第四章-系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型

第四章-系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型第一頁(yè)，共89頁(yè)。概述

傳遞函數(shù)分析法是研究系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的重要方法之一。線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為在全部初始條件為零的假設(shè)下系統(tǒng)的輸出量（響應(yīng)函數(shù)）的拉普拉斯變換與輸入量（驅(qū)動(dòng)函數(shù)）的拉普拉斯變換之比。第一頁(yè)第二頁(yè)，共89頁(yè)。本章摘要傳遞函數(shù)定義及其特性典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的其他形式多自由度系統(tǒng)傳遞函數(shù)仿真模型傳遞函數(shù)模型的SIMULINK仿真模型建立彈性梁的傳遞函數(shù)模型第二頁(yè)第三頁(yè)，共89頁(yè)。4．1傳遞函數(shù)定義及其特性1傳遞函數(shù)的作用：傳遞函數(shù)是對(duì)線性系統(tǒng)分析和研究的基本數(shù)學(xué)工具，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，可以將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，這樣不僅將實(shí)數(shù)域中的微分、積分運(yùn)算簡(jiǎn)化為復(fù)數(shù)域中的代數(shù)運(yùn)算，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算，而且根據(jù)傳遞函數(shù)還可以導(dǎo)出系統(tǒng)的頻率特性。利用傳遞函數(shù)可以得到系統(tǒng)的頻率特性，利用這些頻率特性與系統(tǒng)的參數(shù)關(guān)系，還可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別。第三頁(yè)第四頁(yè)，共89頁(yè)。2傳遞函數(shù)的定義設(shè)有線性系統(tǒng)的輸入為,輸出為,對(duì)應(yīng)的微分方程如下：

其中稱(chēng)為微分算子，且有假設(shè)各階導(dǎo)數(shù)的初值均為零，對(duì)該微分方程兩端取拉斯變換，則得：

其中是輸出量的拉斯變換，是輸入量的拉斯變換。則定義傳遞函數(shù)為,如下：

第四頁(yè)第五頁(yè)，共89頁(yè)。若給定系統(tǒng)的輸入，則系統(tǒng)的輸出完全取決于傳遞函數(shù)，其關(guān)系如下：再通過(guò)拉普拉斯反變換，可以得到時(shí)間域內(nèi)的輸出（響應(yīng)）：表示拉斯變換符號(hào)，則“”表示拉斯反變換符號(hào)。第五頁(yè)第六頁(yè)，共89頁(yè)。3傳遞函數(shù)的特性（1）傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（或元件）的參數(shù)，與外部信號(hào)的大小和形式無(wú)關(guān)。（2）傳遞函數(shù)只能適用于線性定常系統(tǒng)（由拉斯變換的性質(zhì)可以得到，因?yàn)槔棺儞Q是一種線性變換）。（3）傳遞函數(shù)一般為復(fù)變量S的有理分式，它的分母多項(xiàng)式S的最高次數(shù)n高于分子多項(xiàng)式S的最高次數(shù)m，即。（4）由于傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因此它不能反映非零初始條件下的運(yùn)動(dòng)情況（即瞬態(tài)響應(yīng)）。（5）一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入與一個(gè)輸出之間的關(guān)系，對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，要用傳遞函數(shù)矩陣才能表達(dá)系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系。第六頁(yè)第七頁(yè)，共89頁(yè)。4傳遞函數(shù)的圖示方法將系統(tǒng)分為輸入、系統(tǒng)和輸出，則可以將整個(gè)系統(tǒng)用下圖來(lái)表示，在動(dòng)態(tài)分析中，如果已知其中的兩個(gè)部分，分析另一個(gè)部分，則形成了正問(wèn)題和反問(wèn)題。運(yùn)算關(guān)系：已知,求，稱(chēng)為動(dòng)態(tài)分析正問(wèn)題；已知，求，稱(chēng)為系統(tǒng)識(shí)別問(wèn)題；已知，求，稱(chēng)為環(huán)境預(yù)測(cè)問(wèn)題。

第七頁(yè)第八頁(yè)，共89頁(yè)。4.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1比例環(huán)節(jié)凡輸出量正比于輸入量，其特點(diǎn)是輸出不失真也不延遲而按比例反映輸入的環(huán)節(jié)，稱(chēng)為比例環(huán)節(jié)，其廣義動(dòng)力學(xué)方程為：

