考點(diǎn)14直線和圓的方程（26種題型10個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）

考點(diǎn)14直線和圓的方程（26種題型10個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）一一、真題多維細(xì)目表考題考點(diǎn)考向2022新高考直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系求切線方程2022新高考直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系由直線與圓有交點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍2022新高考直線方程求直線方程2021新高考直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系點(diǎn)到直線的距離公式，圓的方程及應(yīng)用2021全國乙文直線方程點(diǎn)到直線的距離2020課標(biāo)直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系直線與圓相切，直線方程2020課標(biāo)直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系求弦長的最值二二、命題規(guī)律與備考策略近幾年對本章的內(nèi)容的考查方式及題目難度變化不大，主要考查直線、圓的方程及位置關(guān)系，考查直線方程的求解、直線過定點(diǎn)問題的求解、含參直線方程中參數(shù)的取值范圍的求解、直線與圓的位置關(guān)系中涉及弦長與切線方程的求解，以常規(guī)題型、常規(guī)解法為主要方向，常結(jié)合基本不等式、函數(shù)、三角形面積等知識考查最值問題。三三、2023真題搶先刷，考向提前知1．（2023?全國）O為原點(diǎn)，P在圓C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP與圓C相切，則|OP|＝（）A．2 B． C． D．【分析】由題意利用勾股定理即可求解．【解答】解：O為原點(diǎn)，P在圓C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP與圓C相切，則|OP|＝＝＝2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了圓的切線長問題，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023?乙卷）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，則x﹣y的最大值是（）A．1+ B．4 C．1+3 D．7【分析】根據(jù)題意，設(shè)z＝x﹣y，分析x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0和x﹣y﹣z＝0，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得有≤3，解可得z的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，其幾何意義是以（2，1）為圓心，半徑為3的圓，設(shè)z＝x﹣y，變形可得x﹣y﹣z＝0，其幾何意義為直線x﹣y﹣z＝0，直線y＝x﹣z與圓（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9有公共點(diǎn)，則有≤3，解可得1﹣3≤z≤1+3，故x﹣y的最大值為1+3．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的一般方程，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?乙卷）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PB與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若|PO|＝，則?的最大值為（）A． B． C．1+ D．2+【分析】設(shè)∠OPC＝α，則，根據(jù)題意可得∠APO＝45°，再將?轉(zhuǎn)化為α的函數(shù)，最后通過函數(shù)思想，即可求解．【解答】解：如圖，設(shè)∠OPC＝α，則，根據(jù)題意可得：∠APO＝45°，∴＝＝cos2α﹣sinαcosα＝＝，又，∴當(dāng)，α＝，cos（）＝1時(shí)，取得最大值．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的最值的求解，函數(shù)思想，屬中檔題．4．（2023?新高考Ⅰ）過點(diǎn)（0，﹣2）與圓x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝（）A．1 B． C． D．【分析】圓的方程化為（x﹣2）2+y2＝5，求出圓心和半徑，利用直角三角形求出sin，再計(jì)算cos和sinα的值．【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣1＝0可化為（x﹣2）2+y2＝5，則圓心C（2，0），半徑為r＝；設(shè)P（0，﹣2），切線為PA、PB，則PC＝＝2，△PAC中，sin＝，所以cos＝＝，所以sinα＝2sincos＝2××＝．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)求值問題，是基礎(chǔ)題．二．填空題（共4小題）5．（2023?上海）已知圓x2+y2﹣4x﹣m＝0的面積為π，則m＝﹣3．【分析】先把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合圓的半徑為1求解即可．【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣m＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x﹣2）2+y2＝4+m，∵圓的面積為π，∴圓的半徑為1，∴4+m＝1，∴m＝﹣3．故答案為：﹣3．【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．6．（2023?天津）過原點(diǎn)的一條直線與圓C：（x+2）2+y2＝3相切，交曲線y2＝2px（p＞0）于點(diǎn)P，若|OP|＝8，則p的值為6．【分析】不妨設(shè)直線方程為y＝kx（k＞0），由直線與圓相切求解k值，可得直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，再由|OP|＝8列式求解p的值．【解答】解：如圖，由題意，不妨設(shè)直線方程為y＝kx（k＞0），即kx﹣y＝0，由圓C：（x+2）2+y2＝3的圓心C（﹣2，0）到kx﹣y＝0的距離為，得，解得k＝（k＞0），則直線方程為y＝，聯(lián)立，得或，即P（）．可得|OP|＝，解得p＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓、直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．7．（2023?新高考Ⅱ）已知直線x﹣my+1＝0與⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“△ABC面積為”的m的一個(gè)值2（或﹣2或或﹣）．【分析】由“△ABC面積為，求得sin∠ACB＝，設(shè)∠ACB＝θ，得到cosθ，進(jìn)而求得圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解．【解答】解：由圓C：（x﹣1）2+y2＝4，可得圓心坐標(biāo)為C（1，0），半徑為r＝2，因?yàn)椤鰽BC的面積為，可得S△ABC＝×2×2×sin∠ACB＝，解得sin∠ACB＝，設(shè)∠ACB＝θ所以∴2sinθcosθ＝，可得＝，∴＝，∴tanθ＝或tanθ＝2，∴cosθ＝或cosθ＝，∴圓心到直線x﹣my+1＝0的距離d＝或，∴＝或＝，解得m＝±或m＝±2．故答案為：2（或﹣2或或﹣）．【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．8．（2023?上海）已知圓C的一般方程為x2+2x+y2＝0，則圓C的半徑為1．【分析】把圓C的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓C的圓心和半徑．【解答】解：根據(jù)圓C的一般方程為x2+2x+y2＝0，可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+y2＝1，故圓C的圓心為（﹣1，0），半徑為1，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題主要考查圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，屬基礎(chǔ)題．四四、考點(diǎn)清單一．直線的傾斜角1.傾斜角的定義（1）當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．（2）當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.2.直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.二．直線的斜率1.斜率的定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即.2.斜率的計(jì)算公式：定義斜率的定義式兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)，的直線的斜率公式為【注意】任何直線都有傾斜角，但當(dāng)傾斜角等于時(shí)，直線的斜率不存在.圖示傾斜角斜率不存在三．直線的平行于垂直定義平行當(dāng)存在時(shí)，兩直線平行，則當(dāng)不存在時(shí)，則兩直線的傾斜角都為垂直當(dāng)存在時(shí)，兩直線垂直，則當(dāng)不存在時(shí)，則一條直線傾斜角為，另一條直線傾斜角為【注意】在計(jì)算兩直線平行的題時(shí)，注意考慮重合的情況.四．直線的方程直線方程適用范圍點(diǎn)斜式不能表示與軸垂直的直線斜截式不能表示與軸垂直的直線兩點(diǎn)式不能表示與軸、軸垂直的直線截距式不能表示與軸垂直、軸垂直以及過原點(diǎn)的直線一般式無局限性五．特殊的直線方程已知點(diǎn)，則類型直線方程與軸垂直的直線與軸垂直的直線六．方向向量與直線的參數(shù)方程除了直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯(lián)系，它由一個(gè)定點(diǎn)和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點(diǎn)斜式方程本質(zhì)上是一致的.如圖1，設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)，是它的一個(gè)方向向量，P(x,y)是直線l上的任意一點(diǎn)，則向量與共線.根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一的實(shí)數(shù)t，使，即，所以.在①中，實(shí)數(shù)t是對應(yīng)點(diǎn)P的參變數(shù)，簡稱參數(shù).由上可知，對于直線l上的任意一點(diǎn)P(x,y)，存在唯一實(shí)數(shù)t使①成立；反之，對于參數(shù)t的每一個(gè)確定的值，由①可以確定直線l上的一個(gè)點(diǎn)P(x,y).