數(shù)學建模 主成分分析

主成分分析法2023/9/22常見相關模型及其

建模方法2.專題求解模型1.發(fā)散思維模型2023/9/22近幾年賽題為例2009年A題制動器試驗臺的控制方法分析

B題眼科病床的合理安排

2010年A題儲油罐的變位識別與罐容表標定

B題上海世博會影響力的定量評估

2011年A題城市表層土壤重金屬污染分析

B題交巡警服務平臺的設置與調度2012年A題葡萄酒的評價

B題太陽能小屋的設計

近幾年全國數(shù)學建模競賽題2023/9/222010年B題上海世博會影響力的定量評估

2009年B題眼科病床的合理安排

2011年A題城市表層土壤重金屬污染分析2012年A題葡萄酒的評價

均可歸屬為-

基于數(shù)據(jù)分析的綜合評價模型2023/9/22兩類模型常用建模方法綜合評價法測試分析法專題建模法信息合理運用法2023/9/22綜合評價基本方法簡易的方法有：常用的方法有：2023/9/22測試分析法回歸分析曲線擬合計算機模擬與仿真2023/9/22專題建模法數(shù)學規(guī)劃（線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃）概率論與數(shù)理統(tǒng)計圖論微分方程各學科實際問題2023/9/22信息合理運用法將與問題相關的論文合理運用將其他問題的論文合理運用07年選區(qū)的重新劃分與統(tǒng)計物理2023/9/22

主成份分析法2023/9/22問題實際背景，在眾多評價問題中，人們往往會對評價樣品收集盡可能多的指標，例如人口普查往往要調查每個人的姓名、年齡、性別、文化程度、住房、職業(yè)、收入、消費等幾十項指標；再如，2012年葡萄評價有24指標。從收集資料的角度來看，收集較多的數(shù)據(jù)有利于完整反映樣品的特征，但是這些指標從統(tǒng)計角度來看相互之間具有一定的依賴關系，從而使所觀測的數(shù)據(jù)在反映信息上有一定重疊，同時又使得問題變得復雜。2023/9/22思考：如何減少變量，但信息量保留得較多。由此產(chǎn)生了主成分分析法。

主成分分析也稱主分量分析（principalcomponentsanalysis,PCA）是由美國的科學家哈羅德·霍特林（Haroldotelling）于1933年首先提出的。

2023/9/22解決的問題之一：降維2023/9/22解決的問題之二：幾何分析2023/9/22

解決的問題之三：客觀加權2023/9/22

主成分分析的基本思想2023/9/22一、降維的兩個準則準則1：信息量損失盡可能少。準則2：新主成分之間相關性低、重疊少。2023/9/22二、明確信息量的數(shù)學意義

我們知道，當一個變量所取數(shù)據(jù)相近時，這個變量（數(shù)據(jù)）提供的信息量較為單一，當這個變量取數(shù)據(jù)差異較大時，說明它對各種場景的“遍歷性”越強，提供的信息就更加充分，從數(shù)學角度來論，變量的標準差或方差越大，變量涵蓋的信息越足。2023/9/22三、明確重疊少數(shù)學意義

我們知道，當一個變量與有關聯(lián)時難免表達信息有重復，沒關聯(lián)反映在數(shù)學上最好是兩變量獨立，而這一要求過強，較難滿足，這里我們就要求新主成分之間無線性關系就好，反映在概率理論上就是每兩個主成分之間的協(xié)方差為“0”或相關系數(shù)為“0”。2023/9/22建立選取主成分分析模型2023/9/22引例：假設共有n個樣品，每個樣品都測量了兩個指標（X1，X2），在坐標系中，觀察散點的分布，假設共有n個樣品，每個樣品都測量了兩個指標（X1，X2），在坐標系中，觀察散點的分布，假設共有n個樣品，每個樣品都測量了兩個指標（X1，X2），在坐標系中，觀察散點的分布，假設共有n個樣品，每個樣品都測量了兩個指標（X1，X2），在坐標系中，觀察散點的分布，2023/9/22引例：單獨看這n個點的分量

，它們沿著

方向和

方向都具有相近的離散性，如果僅考慮其中的任何一個分量，那么包含在另一分量中的信息將會損失，因此，直接舍棄某個分量不是“確定主成分”的有效辦法。2023/9/22結論：為第一主成分，為第二主成分。換個角度觀察

事實上，散點的分布總有可能沿著某一個方向略顯擴張，這里沿橢圓的長軸方向數(shù)據(jù)變化跨度就明顯大于橢圓的短軸方向。2023/9/22結論：為第一主成分，為第二主成分。換個角度觀察

結論：長軸方向變量為第一主成分；短軸方向變量為第二主成分。2023/9/22結論：為第一主成分，為第二主成分。當新舊變量間夾角為時，由坐標變換公式可得主成分獲得的數(shù)學模型2023/9/22確定主成分的數(shù)學模型：2023/9/22推廣一般主成分確定的模型或其中T是正交矩陣2023/9/22主成分滿足的約束要求：①Y的各分量是不相關的；②并且Y的第一個分量的方差是最大的；第二個分量的方差次之，……，等等。③為了保持信息不丟失，Y的各分量方差和與X的各分量方差和相等。2023/9/22主成分的方差及它們的協(xié)方差其中表示方差，Cov表示協(xié)方差，這里X是多維隨機向量，D（X）則表述的是X的協(xié)方差陣，一般用其中表示方差，Cov表示協(xié)方差，這里X是多維隨機向量，D（X）則表述的是X的協(xié)方差陣，一般用其中表示方差，Cov表示協(xié)方差，這里X是多維隨機向量，D（X）則表述的是X的協(xié)方差陣，一般用2023/9/22所以協(xié)方差矩陣是對稱矩陣，且為非負定的！復習：關于隨機向量的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為2023/9/22第一主成分求法Y1的方差2023/9/22第二主成分及第k主成分滿足條件考慮到Y2=t21x1+t22x2+t23x3+...

+tp1xp

=

T'2X

,及我們的準則考慮到Y2=t21x1+t22x2+t23x3+...

+tp1xp

=

T'2X

,及我們的準則2023/9/22第二主成分及第k主成分求法表明是∑的特征值，T'2為特征向量?2023/9/22第主成分求法2023/9/22結論：思考：總信息量不變嗎？2023/9/22主成分保持信息總量不少2023/9/22主成分個數(shù)確定的標準2023/9/22主成分個數(shù)確定的標準2023/9/22

主成分分析的步驟2023/9/221.構造樣本陣樣本陣,其中是樣本容量即評價對象，是評價指標個數(shù)，是第個樣本中采集的第項評價指標值。

2023/9/222.指標標準化

為克服單位差異對評價結果的影響，須將指標標準化

其中,

2023/9/223.協(xié)方差矩陣（也是樣本陣的相關系數(shù)陣？）可證，由標準化后得到的矩陣，而2023/9/224.確定主成分2023/9/225.構造綜合評價函數(shù)

1.求的權值公式：2.構造綜合評價函數(shù)：這里我們應該注意，從本質上說綜合評價函數(shù)是對原始指標的線性綜合，從計算主成分到對之加權，經(jīng)過兩次線性運算后得到綜合評價函數(shù)。

2023/9