K為環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益，其傳遞函數(shù)為：

第八頁(yè)第九頁(yè)，共89頁(yè)?？疾煲粋€(gè)不計(jì)質(zhì)量的杠桿的力學(xué)性能（力學(xué)杠桿原理就是一個(gè)比例環(huán)節(jié)，其比例系數(shù)是動(dòng)力臂與阻力臂的比值）。這里是力的放大系數(shù)。

因?yàn)檫@里不考慮質(zhì)量，所以系統(tǒng)不會(huì)因?yàn)橛袘T性而產(chǎn)生延遲現(xiàn)象。第九頁(yè)第十頁(yè)，共89頁(yè)。2慣性環(huán)節(jié)（一階慣性環(huán)節(jié)）分析RC串聯(lián)電路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，以作為電路中電容器上的電荷，為電壓，則關(guān)于電荷的變化滿足的動(dòng)態(tài)方程為：

在機(jī)械系統(tǒng)中，如圖所示不考慮AB桿的質(zhì)量情況下，設(shè)為系統(tǒng)的輸入力，為系統(tǒng)的輸出位移。對(duì)應(yīng)的機(jī)械系統(tǒng)的微分方程為：第十頁(yè)第十一頁(yè)，共89頁(yè)。上述系統(tǒng)我們稱(chēng)為一階系統(tǒng)，一階系統(tǒng)最一般的形式可以表示為:對(duì)上圖所示的機(jī)械系統(tǒng)，其標(biāo)準(zhǔn)式為：

時(shí)間常數(shù)為，靈敏度為，其物理含義是系統(tǒng)在靜止?fàn)顟B(tài)下的靜變形。為分析方便，令，以這種歸一化系統(tǒng)為研究模型，即：第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共89頁(yè)。3微分環(huán)節(jié)凡是系統(tǒng)的輸出正比例于系統(tǒng)輸入的微分，即：

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

其中T稱(chēng)為微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，一般情況下微分環(huán)節(jié)在實(shí)際中不可能單獨(dú)存在。在實(shí)際應(yīng)用中，常將微分環(huán)節(jié)與其他環(huán)節(jié)聯(lián)合使用。第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共89頁(yè)。4積分環(huán)節(jié)該環(huán)節(jié)的輸出等于系統(tǒng)的輸入量對(duì)時(shí)間的積分成正比，即：這里k為常數(shù)，對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為：第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共89頁(yè)。5震蕩環(huán)節(jié)（或稱(chēng)二階振蕩環(huán)節(jié)）典型的震蕩環(huán)節(jié)通常使用LRC串聯(lián)諧振電路來(lái)表示，設(shè)u為系統(tǒng)的輸入電壓，uc為電容兩端的電壓，則根據(jù)電路方程有：第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共89頁(yè)。將后兩式代入電壓方程中，則有：令：，第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共89頁(yè)。這個(gè)系統(tǒng)的特點(diǎn)是給定系統(tǒng)一個(gè)階躍輸入時(shí)，在小阻尼情況下，系統(tǒng)的輸出呈現(xiàn)出振蕩形式，它的標(biāo)準(zhǔn)形式動(dòng)態(tài)方程為：例如：?jiǎn)巫杂啥葟椈少|(zhì)量模型是我們經(jīng)常見(jiàn)到的典型模型，其動(dòng)力學(xué)方程為：標(biāo)準(zhǔn)形式：