我們把①稱為直線的參數(shù)方程.七．直線的平行與垂直斜截式一般式直線方程平行（注意可能重合）垂直八．利用平行與垂直解決問題斜截式一般式直線方程平行若直線，則可設(shè)的方程為：若直線，則可設(shè)的方程為：垂直若直線，則可設(shè)的方程為：若直線，則可設(shè)的方程為：九．兩條直線的交點(diǎn)對于直線，，求交點(diǎn)即解方程組，該方程組的解與兩直線的位置關(guān)系如下：方程組解的個(gè)數(shù)位置關(guān)系一個(gè)解相交無解平行無數(shù)解重合十．三個(gè)距離公式條件距離公式兩點(diǎn)之間的距離公式已知兩點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離公式已知一點(diǎn)，以及直線兩平行線的距離公式已知直線，以及十一．對稱條件方法兩點(diǎn)關(guān)于另外一點(diǎn)對稱，兩點(diǎn)關(guān)于對稱兩點(diǎn)關(guān)于一直線對稱，兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱（斜率存在）1.兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上；2.兩點(diǎn)所在直線與直線垂直兩直線關(guān)于另一直線對稱（三直線不平行）1.三條直線交于同一點(diǎn)；十二．兩點(diǎn)關(guān)于一直線特殊的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)直線方程對稱點(diǎn)坐標(biāo)十三．到角公式設(shè)的斜率分別是，到的角為，則.十四．圓的定義圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心,定長為半徑).圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.十五．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心半徑十六．圓的一般方程圓的一般方程圓心半徑十七．二元二次方程與圓的方程1.二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：二元二次方程，對比圓的一般方程，，我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的方程.2.二元二次方程表示圓的條件：二元二次方程表示圓的條件是&A=C≠0&B=0&(十八．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一般方程為.平面內(nèi)一點(diǎn)到圓心的距離為.位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法（標(biāo)準(zhǔn)方程）代數(shù)法（一般方程）點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓內(nèi)十九．與圓有關(guān)的最值問題1.與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值問題類型方法圓外一定點(diǎn)到圓上一動點(diǎn)距離的最值最大值：；最小值：（為該定點(diǎn)到圓心的距離）圓上一動點(diǎn)到圓外一定直線距離的最值最大值：；最小值：（為圓心到直線的距離）過園內(nèi)一定點(diǎn)的弦的最值最大值：直徑；最小值：與過該點(diǎn)的直徑垂直的弦2.與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題類型代數(shù)表達(dá)方法截距式求形如的最值轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題斜率式求形如的最值轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題距離式求形如的最值轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題【注意】截距式與斜率式在學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系后，都可轉(zhuǎn)化為動直線與圓相切時(shí)取得最值.同時(shí)，需要注意若是斜率式，則需考慮斜率是否存在.二十．直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示幾何法代數(shù)法相切（為圓心到直線的距離）相交（為圓心到直線的距離）相離（為圓心到直線的距離）二十一．相切→求切線方程過定點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為：與圓的位置關(guān)系切線條數(shù)切線方程（方法）在圓上1條在圓外2條【分兩種情況討論】：1.斜率存在，設(shè)為點(diǎn)斜式，再通過或求出斜率即可；.【說明】：若情況1有一解，則情況2必有一解；若情況1有兩解，則情況2必?zé)o解.二十二．相交→求弦長弦長公式：直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（為圓心到直線的距離）.二十三．圓與圓的位置關(guān)系兩圓的半徑分別為，兩圓的圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系及其判斷方法為：位置關(guān)系圖示幾何法公切線條數(shù)外離四條外切三條相交兩條內(nèi)切一條內(nèi)含無二十四．兩圓的公共弦1.公共弦方程：將兩圓的方程作差，所得到的直線方程就是兩圓的公共弦方程.2.公共弦長：取其中一個(gè)圓，利用圓的弦長公式即可求出.二十五、直線與圓的綜合應(yīng)用的一般步驟：步驟具體內(nèi)容第一步設(shè)直線方程，注意討論直線斜率是否存在第二步聯(lián)立直線與圓方程消元化簡第三步根據(jù)韋達(dá)定理寫出兩根之和與兩根之積第四步根據(jù)題中所給的條件，帶入韋達(dá)定理五五、題型方法一．直線的傾斜角（共1小題）1．（2023?二七區(qū)校級模擬）已知直線l的方程為，α∈R，則直線l的傾斜角范圍是（）A． B． C． D．【分析】計(jì)算，再考慮和兩種情況，得到傾斜角范圍．【解答】解：，則，設(shè)直線l的傾斜角為，故，所以當(dāng)時(shí)，直線l的傾斜角；當(dāng)時(shí)，直線l的傾斜角；綜上所述：直線l的傾斜角故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線的傾斜角與斜率關(guān)系的應(yīng)用，考查了正切函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二．直線的斜率（共2小題）2．（2023?湖北模擬）已知點(diǎn)A（2，3），B（﹣3，﹣2）與直線l：kx﹣y﹣k+1＝0，且直線l與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍為（）A．k≥2或 B．或 C． D．【分析】直線l經(jīng)過定點(diǎn)M（1，1），求得MA、MB的斜率，可得直線l的斜率k的取值范圍．【解答】解：已知點(diǎn)A（2，3），B（﹣3，﹣2）與直線l：kx﹣y﹣k+1＝0，且直線l與線段AB相交，直線l：kx﹣y﹣k+1＝0，即直線l：k（x﹣1）﹣y+1＝0，它經(jīng)過定點(diǎn)M（1，1），MA的斜率為＝2，MB的斜率為＝，則直線l的斜率k的取值范圍為k≥2或k≤，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?定遠(yuǎn)縣校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)B，那么點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣1，），若直線OB的傾斜角為α，則其斜率為﹣．【分析】根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可確定直線OA的傾斜角，由題意可得OB的傾斜角，利用三角函數(shù)定義可求得B的坐標(biāo)，繼而求出OB的斜率．【解答】解：設(shè)點(diǎn)為角θ終邊上一點(diǎn)，如圖所示，|OA|＝2，由三角函數(shù)的定義可知：，，則θ＝k?360°+30°，（k∈Z），則直線OA的傾斜角為30°，將點(diǎn)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)B，得直線OB的傾斜角為120°，且點(diǎn)B在120°角的終邊上，由三角函數(shù)定義可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2cos120°，2sin120°），即，且α＝120°，則．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，考查了直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．三．直線的截距式方程（共2小題）4．（2023?定遠(yuǎn)縣校級模擬）直線l1：y＝2x和l2：y＝kx+1與x軸圍成的三角形是等腰三角形，寫出滿足條件的k的兩個(gè)可能取值：﹣2和．【分析】根據(jù)給定條件，按等腰三角形底邊所在直線分類，結(jié)合斜率的意義及二倍角的正切求解作答即可．【解答】解：令直線l1，l2的傾斜角分別為α，θ，則tanα＝2，tanθ＝k，當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在x軸上時(shí)，θ＝π﹣α，k＝tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣2；當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線l2上時(shí)，α＝2θ，θ∈（0，），tanα＝tan2θ＝＝2，整理得k2+k﹣1＝0，而k＞0，解得k＝．所以的兩個(gè)可能取值﹣2，．故答案為：﹣2；．【點(diǎn)評】本題考查直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（2023?高新區(qū)校級模擬）若直線ax+by＝ab（a＞0，b＞0）過點(diǎn)（1，1），則該直線在x軸與y軸上的截距之和的最小值為4．【分析】由直線過定點(diǎn)，得出a+b＝ab，利用“1“的代換結(jié)合基本不等式，求出該直線在x軸與y軸上的截距之和的最小值．【解答】解：由題意，a+b＝ab，即+＝1，直線ax+by＝ab（a＞0，b＞0），令x＝0，y＝a；令y＝0，x＝b，該直線在x軸與y軸上的截距之和a+b＝（+）?（a+b）＝2++≥2+2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查直線的方程，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．四．直線的一般式方程與直線的性質(zhì)（共2小題）6．（2023?豐臺區(qū)二模）已知點(diǎn)P（0，2），直線l：x+2y﹣1＝0，則過點(diǎn)P且與直線l相交的一條直線的方程是y＝x+2（答案不唯一）．【分析】求出過P（0，2）且與l：x+2y﹣1＝0不平行的方程即可．【解答】解：直線l：x+2y﹣1＝0的斜率為，故只需所求直線方程斜率不是即可，可設(shè)過點(diǎn)P且與直線l相交的一條直線的方程為y＝x+2．故答案為：y＝x+2（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023?