現(xiàn)代通信原理與技術(shù)答案2章

隨機(jī)過大綱要隨機(jī)過程的數(shù)字特征均值、方差、相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)，其輸出過程的均值、自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度、帶限白噪聲；窄帶隨機(jī)過程的表達(dá)式，其包絡(luò)、相位的統(tǒng)計特性，其同相分量、正交分量的統(tǒng)計內(nèi)容提隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程是隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲的統(tǒng)稱K但它們的隨機(jī)性或不可預(yù)測性的意義完全不同隨機(jī)信號的不可預(yù)測性是它攜帶信息的能力而噪聲的不可預(yù)測性對有用信號是有害的無窮多個樣本函數(shù)的集合稱為隨機(jī)過程K記為IJ是一個時間函數(shù)N

I它有兩個基本屬性IJ在某一觀察時刻u上K全體樣本在u時刻的取值是一個不含u變化的隨機(jī)因此K隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量和時間函數(shù)的特點研究隨機(jī)過程正是利用了它的這兩個設(shè)表示一個隨機(jī)過程K在任意給定的時刻uUK其取值IuJ是一個一維隨機(jī)變量K則小于或等于某一數(shù)值yuJ0 為隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)如果存在J yu 則稱gIy為顯然K隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機(jī)過程在各個孤立時刻上的統(tǒng)計特性K而沒有說明隨機(jī)過程在不同時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系為此需要進(jìn)一步引入二維分布函數(shù)任給兩個時刻uuUK則隨機(jī)變量IuJ和IuJ構(gòu)成了一個二元隨機(jī)變量uKu

GIyKyNuuJQRuJ0yKuJ0yS 的二維分布函數(shù)如果存在IGyyu yyuu yu同理K任給uuKoUK則的ooyyouuKoJJKo0 則稱其為

yyyuuu o gyyKyNuuKuo o的o維概率密度函 顯然Ko越大K對隨機(jī)過程統(tǒng)計特性的描述就越充分分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性但在實際工作中K有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度K而用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性K顯得更簡單直觀J均值數(shù)學(xué)期望Qy 它表示隨機(jī)過程的o個樣本函數(shù)曲線的擺動中心EPQPJFPQ 它表示隨機(jī)過程在時刻u對于均值的偏離程度當(dāng)J時KJ

J均值和方差僅與隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)有關(guān)因而它們刻劃了隨機(jī)過程在各個孤立時刻的特征為了描述隨機(jī)過程在兩個不同時刻的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度常用協(xié)方差函數(shù)uu和相關(guān)函數(shù)uu來表示分別定義為uJuPJu&& uuyy

uuJQy uJuuJuu 若u 或u uuJuuJ K則uuJ可表示為SIuJ這說明K相關(guān)函數(shù)是起始時刻u和時間間隔的函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程是一種特殊而又廣泛應(yīng)用的隨機(jī)過程K在通信領(lǐng)域中占有重要地位定義J對任意的o和iK隨機(jī)過程的o維概率密度函數(shù)滿足oyouKoJoyo iJ 則稱含 指隨機(jī)過

的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化K即當(dāng)取樣點在時間軸上作任意平移時K隨機(jī)過程的所有有限維分布函數(shù)不變且有一維分布則與時間u無關(guān)MgIyuJgIyJN uJ若隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望與時間無關(guān)K而其相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔有關(guān)K 則稱

u 注意!狹義平穩(wěn)一定是廣義平穩(wěn)的反之不一定成立通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲K大多數(shù)可視為平穩(wěn)過程以后討論的隨機(jī)過程除特殊說明外K均假定是平穩(wěn)的K且均指廣義平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)性遍歷性設(shè)是平穩(wěn)隨機(jī)過程的任意一個實現(xiàn)K J ULUA UL UA如果平穩(wěn)過程依概率 則稱平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)的含義是隨機(jī)過程中的任一實現(xiàn)樣本函數(shù)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)因此K可用一個實現(xiàn)的統(tǒng)計特性來了解整個過程的統(tǒng)計特性K從而使統(tǒng)計平均化為時間平均K使實際測量和計算的問題大為簡化注意!具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程K但平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的 在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲K一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)為實平穩(wěn)過程K 具有如下主要性質(zhì)Q Q 交流功率方差 當(dāng)均值為時K有 ISIb0I 隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的可以證明M平穩(wěn)過程的功率譜密度QI和自相關(guān)函數(shù)SIJ是一對傅里葉變換關(guān)系MSIJkQIJK即&QI SIfk& QI &或 時K

