行測方陣問題詳細(xì)總結(jié)

公務(wù)員考試行測輔導(dǎo)數(shù)學(xué)運算“方陣”問題學(xué)生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列。假如行數(shù)與列數(shù)都相等，則恰好排成一種正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣(亦叫乘方問題)。1.方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方(方陣問題的關(guān)鍵)2.方陣最外層每邊人數(shù)=(方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4)+13.方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多24.去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)×2-1例1學(xué)校學(xué)生排成一種方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個方陣共有學(xué)生多少人?A.256人B.250人C.225人D.196人(A類真題)解析：方陣問題的關(guān)鍵是求最外層每邊人數(shù)。根據(jù)四面人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四面人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了。方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4+1=16(人)整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：16×16=256(人)。因此，對的答案為A。例2參與中學(xué)生運動會團(tuán)體操比賽的運動員排成了一種正方形隊列。假如要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參與團(tuán)體操演出的運動員有多少人?分析如下圖表達(dá)的是一種五行五列的正方形隊列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等;最外層每邊人數(shù)是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)×2-1解析：方陣問題的關(guān)鍵是求最外層每邊人數(shù)。原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33，則去掉的一行(或一列)人數(shù)=(33+1)÷2=17方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，因此總?cè)藬?shù)為17×17=289(人)下面幾道習(xí)題供大家練習(xí)：1.小紅把平時節(jié)省下來的所有五分硬幣先圍成個正三角形，恰好用完，后來又改圍成一種正方形，也恰好用完。假如正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是：A.1元B.2元C.3元D.4元(中央真題)2.某儀仗隊排成方陣，第一次排列若干人，成果多出100人;第二次比第一次每行、每列都增長3人，又少29人。儀仗隊總?cè)藬?shù)為多少?答案：1.C2.500人(1)方陣總?cè)?物)數(shù)＝最外層每邊人(物)數(shù)的平方；(2)方陣最外一層總?cè)?物)數(shù)比內(nèi)一層總?cè)?物)數(shù)多8(行數(shù)和列數(shù)分別不小于2)；(3)方陣最外層每邊人(物)數(shù)＝(方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4)＋1；(4)方陣最外層總?cè)藬?shù)＝[最外層每邊人(物)數(shù)－1]×4；(5)去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1【例1】（國家A類-9、國家B類-18）某學(xué)校學(xué)生排成一種方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個方陣共有學(xué)生多少人？（）A.256人

B.250人

C.225人

D.196人［答案］A［解析］根據(jù)公式：方陣人數(shù)＝(最外層人數(shù)÷4＋1）^2＝（60÷4＋1）^2＝256（人）。【例2】（浙江-18）某校的學(xué)生剛好排成一種方陣，最外層的人數(shù)是96人，則這個學(xué)校共有學(xué)生（）。A.600人

B.615人

C.625人

D.640人［答案］C［解一］根據(jù)公式：方陣人數(shù)＝(最外層人數(shù)÷4＋1)^2＝（96÷4＋1）^2＝625（人）。［解二］數(shù)字特性法：方陣的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是一種完全平方數(shù)，因此結(jié)合選項，選擇C?！纠?】（廣西-11）參與閱兵式的官兵排成一種方陣，最外層的人數(shù)是80人，問這個方陣共有官兵多少人？（）A．441B.400C.361D.386［答案］A［解析］根據(jù)公式：方陣人數(shù)＝(最外層人數(shù)÷4＋1)^2＝（80÷4＋1）^2＝441（人）。【例4】（國家一類-44、國家二類-44）小紅把平時節(jié)省下來的所有五分硬幣先圍成一種正三角形，恰好用完，后來又改圍成一種正方形，也恰好用完。假如正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是多少？（）A.1元

