認(rèn)識(shí)一元二次方程教學(xué)案例

第二章一元二次方程1．認(rèn)識(shí)一元二次方程（二）一、學(xué)生知識(shí)狀況分析學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)的一元一次方程中，已經(jīng)學(xué)習(xí)過方程的解的概念，此后又分別在二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程中多次學(xué)習(xí)了關(guān)于方程（或方程組）的求解的過程。因此對(duì)本章中的“使一元二次方程的左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值即為該一元二次方程的解”的概念不難理解；學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)初步感受到了方程的模型作用，并積累了一些利用方程解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，解決了一些實(shí)際問題。同時(shí)通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，一元二次方程在生活中也有著廣泛的應(yīng)用，而列方程、解方程和應(yīng)用方程是一體的。在學(xué)生已有的估算能力的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生在具體的問題情境中，經(jīng)歷估計(jì)近似解的過程，尋找方程的解。同時(shí)，在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流的能力。二、教學(xué)任務(wù)分析教科書基于學(xué)生已有的估算意識(shí)和能力以及對(duì)方程的解的理解的基礎(chǔ)之上，提出了本節(jié)課的具體學(xué)習(xí)任務(wù)：經(jīng)歷一元二次方程解的探索過程，增進(jìn)對(duì)方程解的認(rèn)識(shí)，發(fā)展估算意識(shí)和能力。但這僅僅是這堂課具體的教學(xué)目標(biāo)，或者說是一個(gè)近期目標(biāo)。而數(shù)學(xué)教學(xué)的遠(yuǎn)期目標(biāo)，應(yīng)該與具體的課堂教學(xué)任務(wù)產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。本課《認(rèn)識(shí)一元二次方程》內(nèi)容從屬于“方程與不等式”這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，因而務(wù)必服務(wù)于方程教學(xué)的遠(yuǎn)期目標(biāo)：“讓學(xué)生經(jīng)歷由具體問題抽象出方程的過程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效模型，并在解一元二次方程的過程中體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想”，同時(shí)也應(yīng)力圖在學(xué)習(xí)中逐步達(dá)成學(xué)生的有關(guān)情感態(tài)度目標(biāo)。為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1、結(jié)合上一節(jié)課的實(shí)際問題中所建立的一元二次方程模型，激發(fā)學(xué)生求解的意識(shí)。2、經(jīng)歷探索滿足一元二次方程解或近似解的過程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)方程解的理解，發(fā)展學(xué)生的估算意識(shí)和能力。3、進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生大膽嘗試的精神，在嘗試的過程中體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)意識(shí)，學(xué)會(huì)在合作學(xué)習(xí)中相互交流。三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧；第二環(huán)節(jié)：情境引入；第三環(huán)節(jié)：做一做；第四環(huán)節(jié)：練習(xí)提高；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧活動(dòng)內(nèi)容：在上一節(jié)課中，我們得到了如下的兩個(gè)一元二次方程：，即：；，即：。發(fā)現(xiàn)一元二次方程在現(xiàn)實(shí)生活中具有同樣廣泛的應(yīng)用。上一節(jié)課的兩個(gè)問題是否已經(jīng)得以完全解決？你能求出各方程中的x嗎？第二環(huán)節(jié)：情境引入活動(dòng)內(nèi)容：1、有一根外帶有塑料皮長(zhǎng)為100m的電線，不知什么原因中間有一處不通，現(xiàn)給你一只萬用表（能測(cè)量是否通）進(jìn)行檢查，你怎樣快速的找到這一處斷裂處？與同伴進(jìn)行交流。2、在前一節(jié)課的問題中，我們?nèi)粼O(shè)所求的寬度為x(m)，得到方程：，即：；（1）根據(jù)題目的已知條件，你能確定x的大致范圍嗎？?說說你的理由．（2）x可能小于0嗎？可能大于4嗎?可能大于2．5嗎?說說你的理由，并與同伴進(jìn)行交流．（3）完成下表：x0122x2-13x+11（4）你知道所求的寬度x(m)是多少嗎?還有其他求解方法嗎?與同伴進(jìn)行交流．第三環(huán)節(jié)：做一做活動(dòng)內(nèi)容：上節(jié)課我們通過設(shè)未知數(shù)得到滿足條件的方程，即梯子底端滑動(dòng)的距離x(m)滿足方程，把這個(gè)方程化為一般形式為（1）你能猜出滑動(dòng)距離x(m)的大致范圍嗎?（2）小明認(rèn)為底端也滑動(dòng)了1m，他的說法正確嗎?為什么?（3）底端滑動(dòng)的距離可能是2m嗎?可能是3m嗎?為什么?（4）x的整數(shù)部分是幾?十分位是幾?附學(xué)生對(duì)第（1）問的說理過程如下：在此題中，我認(rèn)為x的取值范圍是0＜x＜4。首先，梯子滑動(dòng)的距離x＞0是顯而易見的，在下圖中，求得BC=6m,而BD＜10m,因此CD＜4m。所以x的取值范圍是0＜x＜4。學(xué)生完成下面的表格：x01234x2+12x-15-15-2133049同時(shí)發(fā)現(xiàn)：沒能在這些整數(shù)取值中找到方程的解，但卻通過表格分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x的取值是1和2時(shí)，所對(duì)應(yīng)代數(shù)式的值是-2和13，而且隨著x的取值越大，相應(yīng)代數(shù)式的值也越大。因此若想使代數(shù)式的值為0，那么x的取值應(yīng)在1和2之間。從而確定x的整數(shù)部分是1。教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生在1和2之間繼續(xù)找方程的解。以下分了兩種不同的做法：甲同學(xué)的做法：x012x2+12x-15-15-213所以1＜x＜進(jìn)一步計(jì)算：xx2+12x-15所以＜x＜因此x的整數(shù)部分是1，十分位是1。乙同學(xué)的做法：xx2+12x-15所以＜x＜因此x的整數(shù)部分是1，十分位是1。對(duì)于這幾種做法，教師要及時(shí)地給與肯定和鼓勵(lì)，并可將二者加以比較。通過這一練習(xí)，可要求學(xué)生整理用“夾逼”思想解一元二次方程的做題思路，并可展示課本中小亮的求解過程。第四環(huán)節(jié)：練習(xí)與提高活動(dòng)內(nèi)容：五個(gè)連續(xù)整數(shù)，前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平