JSIfk Qkg &SIJ&QI 它表示隨機(jī)過程的總平均功率關(guān)系式I 在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式根據(jù)上述關(guān)系式及自相關(guān)函數(shù)I的性質(zhì)K不難推演功率譜密度QI有如下性質(zhì)M IJQIJQI偶函 因此K可定義單邊譜密度QI高斯隨機(jī)過程

QI

QI 高斯過程K也稱正態(tài)隨機(jī)過程K它是通信領(lǐng)域中最重要的一種過程例如K通信信道中的噪聲通常就是一種高斯過程K因而在信道的建模中常用到高斯模型若隨機(jī)過程的任意o維IKK分布都服從正態(tài)K J若高斯過程是廣義平穩(wěn)的K則也是狹義平穩(wěn)的 J若高斯過程中的隨機(jī)變量之間互不相關(guān)K則它們也是統(tǒng)計獨立的NIJ若干個高斯過程的代數(shù)和的過程仍是高斯型NI 高斯過程經(jīng)過線性變換或線性系統(tǒng)后的過程仍是高斯型一維概率密度和正態(tài)分布函數(shù)高斯過程在任一時刻上的樣值是一個一維高斯隨機(jī)變量K其一維概率密度函數(shù)可表示為gyJ

式中Kb為常量分別為期望方差曲線如圖 由式I 和圖 可知具有如下特性MIJ對稱于yb

正態(tài)分布的概率密&I &和b和&y&by IJb表示分布中心K表示集中程度圖形將隨著的減小而變高和變窄當(dāng) 時K稱正態(tài)分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分K它表示高斯隨機(jī)變 小于或等于任意取qJI0J y yP{{ I 這個積分無法用閉合形式來計算K通常采用在數(shù)學(xué)手冊上有數(shù)值和曲線可查的特殊函數(shù)來表示K本教材多采用誤差函數(shù)或互補誤差函數(shù)來表述q

它是自變量的遞增函數(shù)IJJK且I & &y它是自變量的遞減函數(shù)IJJK且IyJ J當(dāng)y~時K實際應(yīng)用中只要y`即可近似有 若對式 進(jìn)行變量代換K令新的積分變量為u{LK則 利用式 和 y1GyJ

y y時 y0y時利用誤差函數(shù)表示有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能高斯白噪聲J功率譜密度在整個頻域內(nèi)均勻分布的噪聲K被稱之為白噪聲它屬于一種理想寬帶過程K其功率譜密度為QIJo 式中Ko為一常數(shù)K單位是瓦L赫茲J o 展示出了白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)的圖 白噪聲的功率譜和自相關(guān)函評注白噪聲的自相關(guān)函數(shù)SIJ僅在處才有值K而在所有-的位置上KSIJ這說明K白噪聲只有在同一時刻時才相關(guān)K而其它任意兩個時刻上的隨實際上K如果噪聲的帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬K并且它的功率譜在該通信系統(tǒng)所占帶寬內(nèi)接近常數(shù)K就可以把它視為白噪聲教材章討論的熱噪聲和散粒噪聲就是最接近白噪聲的例子J若白噪聲又是高斯分布的K則稱之為高斯白噪聲高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間K不僅是互不相關(guān)的K而且還是統(tǒng)計獨立的隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)通信的過程是傳輸信號的過程實際中的信號或噪聲一般都是隨機(jī)的在以后的討論中我們必然會遇到這樣的問題隨機(jī)過程通過系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)后輸出過程將是一個什么樣的過程？設(shè)線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為kII輸入隨機(jī)過程為則輸出隨機(jī)過程等于與的卷積K J 若輸入有界且系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的K或利用以上關(guān)系可以證明

J iIju iIju IJ若線性系統(tǒng)的輸入juJ是平穩(wěn)隨機(jī)過程K則輸出p也是平穩(wěn)隨機(jī)過程這是QQ pu J&&iIiIjI 即的均值與u無關(guān)K J輸出功率譜密度是輸入功率譜密度與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)的乘積K 這是一個十分有用的結(jié)論 當(dāng)要求輸出過程的自相關(guān)函數(shù)SpI 時K可利用上式先求pI然后求其反變換K這比直接計算SpI要簡便得多IJ若線性系統(tǒng)的輸入juJ是高斯過程K則輸出也是高斯過程更一般地說K高以白噪聲通過理想低通濾波器為 設(shè)理想矩形的低通濾波器的傳輸特性LfkguK}g}0 其由式 可得輸出噪聲的功率譜密度I

I I K}Qj K可見K輸出噪聲的功率譜密度在bgb0gI內(nèi)是均勻的K在此范圍外則為零K如圖所示K通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲

bJIo I如圖所示K帶限白噪聲只有在lLgIlKKK上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)這一結(jié)論告訴我們K如果對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話K則各抽樣值是互不相 帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函窄帶隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過以gd為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出K即為窄帶過程 所謂窄帶系統(tǒng)K是指其通帶寬度 gdK且gd~的系統(tǒng)K如所示若用示波器觀察其一個實的波形K它是一個頻率近似為gdK包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波K如 所其 其 t oJbtIIJJbIJ