B.2元

C.3元

D.4元［答案］C［解一］設(shè)正方形每邊x枚硬幣，三角形每邊y枚硬幣，一共有N枚硬幣，根據(jù)公式可得方程組：N=4x－4N=3y-3N=60y-x=5，由于每枚硬幣5分，因此總價值3元。［注釋］這里圍成的三角形和正方形都指的是空心的。［解二］根據(jù)數(shù)字特性法：硬幣能圍成正三角形→硬幣的個數(shù)是3的倍數(shù)→硬幣的價值可以三等分→根據(jù)選項選擇C?！纠?】參與中學(xué)生運動會團(tuán)體操演出的運動員排成一種正方形隊列，若減少一行一列，則要減少49人，則參與團(tuán)體操演出的運動員共（）人。A.576

B.625

C.676

D.2401［答案］B［解析］重疊點思維：假設(shè)每邊有x人，則一行一列共有（2x-1）人（注意該行與列的交叉點上的人被反復(fù)計算了兩遍），有方程：2x-1=49，解得x=25。共有25^2=625人?！纠?】（廣東下-11）要在一塊邊長為48米的正方形地里種樹苗，已知每橫行相距3米，每豎列相距6米，四角多種一棵樹，問一共可種多少棵樹苗?（）A.128棵

B.132棵

C.153棵

D.157棵［答案］C［解析］根據(jù)公式：棵數(shù)=總長÷間隔+1。邊長為48米，每橫行相距3米，共有48÷3+1=17行；邊長為48米，每橫行相距6米，共有48÷6+1=9列；可得：17×9=153（棵），一共可種樹苗153棵?！纠?】某些解放軍戰(zhàn)士構(gòu)成一種長方陣，經(jīng)一次隊列變換后，增長了6行，減少了10列，恰構(gòu)成一種方陣，一種人也不多，一種人也不少。則原長方形陣共有（）人。A.196

B.225

C.256

D.289［答案］B［解析］設(shè)該正方形陣每邊x人，則原長方形陣為（x-6）行，（x+10）列。x^2=（x-6）（x+10）x=15，因此共有152=225人，選擇B?！纠?】奧運會前夕，在廣場中心周圍用盆花圍成了一種兩層的空心方陣。則外層有（）盆花。A.251

B.253

C.1000

D.1008［答案］D［解一］設(shè)外層有m盆，內(nèi)層有n盆，根據(jù)公式：m-n=8。則：m-n=8m+n=m=1008n=1000［解二］設(shè)該方陣外層每邊x盆，根據(jù)“逆向法思維”：x^2-（x-4）^2=x=253，外層每邊有253盆，根據(jù)公式：外層共有253×4-4=1008?！纠?0】（江蘇-74）有一列士兵排成若干層的中空方陣，外層共有68人，中間一層共有44人，則該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是（）。A.296人

B.308人

C.324人

D.348人［答案］B［解一］最外層68人，中間一層44人，則最內(nèi)層為44×2－68＝20人（成等差數(shù)列）。因此一共有：68-208＋1＝7（層），總?cè)藬?shù)為44×7＝308。［解二］中間一層共44人，總?cè)藬?shù)是＝44×層數(shù)，是44的倍數(shù)，結(jié)合選項直接鎖定B。【例11】有一隊學(xué)生，排成一種中空方陣，最外層的人數(shù)共48人，最內(nèi)層人數(shù)為24人，則該方陣共有（）人。A.120

B.144

C.176

D.194［答案］B［解一］設(shè)最外層每邊x人，最內(nèi)層每邊y人，根據(jù)公式：4x-4=484y-4=24x=13y=7因此外層每邊13人，內(nèi)部空心部分每邊7-2＝5人，根據(jù)“逆向法思維”：共有132-52=144人。［解二］總?cè)藬?shù)＝（48+24）×層數(shù)÷2＝36×層數(shù)，是36的倍數(shù)，直接鎖定B。［解三］根據(jù)公式：相鄰兩圈相差8，因此很輕易得到這幾圈分別為48、40、32、24，直接加起來即可。【例12】有若干人，排成一種空心的四層方陣。目前調(diào)整陣形，把最外邊一層每邊人數(shù)減少16人，層數(shù)由本來的四層變成八層，則共有（）人。A.160

