第三章動量和角動量課件

第三章動量與角動量（MomentumandAngularMomentum）1第三章動量與角動量（Momentumand力在時間上的積累效應：平動沖量動量的改變轉(zhuǎn)動沖量矩角動量的改變力在空間上的積累效應功改變能量

在有些問題中，如：碰撞（宏觀）、散射（微觀），我們往往只關心過程中力的效果——力對時間和空間的積累效應。牛頓定律是瞬時的規(guī)律。能量、動量和角動量是最基本的物理量。它們的守恒定律是自然界中的基本規(guī)律，適用范圍遠遠超出了牛頓力學。本章從牛頓力學出發(fā)給出動量和角動量的定義，推導這兩個守恒定律，并討論它們在牛頓力學中的應用。下一章討論能量。2力在時間上的積累效應：平動沖量動量的改變轉(zhuǎn)動沖量矩角動量的改二、動量定理牛頓第二定律

質(zhì)點的動量定理：一、沖量積分形式微分形式力的時間積累合外力的沖量方向和受力質(zhì)點的動量的增量方向一致

§3.1沖量與動量定理3二、動量定理牛頓第二定律質(zhì)點的動量定理：一、沖量積分形式微碰撞：兩個或兩個以上的物體相遇，且相互作用持續(xù)一個極短暫的時間。

特點物體間的相互作用是突發(fā)性，持續(xù)時間極短,內(nèi)力>>外力。作用力峰值極大，碰撞符合動量守恒定律。碰撞過程中物體會產(chǎn)生形變。直角坐標系:動量定理常用于碰撞過程4碰撞：兩個或兩個以上的物體相遇，且相互作用持續(xù)特點直角坐碰撞過程的平均沖擊力：t00tFmFIF不足以完全說明碰撞所可能引起的破壞性5碰撞過程的平均沖擊力：t00tFmFIF不足以完全說明碰撞所[例]已知：一籃球質(zhì)量m=0.58kg，從h=2.0m的高度下落，到達地面后，以同樣速率反彈，接觸地面時間

t=0.019s。求：籃球?qū)Φ氐钠骄鶝_力解：籃球到達地面的速率因打擊力很大，所以由碰撞引起的質(zhì)點的動量改變，基本上由打擊力的沖量決定。重力、阻力的沖量可以忽略。yv0v6[例]已知：一籃球質(zhì)量m=0.58kg，從h=2.0m的例3.2

質(zhì)量m=140g的壘球以速率v=40m/s沿水平方向飛向擊球手，被擊后以相同速率沿q=60°的仰角飛出。求棒對壘球的平均打擊力。設棒和球的接觸時間為

t=1.2ms。60ov2v17例3.2質(zhì)量m=140g的壘球以速率v=40m/smv160omv2mg

t打擊力沖量F

t

F

t合力沖量8mv160omv2mgt打擊力沖量FtFt合力平均打擊力約為壘球自重的5900倍！在碰撞過程中，物體之間的碰撞沖力是很大的。F

tmv160omv230om=140ga=30°9平均打擊力約為壘球自重的5900倍！在碰撞過程中，物體之間的2005年7月4日，美國發(fā)射的“深度撞擊”號探測器攜帶的重372千克的銅頭“炮彈”，將以每小時3.7萬公里的速度與坦普爾一號彗星（TEMPEL1）的彗核相撞?！芭谵Z”彗星據(jù)推算，撞擊的強度相當于4.5噸TNT炸藥造成的巨大爆炸，它將會在彗核表面撞出一個約有足球場大小和14層樓深的凹洞。而撞擊濺射出的大量彗星塵埃和氣體又將使坦普爾一號彗星熠熠生輝，人們有可能通過小型天文望遠鏡目睹這一史無前例的奇異天象。102005年7月4日，美國發(fā)射的“深度撞擊”號探測器攜帶的重科學家認為，彗星含有太陽系形成早期的冰凍殘留物。他們希望深入彗星內(nèi)部的研究將使他們能夠了解太陽系形成早期40多億年前的情況，并加深對太陽系起源的進一步了解。天文學家們將組織一場國際規(guī)模的觀測，以期盡可能多地收集這次撞擊的情況。美國宇航局還計劃調(diào)整哈勃、斯皮策和錢德拉太空望遠鏡，在撞擊時和撞擊后鎖定“坦普爾一號”進行觀測。美國科學家一再強調(diào)，這次撞擊不會摧毀彗星或使彗星偏離其運行軌道進而撞擊地球。11科學家認為，彗星含有太陽系形成早期的冰凍殘留物。他們希望深入1、兩個質(zhì)點的系統(tǒng)質(zhì)點系（內(nèi)力、外力）一、質(zhì)點系的動量定理內(nèi)力：外力：

