山東省部分學(xué)校（中昇）2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁(yè)山東省部分學(xué)校（中昇）2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）中昇2023-2024學(xué)年高三開學(xué)摸底大聯(lián)考

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．

2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座號(hào)、考生號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼橫貼在答題卡的“貼條形碼區(qū)”．

3．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．

4．非選擇題必須用直徑0.5毫米黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．

5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1.設(shè)集合，則（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】由交集的定義直接求解.

【詳解】集合，則.

故選：C

2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.

【詳解】由可得，，

所以在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)坐標(biāo)為位于第三象限，

故選：C

3.已知非零向量、和實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）

A.充分而不必要條件B.既不充分也不必要條件

C.充要條件D.必要而不充分條件

【答案】D

【解析】

【分析】在等式兩邊平方，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求出向量、的夾角的值，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)橄蛄?、為非零向量，設(shè)向量、的夾角為，

在等式兩邊平方可得，

所以，，則，

因?yàn)?，所以，，即、方向相反?/p>

所以，“”“、方向相反”，“”“、方向相反”，

因此，“”是“”的必要而不充分條件.

故選：D.

4.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，則（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】求得，計(jì)算出，再由可得出的值.

【詳解】對(duì)任意的，，

因?yàn)椋瑒t，

當(dāng)時(shí)，，則，

因?yàn)?，因此?

故選：D.

5.我們都知道：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓．后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，若點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】B

【解析】

【分析】點(diǎn)的軌跡為圓，直線過圓心，得，利用基本不等式求的最小值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，則，

即，

所以點(diǎn)的軌跡方程為，

因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，

所以圓心在此直線上，即，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，

所以的最小值是.

故選：B.

6.拋物線的焦點(diǎn)為的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線與交于點(diǎn)（在軸上方），則（）

A.B.2C.3D.

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得直線的方程為，聯(lián)立方程，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得，由此得解.

【詳解】由拋物線，得，

則直線的方程為，

聯(lián)立，解得或，

即，

所以，，

所以.

故選：C.

7.已知，則（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡(jiǎn)可得答案.

【詳解】因?yàn)?，所?/p>

.

故選：C.

8.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項(xiàng)組成新的數(shù)列，則（）

A.2022B.2023C.4048D.4046

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義，將代入計(jì)算可得，；可得，再由新數(shù)列的性質(zhì)求出其通項(xiàng)為即可得出結(jié)果.

【詳解】令數(shù)列的公比為，，

因?yàn)椋?/p>

所以當(dāng)時(shí)，，即，

當(dāng)時(shí)，，即，解得（舍去），

所以，即，

因?yàn)閿?shù)列中的整數(shù)項(xiàng)組成新的數(shù)列，

所以，此時(shí)，即，

可得.

故選：C

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．

9.下列命題中正確是（）

A.中位數(shù)就是第50百分位數(shù)

B.已知隨機(jī)變量，且函數(shù)為偶函數(shù)，則

C.已知采用分層抽樣得到的高三年級(jí)男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)172，方差為120，女生樣本平均數(shù)165，方差為120，則總體樣本方差為130

D.已知隨機(jī)變量，若，則

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)中位數(shù)定義可得A正確，利用函數(shù)奇偶性和正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算可得B正確；按分層抽樣樣本方差的計(jì)算公式可得總體樣本方差為，可知C錯(cuò)誤；由二項(xiàng)分布方差計(jì)算公式可得D正確.

【詳解】對(duì)于A，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)，所以A正確；

對(duì)于B，隨機(jī)變量，且函數(shù)為偶函數(shù)，

則，即區(qū)間與關(guān)于對(duì)稱，

故，即B正確；

對(duì)于C，根據(jù)分層抽樣平均數(shù)公式可得，

按分層抽樣樣本方差的計(jì)算公式可得

，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，隨機(jī)變量，，即可得，即D正確；

故選：ABD

10.已知函數(shù)對(duì)都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有，則下列結(jié)論正確的是（）

A.

B.是奇函數(shù)

C.是周期為4的周期函數(shù)

D.

【答案】AC

【解析】

【分析】B選項(xiàng)，根據(jù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得到關(guān)于軸對(duì)稱，B錯(cuò)誤；A選項(xiàng)，賦值法得到，結(jié)合求出；C選項(xiàng)，求出，C正確；D選項(xiàng)，先得到在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和周期性得到.