B.1296

C.640

D.1936［答案］C［解析］設(shè)調(diào)整前最外層每邊x人，調(diào)整后每邊y人，根據(jù)“逆向法思維”：x-y=16x^2-（x-8）^2=y^2-（y-16）^2x=44y=28因此：44^2-（44-8）^2=640（人）。容斥原理解題技巧在行測考試中，容斥原理題令諸多考生頭痛不已，由于容斥原理題看起來復(fù)雜多變，讓考生一時找不著頭緒。但該題型還是有著非常明顯的內(nèi)在規(guī)律，只要考生可以掌握該題型的內(nèi)在規(guī)律，看似復(fù)雜的問題就能迎刃而解，下面就該題型分兩種狀況進(jìn)行剖析，相信可以給考生帶來一定的協(xié)助。一、兩集合類型1、解題技巧題目中所波及的事物屬于兩集合時，容斥原理合用于條件與問題都可以直接帶入公式的題目，公式如下：A∪B=A+B－A∩B迅速解題技巧：總數(shù)=兩集合數(shù)之和+兩集合之外數(shù)－兩集合公共數(shù)2、真題示例【例1】既有50名學(xué)生都做物理、化學(xué)試驗，假如物理試驗做對的的有40人，化學(xué)試驗做對的的有31人，兩種試驗都錯的有4人，則兩種試驗都做對的有()A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式為：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，因此答案為B?！纠?】某服裝廠生產(chǎn)出來的一批襯衫大號和小號各占二分之一。其中25％是白色的，75％是藍(lán)色的。假如這批襯衫共有100件，其中大號白色襯衫有10件，小號藍(lán)色襯衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】這是一種新題型，該種題型直接從求解出發(fā)，將所求答案設(shè)為A∩B，本題設(shè)小號和藍(lán)色分別為兩個事件A和B，小號占50%，藍(lán)色占75%，直接代入公式為：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。二、三集合類型1、解題環(huán)節(jié)波及到三個事件的集合，解題環(huán)節(jié)分三步：①畫文氏圖；②弄清圖形中每一部分所代表的含義，按照中路（三集合公共部分）突破的原則，填充各部分的數(shù)字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）進(jìn)行求解。2、解題技巧三集合類型題的解題技巧重要包括一種計算公式和文氏圖。公式：總數(shù)=各集合數(shù)之和－兩集合數(shù)之和＋三集合公共數(shù)＋三集合之外數(shù)3、真題示例【例3】【國考-47】某高校對某些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參與注冊會計師考試的有63人，準(zhǔn)備參與英語六級考試的有89人，準(zhǔn)備參與計算機考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參與的有24人，準(zhǔn)備只選擇兩種考試都參與的有46人，不參與其中任何一種考試的都15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？（

）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本題畫圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分?jǐn)?shù)字24，再推其他部分?jǐn)?shù)字：根據(jù)每個區(qū)域含義應(yīng)用公式得到：總數(shù)=各集合數(shù)之和－兩兩集合數(shù)之和＋三集合公共數(shù)＋三集合之外數(shù)＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根據(jù)上述含義分析得到：x+z+y只屬于兩集合數(shù)之和，也就是該題所講的只選擇兩種考試都參與的人數(shù)，因此x+z+y的值為46人；得本題答案為120.【例4】對某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，成果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本題畫圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分?jǐn)?shù)字12，再推其他部分?jǐn)?shù)字：根據(jù)各區(qū)域含義及應(yīng)用公式得到：總數(shù)=各集合數(shù)之和－兩兩集合數(shù)之和＋三集合公共數(shù)＋三集合之外數(shù)100＝58+38+52－{18+16+（12+