可以對(duì)比電學(xué)方程和力學(xué)方程，其數(shù)學(xué)模型是等價(jià)的。第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共89頁(yè)。4.3傳遞函數(shù)的其他形式1傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式其中K稱(chēng)為增益，稱(chēng)為系統(tǒng)的零點(diǎn)，稱(chēng)為系統(tǒng)的極點(diǎn)。極點(diǎn)就是分母多項(xiàng)式等于零的根，不難看出傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的微分方程的特征根。傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能有影響，極點(diǎn)的數(shù)目必須要大于或等于零點(diǎn)的數(shù)目，或者說(shuō)，分母的方次要大于等于分子的方次。（對(duì)于分子方次大于等于分母方次的時(shí)候，通常要轉(zhuǎn)換成余項(xiàng)研究）第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共89頁(yè)。例4-1設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：，計(jì)算單自由度彈簧質(zhì)量的傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)模型。解：其中為固有頻率，為阻尼比將因式分解可以得到系統(tǒng)的極點(diǎn)，在這里，系統(tǒng)的極點(diǎn)就是動(dòng)力系統(tǒng)的特征根：第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共89頁(yè)。對(duì)于單自由度系統(tǒng)而言，系統(tǒng)的極點(diǎn)是固有頻率P和阻尼比的函數(shù)當(dāng)時(shí)，極點(diǎn)是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，即：當(dāng)時(shí)，沿單位圓上的點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)，同時(shí)沿單位圓上的點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)，由此可見(jiàn)：在小阻尼情況下，傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的復(fù)頻率函數(shù)。第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共89頁(yè)。當(dāng)時(shí)，、在同一B點(diǎn)處，說(shuō)明此時(shí)兩極點(diǎn)為相同的負(fù)實(shí)數(shù)。當(dāng)時(shí)，兩個(gè)極點(diǎn)在實(shí)數(shù)軸上沿反方向運(yùn)動(dòng)。第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共89頁(yè)。例4-2如圖所示系統(tǒng)，已知,,,。試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：對(duì)上兩式取拉斯變換以上兩式消去變量第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共89頁(yè)。2傳遞函數(shù)的留數(shù)形式

我們還可以將傳遞函數(shù)：

寫(xiě)成：

為系統(tǒng)的極點(diǎn)并假定無(wú)重根情況；為系統(tǒng)的留數(shù)。可以證明：各個(gè)留數(shù)可以通過(guò)下式求出：第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共89頁(yè)。例4-3某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：將系統(tǒng)模型寫(xiě)成零極點(diǎn)增益模型。解：系統(tǒng)的零點(diǎn)：極點(diǎn)：增益：寫(xiě)成留數(shù)形式，則有：

第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共89頁(yè)。同理：

則系統(tǒng)的留數(shù)為：傳遞函數(shù)的留數(shù)形式為：第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共89頁(yè)。例4-4已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

將系統(tǒng)模型寫(xiě)成零極點(diǎn)增益模型：解：零極點(diǎn)模型系統(tǒng)的留數(shù)模型：第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共89頁(yè)。3傳遞函數(shù)的并聯(lián)、串聯(lián)與反饋鏈接形式

1）串聯(lián)形式：設(shè)有兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為：和，將兩個(gè)系統(tǒng)串聯(lián)，分析兩個(gè)系統(tǒng)串聯(lián)后的總系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因?yàn)榧碒1H2H第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共89頁(yè)。結(jié)論：當(dāng)兩個(gè)線性系統(tǒng)模型串聯(lián)時(shí)，其等效系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于串聯(lián)系統(tǒng)中兩傳遞函數(shù)的乘積，即：推廣到n個(gè)系統(tǒng)串聯(lián)：

或

注意這里假定極點(diǎn)比零點(diǎn)數(shù)目大1,根據(jù)這個(gè)表達(dá)式我們可以將一個(gè)高次傳遞函數(shù)分成一系列簡(jiǎn)單一次傳遞函式的串聯(lián)形式。第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共89頁(yè)。例4-5設(shè)有兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為：

試求串聯(lián)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共89頁(yè)。2）并聯(lián)形式：設(shè)有兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為：和，將兩個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)，分析兩個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)后的總系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因其中則H（s）第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共89頁(yè)。結(jié)論：當(dāng)兩個(gè)線性系統(tǒng)模型并聯(lián)時(shí)，其等效系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于并聯(lián)系統(tǒng)中兩傳遞函數(shù)的和，即：推廣到n個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)：或根據(jù)這個(gè)表達(dá)式我們可以將一個(gè)高次傳遞函數(shù)分成一系列簡(jiǎn)單一次傳遞函式的并聯(lián)形式，這是留數(shù)形式傳遞函數(shù)的帶來(lái)的優(yōu)點(diǎn)之一。第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共89頁(yè)。例4-6設(shè)有兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為：求以上兩個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)后的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共89頁(yè)。