山東模擬）如圖，P是拋物線C：y＝x2上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P并與拋物線C在點(diǎn)P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點(diǎn)Q．（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求直線l的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上移動時(shí)，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程，并求點(diǎn)M到x軸的最短距離．【分析】（1）由于直線l過點(diǎn)P并與拋物線C在點(diǎn)P的切線垂直，要求求直線l的方程，我們可以根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出P點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，即過P點(diǎn)切線的斜率，進(jìn)而得到直線l的斜率，代入點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解．（2）方法一，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程，我們可以分別求出直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，代入中點(diǎn)公式進(jìn)行化簡，得到變量x，y之間的關(guān)系，即軌跡方程；方法二：將直線方程代入拋物線的方程，再結(jié)合韋達(dá)定理（根與系數(shù)關(guān)系）對式子進(jìn)行化簡，探究變量x，y之間的關(guān)系，即軌跡方程．【解答】解：（Ⅰ）把x＝2代入，得y＝2，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2）．由，①得y'＝x，∴過點(diǎn)P的切線的斜率k切＝2，直線l的斜率kl＝﹣＝，∴直線l的方程為y﹣2＝﹣（x﹣2），即x+2y﹣6＝0．（Ⅱ）設(shè)．∵過點(diǎn)P的切線斜率k切＝x0，當(dāng)x0＝0時(shí)不合題意，x0≠0．∴直線l的斜率kl＝﹣＝，直線l的方程為．②方法一：聯(lián)立①②消去y，得x2+x﹣x02﹣2＝0．設(shè)Q（x1，y1），M（x，y）．∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，∴消去x0，得y＝x2+（x≠0）就是所求的軌跡方程．由x≠0知x2＞0，∴．上式等號僅當(dāng)時(shí)成立，所以點(diǎn)M到x軸的最短距離是．方法二：設(shè)Q（x1，y1），M（x，y）．則由y0＝x02，y1＝x12，x＝，∴y0﹣y1＝x02﹣x12＝（x0+x1）（x0﹣x1）＝x（x0﹣x1），∴，∴，將上式代入②并整理，得y＝x2+（x≠0）就是所求的軌跡方程．由x≠0知x2＞0，∴．上式等號僅當(dāng)時(shí)成立，所以點(diǎn)M到x軸的最短距離是．【點(diǎn)評】本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力．在使用點(diǎn)斜式表示過定點(diǎn)的直線方程時(shí)，一定要注意它不能表示斜率不存在的直線，此時(shí)與它垂直的直線斜率為0，故在使用前要對這種情況進(jìn)行討論．五．直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系（共3小題）8．（2023?丹東模擬）直線x+ay﹣3＝0與直線（a+1）x+2y﹣6＝0平行，則a＝（）A．﹣2 B．1 C．﹣2或1 D．﹣1或2【分析】根據(jù)題意，由直線平行的判斷方法可得2＝a（a+1），解可得a的值，驗(yàn)證可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直線x+ay﹣3＝0與直線（a+1）x+2y﹣6＝0平行，則有2＝a（a+1），解可得a＝1或﹣2，當(dāng)a＝1時(shí)，兩直線的方程為x+y﹣3＝0和2x+2y﹣6＝0，兩直線重合，不符合題意；當(dāng)a＝﹣2時(shí)，兩直線的方程為x﹣2y﹣3＝0和﹣x+2y﹣6＝0，兩直線平行，符合題意；綜合可得：a＝﹣2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查直線平行的判斷，涉及直線的一般式方程，屬于基礎(chǔ)題．9．（2023?河北三模）直線l1：ax+y+1＝0與l2：x+ay﹣1＝0平行的充要條件是（）A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)＝﹣1 C．a(chǎn)＝1或﹣1 D．0【分析】由已知結(jié)合直線平行的條件即可求解．【解答】解：直線l1：ax+y+1＝0與l2：x+ay﹣1＝0平行的充要條件是：k1＝k2且不重合，由得a＝±1，又a＝﹣1時(shí)兩直線重合，直線l1：ax+y+1＝0與l2：x+ay﹣1＝0平行的充要條件是a＝1．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線平行條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（2023?大慶模擬）直線l經(jīng)過點(diǎn)A（m，2），B（﹣1，m），若直線l與直線y＝x+1平行，則m＝【分析】由題意，利用兩直線平行的性質(zhì)，直線的斜率公式，求得m的值．【解答】解：∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A（m，2），B（﹣1，m），且與直線y＝x+1平行，∴＝1，求得m＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)，直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．六．直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系（共3小題）11．（2023?固鎮(zhèn)縣三模）已知直線l1：ax+2y+1＝0，l2：（3﹣a）x﹣y+a＝0，則條件“a＝1”是“l(fā)1⊥l2“的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不必要也不充分條件【分析】結(jié)合線面垂直的條件，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：若l1⊥l2，則（3﹣a）a﹣2×1＝0，解得a＝1或a＝2．所以a＝1是l1⊥l2的充分不必要條件．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，以及直線垂直的應(yīng)用，要熟練掌握直線垂直的等價(jià)條件．a(chǎn)1x+b1y+c1＝0??和a2x+b2y+c2＝0?垂直的等價(jià)條件為：a1a2+b1b2＝012．（2023?吉林模擬）已知a＞0，b＞0，若直線l1：ax+by﹣2＝0與直線l2：2x+（1﹣a）y+1＝0垂直，則a+2b的最小值為（）A．1 B．3 C．8 D．9【分析】根據(jù)兩直線方程表達(dá)式及其位置關(guān)系，可得，再利用基本不等式，求出a+2b的最小值即可．【解答】解：由題可知，兩條直線斜率一定存在．因?yàn)閮芍本€垂直，所以斜率乘積為﹣1，即，即2a+b＝ab，整理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)，等號成立，因此a+2b的最小值為9．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線垂直的性質(zhì)和利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題．13．（2023?吉林模擬）△ABC中，A（3，2），B（1，1），C（2，3），則AB邊上的高所在的直線方程是（）A．2x+y﹣7＝0 B．2x﹣y﹣1＝0 C．x+2y﹣8＝0 D．x﹣2y+4＝0【分析】由題意，根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)，求出要求直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線的方程．【解答】解：∵△ABC中，A（3，2），B（1，1），C（2，3），∴直線AB的斜率為＝，則AB邊上的高所在的直線的斜率為﹣2，故AB邊上的高所在的直線方程是y﹣3＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣7＝0．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．七．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)（共2小題）14．（2023?龍華區(qū)校級模擬）若直線y＝﹣2x+4與直線y＝kx的交點(diǎn)在直線y＝x+2上，則實(shí)數(shù)k＝（）A．4 B．2 C． D．【分析】首先利用直線的交點(diǎn)建立方程組，進(jìn)一步求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用該點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線的方程求出k的值．【解答】解：直線y＝﹣2x+4與直線y＝kx的交點(diǎn)，滿足：，解得，由于該點(diǎn)在直線y＝x+2上，故，解得k＝4．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：直線的交點(diǎn)，方程組的解法，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）15．（2023?江寧區(qū)校級模擬）已知直線l1：2x+y﹣6＝0和點(diǎn)A（1，﹣1），過點(diǎn)A作直線l2與直線l1相交于點(diǎn)B，且AB＝5，則直線l2的方程為（）A．x＝1 B．y＝﹣1 C．3x+4y+1＝0 D．4x+3y﹣1＝0【分析】設(shè)點(diǎn)B（x0，6﹣2x0），由A，B兩點(diǎn)間的距離列出方程，解出點(diǎn)B，得直線l2的方程．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)B在直線l1：2x+y﹣6＝0上，設(shè)點(diǎn)B（x0，6﹣2x0），因?yàn)锳（1，﹣1），則，解得x0＝1或x0＝5，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）或（5，﹣4），當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）時(shí)，直線l2的方程為x＝1，當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，﹣4）時(shí)，直線l2的方程為，即3x+4y+1＝0．故選：AC．【點(diǎn)評】本題主要考查兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題．八．恒過定點(diǎn)的直線（共2小題）16．（2023?山東模擬）方程（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）＝0所確定的直線必經(jīng)過點(diǎn)（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣6，2） D．