華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題C

第十九屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題一、填空題（每小題10份，共80分）.計算：3.2-2.95 2x.計算：1 1+ 2= 0.25x2+ 2.3-14 5【答案】1【考點】計算：分數(shù)小數(shù)綜合運輸【解析】原式=原式= 1 0.750.912=--1—33=12.在右邊的算式中，每個漢字代表0至9這十個數(shù)字中的一個，相同漢字代表相同數(shù)字、不同漢字代表不同數(shù)字，則“數(shù)學競賽”所代表的四位數(shù)是 ．___【答案】1962【考點】組合：數(shù)字謎【解析】遇到減法數(shù)字謎通常變成加法會更利于分析：競賽+數(shù)學競賽2024賽-賽個位為4，所以賽為2或7，若賽為7則會進位，和的十位只能是奇數(shù)，所以

競+競個位為，若競=2,原式為12+2012=2014數(shù)學競賽=1962如下圖，在直角三角形中，點在上且四邊形是平行四邊形那么為【答案】2:1,有重復數(shù)字；所以競=6,有重復數(shù)字；所以競=6「AC〃BE由沙漏模型可知FD:EF=AF:FB=2:1.下圖是由若干塊長秒3厘米，水平爬行的速度厘米、寬4厘米、高.下圖是由若干塊長秒3厘米，水平爬行的速度為每秒4厘米，則螞蟻至少爬行了多少秒？【答案】40秒【考點】組合：最值問題【解析】要想時間最少，則需要按如圖中的粗線爬行；螞蟻向上、向下爬行的最短路程是12x2+6x2=36厘米，水平爬行的路程是12x3+2x2=40厘米，所以至少用時36+2+36+3+40+4=40秒設,,,,均是自然數(shù)，并且 < < <e+33 ++=則+的最大值為【答案】【考點】組合：最值問題【解析】a和b是五個數(shù)中最小的兩個，要想a+b最大，則希望這五個數(shù)盡量接近，先估算再局部調整；300式1+2+3+4+5)=20，則先讓c=20,而1+8 x2 +9x3+2x0 ,+大x于=，調整得：1+7 x2 +8x3+1x9，離+ 差，則最后讓5e=5x22即可.所以a+b的最大值17+18=35也可通過計算證明a+b最大只能取到300=a+2b+3c+4d+5e>a+2b+3(b+1)+4(b+2)+5(b+3)15..、一=a+14b+26>a+6(a+1)+7b+b+26=7(a+b)+b+32>—(a+b)+32211可得a+b<35—現(xiàn)有甲、乙、丙三個容量相同的水池.一臺型水泵單獨向甲水池注水，一臺型水泵單獨向乙水池注水，一臺型和一臺型水泵一期向丙水池注水.已知注滿乙水池比注滿丙水池所需時間多個小時，注滿甲水池比注滿乙水池所需時間多個小時，則注滿丙水池的三分之二需要個小時.【答案】【考點】應用題：工程問題【解析】設注滿丙池用X小時，則注滿乙池用時金+4）小時，注滿甲池用時（％+9）小時；利用丙池工效應該等于甲乙兩池工效之和可得：TOC\o"1-5"\h\z1 11 1 ——X+4X+9XX+9+X+4_1（%+4）G+9）x2%+13 1 ——X2+13X+36X2X2+13X—X2+13X+36X2—36X—6所以注滿丙池的三分之二需要6x2―4小時注:通常工程問題都設工效為未知數(shù)，但此題如果設工效，則方程非常難解，需要用到初中知識因式分解中的十字交叉法，對于小學生來說是無法做的．而本題解法比較巧妙，設丙池的時間，最終只需要解%2—36即可，所以有時候還是需要有突破性的思維，學會打破常規(guī)，尋求出路．用八塊棱長為 的小正方體堆成一個立體圖形，其俯視圖如下圖所示，則共有___種__不_同_的堆法．（經(jīng)過旋轉能重合的算一種堆法）【答案】10【考點】計數(shù)：分類枚舉【解析】法一：（先每列放幾塊討論）可以直接分類枚舉，也可以先再每個位置放一塊，這樣只需要分析剩下4塊的方法即可