窄帶過程的頻譜和波形示意JbP Kb 式中Kb及分別是窄帶過程的隨機(jī)包絡(luò)和相位K及分別稱為同相分量和正交分量K它們的變化相對于載波

du的變化要緩慢得多K均屬低通型過程根據(jù)式 和 JK可由窄帶過程的統(tǒng)計特性來確定bK以K的統(tǒng)計特性掌握以下兩個重要結(jié)論對以后的分析理解特別有用結(jié) 一個均值為零K方差 的平穩(wěn)高斯窄帶過程它的同相分量正d分量tuJ同樣是平穩(wěn)高斯過程K而且均值都為零K方差也相同此外K在同一時刻上得到的和是互不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的即有下式成立MQQQ J 結(jié) 一個均值為零K方差 的平穩(wěn)高斯窄帶過程其包絡(luò)b的一維分是瑞利分布K

的一維分布是均勻分布K并且就一維分布而言Kb

計獨立的即有下式成立 bJ PQKb1J KI bb 正弦波加窄帶高斯過程信號在傳輸過程中總會受到噪聲的影響K接收信號往往是信號與噪聲的合成波正弦波加窄帶高斯噪聲是通信系統(tǒng)中最常見的一種情況JBIdu JJ 式中Jtduodu為窄帶高斯噪聲K其均值為零N正弦波的振幅B和頻率d均為常數(shù)K在IK上均勻分布K則JBttduB otduoP Bt {JB o 合成信號 {J{ { J 可以證明服從廣義瑞利分布K其概率密度函數(shù)為 { {BJ{K 式中KJ是零階修正貝塞爾函數(shù)K當(dāng) 時KJ是單調(diào)上升函數(shù)K且有JI如果 K則上式變?yōu)槿鹄植糑不再是均勻分習(xí)題解K均值為零的高斯隨機(jī)變量Ky 該隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)

K求 的概率為多少gyJ y&所Q`JQ&所Q`JQ_JP 設(shè)的分布為正態(tài)分布KFPQKEPQK求在區(qū)間IK上取值的概率 所 QI QI &gI

I I 式中K是一個離散隨機(jī)變量K且QIJLKQILJLK試求FI及S解在 時K的數(shù)學(xué)期FIJFI tI 在 時K的自相關(guān)函SIKJ I 隨機(jī)過程的均值為常數(shù)bK自相關(guān)函數(shù)為SyIJK隨zJJuUJKU為常數(shù)K求證是否為平穩(wěn)隨機(jī)過程？解由題意可知是平穩(wěn)隨機(jī)過程KQJuUJQQuUJQbbuJu Juu Ju Ju uu Juu SyIJSyI UJSyI UJSyIJSyIJSyI UJSyI 可見的均值與時間無關(guān)K自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)K所以是平穩(wěn)隨評注平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)K其輸出也是平穩(wěn)過程由z與y的關(guān)系式可知K平穩(wěn)過程經(jīng)過一線性網(wǎng)絡(luò)得到因此也是平穩(wěn)隨機(jī)過程Jo為的正態(tài)隨機(jī)變量K試求I{I的一維分布密度函數(shù)IuKuuKuJ解I QFytotyoy{QyuyouJQFyoyoFyyy yy Fyy y {Qtuo {QF布K其一維概率密度函數(shù)J I uuJ uJuFytu youtu otutu ououQtu uJ u uuJ uuJuu因為 K所以uuJuu 已知和是統(tǒng)計獨立的平穩(wěn)隨機(jī)過程K且它們的自相關(guān)函數(shù)分別為IJ試求乘積J的自相關(guān)函數(shù)IJ試求之和JJ的自相關(guān)函數(shù)I uuJuuuuJuuJQuuJuuuuuuzyuJzuJzI uJuuuJuuJuuuJuuJuuJuuJQSyIJbb 評注兩個獨立的平穩(wěn)隨機(jī)過程K其乘積的自相關(guān)函數(shù)等于它們各自的自相關(guān)函數(shù)的乘積N其之和的自相關(guān)函數(shù)等于它們各自的自相關(guān)函數(shù)的之和K并外加兩者均值之積的兩倍已知一隨機(jī)過程Ju它是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程n對一載頻進(jìn)行振幅調(diào)制的結(jié)果此載頻的相位在IK上為均勻分布K設(shè)與是統(tǒng)計獨立的K且的自相關(guān)函數(shù)SnI為K SnIJ 其它IJ證明是廣義平穩(wěn)的IJ繪出自相關(guān)函數(shù){I的波形NIJ求功率譜密度Q{I及功率解IJ欲證隨機(jī)過程廣義平穩(wěn)K只需驗證的數(shù)學(xué)期望與時間無關(guān)的自相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔有關(guān)即可由題意可知n的數(shù)學(xué)期望為常數(shù) I0 QI QI JQ與獨立&

uuJuuuJu JuJu uJuJQIu Ju uu t uF ut uS t u S n可見的均值與u無關(guān)K自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)K故{其波形如圖

