2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講專練第18講基本解析幾何問題含解析

第18講基本解析幾何問題這一節(jié)我們講解解析幾何中最基本的長度、角度和面積等問題,這些是解決其他問題的基礎(chǔ),對于長度問題就是利用弦長公式進行求解,角度問題通常轉(zhuǎn)化為斜率或者利用解三角形的知識把角度問題轉(zhuǎn)化為邊長問題,而其中較為綜合的就是面積問題,對于面積問題,我們要注意合理地拆分幾何圖形,選擇面積公式,并盡可能湊出韋達,從而實現(xiàn)整體代換來簡化計算.弦長問題直線與圓錐曲線相交弦長問題.解題方法是設(shè)而不求,整體代換的思想方法,具體步骙如下.第一步:設(shè)交點坐標,,設(shè)出直線方程.第二步:代入橢圓方程后應(yīng)用韋達定理得.第三步:代入弦長公式.或求解.注意:若過拋物線的焦點,可直接使用公式,若不過焦點,則必須用一般弦長公式.【例1】求直線和橢圓:的弦長.【解析】第一步:設(shè)直線上兩同理可證得.而此吋我們直接求解,是一件很麻煩的事情,因此需要去湊出韋達定理,從而實現(xiàn)整體代換.第二步:聯(lián)立直線與橢圓方程得,確定主變量并通過直線方程消去另一變量,代入橢圓方程得到關(guān)于主變量的一元二次方程:,整理可得=0由韋達定理可得根與系數(shù)的關(guān)系:,最后帶入?yún)?shù)數(shù)值即可得弦長.【例2】若斜率為1的直線交橢圓于兩點,且,求直線的方程.【解析】設(shè)直線的方程為,點,聯(lián)立方程化簡得.由已知得,即,,且,..解得,符合題意.直線的方程為或.三角形面積直線和橢圓交于兩點,和軸交于點,求.解設(shè),求出相關(guān)參數(shù)帶入面積公式,這里有兩種方法來解題:法一:求出弦長,和點到的距離,帶入公式:.法ニ:把拆分成兩個三角形,帶入計算,即..【例1】過點的斜率為2的直線交橢圓于兩點,求.面積.【解析】直線的方程為,代入?圓方程得.,則.設(shè).,則...又點到直線的距離,.【例2】過點,且斜率為的直線與橢圓交于兩點,求的面積(為坐標原點).【解析】由題意可得直線的方程為.設(shè)..聯(lián)立.,整理得..則,從而.故的面積.四邊形面積求解四邊形的面積問題,通常來說有兩種方法:1.公式法:如果滿足特殊的四邊形,比如梯形、矩形、正方形、平行四邊形等,則直接代面積公式.2.拆分法:如果不是特殊四邊形,可以把四邊形分割成兩個三角形,利用三角形的面積公式進行求解,其中比較特殊的是對角線垂直的四邊形,其面積為對角線乘積的一半,平行四邊形的面積為兩個全等三角形的面積之和.【例1】設(shè)橢圓的上焦點為,過且斜率為的直線與橢圓交于兩點,若(其中為坐標原點),求點的坐標及四邊形的面積.【解析】直線的方程為,代入橢圓得.設(shè),則.四邊形是平行四邊形.而原點到直線的距離為【例2】如下圖所示已知拋物線的焦點為F,準線為l,過F且斜率為3的直線h與拋物線C相交于A,B兩點,過A,B分別作準線l的垂線,垂足分別為D【解析】由題可得焦點為,準線為.不妨設(shè),過且斜率為的直線的方程為,由得.代入得.四邊形是直角梯形,四邊形的面積為.【例3】若直線與曲線交于兩點,點為坐標原點,點是曲線上的一點,且四邊形是平行四邊形,求四邊形的面積.【解析】設(shè),由,由韋達定理可得,且,即.四邊形是平行四邊形,,則.點在橢圓上,把坐標代入橢圓方程得.則到直線的距離,四邊形的面積為.【例4】如下圖所示，已知橢圓的離心率為,且過點.(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)點在橢圓上,且與軸平行,過作兩條直線分別交橢圓于兩點,直線平分,且直線過點,求四邊形的面積.【解析】(1)由離心率,得①,由于點.在