（）【分析】直線過定點(diǎn)，直線是直線系，按k集項(xiàng)；解方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)即定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：方程（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）＝0，化為（x﹣2y+2）+k（4x+3y﹣14）＝0解得故選：A．【點(diǎn)評】本題考查過定點(diǎn)的直線系方程，是基礎(chǔ)題．17．（2023?江蘇模擬）設(shè)k∈R，直線l1：kx+y﹣k＝0，I直線l2：x﹣ky+2k﹣3＝0，記l1，l2分別過定點(diǎn)A，B，l1與l2的交點(diǎn)為C，則|AC|+|BC|的最大值為4．【分析】由動直線的方程可得動點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，并且可得兩條直線互相垂直，由勾股定理可得|CA|2+|CB|2的值，再由基本不等式可得|AC|+|BC|的最大值．【解答】解：當(dāng)k＝0時(shí)，l1：y＝0，l2，：x﹣3＝0，∴l(xiāng)1⊥l2．當(dāng)k≠0時(shí)，對于直線l1：kx+y﹣k＝0，即k（x﹣1）+y＝0，過定點(diǎn)A（1，0），對于直線l2：x﹣ky+2k﹣3＝0，即x﹣3﹣k（y﹣2）＝0，過定點(diǎn)B（3，2）．直線l1：kx+y﹣k＝0的斜率為﹣k，直線l2：x﹣ky+2k﹣3＝0的斜率為，∵﹣k?﹣1，∴l(xiāng)1⊥l2．綜上可得，l1⊥l2．∵l1與l2的交點(diǎn)為C，∴CA2+CB2＝AB2＝4+4＝8，∴≤（CA2+CB2）＝4，∴≤2，∴CA+CB≤4，當(dāng)且僅當(dāng)CA＝CB時(shí)，|CA|+|CB|的最大值為4，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查直線的位置關(guān)系的判斷及直線恒過定點(diǎn)的求法，均值不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．九．與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的直線方程（共3小題）18．（2023?瓊山區(qū)校級一模）點(diǎn)（1，2）關(guān)于直線x+y﹣2＝0的對稱點(diǎn)是（）A．（1，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（2，1）【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用中點(diǎn)在直線上以及兩點(diǎn)的連線與直線垂直，列出方程組，求解即可．【解答】解：設(shè)點(diǎn)A（1，2）關(guān)于直線x+y﹣2＝0的對稱點(diǎn)是B（a，b），則有，解得a＝0，b＝1，故點(diǎn)（1，2）關(guān)于直線x+y﹣2＝0的對稱點(diǎn)是（0，1）．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的求解，考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，兩點(diǎn)間斜率公式的運(yùn)用，垂直的充要條件的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2023?大連模擬）已知點(diǎn)A（﹣1，2），C（﹣1，0），點(diǎn)A關(guān)于直線x﹣y+1＝0的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，在△PBC中，，則△PBC面積的最大值為（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)對稱的性質(zhì)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），再由可求出點(diǎn)P的軌跡方程，由圖可知△PBC中BC邊上的高為圓的半徑時(shí)，△PBC面積最大，從而可求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)B的坐標(biāo)為（x0，y0），則，則B的坐標(biāo)為（1，0），設(shè)P（x，y），?x2+y2﹣6x+1＝0，即（x﹣3）2+y2＝8．所以．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了動點(diǎn)軌跡方程，考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．20．（2023?思明區(qū)校級四模）已知直線l1：3x﹣4y﹣4＝0關(guān)于直線l2的對稱直線為y軸，則l2的方程為y＝2x﹣1或y＝﹣﹣1．【分析】求出直線l1與x軸、y軸的交點(diǎn)，設(shè)出直線l2的方程，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)在y軸上，由此列方程求出即可．【解答】解：直線l1：3x﹣4y﹣4＝0交x軸于點(diǎn)M（，0），交y軸于點(diǎn)P（0，﹣1）；設(shè)直線l2的方程為y＝kx﹣1，則點(diǎn)M關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)N（a，b）在y軸上，所以a＝0，所以MN的中點(diǎn)Q（，）在直線l2上，所以k﹣1＝①，又﹣＝②，由①②組成方程組，解得k＝2或k＝﹣，所以直線l2的方程為y＝2x﹣1或y＝﹣x﹣1．故答案為：y＝2x﹣1或y＝﹣x﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了直線關(guān)于直線的對稱問題，也考查了邏輯推理與運(yùn)算求解能力，是中檔題．一十．兩點(diǎn)間的距離公式（共3小題）21．（2023?昌平區(qū)二模）已知點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q（2cosθ，2sinθ）（θ∈R），則|PQ|的最小值為（）A．1 B．3 C．5 D．7【分析】根據(jù)Q的軌跡為圓，利用圓的幾何性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離得解．【解答】解：設(shè)Q（x，y），由Q（2cosθ，2sinθ）（θ∈R）可知x＝2cosθ，y＝2sinθ，所以x2+y2＝4，即Q在圓心為（0，0），半徑為2的圓上的動點(diǎn)，圓心到直線的距離，所以|PQ|min＝5﹣2＝3．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查圓的幾何性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．22．（2023?西城區(qū)校級三模）設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動直線x+my＝0和過定點(diǎn)B的動直線mx﹣y﹣m+3＝0交于點(diǎn)P（x，y），則|PA|+|PB|的取值范圍是（）A．[，2] B．[2，4] C．[，4] D．[，2]【分析】動直線x+my＝0經(jīng)過定點(diǎn)A（0，0），動直線mx﹣y﹣m+3＝0定點(diǎn)B（1，3），由此能求出|PA|+|PB|的取值范圍．【解答】解：由題意可知，動直線x+my＝0經(jīng)過定點(diǎn)A（0，0），動直線mx﹣y﹣m+3＝0即m（x﹣1）﹣y+3＝0，經(jīng)過定點(diǎn)B（1，3），∵動直線x+my＝0和動直線mx﹣y﹣m+3＝0始終垂直，P又是兩條直線的交點(diǎn)，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝10．由基本不等式可得|PA|2+|PB|2≤（|PA|+|PB|）2≤2（|PA|2+|PB|2），即10≤（|PA|+|PB|）2≤20，可得≤|PA|+|PB|≤2．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查動點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線、基本不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．23．（2023?邯鄲三模）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知A（﹣3，4），B（﹣3，1），動點(diǎn)P（x，y）滿足|PA|＝2|PB|，則（x﹣1）2+（y﹣t）2（t∈R）的最小值是（）A． B．2 C．4 D．16【分析】由題意求出點(diǎn)P的軌跡方程，則可以看成圓（x+3）2+y2＝4上動點(diǎn)P（x，y）與定直線x＝1上動點(diǎn)Q（1，t）的距離，求得其最小值，即可求得答案．【解答】解：因?yàn)锳（﹣3，4），B（﹣3，1），動點(diǎn)P（x，y）滿足|PA|＝2|PB|，則（x+3）2+（y﹣4）2＝4（x+3）2+4（y﹣1）2，整理得（x+3）2+y2＝4，可以看成圓（x+3）2+y2＝4上動點(diǎn)P（x，y）與定直線x＝1上動點(diǎn)Q（1，t）的距離，其最小值為圓心M（﹣3，0）到直線x＝1的距離減去圓的半徑2，即|PQ|≥4﹣2＝2，因此，（x﹣1）2+（y﹣t）2的最小值是22＝4，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了點(diǎn)的軌跡方程的求解，還考查圓的性質(zhì)的求解，屬于中檔題．一十一．點(diǎn)到直線的距離公式（共2小題）24．（2023?開福區(qū)校級二模）點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動，則P點(diǎn)到直線l：（1+3λ）x+（1﹣2λ）y﹣（7+λ）＝0（λ為任意實(shí)數(shù)）的距離的最大值為（）A． B．6 C． D．5【分析】先求出直線的定點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求圓心到定點(diǎn)距離，最后可求圓上點(diǎn)到直線的最大距離．【解答】解：將直線方程變形為l：（x+y﹣7）+（3x﹣2y﹣1）λ＝0，由，解得直線過定點(diǎn)Q（3，4），P在單位圓上運(yùn)動，圓O（0，0），圓的半徑r＝1故原點(diǎn)到直線l距離的最大值為，則P點(diǎn)到直線l的距離的最大值為r+|OQ|＝1+|OQ|＝1+5＝6．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，屬于基礎(chǔ)題．25．（2023?南關(guān)區(qū)校級二模）直線l的方程為（λ+2）x+（λ﹣1）y﹣3λ＝0（λ∈R），當(dāng)原點(diǎn)O到直線l的距離最大時(shí)，λ的值為（）A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5【分析】首先求出直線l過定點(diǎn)A（1，2），然后當(dāng)OA⊥l時(shí)，原點(diǎn)O到l的距離最大，即可求解．【解答】解；由（λ+2）x+（λ﹣1）y﹣3λ＝0（λ∈R）可得（x+y﹣3）λ+2x﹣y＝0，令，解得，故直線l過定點(diǎn)A（1，2），當(dāng)OA⊥l時(shí)，原點(diǎn)O到l的距離最大，因?yàn)閗OA＝2，所以直線l的斜率為﹣，即﹣＝﹣，解得λ＝﹣5，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查恒過定點(diǎn)的直線，屬于基礎(chǔ)題．一十二．兩直線的夾角與到角問題（共3小題）26．