2023屆高考數(shù)學二輪復(fù)習大題專講專練第41講放縮法含解析

第41講放縮法在前面的幾個章節(jié)中已經(jīng)涉及了一部分放縮法的運用,在導(dǎo)數(shù)里放縮法具有廣泛用途,比如說直接利用放縮法證明不等式,利用放縮法找零點或者隱零點區(qū)間,利用放縮法判定導(dǎo)函數(shù)的正負號,進而判定函數(shù)單調(diào)性等.那放縮法到底是什么?放縮法本質(zhì)上是一種近似估算,利用它達到簡化計算的目的,其理論依據(jù)是高等數(shù)學里面的泰勒展開,這在后面的章節(jié)會具體講解,本節(jié)先從高中數(shù)學的視角來講解不等式放縮.那么如何利用放縮法解決導(dǎo)數(shù)問題呢?放縮法的核心在于利用不等式,對函數(shù)進行放大或縮小,從而達到簡化函數(shù)進而簡化計算的目的.下面一些關(guān)于不等式的常用結(jié)論,請在做題過程中慢慢體會.1.能夠利用的不等式通常分為三類:(1)常用不等式,就是常用對數(shù)不等式、常用指數(shù)不等式和基本不等式,以及相關(guān)的變形.(2)已證不等式,通常就是第一小問證明出來的不等式會被用在第二小問題來進行放縮.(3)變形不等式,常用不等式的變形或者在解題過程中積累下來的不等式.2.在利用不等式放縮的時候需要注意“一向,二等,三證明”.一向.就是不等式放縮時要注意不等號的方向要一致,需要同向才能放縮.二等.就是要注意等號成立的條件,如果多次放縮還要注意等號能否同時成立.三證明.就是在運用了不等式放縮之后,一定要對不等式進行證明,除基本不等式之外,其他必須證明,也就是我們常說的“欲用不等式,必證不等式”.3.運用不等式放縮時通?？梢苑譃橐韵聨最?(1)直接放縮.就是直接利用常用不等式或者函數(shù)單調(diào)性放縮即可求解.(2)去參數(shù)放縮.利用函數(shù)的單調(diào)性和參數(shù)取值范圍,把參數(shù)去掉來實現(xiàn)放縮.(3)去項放縮.是通過舍棄一些項來實現(xiàn)放縮簡化.(4)系數(shù)放縮.對函數(shù)進行因式分解,在可預(yù)見不等式性質(zhì)的前提下,把某一個因式作為另一個因式的系數(shù)進行放縮.基本放縮公式總結(jié)下面一些常用的不等式,可用于放縮法證明不等式或者賦值法找零點,其原理會在后面泰勒展開那里具體講【解析】,這里不過多證明.注意:如果考試的時候使用了下面的不等式,一定要用構(gòu)造函數(shù)的方式證明出來,所謂“欲用不等式,必證不等式”.第一組:對數(shù)放縮(1)放縮成一次函數(shù).(2)放縮成雙撇函數(shù)....(3)放縮成二次函數(shù).(4)放縮成類反比【例】函數(shù),.0),.第二組:指數(shù)放縮(1)放縮成一次函數(shù).(2)放縮成類反比【例】函數(shù).(3)放縮成二次函數(shù)第三組:指對放縮.第四組:三角函數(shù)放縮.第五組:以直線為切線的函數(shù).下面舉例說明如何運用不等式放縮來證明不等式.【例】設(shè),若對任意的恒成立,求的取值范圍.先參變分離:.放縮法:由可得.這里直接利用指數(shù)不等式整體代換放縮,即可求出,極大地簡化了計算,這也是放縮法的魅力所在,我們一定要銘記不等式放縮的“三注意”：一向,二等,三證明.常用不等式及其變形方法總結(jié)不等式一：常用指數(shù)不等式【例1】證明:指數(shù)不等式:.【解析】證明：令,則.令得.令得.在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.,即..(1)記憶:可以利用圖像輔助記憶,即指數(shù)函數(shù)的圖像在一次函數(shù)的上方.(2)取等條件:時可以取到等號.(3)變形:對于指數(shù)不等式變形通常是利用整體代換，(4)變方向:當時要改變不等號方向通常不等號兩邊取倒數(shù),不等式二:常用對數(shù)不等式【例2】證明:對數(shù)不等式:.【解析】證明：令,則.