§3.2動量守恒定律121、兩個質(zhì)點的系統(tǒng)質(zhì)點系（內(nèi)力、外力）一、質(zhì)點系的動量定13132、n個質(zhì)點的系統(tǒng)由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，所以內(nèi)力矢量和為零。以F和P表示系統(tǒng)的合外力和總動量，上式可寫為：即:形式同單質(zhì)點的動量定理。注意:內(nèi)力可傳遞、可改變各質(zhì)點的動量，但不改變系統(tǒng)的總動量。142、n個質(zhì)點的系統(tǒng)以F和P表示系統(tǒng)的合外力和總動量，上式可積分形式微分形式3、質(zhì)點系的動量定理用質(zhì)點系動量定理處理問題可避開內(nèi)力。系統(tǒng)總動量由外力的沖量決定，與內(nèi)力無關。15積分形式微分形式3、質(zhì)點系的動量定理用質(zhì)點系動量定理處理問一個質(zhì)點系所受的合外力為零時，這一質(zhì)點系的總動量就保持不變。1、動量守恒定律二、動量守恒定律16一個質(zhì)點系所受的合外力為零時，這一質(zhì)點系的總動量就保持不變。2、分量形式

當某個方向系統(tǒng)所受的合外力為零時，則在該方向上系統(tǒng)的動量守恒，即有172、分量形式當某個方向系統(tǒng)所受的合外力為零時，則在該方向上3、動量守恒定律是牛頓第三定律的必然推論。動量定理及動量守恒定律只適用于慣性系。動量若在某一慣性系中守恒，則在其它一切慣性系中均守恒。1、當外力<<內(nèi)力，且作用時間極短時（如碰撞），可認為動量近似守恒。幾點說明：2、若某個方向上合外力為零，則該方向上動量守恒，盡管總動量可能并不守恒。4、動量守恒定律是比牛頓定律更普遍、更基本的定律,它在宏觀和微觀領域均適用。5、用守恒定律作題，應注意分析過程、系統(tǒng)和條件。183、動量守恒定律是牛頓第三定律的必然推論。動量1、當外力<例：設炮車以仰角發(fā)射一炮彈，炮車和炮彈的質(zhì)量分別為M和m，炮彈的出口速度的大小為v，求炮車的反沖速度V，炮車與地面之間摩擦力略去不計。

解:把炮車和炮彈看成一個系統(tǒng).發(fā)射前系統(tǒng)在豎直方向受外力：重力，地面的支持力.19例：設炮車以仰角發(fā)射一炮彈，炮車和炮彈的質(zhì)量分別為M和m，炮在發(fā)射過程中垂直方向系統(tǒng)的動量是不守恒的（為什么？）.忽略炮車與地面之間的摩擦力，則系統(tǒng)所受外力在水平方向的分量為零，炮彈與炮車間的作用力屬系統(tǒng)內(nèi)力，因而系統(tǒng)沿水平方向的分動量守恒。20在發(fā)射過程中垂直方向系統(tǒng)的動量是不守恒的（為什么？）.忽略炮系統(tǒng)水平方向動量守恒得炮車的反沖速度為

取炮彈前進時的水平方向為x軸正方向，那么炮彈出口速度（即炮彈相對于炮車的速度）沿x軸的分量是，炮車沿x軸的速度分量為。動量守恒定律中的各動量必須是對同一參考系而言的，設炮彈相對于地面的速度為，其水平分量為21系統(tǒng)水平方向動量守恒得炮車的反沖速度為取炮彈前進時的水平方

