【6份】2017版高考數(shù)學(xué)(理)人教A版(全國(guó))一輪復(fù)習(xí) 第12章 概率、隨機(jī)變量及其分布

第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布§12.1隨機(jī)事件的概率內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)題型分類(lèi)深度剖析思想與方法系列思想方法感悟提高練出高分基礎(chǔ)知識(shí)

自主學(xué)習(xí)1.概率和頻率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱(chēng)n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱(chēng)事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，在相同條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的

會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個(gè)常數(shù)來(lái)刻畫(huà)隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小，并把這個(gè)

稱(chēng)為隨機(jī)事件A的概率，記作P(A).頻率常數(shù)知識(shí)梳理1答案2.事件的關(guān)系與運(yùn)算

定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱(chēng)事件B

事件A(或稱(chēng)事件A包含于事件B)

(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱(chēng)此事件為事件A與事件B的

(或和事件)A∪B(或A＋B)包含B?AA＝B并事件答案交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)

且

，則稱(chēng)此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件(A∩B＝?)，則稱(chēng)事件A與事件B互斥A∩B＝?對(duì)立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱(chēng)事件A與事件B互為對(duì)立事件P(A)＋P(B)＝1事件A發(fā)生事件B發(fā)生答案3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：

.(2)必然事件的概率P(E)＝

.(3)不可能事件的概率P(F)＝

.(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝

.(5)對(duì)立事件的概率若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則P(A)＝

.0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)1－P(B)答案互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系互斥事件與對(duì)立事件都是兩個(gè)事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生，因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件.知識(shí)拓展判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生頻率與概率是相同的.(

)(2)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事.(

)(3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值.(

)(4)兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件都得發(fā)生.(

)(5)對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件.(

)(6)兩互斥事件的概率和為1.(

)××√×√×思考辨析答案1.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(

)A.至多有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶解析射擊兩次的結(jié)果有：一次中靶；兩次中靶；兩次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是兩次都不中靶.D考點(diǎn)自測(cè)2解析答案123452.從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過(guò)175cm的概率為(

)A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8解析因?yàn)楸厝皇录l(fā)生的概率是1，所以該同學(xué)的身高超過(guò)175cm的概率為1－0.2－0.5＝0.3，故選B.B解析答案123453.(2015·湖北)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為(

)A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石B解析答案123454.給出下列三個(gè)命題，其中正確的命題有________個(gè).①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是

；③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率.解析①錯(cuò)，不一定是10件次品；②錯(cuò)，

是頻率而非概率；③錯(cuò)，頻率不等于概率，這是兩個(gè)不同的概念.0解析答案123455.(教材改編)袋中裝有9個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則①恰有1個(gè)紅球和全是白球；②至少有1個(gè)紅球和全是白球；③至少有1個(gè)紅球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)紅球.在上述事件中，是對(duì)立事件的為_(kāi)_______.解析①是互斥不對(duì)立的事件，②是對(duì)立事件，③④不是互斥事件.②解析答案12345返回題型分類(lèi)

