七年級數(shù)學上冊專題4.23 雙（多）角平分線模型（專項練習）-2022-2023學年七年級數(shù)學上冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）

/專題4.23雙（多）角平分線模型（專項練習）圖一圖二圖三結(jié)論：雙角平分線夾角：一條射線把一個角分成兩個角，得到三個角，任意兩個角的平分線所形成的角等于第三個角的一半。一、單選題1．如圖，點A，O，B在同一條直線上，OD，OE分別平分和．若，則的度數(shù)為（）A．145° B．120° C．90° D．75°2．如圖，已知射線OB，OM，ON在內(nèi)部，OM平分，ON平分.若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．如圖，∠AOB=120°，OC是∠AOB內(nèi)部任意一條射線，OD，OE分別是∠AOC，∠BOC的角平分線，下列敘述正確的是（

）A．∠DOE的度數(shù)不能確定 B．∠AOD=∠EOCC．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD4．如圖，已知平分，平分，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．已知，，OE平分，OF平分，則（

）A．50° B．50°或者10° C．50°或者20° D．100°或者20°6．如圖，按照上北下南，左西右東的規(guī)定畫出方向十字線，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM，ON分別平分∠AOE和∠BOF，下面說法：①點E位于點O北偏西m°的方向上；②點F位于點O北偏東m°的方向上；③∠MON＝135°，其中正確的有（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個7．把一副三角板ABC與BDE按如圖所示的方式拼接在一起，其中A、D、B三點在同一條直線上，BM為∠ABC的角平分線，BN為∠CBE的角平分線．下列結(jié)論①∠MBN=45o，②∠BNE=∠BMC，③∠EBN=65o，④2∠NBD=∠CBM，其中結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．已知，OC為一射線，OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC，則∠MON是（

）A． B． C．或 D．或9．如圖，已知的頂點在直線上，平分，平分，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．10．如圖，，為外的一個銳角，且，射線平分，平分，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．二、填空題11．如圖，已知，平分，，平分，則的度數(shù)是_________．12．如圖，已知是直角，，OE平分，OF平分，那么______．13．已知，，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，則∠MOD的度數(shù)是______．14．如圖，點O在直線AB上，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，若∠COM=4∠CON，則∠COM的度數(shù)為

