專題02常用邏輯用語（考點歸納與六大題型方法總結）（原卷版）

專題02常用邏輯用語【題型歸納目錄】題型一：充分條件與必要條件的判斷題型二：全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷及真假題型三：充要條件的探求與證明題型四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定題型五：根據充分必要條件求參數的取值范圍題型六：全稱量詞命題與存在量詞命題求參數【【考點歸納】考點1：命題的定義與表示1．命題的定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫命題．判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題．2．命題的表示：命題表示為“若p，則q”時，p是命題的條件，q是命題的結論．考點2：充分條件條件、必要條件、充要條件1．充分條件與必要條件定義（1）一般地，“若，則”為真命題，是指由條件通過推理可以得出結論.這時，我們就說，由可推出，記作，并且說，是的充分條件，是的必要條件。（2）如果“若，則”為假命題，那么由條件不能推出結論，記作pq.這時，我們就說，不是的充分條件，不是的必要條件。命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關系p?qpq條件關系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件2．充分條件與必要條件的關系是的充分條件反映了，而是的必要條件也反映了，所以是的充分條件與是的必要條件表述的是同一個邏輯關系，只是說法不同。而是的充分條件只反映了，與能否推出沒有任何關系。3．充要條件的定義如果“若，則”和它的逆命題“若，則”均為真命題，即既有，又有，就記作。此時，既是的充分條件，也是的必要條件，我們說是的充分必要條件，簡稱充要條件?！狙a充】概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．（1）若p?q，但qp，則稱p是q的充分不必要條件．（2）若q?p，但pq，則稱p是q的必要不充分條件．（4）若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．【說明】①充要條件的含義若是的充要條件，則也是的充要條件，雖然本質上是一樣的，但在說法上還是不同的，因為這兩個命題的條件與結論不同。②充要條件的等價說法：是的充要條件又常說成是成立當且僅當成立，或與等價。考點3：充分、必要、充要條件的證明1．證明“充分不必要條件”“必要不充分條件”，一般先證明一個方面，然后驗證另一個方面不成立。2．證明“充要條件”一般應分兩個步驟，即分別證明“充分性”與“必要性”，但千萬要注意“誰”是“誰”的充分條件，“誰”是“誰”的必要條件。【注意】盡管證明充要條件問題中前者可以是后者的充分條件也可以是必要條件，但還是不能把步驟顛倒了。一般地，證明成立的充要條件為，在證明充分性時，應以為“已知條件”，是在該步中要證明的“結論”，即；在證明必要性時，則是以為“已知條件”，在該步中要證明的“結論”，即考點4：全稱量詞與存在量詞及真假1．全稱量詞與全稱量詞命題（1）短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．（2）含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題，通常將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示，那么全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)．2．存在量詞與存在量詞命題（1）短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．（2）含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”．（3）特稱命題：含有存在量詞的命題也叫做特稱命題.3．判斷全稱量詞命題真假若為真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素，驗證成立；若為假命題，只要能舉出集合M中的一個，使不成立即可；4．判斷存在量詞命題真假只要在限定集合M中，至少能找到一個，使成立，則這個命題為真，否則為假?？键c5：含有一個量詞的命題的否定1．全稱命題的否定原命題全稱命題原命題的否定特稱命題2．特稱命題的否定原命題特稱命題原命題的否定全稱命題【微點撥】全稱命題與全稱量詞、特稱命題與存在量詞全稱量詞指定范圍否定形式全稱命題所有的任何的任意的整體或全部有些有的存在對M中任何x，有p(x)成立記：，都是不都是對M中任何x，p(x)不成立記：，存在量詞指定范圍否定形式特稱命題有一個、存在整體的一部分沒有、不存在在M中存在某x，有p(x)成立記：，p(x)至少有一個一個也沒有在M中存在某x，p(x)不成立記：，至多有一個至少有兩個命題否定形式之間的關系：全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點之一．【方法技巧與總結】1．充分條件、必要條件的判斷方法（1）定義法：直接利用定義進行判斷．（2）等價法：“p?q”表示p等價于q，等價命題可以進行轉換，當我們要證明p成立時，就可以去證明q成立．（3）利用集合間的包含關系進行判斷：如果條件p和結論q相應的集合分別為A和B，那么若A?B，則p是q的充分條件；若A?B，則p是q的必要條件；若A＝B，則p是q的充分必要條件．2．判定一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的主要方法是看命題中含有哪種量詞，判定時要特別注意省略量詞的全稱量詞命題．3．要判定一個全稱量詞命題為真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x驗證p(x)成立，要判定其為假命題，只要舉出一個反例即可；對存在量詞命題真假的判定方法正好與之相反．4．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定，其模式是固定的，即把相應的全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞，并把命題的結論加以否定．【【題型歸納】題型一：充分條件與必要條件的判斷【例1】已知集合，，則“”是“”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件【例2】使得“”成立的一個必要且不充分的條件是（）A． B． C． D．【例3】已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【【方法技巧歸納】1．要明確推出的含義，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．2．充分必要條件在面對集合問題時，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．3．定義法判斷充分條件、必要條件（1）確定誰是條件，誰是結論（2）嘗試從條件推結論，若條件能推出結論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件（3）嘗試從結論推條件，若結論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件.【【變式演練】1．2020年2月11日，世界衛(wèi)生組織將新型冠狀病毒感染的肺炎命名為COVID19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者癥狀是發(fā)熱?干咳?渾身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表現(xiàn)為發(fā)熱?干咳?渾身乏力”的（）已知該患者不是無癥狀感染者A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2021·湖南）“”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（多選）的必要不充分條件可以是（）A． B． C． D．4．指出下列各組命題中，是的什么條件？是的什么條件？（1）若，，；（2）或；；（3）：能被整除，：能被整除．題型二：全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷及真假【例4】（多選）下列命題是全稱量詞命題的是（）A．負數的絕對值大于0B．所有的菱形都是平行四邊形C．負數的平方是正數D．【例5】以下四個命題既是存在量詞命題又是真命題的是（）A．銳角三角形的內角是銳角或鈍角B．至少有一個實數，使C．兩個無理數的和必是無理數D．存在一個負數，使【例6】有下列四個命題：①，；②；③，；④.其中真命題的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【【方法技巧歸納】1．要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x證明px成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個x，使得px不成立即可這就是通常所說的“舉出一個反例”.2．要判定一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個x使px成立即可；否則，這個存在量詞命題就是假命題.3．全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷較為簡單，注意細節(jié)即可．【【變式演練】1．（2023·河北·高三學業(yè)考試）設非空集合，滿足，則下列選項正確的是（