例2一個靜止的物體炸裂成三塊。其中兩塊具有相等的質(zhì)量，且以相同的速率30m／s沿相互垂直的方向飛開，第三塊的質(zhì)量恰好等于這兩塊質(zhì)量的總和，試求第三塊的速度（大小和方向）。解:將此三碎塊作為一系統(tǒng)，爆炸時火藥的作用力為系統(tǒng)的內(nèi)力，且爆炸力遠大于重力，故爆炸前后系統(tǒng)的動量守恒。物體的動量原等于零，故有或22例2一個靜止的物體炸裂成三塊。其中兩塊具有相等的質(zhì)量，因由圖中矢量關系可知求得大小為圖中θ角為三者在同一平面內(nèi)。且間的夾角為

23因求得大小為圖中θ角為三者在同一平面內(nèi)。且例3、一炮彈發(fā)射后在其運行軌道上的最高點h＝19.6m處炸裂成質(zhì)量相等的兩塊。其中一塊在爆炸后1秒鐘落到爆炸點正下方的地面上，設此處與發(fā)射點的距離S1＝1000米,問另一塊落地點與發(fā)射點的距離是多少？（空氣阻力不計，g=9.8m/s2)v2yhxv1解：先求出爆炸點處水平方向上的初速度vx24例3、一炮彈發(fā)射后在其運行軌道上的最高點h＝19.6m處炸裂爆炸中系統(tǒng)動量守恒v2yhxv1爆炸點處豎直方向上的初速度vy為零25爆炸中系統(tǒng)動量守恒v2yhxv1爆炸點處豎直方向上的初速度v第二塊作斜拋運動落地時，y2=0所以t2=4s(t’2＝－1s舍去）x2=5000mmv1/2mv2/2mvx26第二塊作斜拋運動落地時，y2=0所以t2=4smv1/22727

▲粘附—主體的質(zhì)量增加（如滾雪球）

▲拋射—主體的質(zhì)量減少（如火箭發(fā)射）低速（v

<<c）情況下的兩類變質(zhì)量問題：下面僅以火箭飛行為例，討論變質(zhì)量問題。

還有另一類變質(zhì)量問題：在高速（v

c）情況下，這時即使沒有粘附和拋射，質(zhì)量也可以隨速度改變—m=m(v)，

§3.3火箭飛行原理28▲粘附—主體的質(zhì)量增加（如滾雪球）低速（v<<條件：燃料相對箭體以恒速u噴出初態(tài)：系統(tǒng)質(zhì)量M，速度v(對地)，動量Mv火箭不受外力情形（在自由空間飛行）一、火箭的速度系統(tǒng)：火箭殼體+尚存燃料總體過程：i(點火)

f(燃料燒盡)先分析一微過程：

t

t+dtvu29條件：燃料相對箭體以恒速u噴出初態(tài)：系統(tǒng)質(zhì)量M，速度v時刻時刻：dm相對火箭體噴射速度，定值。末態(tài)：噴出燃料后噴出燃料的質(zhì)量：dm=-dM，噴出燃料速度(對地)：v-u30時刻時刻：dm相對火箭體噴射速度，定值。末態(tài)：噴出燃料后噴出火箭殼體+尚存燃料的質(zhì)量：M-dm系統(tǒng)動量：

(M-dm)(v

+dv)+

-dM(v

-u)

火箭殼體+尚存燃料的速度(對地)：v

+dv由動量守恒，有

Mv

=-dM(v

-u)+(M-dm)(v

+dv

)經(jīng)整理得：Mdv

=-udM速度公式：31火箭殼體+尚存燃料的質(zhì)量：M-dm系統(tǒng)動量：(M引入火箭質(zhì)量比：得討論：提高vf的途徑(1)提高u（現(xiàn)可達u=4.1km/s）