（2023?延慶區(qū)一模）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2，﹣1），（﹣1，3），則tan∠AOB等于（）A．1 B．﹣1 C． D．【分析】求出OA，OB的斜率，然后利用夾角公式求解即可．【解答】解：O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2，﹣1），（﹣1，3），可得kOA＝，kOB＝﹣3，tan∠AOB＝＝﹣1，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查夾角公式的靈活應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．27．（2023?道里區(qū)校級一模）已知A（﹣1，0），B（1，0），若直線y＝k（x﹣2）上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，可得直線y＝k（x﹣2）與圓O：x2+y2＝1有公共點(diǎn)（公共點(diǎn)不能是A、B），結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求解即可．【解答】解：若∠APB＝90°，則點(diǎn)P在以A（﹣1，0），B（1，0）為直徑的圓上（點(diǎn)P不能是A、B），∵以A（﹣1，0），B（1，0）為直徑的圓的圓心為O（0，0），半徑r＝1，則圓O的方程為x2+y2＝1，即直線y＝k（x﹣2）與圓O：x2+y2＝1有公共點(diǎn)（公共點(diǎn)不能是A、B），當(dāng)直線y＝k（x﹣2）與圓O：x2+y2＝1有公共點(diǎn)時(shí)，，解得；當(dāng)直線y＝k（x﹣2）與圓O：x2+y2＝1的公共點(diǎn)為A或B時(shí)，k＝0，不符合題意；綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查直線的斜率，直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．28．（2023?睢寧縣校級模擬）在△ABC中，∠A的內(nèi)角平分線方程為y＝x，B（1，4），C（4，3），則角C的正切值為3．【分析】由題意可知，點(diǎn)B（1，4）關(guān)于y＝x的對稱點(diǎn)B'（a，b）一定在直線AC上，根據(jù)對稱性求出點(diǎn)B'的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線AC的方程，再與y＝x聯(lián)立即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而求出結(jié)果．【解答】解：由題意可知，點(diǎn)B（1，4）關(guān)于y＝x的對稱點(diǎn)B'（a，b）一定在直線AC上，由，解得，∴B'（4，1），又∵C（4，3），∴直線B'C的方程為x＝4，∴直線AC的方程為x＝4，而直線AC與直線y＝x的交點(diǎn)即為點(diǎn)A，聯(lián)立方程，解得，∴A（4，4），∴直線AB的方程為y＝4，∴AB⊥AC，即△ABC為直角三角形，且|AB|＝3，|AC|＝1，∴tanC＝＝＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線關(guān)于直線的對稱直線問題，考查了直線的一般方程，屬于中檔題．一十三．與直線有關(guān)的動點(diǎn)軌跡方程（共1小題）29．（2023?固鎮(zhèn)縣三模）如圖，在平行四邊形OABC中，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是（3，0）、（1，3），點(diǎn)D是線段AB上的動點(diǎn)．（1）求AB所在直線的一般式方程；（2）當(dāng)D在線段AB上運(yùn)動時(shí)，求線段CD的中點(diǎn)M的軌跡方程．【分析】（1）求出AB所在直線的向量，然后求出AB所在的直線方程；（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（x0，y0），利用平行四邊形，推出M與D坐標(biāo)關(guān)系，利用當(dāng)D在線段AB上運(yùn)動，求線段CD的中點(diǎn)M的軌跡方程．【解答】（本小題滿分10分）解：（1）∵AB∥OC，∴AD所在直線的斜率為：KAB＝KOC＝＝3．∴AB所在直線方程是y﹣0＝3（x﹣3），即3x﹣y﹣9＝0．（2）：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（x0，y0），由平行四邊形的性質(zhì)得點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，6），∵M(jìn)是線段CD的中點(diǎn)，∴x＝，y＝，于是有x0＝2x﹣1，y0＝2y﹣3，∵點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動，∴3x0﹣y0﹣9＝0，（3≤x0≤4），∴3（2x﹣1）﹣（2y﹣3）﹣9＝0即6x﹣2y﹣9＝0，（2≤x≤）．【點(diǎn)評】本題考查直線方程的求法，與直線有關(guān)的動點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．一十四．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共2小題）30．（2023?湖南模擬）若圓C與y軸相切，則圓C的方程可以為（）A．x2+y2＝1 B．x2+（y﹣1）2＝1 C．（x﹣1）2+y2＝1 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2【分析】求出圓的圓心和半徑，判斷是否符合題意，即得答案．【解答】解：依題意可得圓C的圓心到y(tǒng)軸的距離應(yīng)等于圓心橫坐標(biāo)的絕對值，x2+y2＝1的圓心為原點(diǎn)，不符合題意，A錯(cuò)誤；x2+（y﹣1）2＝1的圓心為（0，1），不符合題意，B錯(cuò)誤；（x﹣1）2+y2＝1的圓心為（1，0），半徑為1，符合題意，C正確；（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2圓心為（1，1），半徑為，不符合題意，D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．31．（2023?江西模擬）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣e﹣x，所有滿足f（m）+f（n﹣1）＝0的點(diǎn)（m，n）中，有且只有一個(gè)在圓C上，則圓C的方程可以是x2+y2＝2．（寫出一個(gè)滿足條件的圓的方程即可）【分析】由題意可得f（x）是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，點(diǎn)（m，n）在直線x+y﹣1＝0上，再根據(jù)直線與圓相切，可得一個(gè)圓C的方程．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝ex﹣e﹣x，是R上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)，故滿足f（m）+f（n﹣1）＝0的點(diǎn)（m，n），滿足f（m）＝﹣f（n﹣1），即f（m）＝f（1﹣n），故有m＝1﹣n，即m+n﹣1＝0，故點(diǎn)（m，n）在直線x+y﹣1＝0上．再根據(jù)有且只有一個(gè)點(diǎn)（m，n）在圓C上，故圓C和直線x+y﹣1＝0相切，故圓的方程可以為x2+y2＝2，故答案案為：x2+y2＝2．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．一十五．圓的一般方程（共1小題）32．（2023?平江縣校級模擬）若點(diǎn)A（m，n）在圓C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0上，則的取值范圍為（）A． B． C．[0，4] D．【分析】的幾何意義為圓上點(diǎn)與定點(diǎn)P（﹣4，0）的斜率，然后結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)可求．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)A（m，n）在圓C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0上，則的幾何意義為圓上點(diǎn)與定點(diǎn)P（﹣4，0）的斜率，因?yàn)閳AC：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+（y﹣4）2＝16，由題意可知切線的斜率存在且PB的斜率為0，設(shè)圓C的切線方程為y＝k（x+4），則＝4，解得k＝0或k＝，故k的范圍為[0，]．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．一十六．軌跡方程（共5小題）33．（2023?廣西模擬）已知線段AB，則平面上全體滿足|AP|2+|BP|2為定值的點(diǎn)P的軌跡是（）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線【分析】由題意，建立坐標(biāo)系，結(jié)合所給信息再進(jìn)行求解即可．【解答】解：已知線段AB，且平面上全體滿足|AP|2+|BP|2為定值，因?yàn)閨PA|2+|PB|2為定值，所以以AB所在直線為x軸，中垂線為y軸，設(shè)A（﹣1，0），則B（1，0），|AP|2+|BP|2＝（x+1）2+y2+（x﹣1）2+y2＝2x2+2y2+2＝＝2，所以x2+y2＞0，以其一定在AB中點(diǎn)M為圓心，確定半徑的一個(gè)圓上運(yùn)動，則點(diǎn)P的軌跡為圓．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．34．（2023?棗強(qiáng)縣校級模擬）已知定點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2＝4上運(yùn)動，則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣2）2+y2＝4 C．（x﹣1）2+y2＝1 D．（x+2）2+y2＝4【分析】設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用P在圓上，可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)A（m，n），則（m+1）2+n2＝4．∵M(jìn)是線段AB上的中點(diǎn)，∴（x﹣m，y﹣n）＝（3﹣x，﹣y）∴m＝2x﹣3，n＝2y，∵（m+1）2+n2＝4，∴（2x﹣2）2+（2y）2＝4，∴（x﹣1）2+y2＝1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)的軌跡方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、代入法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．35．（2023?淄博三模）設(shè)A，B是半徑為3的球體O表面上兩定點(diǎn)，且∠AOB＝60°，球體O表面上動點(diǎn)P滿足PA＝2PB，則點(diǎn)P的軌跡長度為（）A． B． C． D．【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)|PA|＝2|PB|確定軌跡為圓，轉(zhuǎn)化到空間得到軌跡為兩球的交線，計(jì)算球心距，對應(yīng)圓的半徑為，再計(jì)算周長得到答案．