

,/A(8,0),B(0,6),且點(diǎn)C為AB的中點(diǎn),

AC(4,3).

設(shè)直線0C的解析式為y=kx(kWO),

則有3=妹，解得：k=2,

4

二直線0C的解析式為y=lx.

4

.點(diǎn)P在直線AB上，點(diǎn)Q在直線0C上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,PQLx軸,

：.P(m,-3毗6),Q(m,3m).

44

當(dāng)m<4時(shí)，d--—m+6-—m———m+6；

442

當(dāng)m>4時(shí)，d=3m-(一旦m+6)=3m-6.

442

-1-m+6(m<C4)

故d與m的函數(shù)解析式為d=，2；

■1-in-6(nC>4)

(3)假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,n+6)(0<n<8).

4

?.?點(diǎn)P在第一象限，

...以0,B,P,N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形有兩種情況：

①以BP為對角線時(shí)，如圖4所示.

?..四邊形OPNB為菱形，B(0,6),

..0P=0B=6=Jn2+(Vn+6)2,

解得：n=坦或n=0(舍去)，

25

14442x

?.點(diǎn)P---，-)，

2525

/.點(diǎn)N111+0-0,6+絲-0),即192)

252525"25"

②以0P為對角線時(shí)，如圖5所示.

PN〃OB,PN=0N=0B=6.

.,.MN=PN-PM=—m.

4

在直角△ONM中，0M2+MN2=0N\即n)2+2=62.

4

解得?)=建(舍去負(fù)值).

5

此時(shí)N(―,-—)；

55

③當(dāng)0B為對角線時(shí)，N(-4,3).

綜上得：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB（點(diǎn)M不與A,B重合）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)系第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)N,使得以0,B,

P,N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，N點(diǎn)坐標(biāo)為（出，工絲）或（建，-』&）或N（-4,3）.

252555

7.【解答】解：（1）在直角aOAC中，tan/ACO=?^=返,

OC3

，設(shè)OA=?x,則0C=3x,

根據(jù)勾股定理得：（3x）、（J§x）2=AC\

即9X2+3X2=144,

解得：x=2，§.

故C的坐標(biāo)是：（673.0）,B的坐標(biāo)是（6娟，6）；

（2）直線AC的斜率是：^==-近，

雨3

則直線DE的斜率是：V3.

F是AC的中點(diǎn)，則F的坐標(biāo)是（3“，3）,設(shè)直線DE的解析式是y=?x+b,

則9+b=3,解得：b=-6,

則直線DE的解析式是：y=5/§x-6；

（3）0F=』AC=6,

2

?..直線DE的斜率是：V3.

ADE與x軸夾角是60°,

當(dāng)FM是菱形的邊時(shí)（如圖1）,0N/7FM,

則NN0C=60。或120°.

當(dāng)NN0C=60°時(shí)，過N作NG_Ly軸，則NG=ON?sin30°=6X/=3,

OG=ON?cos30°=6X零=3“，則N的坐標(biāo)是（3,3?）；

當(dāng)/N0C=120°時(shí)，與當(dāng)/N0C=60°時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則坐標(biāo)是（-3,-3?）；

當(dāng)OF是對角線時(shí)（如圖2）,MN關(guān)于0F對稱.

?；F的坐標(biāo)是（3?,3）,

.,.ZF0D=ZN0F=30°,

在直角△ONH中，OH=」OF=3,0N=——粵——=昌=2?.

2cosZNOH返

作NL±y軸于點(diǎn)L.

在直角△ONL中,ZN0L=30°,

則NL=/ON=如，

OL=ON?cos300=2?義亨=3.

故N的坐標(biāo)是3).

當(dāng)DE與y軸的交點(diǎn)時(shí)M,這個(gè)時(shí)候N在第四象限，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3晶，-3）.

則N的坐標(biāo)是：（3?,-3）或（3,3遙）或（-3,-373）或（J3,3）.

8.【解答】解：（1）由△AOCs^COB,可得0C2=0AX0B=36,

；.0C=6

又..,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,

二點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,6）；

（2）過點(diǎn)D作DEJ_BC于點(diǎn)E.設(shè)DB的長為m.

在RtziXDEB中，DE=DB?sinB=m?也BE=DB*CosB=^-m

AB55

在RtzM)EC中，ZDCE=45°,于是CE=DE=2^m

_5

由CE+BE=BC,即里&m+近m=3泥，解得m=5

55

又由OA>OB,知點(diǎn)D在線段OA上，0B=3,所以01)=2,故點(diǎn)D(-2,0)；

設(shè)直線1的解析式為：y=kx+b,把C(0,6)和D(-2,0)代入y=kx+b中,

得上，

I_2k+b=0

解得。=3.

1b=6

故直線1的解析式為：y=3x+6；

(3)①取AB的中點(diǎn)F(-4.5,0),過點(diǎn)F作BC的平行線交直線1于點(diǎn)P“連接CF.