______．15．已知，射線在內(nèi)部，且，，射線、分別平分、，則的度數(shù)是_____．16．如圖，∠AOB＝90°，OC是∠AOB里任意一條射線，OD，OE分別平分∠AOC，∠BOC，則∠DOE＝_____．17．如圖，、是內(nèi)的兩條射線，平分，平分，若，，則_______°（用含m、n的代數(shù)式表示）．18．把一副三角尺按如圖所示拼在一起，如圖，其中B，C，D三點在同一條直線上，∠ACB=45°，∠DCE=60°．（1）若CM和CN分別平分∠ACB和∠DCE，如圖1，則∠MCN的度數(shù)為___________；（2）若CM平分∠BCE，CN平分∠DCA，如圖2，則∠MCN的度數(shù)為___________．三、解答題19．如圖，OB是的平分線，OD是的平分線．(1)若，，那么是多少度？(2)若，，那么是多少度？20．如圖，已知，平分，平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)若是內(nèi)任意一條射線，求的度數(shù)．21．如圖，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度數(shù)．22．如圖1，射線OC，OD在∠AOB的內(nèi)部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射線OM，ON分別平分∠AOD，∠BOC．（1）若∠AOC=60°，試通過計算比較∠NOD和∠MOC的大?。唬?）如圖2，若將圖1中∠COD在∠AOB內(nèi)部繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．①旋轉(zhuǎn)過程中∠MON的大小始終不變．求∠MON的值；②如圖3，若旋轉(zhuǎn)后OC恰好為∠MOA的角平分線，試探究∠NOD與∠MOC的數(shù)量關(guān)系．23．已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①當α=0°時，如圖1，則∠POQ=；②當α=80°時，如圖2，求∠POQ的度數(shù)；③當α=130°時，如圖3，請先補全圖形，然后求出∠POQ的度數(shù)；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，則∠POQ=，（請用含m、n的代數(shù)式表示）．24．如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一直角邊OM在射線OB上，另一直角邊ON在直線AB的下方．(1)將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使邊OM在的內(nèi)部，且恰好平分．問：此時直線ON是否平分？請說明理由．(2)將圖1中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第n秒時，直線ON恰好平分，則n的值為______（點接寫結(jié)果）(3)若圖1中的三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在的內(nèi)部時，的度數(shù)是多少？參考答案1．C【分析】根據(jù)OD，OE分別平分和，得出，，從而得出．解：∵OD，OE分別平分和，∴，，∴，故選：C．【點撥】本題主要考查了角平分線的定義，根據(jù)得出，是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】由OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求出∠NOM＝∠AOD，進而可求∠AOM．解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠NOB＝∠DOB，∠BOM＝∠BOA，∴∠NOB＋∠BOM＝∠DOB＋∠BOA＝（∠DOB＋∠BOA）＝∠AOD，∴∠MON＝∠AOD＝×156°＝78°，∴∠AOM＝∠AOD－∠DON－∠MON＝156°－48°－78°＝30°，故選：C．【點撥】本題主要考查角平分線的定義以及角的和差計算，熟練掌握角平分線的定義以及角的和差關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．3．C【分析】依據(jù)OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，即可得出∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°，結(jié)合選項得出正確結(jié)論．解：∵OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，∴∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE．又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°，∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°．故選C．【點撥】本題考查了角的平分線的性質(zhì)，理解角平分線將角分成相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】根據(jù)角平分線的定義和角的和差即可得到結(jié)論．解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，∴∠AOD＝2∠DOM、∠BOC＝2∠NOC，又∵∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD，∴∠AOB＝2∠DOM+2∠NOC﹣∠COD，即∠AOB＝2（∠DOM+∠NOC）﹣∠COD，∵∠AOB＝140°，∠COD＝40°，∴∠DOM+∠NOC＝90°，則∠MON＝∠DOM+∠NOC﹣∠COD＝50°，故選：B．【點撥】本題考查了角度的計算，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分OC在∠AOB外部或內(nèi)部兩種情況分別計算即可．解：如圖，當OC在∠AOB外部時，∵∠AOB＝60°，∠AOC＝40°，∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝100°，∵OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOB＝30°，∠AOF＝∠AOC＝20°，∴∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝50°；如圖，當OC在∠AOB內(nèi)部時，∵OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOB＝30°，∠AOF＝∠AOC＝20°，∴∠EOF＝∠AOE?∠AOF＝30°?20°＝10°；綜上所述，∠EOF＝50°或10°，故選：B．【點撥】本題考查了角平分線的定義，角的計算，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，根據(jù)題意畫出兩種圖形是解題的關(guān)鍵，不要漏解．6．B【分析】觀察方向圖形，根據(jù)方向角解答即可．解：①點E位于點O北偏西（90﹣m）°的方向上，原結(jié)論錯誤；②∵∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠EOD=90°，∴∠DOF=∠AOE＝m°，∴點F位于點O北偏東m°的方向上，原結(jié)論正確；③∵∠AOE+∠BOF=90°，OM，ON分別平分∠AOE和∠BOF，∴∠MOE+∠NOF=45°，∴∠MON＝135°，原結(jié)論正確；其中正確的有2個．故選：B．【點撥】此題考查的知識點是方向角，角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確方向角的意義，熟練運用角平分線和余角的性質(zhì)推導角的關(guān)系．7．