【解答】解：以AOB所在的平面建立直角坐標(biāo)系，AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸，|AB|＝3，則，設(shè)P（x，y），|PA|＝2|PB|，則，整理得到，故P軌跡是以為圓心，半徑r＝2的圓，轉(zhuǎn)化到空間中：當(dāng)P繞AB為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，|PA|，|PB|不變，依然滿足|PA|＝2|PB|，故空間中P的軌跡為以C為球心，半徑為r＝2的球，同時(shí)P在球O上，故P在兩球的交線上，為圓．球心距為，△OCP為直角三角形，對應(yīng)圓的半徑為，周長為．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了空間中點(diǎn)的軌跡長度的計(jì)算，屬于中檔題．36．（2023?惠州模擬）已知圓F1：x2+y2+4x＝0，圓F2：x2+y2﹣4x﹣12＝0，一動圓與圓F1和圓F2同時(shí)內(nèi)切．（1）求動圓圓心M的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C，兩互相垂直的直線l1，l2相交于點(diǎn)F2，l1交曲線C于M，N兩點(diǎn)，l2交圓F1于P，Q兩點(diǎn)，求△PQM與△PQN的面積之和的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)動圓圓心到兩定點(diǎn)距離的關(guān)系可以判斷其為雙曲線；（2）分兩種情況討論，每一種情況中計(jì)算|MN|、|PQ|，從而求得面積的表達(dá)式，再求范圍即可．【解答】解：（1）由，得（x+2）2+y2＝4，可知F1（﹣2，0），其半徑為2，由，得（x﹣2）2+y2＝16，可知F2（2，0），其半徑為4．設(shè)動圓半徑為r，動圓圓心到F1的距離為n，到F2的距離為m，則有?n﹣m＝2或?m﹣n＝2，即|n﹣m|＝2＝2a，得a＝1，又|F1F2|＝4＝2c＞2a，所以動圓圓心M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線，由c2＝a2+b2，可得b2＝3．所以動圓圓心M的軌跡方程為．（2）①當(dāng)直線l，的斜率存在時(shí)，由題意，k≠0，設(shè)l1：y＝kx﹣2k，與雙曲線聯(lián)立?（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，由于其與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，得k2≠3且k2≠0，且．設(shè)，即x+ky﹣2＝0．設(shè)圓F1到直線l2的距離為d，則，因?yàn)閘2交圓F1于P，Q兩點(diǎn)，故d＜2，得k2＞3．且，由題意可知MN⊥PQ，所以，因?yàn)閗2＞3，可得S△PQM+S△PQN＞12．（2）當(dāng)直線l1的斜率不存在時(shí)，|PQ|＝4，|MN|＝6，所以，所以S△PQM+S△PQN≥12．即S△PQM+S△PQN∈[12，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的軌跡方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．37．（2023?河北三模）已知點(diǎn)P（2，2），圓C：x2+y2﹣16x＝0過點(diǎn)P的動直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求M的軌跡方程；（2）當(dāng)|OP|＝|OM|，求l的方程及△POM的面積．【分析】（1）由圓C的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)出M坐標(biāo)，由與數(shù)量積等于0列式得M的軌跡方程；（2）設(shè)M的軌跡的圓心為N，由|OP|＝|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式得到PM所在直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出O到l的距離，再由弦心距、圓的半徑及弦長間的關(guān)系求出PM的長度，代入三角形面積公式得答案．【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），當(dāng)點(diǎn)M不與點(diǎn)P重合時(shí)，即當(dāng)x≠2且y≠2時(shí)，由垂徑定理可知CM⊥AB，即CM⊥PM，設(shè)點(diǎn)M（x，y），又圓C的圓心為（8，0），P（2，2），則，，即（x﹣5）2+（y﹣1）2＝10，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)也滿足方程（x﹣5）2+（y﹣1）2＝10，故點(diǎn)M的軌跡方程為圓N：（x﹣5）2+（y﹣1）2＝10，（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)P滿足圓O的方程x2+y2＝8，又點(diǎn)M與點(diǎn)P在圓N：（x﹣5）2+（y﹣1）2＝10，∴直線MP為圓O和圓N的交線，圓O與圓N的方程相減得，直線MP的方程為（x2+y2）﹣[（x﹣5）2+（y﹣1）2]＝8﹣10，即5x+y﹣12＝0，∴l(xiāng)的方程為：5x+y﹣12＝0，點(diǎn)O到直線MP的距離，又圓O的半徑，∴弦長＝11，∴△POM的面積．【點(diǎn)評】本題考查圓的軌跡方程的求法，訓(xùn)練了利用向量數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．一十七．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共1小題）38．（2023?海淀區(qū)校級三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P是圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上的動點(diǎn)．若A（﹣a，0），B（a，0），a≠0，則的最大值為（）A．16 B．12 C．8 D．6【分析】根據(jù)題意得到，，即可得到答案．【解答】解：因?yàn)?，，所以．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)在最值求解中的應(yīng)用，還考查了圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．一十八．關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的圓的方程（共3小題）39．（2023?汕頭二模）與圓C：x2+y2﹣x+2y＝0關(guān)于直線l：x+y＝0對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x﹣1）2+（y+）2＝．【分析】先求得所求圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而得到該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：圓C：x2+y2﹣x+2y＝0的圓心，半徑，點(diǎn)關(guān)于直線l：x+y＝0對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+（y+）2＝．故答案為：（x﹣1）2+（y+）2＝．【點(diǎn)評】此本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．40．（2023?濟(jì)南一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：x2+y2＝2關(guān)于直線l對稱的圓為C2：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，則l的方程為2x﹣4y+5＝0．?【分析】先找出兩圓的圓心坐標(biāo)，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式與兩條直線垂直的條件，即可得直線l的方程．【解答】解：圓C1：x2+y2＝2表示圓心為C1（0，0），半徑為的圓，圓C2：x2+y2+2x﹣4y+3＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y﹣2）2＝2，表示圓心為C2（﹣1，2），半徑為的圓，所以兩圓心所在直線的斜率為＝﹣2，線段C1C2的中點(diǎn)為（﹣，1），因?yàn)橹本€l是線段C1C2的中垂線所在直線的方程，所以直線l的斜率為，其方程為y﹣1＝（x+），即2x﹣4y+5＝0．故答案為：2x﹣4y+5＝0．【點(diǎn)評】本題考查關(guān)于直線對稱的圓的方程，熟練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的互化，兩條直線垂直的條件是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．41．（2023?大理州模擬）已知直線l：x﹣y+1＝0，圓C：x2+y2＝1，則圓C關(guān)于直線l對稱的圓的方程為（x+1）2+（y﹣1）2＝1．【分析】求出圓心C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)即為對稱圓的圓心，從而可得對稱圓的方程．【解答】解：設(shè)圓心C（0，0）關(guān)于直線l對稱圓心為C′（a，b），根據(jù)對稱性可知，直線l為線段CC′的垂直平分線，所以有，解得a＝﹣1，b＝1，所以對稱圓心為C′（﹣1，1），又圓的半徑為1，所以圓C關(guān)于直線l對稱的圓的方程為（x+1）2+（y﹣1）2＝1．故答案為：（x+1）2+（y﹣1）2＝1．【點(diǎn)評】本題考查了圓關(guān)于直線的對稱圓的方程的計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題．一十九．圓的切線方程（共2小題）42．（2023?延邊州二模）經(jīng)過P（2，3）向圓x2+y2＝4作切線，切線方程為（）A．5x﹣12y+26＝0 B．13x﹣12y+10＝0 C．5x﹣12y+26＝0或x＝2 D．13x﹣12y+10＝0或x＝2【分析】根據(jù)切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得正確答案．【解答】解：（1）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線x＝2是圓的切線；（2）當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為l：y﹣3＝k（x﹣2），由（0，0）到切線距離為，得，此時(shí)切線方程為，即5x﹣12y+26＝0．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查圓的切線方程的求解，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．43．（2023?晉安區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P（3，0）作圓＝4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．則直線AB的方程為（）A． B． C． D．【分析】求出以（3，0）、為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程．