深度剖析例1

某城市有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)紙”，事件B為“至少訂一種報(bào)紙”，事件C為“至多訂一種報(bào)紙”，事件D為“不訂甲報(bào)紙”，事件E為“一種報(bào)紙也不訂”.判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件.(1)A與C；解由于事件C“至多訂一種報(bào)紙”中有可能“只訂甲報(bào)紙”，即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事件.事件關(guān)系的判斷題型一解析答案(2)B與E；解事件B“至少訂一種報(bào)紙”與事件E“一種報(bào)紙也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的，故B與E是互斥事件.由于事件B不發(fā)生可導(dǎo)致事件E一定發(fā)生，且事件E不發(fā)生會(huì)導(dǎo)致事件B一定發(fā)生，故B與E還是對(duì)立事件.解析答案(3)B與C；解事件B“至少訂一種報(bào)紙”中有這些可能：“只訂甲報(bào)紙”、“只訂乙報(bào)紙”、“訂甲、乙兩種報(bào)紙”，事件C“至多訂一種報(bào)紙”中有這些可能：“一種報(bào)紙也不訂”、“只訂甲報(bào)紙”、“只訂乙報(bào)紙”，由于這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件.解析答案(4)C與E.解由(3)的分析，事件E“一種報(bào)紙也不訂”是事件C的一種可能，即事件C與事件E有可能同時(shí)發(fā)生，故C與E不是互斥事件.思維升華解析答案對(duì)互斥事件要把握住不能同時(shí)發(fā)生，而對(duì)于對(duì)立事件除不能同時(shí)發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件.這些也可類(lèi)比集合進(jìn)行理解，具體應(yīng)用時(shí)，可把所有試驗(yàn)結(jié)果寫(xiě)出來(lái)，看所求事件包含哪幾個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，從而判定所給事件的關(guān)系.思維升華判斷下列各對(duì)事件是不是互斥事件或?qū)α⑹录耗承〗M有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，其中①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是女生.跟蹤訓(xùn)練1解析答案解①是互斥事件，不是對(duì)立事件.“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)選出的是“1名男生和1名女生”，與“恰有2名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以是互斥事件，不是對(duì)立事件.②不是互斥事件，也不是對(duì)立事件.“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“2名都是男生”兩種結(jié)果，“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”與“2名都是女生”兩種結(jié)果，它們可能同時(shí)發(fā)生.③是互斥事件且是對(duì)立事件.“至少有1名男生”，即“選出的2人不全是女生”，它與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，且其并事件是必然事件，所以?xún)蓚€(gè)事件互斥且對(duì)立.例2

(2015·北京)某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“√”表示購(gòu)買(mǎi)，“×”表示未購(gòu)買(mǎi).隨機(jī)事件的頻率與概率題型二商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)乙和丙的概率；解從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了乙和丙，所以顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)乙和丙的概率可以估計(jì)為

＝0.2.解析答案(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買(mǎi)3種商品的概率；解從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了甲、丙、丁，另有200位顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了甲、乙、丙，其他顧客最多購(gòu)買(mǎi)了2種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買(mǎi)3種商品的概率可以估計(jì)為

＝0.3.解析答案(3)如果顧客購(gòu)買(mǎi)了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？解與(1)同理，可得：所以，如果顧客購(gòu)買(mǎi)了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)丙的可能性最大.解析答案思維升華(1)概率與頻率的關(guān)系：頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值.(2)隨機(jī)事件概率的求法：利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率.思維升華某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被奧運(yùn)會(huì)指定為乒乓球比賽專(zhuān)用球，目前有關(guān)部門(mén)對(duì)某批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè)，檢查結(jié)果如下表所示：抽取球數(shù)n5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902

優(yōu)等品頻率

跟蹤訓(xùn)練2(1)計(jì)算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率；解依據(jù)公式f＝

，計(jì)算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.解析答案(2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個(gè)，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少？(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)解由(1)知，抽取的球數(shù)n不同，計(jì)算得到的頻率值不同，但隨著抽取球數(shù)的增多，頻率在常數(shù)0.950的附近擺動(dòng)，所以質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率約為0.950.解析答案命題點(diǎn)1互斥事件的概率互斥事件、對(duì)立事件的概率題型三解析答案解方法一從袋中選取一個(gè)球，記事件“摸到紅球”“摸到黑球”“摸到黃球”“摸到綠球”分別為A，B，C，D，則有又總球數(shù)是12，所以綠球有12－4－5＝3(個(gè)).命題點(diǎn)2對(duì)立事件的概率例4

某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷(xiāo)售中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；解析答案(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；解1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng).設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事件為M，則M＝A∪B∪C.∵A、B、C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)解析答案(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.解設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件，解析答案思維升華求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；二是間接法，先求該事件的對(duì)立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解.當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問(wèn)題，多考慮間接法.思維升華國(guó)家射擊隊(duì)的隊(duì)員為在射擊世錦賽上取得優(yōu)異成績(jī)，正在加緊備戰(zhàn)，經(jīng)過(guò)近期訓(xùn)練，某隊(duì)員射擊一次命中7～10環(huán)的概率如下表所示：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12跟蹤訓(xùn)練3求該射擊隊(duì)員射擊一次：(1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；解記事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak(k∈N，k≤10)，則事件Ak彼此互斥.記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，那么當(dāng)A9，A10之一發(fā)生時(shí)，事件A發(fā)生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.解析答案(2)命中不足8環(huán)的概率.解設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，則