令得,令得.在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.,即..(1)記憶:可以利用圖像輔助記憶,即指數(shù)函數(shù)的圖像在一次函數(shù)的下方.(2)取等條件:時可以取到等號.(3)變形:對于對數(shù)不等式變形通常是利用整體代換,.(4)變方向:通常不等號兩邊同時乘負號,.常用不等式直接放縮對于一些無參不等式的證明,特別是同時包含指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的不等式,我們通常需要用常用指數(shù)不等式和常用對數(shù)不等式放縮為冪函數(shù),從而實現(xiàn)函數(shù)簡化,進而方便計算和求解.【例1】證明:.【解析】證明：由常用指數(shù)不等式,整體代換可得,當且僅當時,取等號.由常用對數(shù)不等式,整體代換可得,當且僅當時,取等號.(1)式與(2)式取等號的條件不同,.【例2】證明:.【解析】證明：由得,即,故,當且僅當時,取等號.又.由于(1)(2)式等號不能同時成立,兩式相加得,兩邊同乘得.【例3】設(shè).證明:當時,.【解析】證明：當時，,故..記,則.當時,,在內(nèi)是減函數(shù).又.,即.當時,.去參數(shù)放縮所謂去參數(shù)放縮,就是在給出了參數(shù)取值范圍來證明不等式恒成立的題目中,把參數(shù)按取值范圍放縮為常數(shù).例如:已知參數(shù),證明恒成立,按去參數(shù)放縮可得,只需要證明即可.【例1】已知函數(shù),證明:當時,.【解析】證明:當時,.設(shè),則.當時,.當時,是的最小值點.當時,.當時,.【例2】已知函數(shù),證明:當時,.【解析】證明；當時,令,則.當時,單調(diào)遞減.當時,單調(diào)遞增..因此.【例3】已知函數(shù)，當時,證明:.【解析】證明：當，時，,故只需證明當時,當時,函數(shù),在上為增函數(shù),且,.故在上有唯一實數(shù)根,且.當時,.當時,.從而當時,取得最小值.由得.故.綜上,當時,.去項放縮所謂去項放縮,就是直接去掉不等式兩邊的一些不影響不等式恒成立的確定項,從而去除參數(shù)或者簡化不等式,進而快速得到證明.說白了,就是簡單粗暴地扔掉一些累贅,自然就簡單了.比如要證明,如果能夠得到,則把直接扔掉,若成立,則不等式恒成立.【例1】已知函數(shù),若,證明:.【解析】證.明：由得,去項放縮:根據(jù),可直接放縮去掉含參項,令,則,當時,.當時,設(shè)。,則.故函數(shù)在上單調(diào)遞增.又當時,.當時,.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.,即.故.【例2】已知函數(shù),當時,證明：.【解析】證明：要證明,即證.當時,.去項放縮:只需證.設(shè),則.設(shè),則.在上是增函數(shù).又,存在,使得即.當時,.當時,.因此在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),有極小值,也是最小值,且最小值為因此,即.綜上,當時,.【例3】已知函數(shù).(1)設(shè)是的導(dǎo)函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性.(2)當時,求證:.【解析】(1)由已知.設(shè)..①當時,在上恒成立,在上單調(diào)遞增.②當時令得,得.在上單調(diào)遞減.在(上單調(diào)遞增.綜上所述,當時,在上是增函數(shù).當時,在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)(證明)由（1）題知,①當時.在上單調(diào)遞增.又,當時,;當時,.則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增..②當時,.由(1)題