(2)增大N（受一定限制）為提高N，采用多級火箭（一般為三級）v

=u1lnN1+u2lnN2+u3lnN3

資料：長征三號（三級大型運載火箭）全長：43.25m，最大直徑：3.35m，起飛質(zhì)量：202噸，起飛推力：280噸力。32引入火箭質(zhì)量比：得討論：提高vf的途徑為提高N，采用多級t+dt時刻：速度v-u，動量dm(v-u)由動量定理，dt內(nèi)噴出氣體所受沖量二、火箭所受的反推力研究對象：噴出氣體dmt時刻：速度v(和主體速度相同)，動量vdmF箭對氣dt=dm(v-u)–vdm=-F氣對箭dt由此得火箭所受燃氣的反推力為33t+dt時刻：速度v-u，動量dm(v-u一、質(zhì)心的概念水平上拋三角板運動員跳水投擲手榴彈為便于研究質(zhì)點系總體運動，引入質(zhì)心概念。

§3.4質(zhì)心34一、質(zhì)心的概念水平上拋三角板運動員跳二、質(zhì)心位置的確定質(zhì)心代表質(zhì)點系質(zhì)量分布的平均位置，可以代表質(zhì)點系的平動，是相對于質(zhì)點系本身的一個特定位置。rc×C······mi·y·rixz0定義質(zhì)心C的位矢為：表達式各分量35二、質(zhì)心位置的確定質(zhì)心代表質(zhì)點系質(zhì)量分布的平均位置，可以代表質(zhì)量連續(xù)分布物體的質(zhì)心×rrcdmC0mzxy直角坐標系各分量36質(zhì)量連續(xù)分布物體的質(zhì)心×rrcdmC0mzxy直角坐標系說明:1、物體(平均意義上)的質(zhì)量分布中心，與物體質(zhì)量分布有關，與參考系無關;2、區(qū)別于重心(重力合力的作用點)，均勻場中較小物體，兩者重合;3、均勻分布的物體其質(zhì)心在幾何中心；4、質(zhì)心處不一定有質(zhì)量；5、具有可加性計算時可分解37說明:1、物體(平均意義上)的質(zhì)量分布中心，與物體質(zhì)量37●“小線度”物體的質(zhì)心和重心是重合的。●均勻桿、圓盤、圓環(huán)、球，質(zhì)心為其幾何中心。三、幾種系統(tǒng)的質(zhì)心●兩質(zhì)點系統(tǒng)m2m1··×r1r2Cm1r1=m2r238●“小線度”物體的質(zhì)心和重心是重合的?！窬鶆驐U、圓盤、圓環(huán)例3.9:一段均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓形，求此半圓形鐵絲的質(zhì)心。解：選如圖坐標系，取長為dl的鐵絲，質(zhì)量為dm，以rl表示線密度，dm=rl

dl，由對稱性知質(zhì)心應在y軸。注意：質(zhì)心不在鐵絲上。

39例3.9:一段均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓形，求此例：求腰長為a的等腰直角三角形均勻薄板的質(zhì)心位置。解:建立如圖的坐標系，顯然由對稱性,yc=0.在離原點處取寬為dx的窄條，其質(zhì)量為dm,質(zhì)心坐標為40例：求腰長為a的等腰直角三角形均勻薄板的質(zhì)心位置。解:建立如例：求挖掉小圓盤后系統(tǒng)的質(zhì)心坐標。(作業(yè))解：由對稱性分析，質(zhì)心C應在x軸上。令s為圓盤的面密度，則質(zhì)心坐標為：RCxCO″rO′rddxyO均質(zhì)圓盤挖空

·41例：求挖掉小圓盤后系統(tǒng)的質(zhì)心坐標。(作業(yè))解：由對稱性分析，

§3.5質(zhì)心運動定理一、質(zhì)心速度與質(zhì)點系的總動量結(jié)論：系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的動量的矢量和等于系統(tǒng)質(zhì)心的速度與系統(tǒng)質(zhì)量的乘積。質(zhì)點系總動量42§3.5質(zhì)心運動定理一、質(zhì)心速度與質(zhì)點系的總二、質(zhì)心運動定理