表示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”.又B＝A8∪A9∪A10，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.故P()＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.因此，射擊一次，命中不足8環(huán)的概率為0.22.解析答案返回思想與方法系列典例(12分)某超市為了了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53思想與方法系列23.用正難則反思想求互斥事件的概率易錯(cuò)提示解析答案返回思維點(diǎn)撥已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；(2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率.(將頻率視為概率)...溫馨提醒思維點(diǎn)撥

(1)若某一事件包含的基本事件多，而它的對(duì)立事件包含的基本事件少，則可用“正難則反”思想求解.(2)若某一事件包含的基本事件多，而它的對(duì)立事件包含的基本事件少，則可用“正難則反”思想求解.易錯(cuò)提示解析答案返回溫馨提醒該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為規(guī)范解答解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20. [2分]易錯(cuò)提示解析答案返回溫馨提醒易錯(cuò)提示解析答案返回溫馨提醒(1)要準(zhǔn)確理解題意，善于從圖表信息中提煉數(shù)據(jù)關(guān)系，明確數(shù)字特征含義.(2)正確判定事件間的關(guān)系，善于將A轉(zhuǎn)化為互斥事件的和或?qū)α⑹录?，切忌盲目代入概率加法公?溫馨提醒易錯(cuò)提示返回易錯(cuò)提示

(1)對(duì)統(tǒng)計(jì)表的信息不理解，錯(cuò)求x，y，難以用樣本平均數(shù)估計(jì)總體.(2)不能正確地把事件A轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和或?qū)α⑹录?，?dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.返回思想方法

感悟提高1.對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來(lái)估計(jì)概率P(A).2.從集合角度理解互斥事件和對(duì)立事件從集合的角度看，幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，事件A的對(duì)立事件

所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.方法與技巧1.正確認(rèn)識(shí)互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件.2.需準(zhǔn)確理解題意，特別留心“至多……”“至少……”“不少于……”等語(yǔ)句的含義.失誤與防范返回練出高分12345678910111213141.下列命題：①將一枚硬幣拋兩次，設(shè)事件M：“兩次出現(xiàn)正面”，事件N：“只有一次出現(xiàn)反面”，則事件M與N互為對(duì)立事件；②若事件A與B互為對(duì)立事件，則事件A與B為互斥事件；③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B互為對(duì)立事件；④若事件A與B互為對(duì)立事件，則事件A∪B為必然事件，其中，真命題是(

)A.①②④ B.②④C.③④ D.①②15解析答案1234567891011121314解析對(duì)①，一枚硬幣拋兩次，共出現(xiàn){正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四種結(jié)果，則事件M與N是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故①錯(cuò)；對(duì)②，對(duì)立事件首先是互斥事件，故②正確；對(duì)③，互斥事件不一定是對(duì)立事件，如①中兩個(gè)事件，故③錯(cuò)；對(duì)④，事件A、B為對(duì)立事件，則一次試驗(yàn)中A、B一定有一個(gè)要發(fā)生，故④正確.故B正確.答案B15123456789101112131415解析答案123456789101112131415答案C3.在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是

，那么概率是

的事件是(

)A.至多有一張移動(dòng)卡

B.恰有一張移動(dòng)卡C.都不是移動(dòng)卡 D.至少有一張移動(dòng)卡解析至多有一張移動(dòng)卡包含“一張移動(dòng)卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個(gè)事件，它是“2張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事件，故選A.123456789101112131415A解析答案4.從存放的號(hào)碼分別為1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號(hào)碼，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：123456789101112131415卡片號(hào)碼12345678910取到次數(shù)138576131810119則取到號(hào)碼為奇數(shù)的卡片的頻率是(