【詳解】B選項(xiàng)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故關(guān)于軸對(duì)稱，是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；

A選項(xiàng)，中，令得：，

因?yàn)?，所以，解得：，A正確；

C選項(xiàng)，由于，，故，

即是周期為4的周期函數(shù)，C正確；

D選項(xiàng)，對(duì)，，當(dāng)時(shí)，都有，

故在上單調(diào)遞增，又是周期為4的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，

故，，

因?yàn)椋?/p>

所以，D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.某同學(xué)根據(jù)著名數(shù)學(xué)家牛頓的物體冷卻模型：若物體原來的溫度為（單位：℃），環(huán)境溫度為（，單位℃），物體的溫度冷卻到（，單位：℃）需用時(shí)t（單位：分鐘），推導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系為，k為正的常數(shù)．現(xiàn)有一壺開水（100℃）放在室溫為20℃的房間里，根據(jù)該同學(xué)推出的函數(shù)關(guān)系研究這壺開水冷卻的情況，則（）（參考數(shù)據(jù)：）

A.函數(shù)關(guān)系也可作為這壺外水的冷卻模型

B.當(dāng)時(shí)，這壺開水冷卻到40℃大約需要28分鐘

C.若，則

D這壺水從100℃冷卻到70℃所需時(shí)間比從70℃冷卻到40℃所需時(shí)間短

【答案】BCD

【解析】

【分析】對(duì)A，利用指對(duì)互化即可判斷A；對(duì)B，將數(shù)據(jù)代入公式即得到；對(duì)C，根據(jù)，解出值，再代入數(shù)據(jù)即可判斷；對(duì)D，分別代入公式計(jì)算冷卻時(shí)間，作差比價(jià)大小即可.

【詳解】對(duì)A，由，得，

所以，整理得．A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)B，由題意可知．，B項(xiàng)正確；

對(duì)C，由，得，即，則．C項(xiàng)正確；

對(duì)D，設(shè)這壺水從100℃冷卻到70℃所需時(shí)間為分鐘，則，

設(shè)這壺水從70℃冷卻到40℃所需時(shí)間為分鐘，

則，

因，所以，D項(xiàng)正確．

故選：BCD．

12.如圖，在正方體中，，是正方形內(nèi)部(含邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.存在唯一點(diǎn)，使得

B.存在唯一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角取到最小值

C.若，則三棱錐外接球的表面積為

D.若異面直線與所成的角為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分

【答案】BCD

【解析】

【分析】由線面垂直得線線垂直來確定點(diǎn)位置，判斷選項(xiàng)A；幾何法找線面角，當(dāng)角最小時(shí)確定點(diǎn)位置，判斷選項(xiàng)B；為中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐外接球的半徑，計(jì)算外接球的表面積，判斷選項(xiàng)C；利用向量法解決異面直線所成角的問題，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，判斷選項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：正方形中，有，

正方體中有平面，平面，，

又，平面，平面，

只要平面，就有，在線段上，有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)：平面，直線與平面所成的角為，，取到最小值時(shí)，最大，

此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)：若，則為中點(diǎn)，為等腰直角三角形，外接圓半徑為，三棱錐外接球的球心到平面的距離為，則外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)：以D為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，則有，，

有，化簡(jiǎn)得，是正方形內(nèi)部(含邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

所以的軌跡是拋物線的一部分，D選項(xiàng)正確.

故選：BCD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．

13.展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______________．

【答案】-160

【解析】

【分析】變形為，寫出通項(xiàng)公式，求出，得到答案.

【詳解】變形為，

故通項(xiàng)公式得，

其中的通項(xiàng)公式為，

故通項(xiàng)公式為，其中，，

令，解得，

故.

故答案為：-160

14.現(xiàn)有甲乙兩個(gè)形狀完全相同的四棱臺(tái)容器如圖所示，已知，現(xiàn)按一定的速度勻速往甲容器里注水，當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)7分鐘，如果按照相同的速度勻速往乙容器里注水，當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)________分鐘．

【答案】19.

【解析】

【分析】不妨以正四棱臺(tái)為例，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，由題意求得水流速度，再求出乙容器中水的容積，則答可求，

【詳解】不妨以正四棱臺(tái)為例，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，

由，正四棱臺(tái)的中截面是邊長(zhǎng)為4的正方形，

當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)，甲容器內(nèi)水的容積為

設(shè)水流速度為v，則，

當(dāng)乙容器中水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)，水的容積為

當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)為分鐘.

故答案為：19.

15.設(shè)函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，且的圖象在上恰有2個(gè)最高點(diǎn)，則的取值范圍是________.

【答案】

【解析】

【分析】結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，找出到滿足條件的所在的區(qū)間，解不等式組即可作答.

【詳解】因?yàn)?，則，

而函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，且的圖象在上恰有2個(gè)最高點(diǎn)，

因此，即，

當(dāng)時(shí)，不符合題意，

當(dāng)時(shí)，不等式組為，不等式組無解，

當(dāng)時(shí)，不等式組為，解得，

當(dāng)時(shí)，不等式組無解，

所以的取值范圍是.

故答案為：

16.已知雙曲線，，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，為雙曲線上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)為△的內(nèi)心，點(diǎn)在軸上的投影的橫坐標(biāo)為___________，△的面積的取值范圍為___________.