x）}+12+0,由于該題中，沒有三種都不喜歡的人，因此三集合之外數(shù)為0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y(jié)＝22人。（曾凡穩(wěn)）一、兩集合類型1、解題技巧題目中所波及的事物屬于兩集合時，容斥原理合用于條件與問題都可以直接帶入公式的題目，公式如下：A∪B=A+B－A∩B迅速解題技巧：總數(shù)=兩集合數(shù)之和+兩集合之外數(shù)－兩集合公共數(shù)2、真題示例【例1】既有50名學(xué)生都做物理、化學(xué)試驗，假如物理試驗做對的的有40人，化學(xué)試驗做對的的有31人，兩種試驗都做錯的有4人，則兩種試驗都做對的有()【答案】C【解析】直接代入公式為：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，因此答案為B?！纠?】某服裝廠生產(chǎn)出來的一批襯衫大號和小號各占二分之一。其中25％是白色的，75％是藍(lán)色的。假如這批襯衫共有100件，其中大號白色襯衫有10件，小號藍(lán)色襯衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】這是一種新題型，該種題型直接從求解出發(fā)，將所求答案設(shè)為A∩B，本題設(shè)小號和藍(lán)色分別為兩個事件A和B，小號占50%，藍(lán)色占75%，直接代入公式為：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。二、三集合類型1、解題環(huán)節(jié)波及到三個事件的集合，解題環(huán)節(jié)分三步：①畫文氏圖；②弄清圖形中每一部分所代表的含義，按照中路（三集合公共部分）突破的原則，填充各部分的數(shù)字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）進(jìn)行求解。2、解題技巧三集合類型題的解題技巧重要包括一種計算公式和文氏圖。公式：總數(shù)=各集合數(shù)之和－兩集合數(shù)之和＋三集合公共數(shù)＋三集合之外數(shù)文氏圖如下：其中各區(qū)域含義分別為：1區(qū)域代表只屬于A集合；2區(qū)域代表只屬于A和B；3區(qū)域代表只屬于B集合；4區(qū)域代表只屬于B和C；5區(qū)域代表三集合公共部分；6區(qū)域代表只屬于A和C；7區(qū)域代表只屬于C集合；2+5區(qū)域代表A∩B；4+5區(qū)域代表B∩C；5+6區(qū)域代表A∩C；1+2+5+6區(qū)域代表屬于A集合；3+2+5+4區(qū)域代表屬于B集合；4+5+6+7區(qū)域代表屬于C集合。3、真題示例【例3】【國考-47】某高校對某些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參與注冊會計師考試的有63人，準(zhǔn)備參與英語六級考試的有89人，準(zhǔn)備參與計算機考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參與的有24人，準(zhǔn)備只選擇兩種考試都參與的有46人，不參與其中任何一種考試的都15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本題畫圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分?jǐn)?shù)字24，再推其他部分?jǐn)?shù)字，得下圖：根據(jù)每個區(qū)域含義應(yīng)用公式得到：總數(shù)=各集合數(shù)之和－兩兩集合數(shù)之和＋三集合公共數(shù)＋三集合之外數(shù)＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根據(jù)上術(shù)含義分析得到：x+z+y只屬于兩集合數(shù)之和，也就是該題所講的只選擇兩種考試都參與的人數(shù)，因此x+z+y的值為46人；得本題答案為120.【例4】對某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，成果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本題畫圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分?jǐn)?shù)字12，再推其他部分?jǐn)?shù)字，得下圖：根據(jù)各區(qū)域含義及應(yīng)用公式得到：總數(shù)=各集合數(shù)之和－兩兩集合數(shù)之和＋三集合公共數(shù)＋三集合之外數(shù)100＝58+38+52－{18+16+（12+x）}+12+0,由于該題中，沒有三種都不喜歡的人，因此三集合之外數(shù)為0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y(jié)＝22人。容斥原理題目巧解容斥原理是公務(wù)員考試中較難的一類題目，一般的解題思緒有兩種：1、公式法，合用于“條件與問題”都可直接代入公式的題目；2、文氏圖示意法，即當(dāng)條件與問題不能直接代入公式時，需要運用該措施處理。一般而言，可以直接代入公式的題目較輕易，而需要運用文氏圖的題目相對靈活，輕易給考生解題帶來不便。假如大家可以對公式中的各個要素以及文氏圖上的各個部分所代表的含義有深入理解，則可以迅速抓住解題關(guān)鍵?！纠}】某班有35個學(xué)生，每個學(xué)生至少參與英語小組、語文小組、數(shù)學(xué)小組中的—個課外活動小組?，F(xiàn)已知參與英語小組的有17人。參與語文小組的有30人，參與數(shù)學(xué)小組的有13人。假如有5個學(xué)生三個小組全參與了，問有多少個學(xué)生只參與了一種小組？A.15