C【分析】根據(jù)三角板中角的度數(shù)及角平分線的概念逐個進行分析判斷．解：由題意可得：，，∴，∵BM為∠ABC的角平分線，BN為∠CBE的角平分線，∴，，故③錯誤；∴∠MBN==45o，故①正確；∠BNE=180°-=60°，∠BMC=90°-=60°，∴∠BNE=∠BMC，故②正確；，∴2∠NBD=∠CBM，故④正確；正確的是①②④，共3個，故選：C．【點撥】本題主要考查了角平分線的定義，利用角平分線的定義計算角的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．8．C【分析】分射線OC在∠AOB內(nèi)部和外部兩種情況，討論求解即可得到答案.解：當射線OC在∠AOB內(nèi)部時，如圖所示∵OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC∴∠AON=∠NOC，∠COM=∠BOM又∵∠AOB=90°∴2（∠NOC+∠COM）=90°∴∠MON=∠NOC+∠COM=45°當射線OC在∠AOB外部時，∠COB為銳角時∵OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC∴∠AON=∠NOC，∠COM=∠BOM又∵∠AOB=90°∴∠AON+∠NOB=90°∴∠NOB+∠BOM+∠MOC+∠NOB=90°∴∠NOB+∠BOM=45°∴∠MON=45°當射線OC在∠AOB外部時，∠COB為直角時此時ON與OB重合，∵OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC∴∠MON=45°當射線OC在∠AOB外部時，∠COB為鈍角時∵∵OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC∴∠AON=∠NOC，∠COM=∠BOM又∵∠AOB=90°∴∠AOC+∠BOC=360°-90°=270°∴∠AON+∠NOC+∠COM+∠BOM=270°∴∠NOC+∠COM=135°∴∠MON=135°當射線OC在∠AOB外部時，∠COB為平角時同理可以求得∠MON=135°綜上所述，∠MON=45°或∠MON=135°故選C.【點撥】本題主要考查了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握角平分線的定義.9．D【分析】運用角平分線的定義算出∠FOE=2∠COF，再由∠COE為直角，可求出∠COF的度數(shù)，再求出∠AOF的度數(shù)，最后可求得∠BOE的度數(shù)．解：∵平分∴∠AOF=∠FOE∵平分∴∠AOF=2∠COF∴∠FOE=2∠COF又∠COE是直角∴∴∠AOF=∠FOE=60°∴故選：D．【點撥】此題考查角平分線的定義和角的有關(guān)運算．發(fā)現(xiàn)組成RT∠COE的兩個角：∠FOE=2∠COF是解決問題的關(guān)鍵．10．A【分析】根據(jù)題意，先求得∠COB的值；OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，則可求得∠AOM、∠AON的值；∠MON=∠AOM+∠AON，計算得出結(jié)果．解：∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°，∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=∠BOC=65°，∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°，∵ON平分∠AOC，∴∠AON=∠AOC=20°，∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°．∴∠MON的度數(shù)是45°．故選：A．【點撥】本題考查了余角的計算，角的計算，角平分線的定義．首先確立各角之間的關(guān)系，根據(jù)角平分線定義得出所求角與已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．11．##75度【分析】根據(jù)角平分線得出∠AOC=∠BOC=45°，結(jié)合題意得出∠BOD=15°，再由角平分線及各角的關(guān)系求解即可．解：∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB∴∠AOC=∠BOC=45°∵∠COD=60°∴∠BOD=15°∵OD平分∠BOE∴∠BOE=30°∴∠COE=∠BOE+∠BOC=75°故答案為：75°．【點撥】題目主要考查角平分線的計算，理解題意，找準圖中各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．12．45【分析】先計算出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義得到∠FOC，∠EOC度數(shù)，然后求它們的差即可．解：解∵∠AOB是直角，∠BOC=60°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠EOC∠AOC=75°，∠FOC∠BOC=30°，∴∠EOF=∠EOC﹣∠FOC=45°．故答案為：45．【點撥】本題考查了角平分線的定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．13．或##25°或45°【分析】分①在的外部，②在的內(nèi)部兩種情況，利用角平分線的定義、角的和差進行求解即可得．解：由題意，分以下兩種情況：①如圖，當在的外部時，平分，且，，同理可得：，則；②如圖，當在的內(nèi)部時，同理可得：，，則；綜上，的度數(shù)是或，故答案為：或．【點撥】本題考查了與角平分線有關(guān)的計算，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．14．72°##72度【分析】利用平角、角平分線的性質(zhì)，可求得∠MON的度數(shù)，由∠COM=4∠CON，得關(guān)于∠COM的方程，求解即可．解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠COM=∠AOC，∠CON=∠COB，∵∠AOC+∠COB=180°，∴∠COM+∠CON=90°，∵∠COM=4∠CON，∴∠COM+∠COM=90°，即∠COM=90°，∴∠COM=72°，故答案為：72°．【點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平角的定義及一元一次方程方程的解法．利用平角是180°、角平分線的性質(zhì)，得∠MON=90°是解決本題的關(guān)鍵．15．或##55°或5°【分析】先根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)角平分線的定義可得的度數(shù)，然后分射線在的內(nèi)部和射線在的外部兩種情況，分別根據(jù)角的和差即可得．解：，射線在內(nèi)部，且，，射線、分別平分、，且，，①如圖，當射線在的內(nèi)部時，則；②如圖，當射線在的外部時，則；綜上，的度數(shù)是或，故答案為：或．【點撥】本題考查了與角平分線有關(guān)的計算，正確分兩種情況進行討論是解題關(guān)鍵．16．45°##45度【分析】由角平分線的定義得到，，再由∠AOB=90°，得到∠AOC+∠BOC=90°，則∠DOE=∠DOC+∠EOC=．解：∵OD，OE分別平分∠AOC，∠BOC，∴，，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOC=90°，∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=，故答案為：45°．【點撥】本題主要考查了角平分線的定義，熟知角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．17．【分析】由角平分線的定義可得，結(jié)合可求解．解：平分，平分，故答案為：．【點撥】本題主要考查角的平分線，角的計算，靈活運用角的平分線的定義是解題的關(guān)鍵．18．

