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分塊矩陣在矩陣證明題中的應用

在高等代，矩陣分布模式是矩陣檢驗的良好方法。本文結合矩陣的初等變換、矩陣秩的有關性質,對相關矩陣進行分塊或構造相關的分塊矩陣,討論分塊矩陣在證明題型中的應用。先以常用的2×2的分塊矩陣為例,給出幾個與分塊矩陣相關的定義與性質。定義1:對m+n階單位矩陣作2×2分塊,即,然后對其作相應的初等變換所得到的矩陣稱為分塊初等矩陣。其中P、Q分別是m階和n階可逆方陣。注:在使用分塊初等矩陣乘法時,要注意所作分塊必須使得分塊乘法的運算能進行。由定義1,給出分塊初等矩陣的性質。性質1:對分塊矩陣進行一次行(列)初等變換,相當于左(右)乘一個相應的分塊初等矩陣。性質2:分塊初等矩陣是可逆矩陣,分塊初等變換不改變矩陣的秩。性質3:對一個分塊矩陣左(右)乘一個分塊初等矩陣,不改變原分塊矩陣的秩。1塊矩陣應用于驗證過程中的排序矩陣證明方法:利用分塊初等矩陣的性質和秩的性質。秩的2個性質:1.1在文本平等證書中應用證明證明構造,對其進行如下初等變換:注:本例中,若AB=0,則r(A)+r(B)≤n。1.2等式證明中的等式例例22A設為n階方陣,證明:2矩陣中的分塊矩陣的應用證明方法:利用矩陣秩的化簡結論。3矩陣分解中的塊矩陣的應用證明方法:利用矩陣秩的化簡結論。例例44證明:任一方陣A都可寫為A=BC,其B2=B,C可逆。4矩陣中的分塊矩陣應用證明方法:利用分塊矩陣的初等變換及行列式的運算。5在先單元的二元結構下的認知分塊證明方法:利用分塊矩陣的初等變換及分塊矩陣求逆的方法及結論。在高等代數(shù)中,利用分塊的方法證明矩陣問題的題目還有很多,這里只是列舉了其中的一些加以討論。并且,有的例題也有其他的證明方法,這里不再一一給出。另外,分塊的方法與齊次線性方程組解的結構相結合(一般是系數(shù)矩陣的列分塊),也可以解決一些問題。例如,“若AB=0,則r(A)+r(B)≤n”,就可以用齊次方程組解的結構來證明?？傊?由以上例子可以看出,矩陣分塊在矩陣證明題中是一種較簡捷、有效的方法。由定義1可得,分塊初等矩陣具有以下形式:1)分塊初等對換陣:;2)分塊初等倍乘陣:;3)分塊初等倍加陣:。證明證明構造,對其進行如下初等變換:結論:設A是一個矩陣,,則r(A)=r存在m階可逆矩陣P和n階可m×n逆矩陣Q,使。特別:若A列滿秩時,;若A行滿秩時,。證明:存在。證明(B為列滿秩)∴?可逆陣Pm和可逆陣Qn,使證明證明設,則存在n階可逆矩陣P,Q,使。例5(滿秩分解)例5(滿秩分解)證明:對任意m×n階矩陣A,設。注:此題也可轉化為證明秩的問題。結論:若n階方陣,其中,M是可逆陣的充要條件是n×2n階矩陣,經(jīng)

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