質(zhì)心運動定律：作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)的總質(zhì)量與系統(tǒng)質(zhì)心加速度的乘積。質(zhì)心運動定理43二、質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定律：作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)質(zhì)心的運動如同一個在質(zhì)心位置處的質(zhì)點的運動，該質(zhì)點集中了整個質(zhì)點系的質(zhì)量和所受的外力。在質(zhì)點力學中所謂“物體”的運動，實際上是物體質(zhì)心的運動。說明合外力直接主導質(zhì)點系的平動而質(zhì)量中心最有資格代表質(zhì)點系的平動只要外力確定，不管作用點怎樣，質(zhì)心的加速度就確定，質(zhì)心的運動軌跡就確定，即質(zhì)點系的平動就確定。44質(zhì)心的運動如同一個在質(zhì)心位置處的質(zhì)點的運動，該質(zhì)點集中了整個系統(tǒng)內(nèi)力不會影響質(zhì)心的運動，例如：在光滑水平面上滑動的扳手，其質(zhì)心做勻速直線運動;做跳馬落地動作的運動員盡管在翻轉(zhuǎn)，但其質(zhì)心仍做拋物線運動爆炸的焰火彈雖然碎片四散，但其質(zhì)心仍在做拋物線運動45系統(tǒng)內(nèi)力不會影響質(zhì)心的運動，例如：在光滑水平面上滑動的扳手，三、質(zhì)心速度不變就是動量守恒質(zhì)點系動量守恒和質(zhì)心勻速運動等價！若合外力為零，質(zhì)點系動量守恒則若合外力分量為0，質(zhì)點系分動量守恒則相應的質(zhì)心分速度不變46三、質(zhì)心速度不變就是動量守恒質(zhì)點系動量守恒和質(zhì)心勻速運動等價△（自學）質(zhì)心參考系

c質(zhì)心討論天體運動及碰撞等問題時常用到質(zhì)心系。質(zhì)心系是固結(jié)在質(zhì)心上的平動參考系。質(zhì)點系的復雜運動通?？煞纸鉃椋嘿|(zhì)點系整體隨質(zhì)心的運動；各質(zhì)點相對于質(zhì)心的運動——在質(zhì)心系中考察質(zhì)點系的運動。47△（自學）質(zhì)心參考系c質(zhì)心討論天體運動及碰撞等問題時常用到分析力學問題時，利用質(zhì)心系是方便的。質(zhì)心系的基本特征m1v10

m2v20

··m1v1

m2v2

質(zhì)心系中看兩粒子碰撞兩質(zhì)點系統(tǒng)在其質(zhì)心系中，總是具有等值、反向的動量。質(zhì)心系是零動量系48分析力學問題時，利用質(zhì)心系是方便的。質(zhì)心系的基本特征m1v1拉力紙·C×球往哪邊移動？思考49拉力紙·C×球往哪邊移動？思考49例:質(zhì)量為m1和m2的兩個小孩，在光滑水平冰面上用繩彼此拉對方。開始時靜止，相距為l。問他們將在何處相遇？解:把兩個小孩和繩看作一個系統(tǒng)，水平方向不受外力，水平方向動量守恒。建立如圖坐標系，以兩個小孩連線中點為原點，設開始時他們的坐標分別為x10、x20，任一時刻的速度分別為v1、v2，坐標x1、x2。50例:質(zhì)量為m1和m2的兩個小孩，在光滑水平冰面上用繩彼此拉對由運動學公式得兩者相遇時x1=x2于是有或:動量守恒:51由運動學公式得兩者相遇時x1=x2于是有或:動量守恒:51將上式代入:即得:結(jié)果表明：兩小孩在內(nèi)力作用下，將在他們共同的質(zhì)心相遇。代入上式得:52將上式代入:即得:結(jié)果表明：兩小孩在內(nèi)力作用下，將在他們共同描述運動的重要物理量,又稱動量矩。一、質(zhì)點對定點的角動量

方向：垂直組成的平面，右手螺旋法則§3.6質(zhì)點的角動量和角動量定理思路:與處理動量定理、動量守恒問題相同

LmOpr

·單位:kgm2/s大?。?3描述運動的重要物理量,又稱動量矩。一、質(zhì)點對定點的角動量方大小:L=mvr方向:圓面不變L→★質(zhì)點作勻速率圓周運動時，對圓心的角動量:★同一質(zhì)點的同一運動，其角動量卻可以隨固定點的不同而改變。方向變化方向豎直向上不變OlO