易知SANBC=SAFBC=SAACB,.?.點(diǎn)Pt為符合題意的點(diǎn).

直線PF可由直線BC向左平移BF個(gè)單位得到(即向左平移7.5個(gè)單位)

而直線BC的解析式為y=-2x+6,

即直線PF的解的式為y=-2(x+7.5)+6即

y=-2x-9,由|丫__2乂_9得點(diǎn)R(—3,-3)

ly=3x+6

②在直線1上取點(diǎn)P2使CPz=CPl,此時(shí)有S&2BC=S&1BC=1~SAACB,；?點(diǎn)符P2合題意.

2

iCP2=CPi,過Pi點(diǎn)作RM_LM0,垂足為M,過P2點(diǎn)作PNLN0,垂足為N,由CP?=CPi易知MC=NC,

可得點(diǎn)P?的坐標(biāo)為（3,15）,...點(diǎn)P（-3,-3）或P（3,15）可使弘際=」$4械；

2

（4）①當(dāng)0C是菱形的對角線時(shí)（如圖1所示），0C的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,3）,貝||把y=3代入1的解析式得:

3x+6=3,

解得：X=-1.

則M的坐標(biāo)是（-1,3）,N的坐標(biāo)是（1,3）；

②當(dāng)CM為菱形的對角線時(shí)（如圖2所示），此時(shí)也0=（：0,設(shè)Mz的坐標(biāo)為（m,3m+6）,所以而+（3m+6）、

62,解得m=-」區(qū),則Mz（-」區(qū),又也Nz〃0C且1012=0（：,易知心（-」過，—）；

55555

③當(dāng)OC和CM均為菱形的邊時(shí)，此時(shí)M3N3=C0,設(shè)M3的坐標(biāo)為（m,3m+6）,所以布+（3m+6-6）2-62,解

得m=-3叵或-m叵，易知N點(diǎn)的坐標(biāo)為（色叵，當(dāng)叵）或（-2口0,-W1G）.

555555

ffi2

綜上所述，N的坐標(biāo)是（1,3）或（-噠，A）或（型匝，型叵）或（-三叵，-22叵）.

9.【解答】解：（1）VOA,OB的長X?-12x+32=0的兩根，OA<OB,

，0A=4,0B=8,點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)B坐標(biāo)為(8,0),

又：四邊形ABCD是平行四邊形，

二可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的相反數(shù),

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8,-4),

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b,則［8k+b=-4,

lb=4

解得：

lb=4

故直線AC的解析式為：y=-x+4；

(2)由(1)可得0B=8,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)D坐標(biāo)為(4,0),

即0A=0D,Z0AD=Z0DA=45°,AD=4&,

①當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，此時(shí)t<4圾；

在RTAAEP中，EP=^t,即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為返t,

22

?.?點(diǎn)P在直線AC上,

...點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：-返t+4,

2

此時(shí)SAOH)=/()DXP以坐標(biāo)=8-(t<45/"^)；

②當(dāng)點(diǎn)P在射線DC上時(shí)，此時(shí)t>4血

喙吟一

此時(shí)SAOI'D=—ODXP或坐標(biāo)=揚(yáng)-8（t>4亞;

2

①當(dāng)AB=AM時(shí)，在RT4MAH中，MH=AMcosNMAH=AMcos/ADO=2V75，仙1=2715,

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2/而，4+2^10）,

又：MN平行且相等AB,

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（x,y）,貝（J（x+0,y+4）=（-2百*8,4+2萬+0）

X-8-2yI。,y2y10,

二點(diǎn)N的坐標(biāo)為（8-2萬，2A/10）.

②當(dāng)BM=AB時(shí)，

設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,-x+4),點(diǎn)N坐標(biāo)為(a,b),

???四邊形ABMN是菱形，點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)B(8,0),

(x+0,-x+4+4)=(a+8,b+0),

.'.a=x-8,b=-x+8,即點(diǎn)N坐標(biāo)為(x-8,-x+8),

XVBM=AB=4V5.

*'V(x-8)2+(-X+4-0)2-4泥，

解得：x=12或x=0,

故此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,-4)或(0,4)；

③當(dāng)AB為對角線時(shí)，

設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x,-x+4）,則點(diǎn)N坐標(biāo)為（8-x,x）,

?此時(shí)AM=AN,

即可得：V(x-O)2+(-X+4-4)2=V(8-X-0)2+(X-4)2,

解得：x=』Q,

3

則此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(工魚，」史).

33

綜上可得符合題意的點(diǎn)N的坐標(biāo)為(8-2萬，2^10)或(0,4)或(4,-4)或(工魚，蛇)；

33

10.【解答】解：(1)過點(diǎn)B作BFLx軸于F

在RtABCF中

,.?ZBC0=45°,BC=12我

，CF=BF=12

VC的坐標(biāo)為(-18,0)

.,.AB=OF=6

:,點(diǎn)、B的坐標(biāo)為(-6,12).