3）反饋連接在控制領(lǐng)域中，常常需要根據(jù)系統(tǒng)的輸出與系統(tǒng)的輸入信息相比較后，再將這個(gè)新的信息作為系統(tǒng)的輸入，使系統(tǒng)達(dá)到某種預(yù)期的需要，這種系統(tǒng)稱(chēng)為反饋系統(tǒng)。在下圖中，設(shè)是反饋元件的傳遞函數(shù)，這樣就構(gòu)成了反饋系統(tǒng)。傳遞函數(shù)用表示。C(s)第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共89頁(yè)。根據(jù)信號(hào)的流向，有：又即：

得等效傳遞函數(shù)為：如果是正反饋系統(tǒng)，則有：第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共89頁(yè)。4系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)

在動(dòng)力學(xué)控制領(lǐng)域中，經(jīng)常要分析不同支路之間的傳遞函數(shù)情況，第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共89頁(yè)。如圖所示的反饋系統(tǒng)中，輸入信號(hào)與反饋信號(hào)的差值我們稱(chēng)為誤差信號(hào)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)用表示，系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示為，反饋元件的傳遞函數(shù)表示為。通常在帶有反饋系統(tǒng)中，我們定義：（a）前饋傳遞函數(shù)：是系統(tǒng)的主要傳遞函數(shù)。（b）反饋傳遞函數(shù)：它將輸出信息通過(guò)傳遞函數(shù)返回到系統(tǒng)。第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共89頁(yè)。（c）開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：反饋信號(hào)與誤差信號(hào)的比稱(chēng)為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，即：在圖中由于有：，則系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：在此我們可以看到，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相當(dāng)于系統(tǒng)傳遞函數(shù)與反饋傳遞函數(shù)串聯(lián)形式，而串聯(lián)形式的傳遞函數(shù)等于。第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共89頁(yè)。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)也可以理解為系統(tǒng)回路的相加點(diǎn)斷開(kāi)后，以作為系統(tǒng)的輸入，經(jīng)前饋傳遞函數(shù)，反饋傳遞函數(shù)而產(chǎn)生的輸出，此時(shí)的輸出與輸入的比值可以認(rèn)為是一個(gè)無(wú)反饋的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，由于與在相加點(diǎn)的量綱相同。所以，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是無(wú)量綱的，這個(gè)情況是十分重要的。第三十七頁(yè)第三十八頁(yè)，共89頁(yè)。（d）閉環(huán)傳遞函數(shù)：輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的比稱(chēng)為閉環(huán)傳遞函數(shù)，即：由于：則有：得：最后的系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：第三十八頁(yè)第三十九頁(yè)，共89頁(yè)。（e）誤差傳遞函數(shù)：由于，代入閉環(huán)傳遞函數(shù)：則誤差傳遞函數(shù)為：對(duì)照前面講述的串并聯(lián)的基本知識(shí)可知，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)是將系統(tǒng)傳遞函數(shù)與反饋傳遞函數(shù)并聯(lián)后的總傳遞函數(shù)。第三十九頁(yè)第四十頁(yè)，共89頁(yè)。閉環(huán)系統(tǒng)的量綱取決于輸入和輸出的量綱，兩者的量綱可以相同也可以不相同。有時(shí)候可以將系統(tǒng)內(nèi)部分成幾個(gè)相對(duì)獨(dú)立部分，然后再連接成一定形式，所以系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)是針對(duì)某個(gè)固定系統(tǒng)而言的。第四十頁(yè)第四十一頁(yè)，共89頁(yè)。例如:對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