【解答】解：圓的圓心為，半徑為2，以P（3，0）、為直徑，則PO的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴以N為圓心，PO為直徑的圓的方程為，因?yàn)檫^點(diǎn)P（3，0）圓的兩條切線切點(diǎn)分別為A，B，∴AB是兩圓的公共弦，將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程為：．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．二十．直線與圓相交的性質(zhì)（共3小題）44．（2023?思南縣校級模擬）若直線2x+y+m＝0與圓x2+2x+y2﹣2y﹣3＝0相交所得弦長為，則m＝（）A．1 B．2 C． D．3【分析】將圓的方程化簡成標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心坐標(biāo)（﹣1，1），半徑為，所以直線2x+y+m＝0過圓心，即可得出答案．【解答】解：圓x2+2x+y2﹣2y﹣3＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程（x+1）2+（y﹣1）2＝5，圓心坐標(biāo)為（﹣1，1），半徑為，因?yàn)橹本€2x+y+m＝0與圓x2+2x+y2﹣2y﹣3＝0相交所得弦長為，所以直線2x+y+m＝0過圓心，得2×（﹣1）+1+m＝0，即m＝1．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法，屬于基礎(chǔ)題．45．（2023?紅橋區(qū)二模）已知直線x﹣y+8＝0和圓x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝6，則r的值為5．【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心，由點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線x﹣y+8＝0的距離，結(jié)合直線與圓相交的性質(zhì)可得r2＝d2+（）2，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2＝r2的圓心為（0，0），半徑為r；則圓心到直線x﹣y+8＝0的距離d＝＝4，若|AB|＝6，則有r2＝d2+（）2＝16+9＝25，故r＝5；故答案為：5【點(diǎn)評】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，涉及弦長的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．46．（2023?南關(guān)區(qū)校級模擬）已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直線l：x﹣y+3＝0，當(dāng)直線l被C截得弦長為時(shí)，則a＝．【分析】由題意可得圓心C（a，2）半徑r＝2，則圓心（a，2）到直線x﹣y+3＝0得距離d＝＝，在Rt△CBM中由勾股定理可得，d2+BM2＝BC2結(jié)合a＞0可求【解答】解：由題意可得圓心C（a，2）半徑r＝2則圓心（a，2）到直線x﹣y+3＝0的距離d＝＝Rt△CBM中由勾股定理可得，d2+BM2＝BC2∵a＞0∴或a＝（舍去）故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查了直線與圓相交的弦的應(yīng)用，出了此類問題一般有兩個(gè)方法：①直接利用弦長公式求解，該方法思路清晰但需要一定的計(jì)算②利用本題中的解法，結(jié)合弦長及弦心距及半徑三者之間的關(guān)系進(jìn)行求解．二十一．直線與圓的位置關(guān)系（共3小題）47．（2023?歷下區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y＝2x﹣4．設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|＝2|MO|，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【分析】先求得圓C的方程，再利用|MA|＝2|MO|求得點(diǎn)M滿足的圓的方程，進(jìn)而利用兩圓有公共點(diǎn)列出關(guān)于a的不等式，解之即可求得a的取值范圍．【解答】解：圓心C的橫坐標(biāo)為a，則圓心C的坐標(biāo)為（a，2a﹣4），則圓C的方程（x﹣a）2+（y﹣2a+4）2＝1，設(shè)M（x，y），由|MA|＝2|MO|，可得，整理得x2+（y+1）2＝4，則圓（x﹣a）2+（y﹣2a+4）2＝1與圓x2+（y+1）2＝4有公共點(diǎn)，則，即1≤5a2﹣12a+9≤9，解之得．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．48．（2023?涪城區(qū)校級模擬）已知動圓C過M（4，0），N（0，2）兩點(diǎn)，圓心C關(guān)于直線x﹣y＝0的對稱點(diǎn)為E，過點(diǎn)E的直線交圓于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，|AB|的最小值是（）A．4 B．2 C．2 D．2【分析】當(dāng)該圓的面積最小時(shí)，MN是圓C的一條直徑；點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)（過定圓內(nèi)一定點(diǎn)作圓的弦，以該定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦最短）時(shí)，|AB|最?。窘獯稹拷猓焊鶕?jù)題意知，∵動圓C的半徑不小于|MN|＝＝，即當(dāng)該圓的面積最小時(shí)，MN是圓C的一條直徑，∴此時(shí)點(diǎn)C是線段MN的中點(diǎn)，即點(diǎn)C（2，1），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，2），∴|CE|＝＝，∴點(diǎn)E位于圓C內(nèi)，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)（過定圓內(nèi)一定點(diǎn)作圓的弦，以該定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦最短）時(shí)，|AB|最小，其最小值等于＝2．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找到當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，該圓的直徑是線段MN，是中檔題．49．（2023?武漢模擬）已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上兩動點(diǎn)A，B滿足△ABC為正三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合弦長公式，即可求解點(diǎn)AB的中點(diǎn)N的軌跡方程，根據(jù)向量的運(yùn)算可得，＝2||，再結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解．【解答】解：∵圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，∴圓C的圓心坐標(biāo)C（1，1），半徑R＝1，設(shè)圓心到直線l的距離為d，∵△ABC為正三角形，∴|AB|＝r＝1，由圓的弦長公式，可得|AB|＝2，即2＝1，解得d＝，設(shè)AB的中點(diǎn)為N，|CN|＝，∴點(diǎn)N的軌跡表示以C（1，1）為圓心，以為半徑的圓，∴點(diǎn)M的軌跡方程為（x﹣2）2+y2＝，根據(jù)向量的運(yùn)算可得，＝2||，又∵|OC|＝，∴|OC|?≤||≤|OC|+，即﹣≤||≤+，即的取值范圍為[2﹣，2+]．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查軌跡方程的求解，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，屬中檔題．二十二．圓與圓的位置關(guān)系及其判定（共2小題）50．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）圓C1：x2+y2+4x﹣2y﹣10＝0與圓C2：x2+y2＝r2（r＞0）的公共弦恰為圓C1的直徑，則圓C2的面積是（）A．2π B．4π C．10π D．20π【分析】對兩圓的方程作差即可得到兩圓的公共弦所在的直線方程，據(jù)題意，C1（﹣2，1）經(jīng)過該直線，可求出r，即可求解．【解答】解：因?yàn)閳AC1：x2+y2+4x﹣2y﹣10＝0，①圓C2：x2+y2＝r2，②①﹣②可得：4x﹣2y﹣10+r2＝0，此即兩圓的公共弦所在直線方程，由題意，公共弦所在直線為圓C1的直徑，則圓心C1（﹣2，1）滿足直線方程，即﹣8﹣2﹣10+r2＝0，即r2＝20，則圓C2的面積為πr2＝20π．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查兩圓的相交弦問題，屬基礎(chǔ)題．51．（2023?山西模擬）已知圓O：x2+y2＝1與圓C：（x﹣3）2+y2＝r2外切，直線l：x﹣y﹣5＝0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝（）A．4 B．2 C． D．【分析】由兩圓外切列方程求r，再求圓心C到直線l的距離，結(jié)合弦長公式求弦長．【解答】解：圓O：x2+y2＝1的圓心O的坐標(biāo)為（0，0），半徑為1，圓C：（x﹣3）2+y2＝r2的圓心C的坐標(biāo)為（3，0），半徑為|r|，因?yàn)閳AO與圓C外切，所以|OC|＝1+|r|，所以r2＝4，設(shè)圓心C（3，0）到直線l的距離為d，則，所以．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．二十三．兩圓的公切線條數(shù)及方程的確定（共2小題）52．（2023?荔灣區(qū)校級模擬）經(jīng)過直線y＝2x+1上的點(diǎn)作圓x2+y2﹣4x+3＝0的切線，則切線長的最小值為（）A．2 B． C．1 D．【分析】根據(jù)題意，求出圓的圓心，設(shè)其圓心為M，P為直線y＝2x+1上任意一點(diǎn)，分析可得當(dāng)直線MP與直線y＝2x+1垂直時(shí)，|MP|最小，此時(shí)切線長最小，由此計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2﹣4x+3＝0，即（x﹣2）2+y2＝1，其圓心為（2，0），半徑r＝1，設(shè)點(diǎn)M（2，0），P為直線y＝2x+1上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線MP與直線y＝2x+1垂直時(shí)，|MP|最小，此時(shí)切線長最小，此時(shí)|MP|的值就是點(diǎn)M到直線y＝2x+1的距離，故|MP|min＝d＝＝，且切線長的最小值為＝2；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及切線的長的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．53．（2023?渝中區(qū)校級模擬）已知圓O1：x2+y2＝1，圓O2：（x﹣4）2+y2＝4，請寫出一條與兩圓都相切的直線的方程：或或或（答案不唯一）．【分析】由題可知：兩圓外離，所以兩圓有4條公切線，設(shè)切線與兩圓圓心連線的交點(diǎn)為A（x0，y0），分①當(dāng)切線為外公切線和②當(dāng)切線為內(nèi)公切線兩種情況分別計(jì)算即可．