SnS K 0_ 其IJ因為廣義平穩(wěn)K所以其功率譜密度 {QI SI{已知噪聲的自相關(guān)函數(shù)SIJbfbbbKbo &b&fbfke fbfke &b bb S o 所圖將均值 自相關(guān)函數(shù)為oIJ的高斯白噪聲加到一個中心角頻率 d寬為C的理想帶通濾波器上K如 所圖 J求濾波器輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)N J寫出輸出噪聲的一維概率密度函 IJ方法一M高斯白噪聲的功率譜密度QIJoK則濾波器輸出噪聲的功率oQIJp

II}}}o C0} & 其它根據(jù)pIkp&Sp

QIp

d dCo

of ofCkCoCC平均功 SpIJ o方法二MSIJoo根據(jù)濾波器的圖形K對其求傅里葉反變換KCI J高斯過程通過線性系統(tǒng)后的輸出仍為高斯過程KFPpQ FPjQEpQQ因此K輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)QgyJ

P設(shè)SD低通濾波器如圖 所示K求當(dāng)輸入均值為零功率譜密度為oL白解SDII因此輸出過程的功率譜密度為QIJQIJ}II o bK S of 隨機(jī)過程JBu 式中 是相互獨立的隨機(jī)變量K其B的均值為K方差為K在區(qū)間IK上均勻分布K在區(qū)間 K上均勻分IJ隨機(jī)過程是否平穩(wěn)？是否各態(tài)歷經(jīng)？IJ求出自相關(guān)函數(shù)解I的均值數(shù)學(xué)期望QBu FBtut BouoQBQQtBQQouuJuuB JBu

tuuJIuu PQ P PI F F

&

其 FBEBQBQ K 可見K隨機(jī)過程的均值與u無關(guān)K而自相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔有關(guān)K所以J ULBu UA ULBu BP UAnBPULt UL UAB

比較統(tǒng)計平均與時間平均MbbKSIJ-SI因此不具有各態(tài)歷經(jīng)I的自相關(guān)函數(shù)SIJ設(shè)有一個隨機(jī)二進(jìn)制矩形脈沖波形K它的每個脈沖的持續(xù)時間為UcK脈沖幅度取的概率相等現(xiàn)假設(shè)任一間隔Uc內(nèi)波形取值與任何別的間隔內(nèi)取值統(tǒng)計無關(guān)K且具有寬平穩(wěn)性K試證MIJIJ

} S }}`IgU 解題思路M這是一個等概率發(fā)送的雙極性矩形脈沖序列K可參考教 頁 頁 不難證QIJUIU 根據(jù)平穩(wěn)過程KQIJkSI利用Tb函數(shù)k門函數(shù)K兩個Tb函數(shù)相乘k兩個門函數(shù)卷積K可以證明自相關(guān)函數(shù)為一三角波K即證明過程自推

} S }}` 為單個輸入兩個輸出的線性過濾器K若輸入過程是平穩(wěn)的K求與的互功率譜密度的表達(dá)式 方法一M iJ&iIJu iJ&iIJu SuJFPuJ uJQPiIJu Je&iIJu &iIiIFPu Ju e因為平穩(wěn)KFPu u&IiS SQI

Ifk K

iIiIS fk eK fkfkIHIJIIJQIJ方法二M設(shè)K和任一實現(xiàn)之截斷函數(shù)所對應(yīng)的頻譜函數(shù)分別為GIGI和GIJKHG IHGHG Gn IHIJIIJ QIJIHIJII若是平穩(wěn)隨機(jī)過程K自相關(guān)函數(shù)為SI解方法一M由圖可得輸出過程p

IUJKJ uUu uUJu uUJu SIJSIUJSIUJSIJSIJSIUJSI根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程性質(zhì)SIkQIQI QIJQIfkU QIpItUJQI方法二M u

kkI k kk

U U

p kUQSIJSIUJSI若通過圖 的隨機(jī)過程是均值為零K功率譜密度為oL的高斯白噪聲K試求輸出過程的一維概率密度函數(shù) 根據(jù)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的性質(zhì)K利用題 的結(jié)