)A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37解析答案解析取到號(hào)碼為奇數(shù)的卡片的次數(shù)為：13＋5＋6＋18＋11＝53，則所求的頻率為

＝0.53.故選A.答案A1234567891011121314155.對(duì)一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位：毫米)進(jìn)行抽樣檢測(cè)，下圖為檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間[20,25)上的為一等品，在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上的為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35)上為三等品.用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，則其為二等品的概率為(

)123456789101112131415A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45解析答案123456789101112131415解析設(shè)區(qū)間[25,30)對(duì)應(yīng)矩形的另一邊長(zhǎng)為x，則所有矩形面積之和為1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x)×5＝1，解得x＝0.05.產(chǎn)品為二等品的概率為0.04×5＋0.05×5＝0.45.答案D1234567891011121314156.在200件產(chǎn)品中，有192件一級(jí)品，8件二級(jí)品，則下列事件：①在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級(jí)品；②在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級(jí)品；③在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是二級(jí)品.其中________是必然事件；________是不可能事件；________是隨機(jī)事件.③②①答案7.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：907

966

191

925

271

932

812

458

569

683431

257

393

027

556

488

730

113

537

989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為_(kāi)_______.123456789101112131415解析答案123456789101112131415答案0.251234567891011121314158.若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.解析答案9.(2014·陜西)某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，對(duì)投保車(chē)輛進(jìn)行抽樣，樣本車(chē)輛中每輛車(chē)的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：123456789101112131415賠付金額(元)01000200030004000車(chē)輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車(chē)的投保金額均為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；解析答案解設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計(jì)概率得123456789101112131415由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對(duì)應(yīng)的情形是賠付金額為3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)在樣本車(chē)輛中，車(chē)主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車(chē)輛中，車(chē)主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車(chē)輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率.解設(shè)C表示事件“投保車(chē)輛中新司機(jī)獲賠4000元”，由已知，樣本車(chē)輛中車(chē)主為新司機(jī)的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車(chē)輛中，車(chē)主為新司機(jī)的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車(chē)輛中新司機(jī)車(chē)主獲賠金額為4000元的頻率為

＝0.24，由頻率估計(jì)概率得P(C)＝0.24.123456789101112131415解析答案12345678910111213141510.從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量其身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分組：第一組[155,160)，第二組[160,165)，…，第八組[190,195]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4.(1)求第七組的頻率；解第六組的頻率為

＝0.08，所以第七組的頻率為1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06.123456789101112131415解析答案123456789101112131415(2)估計(jì)該校的800名男生的身高的中位數(shù)以及身高在180cm以上(含180cm)的人數(shù)；解析答案123456789101112131415解身高在第一組[155,160)的頻率為0.008×5＝0.04，身高在第二組[160,165)的頻率為0.016×5＝0.08，身高在第三組[165,170)的頻率為0.04×5＝0.2，身高在第四組[170,175)的頻率為0.04×5＝0.2，由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32<0.5,0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52>0.5，估計(jì)這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為m，則170<m<175.由0.04＋0.08＋0.2＋(m－170)×0.04＝0.5，得m＝174.5，所以可估計(jì)這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5.由直方圖得后三組頻率為0.08＋0.06＋0.008×5＝0.18，所以身高在180cm以上(含180cm)的人數(shù)為0.18×800＝144.123456789101112131415(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件E＝{|x－y|≤5}，事件F＝{|x－y|>15}，求P(E∪F).解析答案123456789101112131415解第六組[180,185)的人數(shù)為4，設(shè)為a，b，c，d，第八組[190,195]的人數(shù)為2，設(shè)為A，B，則從中選兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15種情況，因事件E＝{|x－y|≤5}發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7種情況，故P(E)＝.123456789101112131415由于|x－y|max＝195－180＝15，所以事件F＝{|x－y|>15}是不可能事件，P(F)＝0.由于事件E和事件F是互斥事件，所以P(E∪F)＝P(E)＋P(F)＝.12345678910111213141511.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.A＋B與C是互斥事件，也是對(duì)立事件B.B＋C與D是互斥事件，也是對(duì)立事件C.A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對(duì)立事件D.A與B＋C＋D是互斥事件，也是對(duì)立事件解析答案123456789101112131415解析由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一個(gè)必然事件，故其事件的關(guān)系可由如圖所示的Venn圖表示，由圖可知，任何一個(gè)事件與其余3個(gè)事件的和事件必然是對(duì)立事件，任何兩個(gè)事件的和事件與其余兩個(gè)事件的和事件也是對(duì)立事件，故選D.答案D12.如圖所示，莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中的成績(jī)，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成績(jī)超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率為_(kāi)_______.123456789101112131415解析答案解析記其中被污損的數(shù)字為x，依題意得甲的5次綜合測(cè)評(píng)的平均成績(jī)是