B.16

C.17

D.18對于這個題目，一般思緒為：將題目條件帶入三集合文氏圖，假設(shè)只參與兩個小組的人數(shù)分別為x，y，z人，由加減關(guān)系可以得到只參與一種小組的人數(shù)的表達(dá)形式，根據(jù)總?cè)藬?shù)可以列出方程：(13-5-x-y)+(17-5-x-y)+(30-5-x-y)+x+y+z+5=35，從而得到x+y+z=15，即為所求。該措施是運用文氏圖和列方程的措施進(jìn)行解題，措施簡樸易懂，不過實際操作起來消耗時間較多，下文將給出本題的此外兩種解法：【解法1】文氏圖與三集合原則型公式相結(jié)合。三集合原則型的公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。將語文小組的人數(shù)視為A，數(shù)學(xué)小組人數(shù)視為B，英語小組人數(shù)視為C，分別代入公式可以得到AB+AC+BC=30?！癆B+AC+BC”中包括三個ABC，因此要減去兩個，即AB+AC+BC-2ABC=20，即為至少選兩個小組的人數(shù)，因此，得到只參與一種小組的人數(shù)=總?cè)藬?shù)(AUBUC=35)減去至少選兩個小組的人數(shù)(AB+AC+BC-2ABC=20)，等于15。該措施將文氏圖與三集合原則型公式結(jié)合使用，防止了求解不必要要素的過程，這需要各位考生對于基本公式和文氏圖各部分的意義有深刻理解。對于這道題目而言，尚有愈加迅速的解題措施，如下：【解法2】通過讀題，我們可以發(fā)現(xiàn)，英語小組、語文小組、數(shù)學(xué)小組在題目中都是同步出現(xiàn)，即這三個小組是并列關(guān)系，對于這三個小組的人數(shù)，即17、30、13三個數(shù)字只能用加法處理，等于60。這樣原題五個數(shù)字(35、17、30、13、5)就變?yōu)槿齻€(35、60、5)，而這三個數(shù)字之間只能做加減，而不能做乘除，因此，得到成果的尾數(shù)必為“0”或“5”。在得到這個結(jié)論之后，我們觀測一下選項，發(fā)現(xiàn)只有A選項尾數(shù)為5，因此，本題答案確定無疑，就是A。本題成功實現(xiàn)“秒殺”。有關(guān)容斥原理的考試題目千變?nèi)f化，不過無論怎樣變化都離不開基本公式和文氏圖，考生在平時練習(xí)的時候一定要純熟掌握這兩種措施，從而提高做題速度與對的率，并爭取針對個性化的題目產(chǎn)生巧妙的措施。山東公務(wù)員行測：數(shù)量關(guān)系之容斥問題解題原理及措施一、知識點1、集合與元素：把一類事物的全體放在一起就形成一種集合。每個集合總是由某些組員構(gòu)成的，集合的這些組員，叫做這個集合的元素。如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9為A的元素。2、并集：由所有屬于集合A或集合B的元素所構(gòu)成的集合，叫做A，B的并集，記作A∪B，記號“∪”讀作“并”。A∪B讀作“A并B”，用圖表達(dá)為圖中陰影部分表達(dá)集合A，B的并集A∪B。例：已知6的約數(shù)集合為A={1，2，3，6}，10的約數(shù)集合為B={1，2，5，10}，則A∪B={1，2，3，5，6，10}3、交集：A、B兩個集合公共的元素，也就是那些既屬于A，又屬于B的元素，它們構(gòu)成的集合叫做A和B的交集，記作“A∩B”，讀作“A交B”，如圖陰影表達(dá)：例：已知6的約數(shù)集合A={1，2，3，6}，10的約數(shù)集合B={1，2，5，10}，則A∩B={1，2}。4、容斥原理(包括與排除原理)：(用|A|表達(dá)集合A中元素的個數(shù)，如A={1，2，3}，則|A|=3)原理一：給定兩個集合A和B，要計算A∪B中元素的個數(shù)，可以提成兩步進(jìn)行：第一步：先求出∣A∣+∣B∣(或者說把A，B的一切元素都“包括”進(jìn)來，加在一起);第二步：減去∣A∩B∣(即“排除”加了兩次的元素)總結(jié)為公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣原理二：給定三個集合A，B，C。要計算A∪B∪C中元素的個數(shù)，可以分三步進(jìn)行：第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣;第二步：減去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣;第三步：再加上∣A∩B∩C∣。