二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形課件

一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念稱為二次型.一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念稱為二次型.1只含有平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）．例如都為二次型；為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.只含有平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）．例如都為二21．用和號表示對二次型二、二次型的表示方法1．用和號表示對二次型二、二次型的表示方法32．用矩陣表示2．用矩陣表示4二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形課件5例1、將二次型

用矩陣表示。

例1、將二次型用矩陣表示。6三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系．三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型7解例2解例28設(shè)四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．設(shè)四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對于二次型，我們討論的主要問題是：9證明即為對稱矩陣.證明即為對稱矩陣.10定義5.2.2

對于n階矩陣A和B,如果存在n階可逆矩陣C,使得B=CTAC,就稱A合同于B,記作A≌B對進(jìn)行運(yùn)算稱為對進(jìn)行合同變換.矩陣間的合同關(guān)系具有反身性,對稱性,和傳遞性.定義5.2.2對于n階矩陣A和B,如果存在n階可逆矩陣C,11說明說明12二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形課件13用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟14解1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例3解1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例315從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組164．將正交向量組單位化，得正交矩陣4．將正交向量組單位化，得正交矩陣17于是所求正交變換為于是所求正交變換為18利用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

例5、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

解：將的項歸并起來，得利用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型例5、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型解：將19令經(jīng)過可逆線性變換

將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型：令經(jīng)過可逆線性變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型：20例5、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

解：不含有平方項，含有乘積項，因此用代換產(chǎn)生平方項，令則例5、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型解：不含有平方項，含有21再配方，得

則有令所求得可逆變換矩陣為再配方，得則有令所求得可逆變換矩陣為22說明：用配方的方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型方法：1）、若二次型不含平方項，僅含乘積項，先引入代換產(chǎn)生平方項后，再配方；2）、若二次型含平方項，集中含有平方項的某一個變量所有項的平方，對余下的變量同樣進(jìn)行配方作平方和。注：用配方法作的變換是可逆變換，但是不一定是正交變換，因此標(biāo)準(zhǔn)型中平方項前的系數(shù)不一定是特征值。說明：用配方的方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型方法：23化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出表示何種二次曲面.求一正交變換，將二次型思考題化為