【答案】①.3②.

【解析】

【分析】先由雙曲線的定義得到點(diǎn)在上垂足為右頂點(diǎn)，設(shè)出漸近線的傾斜角為，則，，則，求出，從而求出，求出△的面積的取值范圍.

【詳解】由題意得：，故，

設(shè)點(diǎn)，且在上垂足為H，

根據(jù)雙曲線定義及切線長(zhǎng)定理得：，

又，解得：，

所以點(diǎn)H坐標(biāo)為，即橫坐標(biāo)為3；

漸近線的傾斜角為，則，

記，則，

所以，即，

又，解得：(負(fù)值舍)，

所以，則，

所以.

故答案為：3，

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓圓心位于頂點(diǎn)的正上方或正下方，這個(gè)二級(jí)結(jié)論在雙曲線有關(guān)于內(nèi)切圓的題目時(shí)，經(jīng)常用到，需要掌握.

四、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．

（1）證明：；

（2）若，求．

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）由兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦定理可證明結(jié)論；

（2）由已知條件結(jié)合余弦定理求出的值，再由余弦定理求．

【小問1詳解】

中，

由，得，

所以，

所以，而，

結(jié)合正弦定理，所以.

【小問2詳解】

由（1）知：，

所以，即，所以.

解得或（舍），

所以.

18.喜迎新學(xué)期，高三一班、二班舉行數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，賽制規(guī)定：共進(jìn)行5輪比賽，每輪比賽每個(gè)班可以從兩個(gè)題庫(kù)中任選1題作答，在前兩輪比賽中每個(gè)班的題目必須來自同一題庫(kù)，后三輪比賽中每個(gè)班的題目必須來自同一題庫(kù)，題庫(kù)每題20分，題庫(kù)每題30分，一班能正確回答題庫(kù)每題的概率分別為、，二班能正確回答題庫(kù)每題的概率均為，且每輪答題結(jié)果互不影響．

（1）若一班前兩輪選題庫(kù)，后三輪選題庫(kù)，求其總分不少于100分的概率；

（2）若一班和二班在前兩輪比賽中均選了題庫(kù)，而且一班兩輪得分60分，二班兩輪得分30分，一班后三輪換成題庫(kù)，二班后三輪不更換題庫(kù)，設(shè)一班最后的總分為，求的分布列，并從每班總分的均值來判斷，哪個(gè)班贏下這場(chǎng)比賽？

【答案】（1）

（2）分布列見解析，一班贏下這場(chǎng)比賽.

【解析】

【分析】（1）由概率的乘法公式與加法公式求解；

（2）由題意求出兩個(gè)班的總分可能取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而列出分布列，并根據(jù)期望的概念求出期望，比較大小即可判斷.

【小問1詳解】

由條件知，若一班在前兩輪得20分，后三輪得90分，總分為110分，

其概率為，

若一班在前兩輪得40分，后三輪得60分或90分，總分為100或130分，

其概率為，

于是一班總分不少于100分的概率為.

【小問2詳解】

由條件知，隨機(jī)變量X可能取值為60，80，100，120，

，，

，．

所以X的分布列為：

X6080100120

P

，

設(shè)二班最后的總分為Y，Y可能取值為30，60，90，120，

，，

，，

的分布列：

，

因?yàn)椋詮目偡值木祦砼袛?，一班贏下這場(chǎng)比賽.

19.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，為邊的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若側(cè)面底面，且，，求平面與平面的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）作出輔助線，證明出四邊形為平行四邊形，，從而求出線面平行；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量求解兩平面夾角的余弦值.

【小問1詳解】

取線段的中點(diǎn)，連接，，

∵，分別為，的中點(diǎn)，

∴且，

∵底面是菱形，且為中點(diǎn)，

∴且，

∴且.

∴四邊形為平行四邊形，

∴.

又∵平面，平面，

∴平面.

【小問2詳解】

連接，

由得是等邊三角形，

∴，

∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，底面，

∴側(cè)面，

因?yàn)?，?/p>

由余弦定理的：，

解得：，

以為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，如圖所示.

則，，，，

則，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

則，即，令，則.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，解得：，令，則，

故，

∴，

所以平面與平面的夾角的余弦值為.

20.已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=b1=1，是公差為1的等差數(shù)列，是公差為2的等差數(shù)列．

（1）若b2=2，求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）若，，證明：．

【答案】（1）；

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知求得，，通過累加法求得，進(jìn)而求得；

（2）根據(jù)已知求得，構(gòu)造，求導(dǎo)后得，結(jié)合得，又，從而求得，進(jìn)而證得結(jié)論．

【小問1詳解】

解：因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，

所以，

即，且，

所以，

累加得，

所以，

則；

【小問2詳解】

解：因?yàn)椋?/p>

累加得，

所以，

則，

則，

令，

且，

所以，且，所以，

所以，

且，

從而，

所以，

當(dāng)時(shí)，時(shí)，，

所以．

21.已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）答案見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）求得函數(shù)定義域?yàn)?，，通過分類討論即可得到答案；

（2）首先得到的范圍，將原式轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值即可得到答案.