52.5°【分析】(1)利用角平分線的定義求出∠ACM、∠ECN，可得結(jié)論；(2)利用角平分線的定義求出∠BCM、∠CAN，可得結(jié)論．解：（1）CM和CN分別平分∠ACB和∠DCE，∠ACB=45°，∠DCE=60°∴，∴.（2），∴，CM平分∠BCE∴∴同理則∴.【點撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．19．(1)50°(2)35°解：（1）OB是的平分線，∴；∵OD是的平分線，∴，∴；（2）OB是的平分線，∴，∴，∵OD是的平分線，∴．20．(1)(2)【分析】根據(jù)平分，平分，可得，．從而得到．進而得到．即可求解；（2）根據(jù)平分，平分，可得，．從而得到．即可求解．（1）解：因為平分，平分，所以，．因為，所以．所以．所以．（2）解：因為平分，平分，所以，．因為，所以．因為，所以．【點撥】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計算，根據(jù)題意，準確得到角與角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21．120°，30°【分析】先根據(jù)角平分線，求得的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系，求得的度數(shù)，最后根據(jù)角平分線，求得、的度數(shù)．解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°∴∠BOE=∠AOB=45°又∵∠EOF=60°∴∠BOF=∠EOF－∠BOE=15°又∵OF平分∠BOC∴∠BOC=2∠BOF=30°∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°故∠AOC=120°，∠COB=30°．【點撥】本題主要考查了角平分線的定義，根據(jù)角的和差關(guān)系進行計算是解題的關(guān)鍵注意：也可以根據(jù)的度數(shù)是度數(shù)的2倍進行求解．22．（1）；（2）①；②．【分析】（1）先根據(jù)角的和差求出和的度數(shù)，再角平分線的定義可得和的度數(shù)，然后根據(jù)角的和差即可得；（2）①先根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)角的和差即可得；②設(shè)，先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)建立方程可求出，從而可得，然后根據(jù)角的和差、角平分線的定義可得，從而可得，由此即可得．解：（1），，射線OM，ON分別平分，，，，；（2）①，，射線OM，ON分別平分，，，②設(shè)，是的角平分線，，射線OM平分，，，，解得，，，射線ON平分，，，．【點撥】本題考查了角平分線的定義、角的和差等知識點，熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵．23．（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°【分析】（1）根據(jù)角的和差和角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角的和差和角平分線的定義即可得到結(jié)論．解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，∴∠POQ=50°，故答案為：50°；②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=70°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；

③解：補全圖形如圖3所示，∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=85°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；（2）當∠AOB=m°，∠COD=n°時，如圖2，∴∠AOC=m°+°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=(m°+°)，同理可求∠DOQ=(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+°)-n°=(-n°+°)，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+°)-(-n°+°)=m°+n°，當∠AOB=m°，∠