【解答】解：由題可知：兩圓外離，所以兩圓有4條公切線，設(shè)切線與兩圓圓心連線的交點(diǎn)為A（x0，y0）．①當(dāng)切線為外公切線時(shí)：，所以，得，所以A（﹣4，0），設(shè)公切線l：y＝k（x+4），所以圓心O1到切線l的距離，解得，所以公切線為或；②當(dāng)切線為內(nèi)公切線時(shí)：，所以，所以，設(shè)公切線，所以圓心O1到切線l的距離，解得，所以公切線為或．故答案為：或或或（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查了兩圓的公切線方程的計(jì)算，屬于中檔題．二十四．相交弦所在直線的方程（共3小題）54．（2023?山西模擬）已知圓和交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝（）A． B． C． D．【分析】先求得相交弦所在直線方程，然后根據(jù)圓的弦長的求法求得|AB|．【解答】解：將x2+（y﹣2）2＝5和（x+2）2+y2＝5相減得直線AB：y＝﹣x，點(diǎn)（0，2）到直線x+y＝0的距離，所以．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．55．（2023?和平區(qū)校級一模）圓x2+y2﹣4＝0與圓x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的長為2．【分析】兩圓方程相減求出公共弦所在直線的解析式，求出第一個(gè)圓心到直線的距離，再由第一個(gè)圓的半徑，利用勾股定理及垂徑定理即可求出公共弦長．【解答】解：圓x2+y2﹣4＝0與圓x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的方程相減得：x﹣y+2＝0，由圓x2+y2﹣4＝0的圓心（0，0），半徑r為2，且圓心（0，0）到直線x﹣y+2＝0的距離d＝＝，則公共弦長為2＝2＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，求出公共弦所在的直線方程是解本題的關(guān)鍵．56．（2023?紅橋區(qū)一模）已知兩圓x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣3）2＝20相交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的方程是x+3y＝0．【分析】當(dāng)判斷出兩圓相交時(shí)，直接將兩個(gè)圓方程作差，即得兩圓的公共弦所在的直線方程．【解答】解：因?yàn)閮蓤A相交于A，B兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo)既滿足第一個(gè)圓的方程，又滿足第二個(gè)圓的方程將兩個(gè)圓方程作差，得直線AB的方程是：x+3y＝0，故答案為x+3y＝0．【點(diǎn)評】本題考查相交弦所在的直線的方程，當(dāng)兩圓相交時(shí)，將兩個(gè)圓方程作差，即得公共弦所在的直線方程．二十五．直線和圓的方程的應(yīng)用（共2小題）57．（2023?河西區(qū)一模）與直線x﹣y﹣4＝0和圓x2+y2+2x﹣2y＝0都相切的半徑最小的圓的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2．【分析】由題意先確定圓心的位置，再結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行排除，并得到圓心坐標(biāo)，再求出所求圓的半徑．【解答】解：由題意圓x2+y2+2x﹣2y＝0的圓心為（﹣1，1），半徑為，∴過圓心（﹣1，1）與直線x﹣y﹣4＝0垂直的直線方程為x+y＝0，所求的圓的圓心在此直線上，又圓心（﹣1，1）到直線x﹣y﹣4＝0的距離為＝3，則所求的圓的半徑為，設(shè)所求圓心坐標(biāo)為（a，b）則，且a+b＝0解得a＝1，b＝﹣1故答案為（x﹣1）2+（y+1）2＝2【點(diǎn)評】本題是中檔題，考查直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的思想，考查計(jì)算能力．58．（2023?南關(guān)區(qū)校級模擬）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知MN是⊙C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2的一條弦，且CM⊥CN，P是MN的中點(diǎn)．當(dāng)弦MN在圓C上運(yùn)動時(shí)，直線l：x﹣3y﹣5＝0上存在兩點(diǎn)A，B，使得∠APB≥恒成立，則線段AB長度的最小值是2+2．【分析】依題意，點(diǎn)P在以C為圓心以1為半徑的圓上，要使得∠APB≥恒成立，則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓內(nèi)部，所以AB的最小值為圓的直徑的最小值．【解答】解：因?yàn)镻為MN的中點(diǎn)，所以CP⊥MN，又因?yàn)镃M⊥CN，所以三角形CMN為等腰直角三角形，所以CP＝1，即點(diǎn)P在以C為圓心，以1為半徑的圓上，點(diǎn)P所在圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，要使得∠APB≥恒成立，則點(diǎn)P所在的圓在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，而AB在直線l：x﹣3y﹣5＝0上，C到直線l：x﹣3y﹣5＝0的距離d＝＝．所以以AB為直徑的圓的半徑的最小值為r＝+1，所以AB的最小值為2r＝2+2．故答案為：2+2．【點(diǎn)評】本題考查了直線和圓的關(guān)系的應(yīng)用，考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，圓的性質(zhì)等，屬于難題．二十六．圓方程的綜合應(yīng)用（共2小題）59．（2023?和平區(qū)校級一模）已知圓C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7）和C2：（x﹣3）2+y2＝1，動圓M與圓C1，圓C2均相切，P是△MC1C2的內(nèi)心，且，則a的值為（）A．9 B．11 C．17或19 D．19【分析】根據(jù)題意，由圓的方程求出兩個(gè)圓的圓心和半徑，由動圓M與圓C1，圓C2均相切，可得C1M+C2M＝a+1或3C1C2＝18＝a﹣1，由，可得C1M+C2M＝3C1C2，從而可求得a的值．【解答】解：根據(jù)題意：圓C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7），其圓心C1（﹣3，0），半徑R1＝a，圓C2：（x﹣3）2+y2＝1，其圓心C2（﹣3，0），半徑R2＝1，又因?yàn)閍＞7，所以圓心距|C1C2|＝6＜R1+R2＝a+1，所以圓C2內(nèi)含于圓C1，如圖1，因?yàn)閯訄AM與圓C1，圓C2均相切，設(shè)圓M的半徑為r，分2種情況討論：①動圓M與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切（r＜a），則有C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝1+r，所以C1M+C2M＝a+1，即M的軌跡為以C1，C2為焦點(diǎn)，長軸長為a+1的橢圓，因?yàn)镻為△MC1C2的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r0，又由，則有所以×C1M×r0+×C2M×r0＝3××C1C2×r0，所以C1M+C2M＝3C1C2，所以3C1C2＝18＝a+1，所以a＝17，②圓C2內(nèi)切于動圓M，動圓M內(nèi)切于圓C1，則有C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝r﹣1，所以C1M+C2M＝a﹣1，同理可得：3C1C2＝18＝a﹣1，則有a＝19；綜合可得：a＝17或19；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，涉及軌跡方程的求法以及橢圓的定義，屬于難題．60．（2023?渾南區(qū)校級模擬）已知，⊙C1與⊙C2相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則r1r2為．【分析】設(shè)兩圓的公切線為y＝7x+t，求得兩圓的圓心，由直線和圓相切的條件：d＝r，兩圓相切的條件，可得t＝12或﹣18，計(jì)算可得所求值．【解答】解：設(shè)兩圓的公切線為y＝7x+t，即7x﹣y+t＝0，已知圓心C1（2，2），C2（﹣1，﹣1），設(shè)C1，C2到公切線的距離為d1，d2，可得d1＝r1＝，d2＝r2＝，由于公切線在兩圓的同側(cè)，r1+r2＝﹣＝＝|C1C2|＝3，即|t+3|＝15，可得t＝12或﹣18，當(dāng)t＝12時(shí)，r1r2＝＝；當(dāng)t＝﹣18時(shí)，r1r2＝．綜上可得r1r2＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，主要是相切的條件：d＝r，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．六六、易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)1：使用兩平行線間距離公式忽略系數(shù)相等致錯(cuò)1．求兩條平行直線y=3x+5與6x―2y+3=0間的距離．【錯(cuò)解】直線方程y=3x+5可化為3x―y+5=0，則直線3x―y+5=0與6x―2y+3=0間的距離．【錯(cuò)因】6x―2y+10=0與6x―2y+3=0中x、y的系數(shù)不對應(yīng)相等，不能直接用公式。在使用兩條平行直線間的距離公式時(shí)，一定要注意：兩條直線方程均為一般式，且x、y的系數(shù)對應(yīng)相等，而不是對應(yīng)成比例，因此當(dāng)直線方程不滿足此條件時(shí)，應(yīng)先將方程變形．【正解】經(jīng)變形得兩條平行直線的方程為6x―2y+10=0和6x―2y+3=0，故它們之間的距離為．易錯(cuò)點(diǎn)2：有關(guān)截距相等問題忽略截距為零致錯(cuò)2、直線l過點(diǎn),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則直線l的方程為【錯(cuò)解】因?yàn)橹本€l過點(diǎn),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,設(shè)直線l的方程為,則,所以,故直線l的方程為,即.【答案】?！惧e(cuò)因】錯(cuò)誤原因是忽略直線l過原點(diǎn),截距為零的情況.【正解】若直線l過原點(diǎn),滿足題意,此時(shí)直線l的方程為；若直線l不過原點(diǎn),設(shè)直線l的方程為,則,所以,故直線l的方程為,即.綜上，直線l的方程為或.易錯(cuò)點(diǎn)3：已知兩直線平行求參數(shù)的值未驗(yàn)證致錯(cuò)3．已知直線ax＋3y＋1＝0與x＋(a－2)y＋a＝0平行，則a的值為________．【錯(cuò)解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3.答案：－1或3【錯(cuò)因】未驗(yàn)證a的值會不會使兩直線平行?！菊狻苛?×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3.當(dāng)a＝－1時(shí)，兩條直線的方程都為x－3y－1＝0，即兩條直線重合，故舍去；當(dāng)a＝3時(shí)，兩條直線的方程分別為3x＋3y＋1＝0，x＋y＋3＝0，兩條