×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，123456789101112131415所以x的可能取值是0～7，1234567891011121314159解析答案12345678910111213141514.如圖，A地到火車(chē)站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車(chē)站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時(shí)間/分鐘10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車(chē)站的概率；解由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車(chē)站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，故用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44.123456789101112131415解析答案(2)分別求通過(guò)路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率；解選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為所用時(shí)間/分鐘10～2020～3030～4040～5050～60L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1123456789101112131415解析答案(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車(chē)站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車(chē)站，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.解設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車(chē)站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車(chē)站.由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲應(yīng)選擇L1；同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)<P(B2)，∴乙應(yīng)選擇L2.123456789101112131415解析答案15.(2015·陜西)隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對(duì)西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：123456789101112131415日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；123456789101112131415解析答案(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開(kāi)始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率.解稱(chēng)相鄰的兩個(gè)日期為“互鄰日期對(duì)”(如，1日與2日，2日與3日等)，這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對(duì)有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次日不下雨的頻率為

，以頻率估計(jì)概率，運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為

.123456789101112131415解析答案返回第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布§12.2古典概型內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)題型分類(lèi)深度剖析審題路線圖系列思想方法感悟提高練出高分基礎(chǔ)知識(shí)

自主學(xué)習(xí)1.基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件是

的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成

的和.2.古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型.(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件

；(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性

.互斥基本事件只有有限個(gè)相等知識(shí)梳理1答案3.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是

；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)＝

.4.古典概型的概率公式P(A)＝

.答案判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(

)(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件.(

)(3)從市場(chǎng)上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋，測(cè)其重量，屬于古典概型.(

)×××答案思考辨析(4)(教材改編)有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為

.(

)(5)從1,2,3,4,5中任取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是0.2.(

)(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A，且集合A中的元素個(gè)數(shù)為n，所有的基本事件構(gòu)成集合I，且集合I中元素個(gè)數(shù)為m，則事件A的概率為.(

)√√√答案1.從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是(

)考點(diǎn)自測(cè)2解析答案12345解析基本事件的總數(shù)為6，構(gòu)成“取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2”這個(gè)事件的基本事件的個(gè)數(shù)為2，答案B2.(2014·陜西)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為(

)C解析答案123453.(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱(chēng)這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(

)解析從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10種不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為

.故選C.C解析答案123454.(教材改編)同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上點(diǎn)數(shù)不相同的概率為_(kāi)_______.解析答案123455.從1,2,3,4,5,6這6個(gè)數(shù)字中，任取2個(gè)數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的概率是________.解析從6個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字的可能情況有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種，其中和為偶數(shù)的情況有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6種，所以所求的概率是.解析答案12345返回題型分類(lèi)