【小問1詳解】

定義域?yàn)?，?/p>

①當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)單調(diào)遞增，

令，得，此時(shí)單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)單調(diào)遞增，

令，得，此時(shí)單調(diào)遞減；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

【小問2詳解】

記，

由（1）知，當(dāng)時(shí)，，

則，則，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

即對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立，

則，即對(duì)恒成立，

令，對(duì)恒成立，

則在單調(diào)遞增，所以，

所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的同構(gòu)問題.要善于通過轉(zhuǎn)化的方法，將原式的形式統(tǒng)一，進(jìn)而進(jìn)行換元，進(jìn)而將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)關(guān)系求得答案.

22.已知橢圓，且其右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)．

（1）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；

（2）過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試證明：直線過定點(diǎn)．

【答案】（1）存在，

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)直線的方程為，，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，設(shè)線段的中點(diǎn)為，分析可知直線為直線的垂直平分線，求出直線的方程，求出的表達(dá)式，即可求得的取值范圍，即可得解；

（2）當(dāng)直線的斜率不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出直線的方程，在直線的方程中，令可求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，驗(yàn)證即可，綜合可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：由題意，設(shè)直線的方程為，，

聯(lián)立，得，

恒成立.

設(shè)、，線段的中點(diǎn)為，

則，，

由，得：

，故，

又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則直線為直線的垂直平分線，

所以，直線的方程為，即，

令得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

因?yàn)?，則，所以，，

所以，線段上存在點(diǎn)，使得，其中.

【小問2詳解】

解：當(dāng)直線的斜率不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，，

聯(lián)立得，

因?yàn)檫^點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，

由，得，

設(shè)、，則，則，，

則直線的方程為，

令得

.

易知，當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線與軸重合，

此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則直線過點(diǎn).

綜上所述，直線過定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.中昇2023-2024學(xué)年高三開學(xué)摸底大聯(lián)考

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．

2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座號(hào)、考生號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼橫貼在答題卡的“貼條形碼區(qū)”．

3．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．

4．非選擇題必須用直徑0.5毫米黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．

5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1.設(shè)集合，則（）

A.B.

C.D.

2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知非零向量、和實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）

A.充分而不必要條件B.既不充分也不必要條件

C.充要條件D.必要而不充分條件

4.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，則（）

AB.C.D.

5.我們都知道：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓．后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，若點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（）

A.10B.20C.30D.40

6.拋物線的焦點(diǎn)為的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線與交于點(diǎn)（在軸上方），則（）

A.B.2C.3D.

7.已知，則（）

A.B.C.D.

8.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項(xiàng)組成新的數(shù)列，則（）

A.2022B.2023C.4048D.4046

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．

9.下列命題中正確是（）

A.中位數(shù)就是第50百分位數(shù)

B.已知隨機(jī)變量，且函數(shù)為偶函數(shù)，則

C.已知采用分層抽樣得到的高三年級(jí)男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)172，方差為120，女生樣本平均數(shù)165，方差為120，則總體樣本方差為130

D.已知隨機(jī)變量，若，則

10.已知函數(shù)對(duì)都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有，則下列結(jié)論正確的是（）

A.

B.奇函數(shù)

C.是周期為4周期函數(shù)

D.

11.某同學(xué)根據(jù)著名數(shù)學(xué)家牛頓的物體冷卻模型：若物體原來的溫度為（單位：℃），環(huán)境溫度為（，單位℃），物體的溫度冷卻到（，單位：℃）需用時(shí)t（單位：分鐘），推導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系為，k為正的常數(shù)．現(xiàn)有一壺開水（100℃）放在室溫為20℃的房間里，根據(jù)該同學(xué)推出的函數(shù)關(guān)系研究這壺開水冷卻的情況，則（）（參考數(shù)據(jù)：）

A.函數(shù)關(guān)系也可作為這壺外水的冷卻模型

B.當(dāng)時(shí)，這壺開水冷卻到40℃大約需要28分鐘

C.若，則

D.這壺水從100℃冷卻到70℃所需時(shí)間比從70℃冷卻到40℃所需時(shí)間短

12.如圖，在正方體中，，是正方形內(nèi)部(含邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.存在唯一點(diǎn)，使得

B.存在唯一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角取到最小值

C.若，則三棱錐外接球的表面積為

D.若異面直線與所成的角為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分

三、填空題：本大題共4小題，每