第三章 3.1.1　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

9第三章圓錐曲線的方程3.1橢圓3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程【素養(yǎng)導(dǎo)引】1.了解橢圓的實(shí)際背景.(數(shù)學(xué)抽象)2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過(guò)程,掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)一、橢圓的定義(1)條件:平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2,一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M;(2)關(guān)系:動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|);(3)概念:動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓,兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距.【批注】(1)“常數(shù)大于|F1F2|”:當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F1,F2不共線時(shí),三角形兩邊之和大于第三邊,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F1,F2共線時(shí),|MF1|+|MF2|=|F1F2|+|MF1|(|MF2|)>|F1F2|;(2)“常數(shù)等于|F1F2|”:動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為線段F1F2;(3)“常數(shù)小于|F1F2|”:動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不存在.[診斷]辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”).(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到F1,F2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓. (×)提示:因?yàn)?a=|F1F2|=8,動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2,不是橢圓.(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到F1,F2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓. (×)提示:2a<|F1F2|,動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.(3)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(-4,0),F2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到F1,F2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓. (√)提示:符合橢圓的定義.二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程項(xiàng)目焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b2y2a2+x2b2圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a,b,c的關(guān)系c2=a2-b2【批注】(1)焦點(diǎn)位置的確定:對(duì)于橢圓x2m+y2n=1(m>0,n>0),當(dāng)m>n時(shí)焦點(diǎn)在x軸,當(dāng)m<(2)a,b,c的幾何意義:[診斷]1.(教材改編題)設(shè)P是橢圓x225+y216=1上的點(diǎn),若F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則|PF1|+|PF2|等于A.4 B.5 C.8 D.10【解析】選D.由橢圓的方程可得a=5,所以|PF1|+|PF2|=2a=10.2.(教材改編題)橢圓x216+y225=1的焦點(diǎn)為F1,F2,P為橢圓上一點(diǎn),若|PF1|=2,則|PF2|=A.2 B.4 C.6 D.8【解析】選D.由題意a=5,|PF1|+|PF2|=2a=10,所以|PF2|=2a-|PF1|=10-2=8.學(xué)習(xí)任務(wù)一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,-2),(0,2),經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,32).(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,-2),(-1,142)【解析】(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2+x2b2方法一:由橢圓的定義知2a=(4-=6+2+6-2=12,解得a=6.又c=2,所以b=a2-c所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y236+x方法二:因?yàn)樗髾E圓過(guò)點(diǎn)(4,32),所以18a2+16又c2=a2-b2=4,可解得a2=36,b2=32,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y236+x(2)方法一(分類討論法):若焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2由已知條件得4a2所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y若焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2+x2b2由已知條件得4解得b則a2<b2,與題設(shè)中a>b>0矛盾,舍去.綜上,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y方法二(待定系數(shù)法):設(shè)橢圓的一般方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).將兩點(diǎn)(2,-2),(-1,142)得4A+2所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y【思維提升】1.定義法求橢圓方程利用定義,直接求出a,c,再求出b后根據(jù)焦點(diǎn)的位置寫(xiě)出橢圓的方程.2.待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)作判斷:依據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上,還是在兩個(gè)坐標(biāo)軸上都有可能.(2)設(shè)方程:①依據(jù)上述判斷設(shè)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)或y2②在不能確定焦點(diǎn)位置的情況下也可設(shè)mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).(3)找關(guān)系:依據(jù)已知條件,建立關(guān)于a,b或m,n的方程組.(4)得方程:解方程組,將a,b或m,n代入所設(shè)方程即為所求.提醒:求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程首先要關(guān)注焦點(diǎn)位置,焦點(diǎn)位置不同橢圓的方程不同.【即學(xué)即練】求中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(13,13),Q(0,-12【解析】方法一:(1)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí),可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2依題意,有(解得a2=15,b(2)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí),可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2+x2b2依題意,有(解得a所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y214+方法二:設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).則(13所以所求橢圓的方程為5x2+4y2=1,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y214+學(xué)習(xí)任務(wù)二橢圓定義及其應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)【典例2】設(shè)P為橢圓C:x216+y212=1上一點(diǎn),F1,F2分別為C的左、右焦點(diǎn),且|PF1|-|PF2|=83,則|A.32 B.2 C.53 【解析】選B.因?yàn)閨PF1|+|PF2|=2a=216=8,|PF1|-|PF2|=83,所以|PF1|=163,|PF2|=83,故【一題多變】(1)本題的條件不變,則cos∠F1PF2=________;

【解析】c2=16-12=4,所以c=2,所以|F1F2|=4,又|PF1|=163,|PF2|=8所以cos∠F1PF2=|PF1|2答案:11(2)本例的條件不變,若過(guò)F1的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),則△ABF2的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.

【解析】△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a=16.答案:16【思維提升】關(guān)于橢圓定義的應(yīng)用橢圓上的點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=2a,往往作為隱含條件,結(jié)合其他已知條件解題,有時(shí)需要通過(guò)變形構(gòu)造定義,由|PF1|+|PF2|進(jìn)行關(guān)聯(lián).【即學(xué)即練】如圖所示,已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),P為橢圓上一點(diǎn),且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.

【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦距為2c,則由已知得c所以4=|PF1|+|PF2|=2a,所以a=2,所以b2=a2-c2=4-1=3,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y答案:x24+【加固訓(xùn)練】設(shè)P是橢圓x216+y212=1上一點(diǎn),P到兩焦點(diǎn)F1,F2的距離之差為2,則△是 ()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形【解析】選B.由橢圓定義,知|PF1|+|PF2|=2a=8,不妨設(shè)|PF1|>|PF2|,因?yàn)閨PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=5,|PF2|=3,又因?yàn)閨F1F2|=2c=4,所以△PF1F2為直角三角形.【教材拓展】焦點(diǎn)三角形總結(jié)橢圓上任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形.性質(zhì)1:已知橢圓方程為x2a2+y