深度剖析例1

袋中有大小相同的5個(gè)白球，3個(gè)黑球和3個(gè)紅球，每球有一個(gè)區(qū)別于其他球的編號(hào)，從中摸出一個(gè)球.(1)有多少種不同的摸法？如果把每個(gè)球的編號(hào)看作一個(gè)基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？解由于共有11個(gè)球，且每個(gè)球有不同的編號(hào)，故共有11種不同的摸法.又因?yàn)樗星虼笮∠嗤?，因此每個(gè)球被摸中的可能性相等，故以球的編號(hào)為基本事件的概率模型為古典概型.題型一基本事件與古典概型的判斷解析答案(2)若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個(gè)基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？解由于11個(gè)球共有3種顏色，因此共有3個(gè)基本事件，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”，又因?yàn)樗星虼笮∠嗤砸淮蚊蛎總€(gè)球被摸中的可能性均為

，而白球有5個(gè)，故一次摸球摸到白球的可能性為

，同理可知摸到黑球、紅球的可能性均為

，顯然這三個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性不相等，所以以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型.解析答案思維升華一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)——有限性和等可能性，只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概型才是古典概型.思維升華下列試驗(yàn)中，是古典概型的個(gè)數(shù)為(

)①向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；②向正方形ABCD內(nèi)，任意拋擲一點(diǎn)P，點(diǎn)P恰與點(diǎn)C重合；③從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率；④在線段[0,5]上任取一點(diǎn)，求此點(diǎn)小于2的概率.A.0 B.1 C.2 D.3解析①中，硬幣質(zhì)地不均勻，不是等可能事件，所以不是古典概型.②④的基本事件都不是有限個(gè)，不是古典概型.③符合古典概型的特點(diǎn)，是古典概型問(wèn)題.B跟蹤訓(xùn)練1解析答案例2

(1)(2015·廣東)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球.從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為(

)B題型二古典概型的求法解析答案(2)(2015·江蘇)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_(kāi)_______.解析答案設(shè)取出兩只球顏色不同為事件A.(3)(2014·四川)一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.①求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率；②求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.解析答案解①由題意知，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種.設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A，則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種.1.本例(2)中，將4個(gè)球改為顏色相同，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)小球，從中一次取兩球，求標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)的概率.解基本事件數(shù)仍為6.設(shè)標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)為事件A，則A包含的基本事件為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4種，引申探究解析答案2.本例(2)中，條件不變改為有放回地取球，取兩次，求兩次取得球的顏色相同的概率.解析答案思維升華求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹(shù)形圖法，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇.思維升華將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，求：(1)兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)的概率；解由題意，先后拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)(x，y)共有n＝6×6＝36種等可能結(jié)果，為古典概型.記“兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)”為事件B，則事件B與“兩數(shù)均為偶數(shù)”為對(duì)立事件，記為.∵事件

包含的基本事件數(shù)m＝3×3＝9.跟蹤訓(xùn)練2解析答案(2)以第一次向上的點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(diǎn)(x，y)在圓x2＋y2＝15的外部或圓上的概率.解點(diǎn)(x，y)在圓x2＋y2＝15的內(nèi)部記為事件C，則

表示“點(diǎn)(x，y)在圓x2＋y2＝15上或圓的外部”.又事件C包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8種.解析答案例3