mas種，．種；0種，0，（這兩個不一樣，此題的易錯點），0種，，Es種，回E，S0，種；0種，0，（這兩個不一樣，此題的易錯點），0種，，Es種，回E，S0，共：1+3+2+3+1=10種法二：（按每層放幾塊討論）底層已用了四塊小方體，考慮第二層分別有一、二、三、四塊的情況．見下圖，第二層有一塊，只有1種堆法；第二層有兩塊，有5種堆法；第二層有三塊，有3種堆法；第二層有四塊，只有1有四塊，只有1種堆法．總計有10種堆法．.如圖，在三角形連接交于點，則上-=DP【答案】15【考點】幾何：風箏模型【解析】連接DF和EFB，D因為AF2 B,F所以 S人 =1SB，D△B C3F△ ABC-S2△ABC1 EPS同理可得4S=-S；所以力二F△EFC2△ABC DPS 4c△DCF ~S15△ABC△EFC15注：填空題所以直接使用了風箏模型的結論，如果是解答題同學們最好自己證明一次．二、解答下列各題(每題10分，共40分，要求寫出簡要過程)有三個農村在一條公路邊，分別在下圖所示的 ，和處.處農場年產(chǎn)小麥噸，處農場年產(chǎn)小麥 噸，處農場年產(chǎn)小麥 噸.要在這條公路邊修建一個倉庫收買這些小麥，假設運費從到方向是每噸每千米元，從到方向每噸每千米1元．問倉庫應該建在何處才能使運費最低？二500千米>■卜 1200千千 二'【答案】A處【考點】應用題：分類討論【解析】討論變化趨勢，比較、 兩點設倉庫可知一運費越來越高，而一則運費越來越低，同理可知一運費越來越低，而一則運費越來越高.具體比較三點：若建在A處，運費為：60x(500 +1200)x1+10x500x1=107000元若建在B處，運費為：60x1200 x1+50x500x1.5=109500元若建在C處，運費為：50x(500 +1200)x1.5+10x1200x1.5=14550 元所以建在A處運費最低.1 2 20122013把—, ,...,2012,r013中的每個分數(shù)都化成最簡分數(shù)，最后得到的以20142014 20142014201為4分母的所有分數(shù)的和是多少？

【答案】【考點】數(shù)論：因數(shù)倍數(shù)【解析】全部分數(shù)都化成最簡分數(shù)分母還是 ，則說明原分子和互質，接下來計算中，與 互質的數(shù)有有多少個即可，這一步有兩種方法：法一：（容斥原理）2014=2-2013-_2x53_',x19x53=18,2013，l_2_-2013-_19x53_mg 2013 2013 *=1006 =105 =3719 ， 53=1；所以 中，與20132xl9互質(=52，的數(shù)有2013-(1006+105+37-52-18-1)=936個;法二：（利用歐拉公式直接計算）因為20因為20=14x2x1，所以中，與 互質的數(shù)有(1X2014x(1X2014x1--V 2八1-191A1 53)=936個而這個數(shù)中，只要有一個焉是最簡分數(shù)，一定也有一個2014-”也是最簡分數(shù)，JLI JLI1 2013, 3 20111兩個一組和為（如：元！+刁=4；元+麗=1「所以他們的和為936+2=468.上面有一顆星、兩顆星和三顆星的積木分別見下圖的（）,（），和（【現(xiàn)有塊一顆星，塊兩顆星和塊三顆星的積木，如果用若干個這些積木在地面上組成一個五顆星的長條，那么一共有多少種不同的擺放方式？（下圖（）是其中一種擺放方式）.【答案】【考點】計數(shù)：分類枚舉、乘法原理【解析】先拆分，再算每種情況有多少種擺法即可兩塊：5=3+2,2種5=3+1+1,3種三塊：：=2+2+1,3種四塊：5=2+1+1+1,4種五塊：5=1+1+1+1+1,1種共：2+3+3+4+1=13種.求此自然某自然數(shù)減去 是一個完全平方數(shù)，減去 也是一個完全平方數(shù)求此自然數(shù)【答案】 ，，，【考點】數(shù)論：因數(shù)倍數(shù)、分類討論【解析】設這個數(shù)為a，則a-39=m2,a-144=n2=（m+n）（m-n）=（a-39）-（a-144）=105105=1x105=3x35=5x21=7x15（）m=（1+105）+2=53,a=53x53+39=2848；（）m=（3+35）+2=19,a=19x19+39=400；（）m=（5+21）+2=13,a=13x13+39=208；（）m=（7+15）+2=11,a=11x11+39=160；所以a可能為， ，和三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細過程）13如.圖，圓周上均勻地標出十個點，將1~1這0十個自然數(shù)分別放到這十個點上，用過圓心的一條直線繞圓心旋轉，當線上沒有標出的點時，就把1~1分0成兩組，每種擺放方式，隨著直線的轉動有五種分組方式，對于每種分組都有一個兩組數(shù)和的乘積．記五個積中最小的值為，問所有的擺放中，最大為多少？【答案】756【考點】組合：最值問題、構造與論證【解析】1+2+3++10=55，共要分成兩組，則兩組的和一定為 ，由最值原理：和一定，差小積大可知，當這兩組的和分別為、時，乘積為27x28=756最大.而K要取到75，6需要構造出一種擺法能實現(xiàn)五個分組方式中，兩個組的和都為27、28．經(jīng)嘗試，可以實現(xiàn)，構造方法不唯一，如圖所示為兩種不同的情況．將每個最簡分數(shù)n(其中 為互質的非零自然數(shù))染成紅色或藍色，染色規(guī)m則如下：(1)將1染成紅色；(2)相差為1的兩個數(shù)顏色不同；(3)不為1的數(shù)與其倒數(shù)顏色不同．問：2013 2分別被染成了什么顏色？士二和二2014 7【答案】黑染成藍色；2染