錐擺m54大小:L=mvrL→★質(zhì)點作勻速率圓周運動時，對圓心★微觀領域—角動量量子化（自己看）★直線運動的角動量55★微觀領域—角動量量子化（自己看）★直線運動的角動量55由：有：定義力對定點O的力矩：稱力臂FM

r·Om

r0二、力對定點的力矩56由：有：定義力對定點O的力矩：稱力臂FMr·Omr0二三、角動量定理即:質(zhì)點對某點的角動量的時間變化率等于所受合外力對同一點的力矩。（積分形式）（微分形式）沖量矩，力矩對時間的積累作用。M、L須相對同一參考點57三、角動量定理即:質(zhì)點對某點的角動量的時間變化率等于所受合一、角動量守恒定律則如果作用在質(zhì)點上的外力對某定點O的力矩為零，則質(zhì)點對O點的角動量在運動過程中保持不變。這叫做質(zhì)點的角動量守恒定律。

§3.7角動量守恒定律

角動量守恒定律是物理學的基本定律之一，不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，而且在高速低速范圍均適用。58一、角動量守恒定律則如果作用在質(zhì)點上的外力對某定點O的力矩為

OmvF·L

（中心力）r（1）

mvrsina＝const.（2）行星在速度和有心力所組成的平面內(nèi)運動二、角動量守恒定律的條件過O點：中心力（如行星受中心恒星的萬有引力）

（例：3.17）59OmvF·L（中心力）r（1）mvrsina＝m

S太陽行星證明：有心力

力矩為零

角動量為常矢量角動量方向不變：行星軌道平面方位不變行星相對太陽的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。在近日點轉(zhuǎn)得快，在遠日點轉(zhuǎn)得慢。例3.18：角動量守恒定律導出行星運動的開普勒第二定律。60mS太陽行星證明：有心力力矩為零角動量為常矢量角動量方盤狀星系:角動量守恒的結(jié)果61盤狀星系:角動量守恒的結(jié)果61L球形原始氣云具有初始角動量L，在垂直于L方向，引力使氣云收縮，角動量守恒，粒子的旋轉(zhuǎn)速度，慣性離心力，離心力與引力達到平衡，維持一定的半徑。但在與L平行的方向無此限制，所以形成了旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu)。

62L球形原始氣云具有初始角動量L，在垂直于L方向，如圖所示，將一個質(zhì)量為m的小球系在輕繩的一端，繩穿過一豎直的管子，一手執(zhí)繩，先使小球以速度v1在水平面內(nèi)沿半徑為r1的圓周運動，然后向下拉繩，使小球的半徑減小為r2,實驗發(fā)現(xiàn)，這時小球的速度增大為v2。實驗得到的規(guī)律是實例：上式兩邊乘小球質(zhì)量m，得由此可見，盡管小球在繞O點轉(zhuǎn)動時的動量時刻在變化，而其角動量卻是恒定的。因此，在研究物體的轉(zhuǎn)動時，角動量將代替動量而起重要的作用。63如圖所示，將一個質(zhì)量為m的小球系在輕繩的一端，繩穿過一豎直的例題：我國第一顆人造衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運動，地球的中心O為該橢圓的一個焦點。已知地球的平均半徑R=6378km，人造衛(wèi)星距地面最近距離l1=439km，最遠距離l2=2384km。若人造衛(wèi)星在近地點A1的速度v1=8.10km／s，求人造衛(wèi)星在遠地點A2的速度。

解:人造衛(wèi)星在運動中受地球的引力（有心力）作用，此力對地心不產(chǎn)生力矩，人造衛(wèi)星對地心的角動量守恒。故解得64例題：我國第一顆人造衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運動，地球的中心O為一、質(zhì)點系對定點的角動量§3.8質(zhì)點系的角動量定理二、質(zhì)點系動量定理和守恒定律fijfji65一、質(zhì)點系對定點的角動量§3.8質(zhì)點系的角動量定理fijfjiri-rj→→任意兩質(zhì)點相互作用的力矩之和：66fijfj