即有如下公式：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣-|C∩A|+|A∩B∩C∣二、例題分析：例1求不超過20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個。分析：設(shè)A={20以內(nèi)2的倍數(shù)}，B={20以內(nèi)3的倍數(shù)}，顯然，規(guī)定計算2或3的倍數(shù)個數(shù)，即求∣A∪B∣。解1：A={2，4，6，…20}，共有10個元素，即|A|=10B={3，6，9，…18}，共有6個元素，即|B|=6A∩B={既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)}={6，12，18}，共有3個元素，即|A∩B|=3因此∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13個元素。解2：本題可直觀地用圖示法解答如圖，其中，圓A中放的是不超過20的正整數(shù)中2的倍數(shù)的全體;圓B中放的是不超過20的正整數(shù)中3的倍數(shù)的全體，其中陰影部分的數(shù)6，12，18是既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)的數(shù)(即A∩B中的數(shù))只要數(shù)一數(shù)集合A∪B中的數(shù)的個數(shù)即可。例2某班記錄考試成績，數(shù)學(xué)得90分上的有25人;語文得90分以上的有21人;兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問兩科都在90分以上的有多少人?解：設(shè)A={數(shù)學(xué)成績90分以上的學(xué)生}B={語文成績90分以上的學(xué)生}那么，集合A∪B表達(dá)兩科中至少有一科在90分以上的學(xué)生，由題意知，∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38現(xiàn)規(guī)定兩科均在90分以上的學(xué)生人數(shù)，即求∣A∩B∣，由容斥原理得∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8點評：處理本題首先要根據(jù)題意，設(shè)出集合A，B，并且會表達(dá)A∪B，A∩B，再運用容斥原理求解。例3某班同學(xué)中有39人打籃球，37人跑步，25人既打籃球又跑步，問全班參與籃球、跑步這兩項體育活動的總?cè)藬?shù)是多少?解：設(shè)A={打籃球的同學(xué)};B={跑步的同學(xué)}則A∩B={既打籃球又跑步的同學(xué)}A∪B={參與打籃球或跑步的同學(xué)}應(yīng)用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51(人)例4求在不超過100的自然數(shù)中，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)有多少個?分析：這個問題與前幾種例題看似不相似，不能直接運用容斥原理，要計算的是“既不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)?！辈贿^，只要同學(xué)們仔細(xì)分析題意，這只需先算出“100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)?！痹購?00中減去就行了。解：設(shè)A={100以內(nèi)的5的倍數(shù)}B={100以內(nèi)的7的倍數(shù)}A∩B={100以內(nèi)的35的倍數(shù)}A∪B={100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)}則有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A∩B∣=2由容斥原理一有：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32因此，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是：100-32=68(個)點評：從以上的解答可體會出一種重要的解題思想：有些問題表面上看好象很不一樣樣，但通過細(xì)心的推敲就會發(fā)現(xiàn)它們之間有著緊密的聯(lián)絡(luò)，應(yīng)當(dāng)善于將一種問題轉(zhuǎn)化為另一種問題。