如果要把它構(gòu)造成單位反饋傳遞函數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)來(lái)等表示，則有：其中開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：相當(dāng)于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,反饋傳遞函數(shù)等于根據(jù)連接框圖可以得到系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：第四十一頁(yè)第四十二頁(yè)，共89頁(yè)。階段小結(jié)：1傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)，一階延遲環(huán)節(jié)。二階震蕩環(huán)節(jié)）2傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)增益模型、留數(shù)模型、并聯(lián)模型（簡(jiǎn)化），串聯(lián)模型（簡(jiǎn)化），反饋模型（正反饋、負(fù)反饋）3控制系統(tǒng)的：前饋傳遞函數(shù)、反饋傳遞函數(shù)、誤差傳遞函數(shù)、開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，閉環(huán)傳遞函數(shù)。第四十二頁(yè)第四十三頁(yè)，共89頁(yè)。例4-7簡(jiǎn)化下圖所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)解：這是一個(gè)無(wú)交叉多回路結(jié)構(gòu)圖，具有并、串聯(lián)，局部反饋，主反饋系統(tǒng)。首先將并聯(lián)和局部反饋簡(jiǎn)化如圖（b）所示,再將串聯(lián)簡(jiǎn)化如圖（c）所示。第四十三頁(yè)第四十四頁(yè)，共89頁(yè)。容易得到前饋傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:第四十四頁(yè)第四十五頁(yè)，共89頁(yè)。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:誤差傳遞函數(shù)為:第四十五頁(yè)第四十六頁(yè)，共89頁(yè)。4.4多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型

設(shè)n自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程如下：對(duì)上式求拉斯變換，可以得：即：令：則有：為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣,由此可見(jiàn)，多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的專(zhuān)遞函數(shù)是一個(gè)矩陣形式，矩陣的維數(shù)等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。第四十六頁(yè)第四十七頁(yè)，共89頁(yè)。例題4-8如圖所示兩自由度系統(tǒng)，試建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)并建立基于傳遞函數(shù)的simulink仿真模型。第四十七頁(yè)第四十八頁(yè)，共89頁(yè)。解：可以簡(jiǎn)化為：第四十八頁(yè)第四十九頁(yè)，共89頁(yè)。其中：可見(jiàn)，在多自由度系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)是一個(gè)矩陣形式，且矩陣的維數(shù)等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。

一般情況下，傳遞矩陣是對(duì)稱(chēng)的?？梢酝ㄟ^(guò)單點(diǎn)激勵(lì)，單點(diǎn)拾振的方法得到相應(yīng)的傳遞函數(shù)陣的各個(gè)元數(shù)。例如在第一點(diǎn)激勵(lì)，第二點(diǎn)拾振，有。同理可以得到其它各個(gè)傳遞函數(shù)。第四十九頁(yè)第五十頁(yè)，共89頁(yè)。

第五十頁(yè)第五十一頁(yè)，共89頁(yè)。當(dāng)不計(jì)阻尼時(shí)：第五十一頁(yè)第五十二頁(yè)，共89頁(yè)。當(dāng)給定系統(tǒng)的各個(gè)物理參數(shù)后，不難得到系統(tǒng)的仿真模型框圖。由于系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性有，

作用在第一個(gè)自由度上的激勵(lì)引起第二個(gè)自由度的響應(yīng)等于相同的激勵(lì)作用在第二個(gè)自由度引起第一個(gè)自由度的響應(yīng)。還可進(jìn)一步可以寫(xiě)成傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)模型。第五十二頁(yè)第五十三頁(yè)，共89頁(yè)。

求多自由度線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的模態(tài)分析方法

可以采用模態(tài)分析法，給出更一般的傳遞函數(shù)矩陣。設(shè)物理空間下的振動(dòng)方程為：，假定系統(tǒng)可以用實(shí)模態(tài)矩陣，利用坐標(biāo)變換，則模態(tài)坐標(biāo)方程為：這里是第i階陣型列向量。對(duì)第i階模態(tài)方程兩邊取傅氏變換，則得：

第五十三頁(yè)第五十四頁(yè)，共89頁(yè)。模態(tài)坐標(biāo)下的傳遞函數(shù)為：再根據(jù)坐標(biāo)變換，則物理空間中的響應(yīng)為：可以根據(jù)單點(diǎn)激勵(lì)和單點(diǎn)拾振來(lái)得到傳遞矩陣中的各個(gè)元素，設(shè)在j點(diǎn)激勵(lì)，i點(diǎn)拾振，則有：易得傳遞矩陣各個(gè)元素第五十四頁(yè)第五十五頁(yè)，共89頁(yè)。例題用模態(tài)分析法試求如下系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，，