）A．，有 B．，有C．，使得 D．，使得2．能說明全稱量詞命題“”為假命題的例子是（）A．B．C．D．3．（多選）下列命題中是假命題的是（）．A．， B．，C．， D．，4．（多選）下列命題錯誤的是（）A．， B．，C．， D．，題型三：充要條件的探求與證明【例7】求證：是等邊三角形的充要條件是.這里是的三條邊．【【方法技巧歸納】充要條件的證明策略（1）要證明一個條件p是否是q的充要條件，需要從充分性和必要性兩個方向進行，即證明兩個命題“若p，則q”為真且“若q，則p”為真.（2）在證明的過程中也可以轉化為集合的思想來證明，證明p與q的解集是相同的，證明前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結論.提醒：證明時一定要注意，分清充分性與必要性的證明方向.【【變式演練】1．已知，是實數，求證：成立的充要條件是.2．求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.題型四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定【例8】（2023·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預測）命題“有一個偶數是素數”的否定是（

）A．任意一個奇數是素數 B．任意一個偶數都不是素數C．存在一個奇數不是素數 D．存在一個偶數不是素數【例9】已知命題，則為（）A．B．C．D．【例10】寫出下列命題的否定：（1），；（2）p：所有自然數的平方都是正數；（3）p：任何實數x都是方程的根；（4）p：有些分數不是有理數.【【方法技巧歸納】含有一個量詞的命題的否定的方法（1）一般地，寫含有一個量詞的命題的否定，首先要明確這個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并找到量詞及相應結論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞，同時否定結論．（2）對于省略量詞的命題，應先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再依據規(guī)則來寫出命題的否定．【【變式演練】1．設命題，則為（）A．B．.C．D．.2．命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，3．命題“”的否定是（）A． B．C． D．題型五：根據充分必要條件求參數的取值范圍【例11】已知不等式成立的充分條件是，則實數的取值范圍是（）A．或B．或C．D．【例12】若“”是“”的必要條件，但“”不是“”的充分條件，則的取值范圍是________．【【方法技巧歸納】利用充分、必要、充要條件的關系求參數范圍（1）化簡p，q兩命題；（2）根據p與q的關系充分、必要、充要條件轉化為集合間的關系；（3）利用集合間的關系建立不等式；（4）求解參數范圍.【【變式演練】1．已知，若是的必要條件，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．2．若“”是“”的充分條件，則實數的取值范圍為___________．3．（2021·浙江高一期末）已知，，且是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是____________．題型六：全稱量詞命題與存在量詞命題求參數【例13】已知命題：，，若p為假命題，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例14】已知集合，，且.若命題p：“，”是真命題，求m的取值范圍；【【方法技巧歸納】求解含有量詞的命題中參數范圍的策略（1）對于全稱量詞命題“?x∈M，a＞y或a＜y”為真的問題，實質就是不等式恒成立問題，通常轉化為求函數y的最大值或最小值，即a＞ymax或a＜ymin.（2）對于存在量詞命題“?x∈M，a＞y或a＜y”為真的問題，實質就是不等式能成立問題，通常轉化為求函數y的最小值或最大值，即a＞ymin或a＜ymax.【【變式演練】1.（多選）已知命題，，若p為真命題，則實數a的值可以是（）A．B．0C．D．2.若命題“”為假命題，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2021·河北）已知，（1）若“x∈A，使得x∈B”為真命題，求m的取值范圍；（2）是否存在實數m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分條件，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.【【過關檢測】一、單選題1．（2022·廣東茂名·高一期末）命題任意圓的內接四邊形是矩形，則為（

）A．每一個圓的內接四邊形是矩形B．有的圓的內接四邊形不是矩形C．所有圓的內接四邊形不是矩形D．存在一個圓的內接四邊形是矩形2．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．3．（2022·廣東梅州·高一期末）“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．即不充分也不必要4．（2022·廣東清遠·高一期末）命題“，是4的倍數”的否定為（

）A．，是4的倍數 B．，不是4的倍數C．，不是4的倍數 D．，不是4的倍數5．（2022·廣東珠海·高一期末）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．全稱量詞命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．以上都不正確7．（2022·廣東·化州市第三中學高一期末）已知命題p：x為自然數，命題q：x為整數，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．下列全稱量詞命題與存在量詞命題中：①設A、B為兩個集合，若，則對任意，都有；②設A、B為兩個集合，若，則存在，使得；③是無理數，是有理數；④是無理數，是無理數.其中真命題的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．下列四個命題中為真命