從某地高中男生中隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的體重(單位：kg)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由圖中數(shù)據(jù)可知體重的平均值為_(kāi)_______kg；若要從體重在[60,70)，[70,80)，[80,90]三組內(nèi)的男生中，用分層抽樣的方法選取12人參加一項(xiàng)活動(dòng)，再?gòu)倪@12人中選兩人當(dāng)正副隊(duì)長(zhǎng)，則這兩人體重不在同一組內(nèi)的概率為_(kāi)_______.古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用題型三解析答案思維升華有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn).概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無(wú)論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類(lèi)問(wèn)題即可解決.思維升華(2014·山東)海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來(lái)自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；跟蹤訓(xùn)練3解析答案所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2.(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率.解析答案返回解設(shè)6件來(lái)自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為：A；B1，B2，B3；C1，C2.則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個(gè).每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件D：“抽取的這2件商品來(lái)自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個(gè).返回審題路線圖系列典例(12分)一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n<m＋2的概率.審題路線圖系列六審細(xì)節(jié)更完善解析答案溫馨提醒返回審題路線圖基本事件為取兩個(gè)球↓(兩球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取兩個(gè)球的所有結(jié)果列舉出來(lái)↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}↓兩球編號(hào)之和不大于4(注意：和不大于4，應(yīng)為小于4或等于4)審題路線圖解析答案溫馨提醒返回↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式求解兩球分兩次取，且有放回↓(兩球的編號(hào)記錄是有次序的，用坐標(biāo)的形式表示)基本事件的總數(shù)可用列舉法表示解析答案溫馨提醒返回↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意細(xì)節(jié)，m是第一個(gè)球的編號(hào)，n是第2個(gè)球的編號(hào))n<m＋2的情況較多，計(jì)算復(fù)雜↓(將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題)計(jì)算n≥m＋2的概率解析答案溫馨提醒返回↓n≥m＋2的所有情況為(1,3)，(1,4)，(2,4)↓解析答案溫馨提醒返回(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè). [6分]又滿足條件n≥m＋2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個(gè)，溫馨提醒返回解(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個(gè)．故滿足條件n<m＋2的事件的概率為溫馨提醒返回(1)本題在審題時(shí)，要特別注意細(xì)節(jié)，使解題過(guò)程更加完善.如第(1)問(wèn)，注意兩球一起取，實(shí)質(zhì)上是不分先后，再如兩球編號(hào)之和不大于4，即兩球編號(hào)之和小于或等于4等；第(2)問(wèn)，有先后順序.(2)在列舉基本事件空間時(shí)，可以利用列舉、畫(huà)樹(shù)狀圖等方法，以防遺漏.同時(shí)要注意細(xì)節(jié)，如用列舉法，第(1)問(wèn)寫(xiě)成{1,2}的形式，表示無(wú)序，第(2)問(wèn)寫(xiě)成(1,2)的形式，表示有序.溫馨提醒返回(3)本題解答時(shí)，存在格式不規(guī)范，思維不流暢的嚴(yán)重問(wèn)題.如在解答時(shí)，缺少必要的文字說(shuō)明，沒(méi)有按要求列出基本事件.在第(2)問(wèn)中，由于不能將求事件n<m＋2的概率轉(zhuǎn)化成先求n≥m＋2的概率，導(dǎo)致數(shù)據(jù)復(fù)雜、易錯(cuò).所以按要求規(guī)范解答是做好此類(lèi)題目的基本要求.返回思想方法

感悟提高1.古典概型計(jì)算三步曲第一，本試驗(yàn)是不是等可能的；第二，本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少個(gè).2.確定基本事件的方法(1)當(dāng)基本事件總數(shù)較少時(shí)，可列舉計(jì)算；(2)列表法、樹(shù)狀圖法.3.較復(fù)雜事件的概率可靈活運(yùn)用互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的概率公式簡(jiǎn)化運(yùn)算.方法與技巧1.古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計(jì)算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，它們是不是等可能的.2.概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，當(dāng)A∩B＝?時(shí)，A、B互斥，此時(shí)P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要計(jì)算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)該公式可以看作一個(gè)方程，知三可求一.失誤與防范返回練出高分12345678910111213141.袋中裝有6個(gè)白球，5個(gè)黃球，4個(gè)紅球，從中任取一球抽到白球的概率為(

)15A解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析由題意知，從五位大學(xué)畢業(yè)生中錄用三人，所有不同的可能結(jié)果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10種，其中“甲與乙均未被錄用”的所有不同的可能結(jié)果只有(丙，丁，戊)這1種，故其對(duì)立事件“甲或乙被錄用”的可能結(jié)果有9種，所求概率P＝

.答案D3.2015年暑假里，甲乙兩人一起去游泰山，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí)，則最后1小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是(

)123456789101112131415D解析答案4.連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m、n，則向量(m，n)與向量(－1,1)的夾角θ>90°的概率是(

)123456789101112131415解析∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.基本事件總共有6×6＝36(個(gè))，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(個(gè)).A解析答案5.如圖，三行三列的方陣中有九個(gè)數(shù)aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，從中任取三個(gè)數(shù)，則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是(