第五十五頁(yè)第五十六頁(yè)，共89頁(yè)。解：易得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：時(shí)，可以得到系統(tǒng)的固有頻率為：振型矩陣為：取線性變換為：

或：模態(tài)質(zhì)量矩陣模態(tài)阻尼陣;

模態(tài)剛度矩陣

第五十六頁(yè)第五十七頁(yè)，共89頁(yè)。分別采取單點(diǎn)激勵(lì)，單點(diǎn)拾振方法，可以得到原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：第五十七頁(yè)第五十八頁(yè)，共89頁(yè)。Sin(t)Sin(2t)第五十八頁(yè)第五十九頁(yè)，共89頁(yè)。4.5傳遞函數(shù)模型的Simulink仿真模型建立1與傳遞函數(shù)相關(guān)的運(yùn)算指令MATLAB提供了有關(guān)傳遞函數(shù)運(yùn)算的使用命令（1）串聯(lián)命令例如有兩個(gè)模型求兩個(gè)模型串聯(lián)后的總模型。第五十九頁(yè)第六十頁(yè)，共89頁(yè)。腳本文件：h1=tf([1,2],[1,1,10]);%傳遞函數(shù)1，h2=tf([2],[1,3]);%傳遞函數(shù)2h=series(h1,h2)%求傳遞函數(shù)1和傳遞函數(shù)2串聯(lián)后的傳遞函數(shù)。運(yùn)行結(jié)果如下>>Transferfunction:2s+4-----------------------s^3+4s^2+13s+30第六十頁(yè)第六十一頁(yè)，共89頁(yè)。（2）并聯(lián)命令例如：對(duì)以上兩個(gè)模型求并聯(lián)后的模型。腳本文件：h1=tf([1,2],[1,1,10]);%傳遞函數(shù)1h2=tf([2],[1,3]);%傳遞函數(shù)2h=parallel(h1,h2)%求傳遞函數(shù)1和傳遞函數(shù)2并聯(lián)后的傳遞函數(shù)。運(yùn)行結(jié)果如下>>Transferfunction:3s^2+7s+26-----------------------s^3+4s^2+13s+30第六十一頁(yè)第六十二頁(yè)，共89頁(yè)。（3）反饋連接命令這里sign是反饋鏈接符號(hào)，負(fù)反饋時(shí)，正反饋時(shí)為前饋傳遞函數(shù)，為反饋回路傳遞函數(shù)。例如對(duì)于上例給出的模型求負(fù)反饋的總模型。第六十二頁(yè)第六十三頁(yè)，共89頁(yè)。腳本文件：

h1=tf([1,2],[1,1,10]);%傳遞函數(shù)1h2=tf([2],[1,3]);%傳遞函數(shù)2h=feedback(h1,h2,-1)%求前饋傳遞傳遞函數(shù)1和反饋傳遞函數(shù)2在負(fù)反饋狀態(tài)下的總模型。運(yùn)行結(jié)果ransferfunction:s^2+5s+6-----------------------s^3+4s^2+15s+34第六十三頁(yè)第六十四頁(yè)，共89頁(yè)。單位反饋：如果反饋傳遞函數(shù)為1（對(duì)應(yīng)于單位反饋系統(tǒng)），cloop函數(shù)實(shí)現(xiàn)。命令格式為：[numc,denc]=cloop(num,den,sign)sign為可選參數(shù)，sign=-1為負(fù)反饋，而sign=1對(duì)應(yīng)為正反饋，缺省值為負(fù)反饋。例如[num,den]=cloop([12],[1110],-1)printsys(num,den)%%顯示傳遞函數(shù)顯示結(jié)果num/den=s+2--------------s^2+2s+12第六十四頁(yè)第六十五頁(yè)，共89頁(yè)。（4）零極點(diǎn)增益模型命令例如：求傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)增益模型。腳本文件：h1=tf([1,3,1],[1,2,5,10]);%傳遞函數(shù)1h=zpk(h1)%傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)增益模型

>>

運(yùn)行結(jié)果:Zero/pole/gain:

