二次型及其標準形課件

一、二次型及其標準形的概念稱為二次型.一、二次型及其標準形的概念稱為二次型.1只含有平方項的二次型稱為二次型的標準形（或法式）．例如都為二次型；為二次型的標準形.只含有平方項的二次型稱為二次型的標準形（或法式）．例如都為二21．用和號表示對二次型二、二次型的表示方法1．用和號表示對二次型二、二次型的表示方法32．用矩陣表示2．用矩陣表示4二次型及其標準形課件5例1、將二次型

用矩陣表示。

例1、將二次型用矩陣表示。6三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系．三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型7解例2解例28設(shè)四、化二次型為標準形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形．設(shè)四、化二次型為標準形對于二次型，我們討論的主要問題是：9證明即為對稱矩陣.證明即為對稱矩陣.10定義5.2.2

對于n階矩陣A和B,如果存在n階可逆矩陣C,使得B=CTAC,就稱A合同于B,記作A≌B對進行運算稱為對進行合同變換.矩陣間的合同關(guān)系具有反身性,對稱性,和傳遞性.定義5.2.2對于n階矩陣A和B,如果存在n階可逆矩陣C,11說明說明12二次型及其標準形課件13用正交變換化二次型為標準形的具體步驟用正交變換化二次型為標準形的具體步驟14解1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例3解1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例315從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組164．將正交向量組單位化，得正交矩陣4．將正交向量組單位化，得正交矩陣17于是所求正交變換為于是所求正交變換為18利用配方法化二次型為標準型

例5、化二次型為標準型

解：將的項歸并起來，得利用配方法化二次型為標準型例5、化二次型為標準型解：將19令經(jīng)過可逆線性變換

將二次型化為標準型：令經(jīng)過可逆線性變換將二次型化為標準型：20例5、化二次型為標準型

解：不含有平方項，含有乘積項，因此用代換產(chǎn)生平方項，令則例5、化二次型為標準型解：不含有平方項，含有21再配方，得

則有令所求得可逆變換矩陣為再配方，得則有令所求得可逆變換矩陣為22說明：用配方的方法化二次型為標準型方法：1）、若二次型不含平方項，僅含乘積項，先引入代換產(chǎn)生平方項后，再配方；2）、若二次型含平方項，集中含有平方項的某一個變量所有項的平方，對余下的變量同樣進行配方作平方和。注：用配方法作的變換是可逆變換，但是不一定是正交變換，因此標準型中平方項前的系數(shù)不一定是特征值。說明：用配方的方法化二次型為標準型方法：23化為標準型，并指出表示何種二次曲面.求一正交變換，將二次型思考題化為