(2)過點(diǎn)D作DGLy軸于點(diǎn)G,

；AB〃DG,

.,.△ODG^AOBA,

vDG=0D=0GAB=6,0A=12,

ABOBOA3

；.DG=4,0G=8,

AD(-4,8),E(0,4)

設(shè)直線DE解析式為y=kx+b(kWO)

.f-4k+b=8

Ib=4

.fk=-l

"Ib=4'

二直線DE解析式為y=-x+4.

(3)結(jié)論：存在.

設(shè)直線y=-x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)E、點(diǎn)F,則E(0,4),F(4,0),0E=0F=4,EF=4j，.

如答圖2所示，有四個(gè)菱形滿足題意.

①菱形0EPQ,此時(shí)0E為菱形一邊.

則有PiE=PQ=OE=4,PF=EF-P1E=4&-4.

易知aPiNF為等腰直角三角形，；.PiN=NF=^PF=4-2血；

設(shè)PQ交x軸于點(diǎn)N,則NQI=P@-PIN=4-(4-272)=2圾，

又0N=0F-NF=2圾，AQi(2如,-2&)；

②菱形OEP2Q2,此時(shí)0E為菱形一邊.

此時(shí)/與Q1關(guān)于原點(diǎn)對稱，二Q?(-2亞，2點(diǎn))；

③菱形OEQR,此時(shí)0E為菱形一邊.

此時(shí)P3與點(diǎn)F重合，菱形OEQ3P3為正方形，；.Q3(4,4)；

④菱形OP4EQ4,此時(shí)0E為菱形對角線.

由菱形性質(zhì)可知，P“Q,為0E的垂直平分線，

由0E=4,得Pi縱坐標(biāo)為2,代入直線解析式y(tǒng)=-x+4得橫坐標(biāo)為2,則K(2,2),

由菱形性質(zhì)可知，PMQ,關(guān)于0E或y軸對稱，(-2,2).

綜上所述，存在點(diǎn)Q,使以0、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Qi(25/2，-2近)，Q2(-2V2.2料)，Q3(4,4),Q,(-2,2).

11.【解答】解：(1);DC是AB垂直平分線，0A垂直AB,

/.G點(diǎn)為0B的中點(diǎn)，

(2)過點(diǎn)C作CH_Lx軸于點(diǎn)H,

在RtZ\ABO中，ZAB0=30°,0B=

AB「返

.'.cos30°

-M2

X返=4,

即AB=

2

又???CD垂直平分AB,

.\BC=2,在RtACBH中，CH=%C=1,BH=?,

/.0H=

：.C(,一1),

VZDG0=60°,

.?.0G=』0B=

2

OD=-^ygtan60°=4,

3

AD(0,4),

設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b,

解得：球=-遙

\b=4

:~Vsx+4；

(3)存在點(diǎn)Q、P,使得以0、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

①如圖，當(dāng)0D=DQ=QP=0P=4時(shí)，四邊形D0PQ為菱形，

y

設(shè)QP交x軸于點(diǎn)E,在RtZXOEP中，0P=4,Z0PE=30°,

；.OE=2,PE=2“，

?.Q(2,4-2A/3).

②如圖，當(dāng)0D=DQ=QP=0P=4時(shí)，四邊形DOPQ為菱形,

延長QP交x軸于點(diǎn)F,在RtZkPOF中，0P=4,ZFP0=30°,

.?.0F=2,PF=2五,

；.QF=4+2近

；.Q(-2,4+273).

③如圖，當(dāng)PD=DQ=QO=OP=時(shí)，四邊形DOPQ為菱形，在RtA^DQM中，NMDQ=30°,

.?.MQ=LDQ=3&

23

???Q(攀2).

y

’tv

④如圖，當(dāng)0D=0Q=QP=DP=4時(shí)，四邊形DOQP為菱形,

設(shè)PQ交x軸于點(diǎn)N,此時(shí)NN0Q=/0DQ=30°,

在RtAONQ中，NQ=^OQ=2,

2

；.0N=2如，

/.Q（2歷-2）；

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q共有四點(diǎn)：（2,4-2?）,（-2,4+273））（2^,2）,（2小§,-2）.

3

12.【解答】解：（1）由已知得A點(diǎn)坐標(biāo)（-4,0）,B點(diǎn)坐標(biāo)（0,4?）,

V0B=V30A-

ZBAO=60°,

VZABC=60°,

二AABC是等邊三角形,

V0C=0A=4,

/.C點(diǎn)坐標(biāo)(4,0),

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,

[b=/,

l4k+b=0，

,fk=-V3

Ib=4>/^

二直線BC的解析式為y--V3X+W3；

2)當(dāng)P點(diǎn)在AO之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，作QHLx軸.

,,QHCQ

'OB=CB'

.QH2t

W38

/.QH=Vst

2

SAAPO=—AP?QH=—t*6=^t(0<t<4),

222

同理可得SA*K)=*^"t?(8t)

=-^y-t2+4>/3t(4<t<8)；

(3)存在.