例5某年級的課外學(xué)科小組分為數(shù)學(xué)、語文、外語三個小組，參與數(shù)學(xué)小組的有23人，參與語文小組的有27人，參與外語小組的有18人;同步參與數(shù)學(xué)、語文兩個小組的有4人，同步參與數(shù)學(xué)、外語小組的有7人，同步參與語文、外語小組的有5人;三個小組都參與的有2人。問：這個年級參與課外學(xué)科小組共有多少人?解1：設(shè)A={數(shù)學(xué)小組的同學(xué)}，B={語文小組的同學(xué)}，C={外語小組的同學(xué)}，A∩B={數(shù)學(xué)、語文小組的同學(xué)}，A∩C={參與數(shù)學(xué)、外語小組的同學(xué)}，B∩C={參與語文、外語小組的同學(xué)}，A∩B∩C={三個小組都參與的同學(xué)}由題意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2根據(jù)容斥原理二得：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣=23+27+18-(4+5+7)+2=54(人)山東公務(wù)員行測：數(shù)量關(guān)系之容斥問題解題原理及措施解2：運用圖示法逐一填寫各區(qū)域所示的集合的元素的個數(shù)，然后求出最終成果。設(shè)A、B、C分別表達(dá)參與數(shù)學(xué)、語文、外語小組的同學(xué)的集合，其圖分割成七個互不相交的區(qū)域，區(qū)域Ⅶ(即A∩B∩C)表達(dá)三個小組都參與的同學(xué)的集合，由題意，應(yīng)填2。區(qū)域Ⅳ表達(dá)僅參與數(shù)學(xué)與語文小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為4-2=2(人)。區(qū)域Ⅵ表達(dá)僅參與數(shù)學(xué)與外語小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為7-2=5(人)。區(qū)域Ⅴ表達(dá)僅參與語文、外語小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為5-2=3(人)。區(qū)域Ⅰ表達(dá)只參與數(shù)學(xué)小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為23-2-2-5=14(人)。同理可把區(qū)域Ⅱ、Ⅲ所示的集合的人數(shù)逐一算出，分別填入對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，則參與課外小組的人數(shù)為;14+20+8+2+5+3+2=54(人)點評：解法2簡樸直觀，不易出錯。由于各個區(qū)域所示的集合的元素個數(shù)都計算出來了，因此提供了較多的信息，易于回答多種方式的提問。例6學(xué)校教導(dǎo)處對100名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，成果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。此外還懂得，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇(但不喜歡看電影)的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇(但不喜歡看球賽)的有4人，三種都喜歡的有12人。問有多少同學(xué)只喜歡看電影?有多少同學(xué)既喜歡看球賽又喜歡看電影(但不喜歡看戲劇)?(假定每人至少喜歡一項)解法1：畫三個圓圈使它們兩兩相交，彼此提成7部分(如圖)這三個圓圈分別表達(dá)三種不一樣愛好的同學(xué)的集合，由于三種都喜歡的有12人，把12填在三個圓圈的公共部分內(nèi)(圖中陰影部分)，其他6部分填上題目中所給出的不一樣愛好的同學(xué)的人數(shù)(注意，有的部分的人