第六十五頁(yè)第六十六頁(yè)，共89頁(yè)。（5）留數(shù)極點(diǎn)增益模型命令腳本文件：numG=[131];%傳遞函數(shù)分子denG=[12510];%傳遞函數(shù)分母G=tf(numG,denG);%形成傳遞函數(shù)形式[zG,pG,kG]=zpkdata(G,'v')%求傳遞函數(shù)的零極增益模型，“v‘表示返回?cái)?shù)據(jù)向量[r,p,k]=residue(numG,denG)%求傳遞函數(shù)的留數(shù)顯示結(jié)果：>>Transferfunction:第六十六頁(yè)第六十七頁(yè)，共89頁(yè)。零點(diǎn)：zG=-2.6180-0.3820

極點(diǎn)pG=

-2.0000-0.0000+2.2361i-0.0000-2.2361i

增益kG=1第六十七頁(yè)第六十八頁(yè)，共89頁(yè)。

留數(shù)r=0.5556-0.1739i0.5556+0.1739i-0.1111

極點(diǎn)p=-0.0000+2.2361i-0.0000-2.2361i-2.0000

增益k=[]第六十八頁(yè)第六十九頁(yè)，共89頁(yè)。即：零極點(diǎn)模型系統(tǒng)的留數(shù)模型

第六十九頁(yè)第七十頁(yè)，共89頁(yè)。下面再看一個(gè)稍微復(fù)雜點(diǎn)的一個(gè)例題，系統(tǒng)連接方式如下圖，其中：第七十頁(yè)第七十一頁(yè)，共89頁(yè)。試求系統(tǒng)的總模型腳本文件：h1=tf([1],[1,10]);%傳遞函數(shù)1h2=tf([1],[1,1]);%傳遞函數(shù)2h3=tf([1,1],[1,4,4]);%傳遞函數(shù)3h4=tf([1,1],[1,6]);%傳遞函數(shù)4h5=tf([1,1],[1,2]);%傳遞函數(shù)1h6=2;%傳遞函數(shù)6h7=1;%傳遞函數(shù)7p1=minreal(h4*h5/(1-h4*h5*h6));%傳遞函數(shù)的最小實(shí)現(xiàn)（消去相同的零極點(diǎn)）。p2=minreal(h2*p1/(1-h2*p1*h3));

第七十一頁(yè)第七十二頁(yè)，共89頁(yè)。p3=feedback(h1*p2,h7,-1)%反饋系統(tǒng)（負(fù)反饋）。hz=zpk(p3)%零極點(diǎn)增益模型。運(yùn)行結(jié)果:>>Transferfunction:Zero/pole/gain:第七十二頁(yè)第七十三頁(yè)，共89頁(yè)。2

傳遞函數(shù)模型的Simulink仿真模型建立對(duì)于一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，除了使用以前講過(guò)的微分方程模型來(lái)建立仿真模型，還可以使用傳遞函數(shù)模型來(lái)建立仿真模型。例4-9設(shè)單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的數(shù)學(xué)微分方程為：，對(duì)上式兩端取拉斯變換，假設(shè)y的各階導(dǎo)數(shù)的初值均為零。則傳遞函數(shù)定義為：第七十三頁(yè)第七十四頁(yè)，共89頁(yè)。設(shè)：，，，即：在正弦激勵(lì)下，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的仿真模型框圖如下（為了對(duì)比結(jié)果，仿真框圖中附加了微分方程模型）觀察輸出圖線，得到了完全一樣的仿真結(jié)果。第七十四頁(yè)第七十五頁(yè)，共89頁(yè)。例4-10已知某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為計(jì)算系統(tǒng)在周期為5秒的方波信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)。解：建立SIMULINK仿真模型如下：第七十五頁(yè)第七十六頁(yè)，共89頁(yè)。在脈沖信號(hào)發(fā)生求器（PulseGenerator）參數(shù)設(shè)置為：周期（period）為5秒，脈沖寬度（pulsewidth）的百分比為50，輸入與輸出在同一個(gè)示波器中顯示如圖：第七十六頁(yè)第七十七頁(yè)，共89頁(yè)。例4-11對(duì)第二章例2-3所示系統(tǒng)，我們現(xiàn)在來(lái)分析其傳遞函數(shù)模型的Simulink仿真模型建立，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)建立如下：對(duì)此方程兩邊做拉普拉斯變換，得簡(jiǎn)寫(xiě)成第七