)123456789101112131415解析答案123456789101112131415答案D1234567891011121314156.有5本不同的書(shū)，其中語(yǔ)文書(shū)2本，數(shù)學(xué)書(shū)2本，物理書(shū)1本，若將其隨機(jī)地抽取并排擺放在書(shū)架的同一層上，則同一科目的書(shū)都不相鄰的概率是____.解析答案7.用兩種不同的顏色給圖中三個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，則相鄰兩個(gè)矩形涂不同顏色的概率是____.123456789101112131415解析由于只有兩種顏色，不妨將其設(shè)為1和2，若只用一種顏色有111；222.若用兩種顏色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8種.解析答案1234567891011121314158.連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A，則P(A)最大時(shí)，m＝________.解析1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,1＋6＝7,2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,2＋6＝8……依次列出m的可能的值，知7出現(xiàn)次數(shù)最多.7解析答案9.設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3).(1)求使得事件“a⊥b”發(fā)生的概率；解由題意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36種.a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2種：(3,1)，(6,2)，123456789101112131415解析答案(2)求使得事件“|a|≤|b|”發(fā)生的概率.解|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，123456789101112131415解析答案12345678910111213141510.某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查.(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目.解由分層抽樣定義知，故從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.解析答案(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽到小學(xué)、中學(xué)各一所的概率.解記“抽到小學(xué)、中學(xué)各一所”為事件A，123456789101112131415解析答案12345678910111213141511.從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于(

)解析答案123456789101112131415答案D解析如圖所示，123456789101112131415解析答案123456789101112131415即n2－9n＋8＝0，(n－1)(n－8)＝0(n≥2)，因此n＝8，答案D12345678910111213141513.一個(gè)袋子中裝有六個(gè)大小形狀完全相同的小球，其中一個(gè)編號(hào)為1，兩個(gè)編號(hào)為2，三個(gè)編號(hào)為3.現(xiàn)從中任取一球，記下編號(hào)后放回，再任取一球，則兩次取出的球的編號(hào)之和等于4的概率是________.解析基本事件數(shù)為6×6＝36，編號(hào)之和為4的有：10種，解析答案12345678910111213141514.甲、乙兩人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.(1)設(shè)(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面數(shù)字(如果甲抽到紅桃2，乙抽到紅桃3，記為(2,3))，寫(xiě)出甲、乙兩人抽到的牌的所有情況；解方片4用4′表示，則甲、乙兩人抽到的牌的所有情況為：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12種不同的情況.解析答案(2)若甲抽到紅桃3，則乙抽到的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？解甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面數(shù)字大于3的概率為.解析答案123456789101112131415(3)甲、乙約定，若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝；否則，乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平？請(qǐng)說(shuō)明理由.解甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5種情況.123456789101112131415解析答案15.袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為

，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的.(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；123456789101112131415則n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)，即袋中原有3個(gè)白球.解析答案(2)求取球2次即終止的概率；解設(shè)事件A為“取球2次即終止”.取球2次即終止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，123456789101112131415解析答案(3)求甲取到白球的概率.解設(shè)事件B為“甲取到白球”，“第i次取到白球”為事件Ai，i＝1,2,3,4,5，因?yàn)榧紫热?，所以甲只可能在?次，第3次和第5次取到白球.解析答案123456789101112131415返回第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布§12.3幾何概型內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)題型分類(lèi)深度剖析易錯(cuò)警示系列思想方法感悟提高練出高分基礎(chǔ)知識(shí)

自主學(xué)習(xí)1.幾何概型如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的

或

成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為

.2.幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式長(zhǎng)度(面積體積)幾何概型知識(shí)梳理1答案3.要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有

；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有

.4.隨機(jī)模擬方法(1)使用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn)，以便通過(guò)這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法.無(wú)限多個(gè)等可能性答案(2)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法.這個(gè)方法的基本步驟是①用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義；②統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N；③計(jì)算頻率fn(A)＝

作為所求概率的近似值.答案判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零.(

)(2)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等.(