二次函數(shù)零點問題

..二次函數(shù)零點問題【探究拓展】探究1：設分別是實系數(shù)一元二次方程和的一個根，且求證：方程有且僅有一根介于之間.變式1：函數(shù)f(x)＝ax2＋4x＋b(a<0，a、b∈R)，設關于x的方程f(x)＝0的兩實根為x1、x2，方程f(x)＝x的兩實根為α、β.〔1〕假設|α－β|＝1，求a、b的關系式；〔2〕假設a、b均為負整數(shù)，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式；〔3〕假設α<1<β<2，求證：(x1＋1)(x2＋1)<7.變式2：二次函數(shù)滿足且方程有實根.〔1〕求證：函數(shù)在上是增函數(shù).〔2〕設函數(shù)的零點為和，求證：.變式3：設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－eq\f(a,2)，3a>2c>2b，求證：〔1〕a>0且－3<eq\f(b,a)<－eq\f(3,4)；〔2〕函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)至少有一個零點；〔3〕設x1、x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，那么eq\r(2)≤|x1－x2|<eq\f(\r(57),4).變式4：設函數(shù)且.〔1〕求證：函數(shù)有兩個零點；〔2〕設是函數(shù)的兩個零點，求的取值圍；〔3〕求證：函數(shù)的零點至少有一個在區(qū)間.探究2：方程有兩個不相等的實數(shù)根.〔1〕求的取值圍；〔2〕求證：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).變式：二次函數(shù)和〔1〕假設為偶函數(shù)，試判斷的奇偶性；〔2〕假設方程有兩個不相等的實根，當時判斷在上的單調(diào)性；〔3〕假設方程的兩個不相等的實根為，的兩實根為，求使得成立的的取值圍.探究3：二次函數(shù)，方程的兩根和滿足〔1〕數(shù)的取值圍；〔2〕試比擬與的大?。⒄f明理由變式：，是的零點，且，那么從小到大的順序為_________________探究4：是實數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的取值圍解析1：函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上有零點，即方程=0在[-1，1]上有解.a=0時，不符合題意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或或或或a≥1.所以實數(shù)a的取值圍是或a≥1.點評：通過數(shù)形結(jié)合來解決一元二次方程根的分布問題.解析2：a=0時，不符合題意，所以a≠0,又∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)[-1，1]上的值域；設t=3-2x，x∈[-1，1]，那么，t∈[1,5],，設，時，，此函數(shù)g(t)單調(diào)遞減，時，>0,此函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，∴y的取值圍是，∴=0在[-1，1]上有解∈或.點評:將原題中的方程化成的形式,問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)[-1，1]上的值域的問題,是解析2的思路走向.變式1：函數(shù)．〔1〕求證：函數(shù)y=f(x)的圖象恒過兩個定點．〔2〕假設y=f(x)在〔1，3〕有零點，求a的取值圍．〔1〕設，即． 令x2=4，得x=2或2． 那么函數(shù)y=f(x)的圖象恒過定點〔2，7〕，〔2，1〕．〔2〕∵f(2)=7>0，f(2)=1<0，∴y=f(x)在〔2，2〕有零點． 1〕假設a>0，拋物線開口向上，y=f(x)在〔1，3〕有零點， 當且僅當f(1)>0，或f(3)>0． 那么， 或．∴0<，或． 2〕假設a<0，拋物線開口向下，y=f(x)在〔1，3〕有零點， 當且僅當f(1)>0．即．∴，結(jié)合a<0，得a<0． 3〕假設a=0，y=f(x)的零點為，在〔1，3〕．綜合1〕，2〕，3〕，得a的取值圍為〔∞，〕∪〔，∞〕．變式2：函數(shù)．〔1〕假設的解集是，數(shù)的值；〔2〕假設為整數(shù)，，且函數(shù)在上恰有一個零點，求的值．探究5：函數(shù)，，假設對于任意的實數(shù)，與的值至少有一個為正數(shù)，那么實數(shù)的取值圍是________.變式1：函數(shù)f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋l，g(x)＝mx，假設對于任一實數(shù)x，f(x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù)，那么實數(shù)m的取值圍是.分析：問題可轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號語言："函數(shù)f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋l，g(x)＝mx，R，或〞，數(shù)m的取值圍.不難發(fā)現(xiàn)，假設利用上述解法3，采用對立轉(zhuǎn)化法，即可設命題，或；那么命題，.假設命題成立時：首先，當時，，存在實數(shù)，使得不等式組成立.其次，當時，函數(shù)f(x)為開口向下的二次函數(shù)，g(x)為上的減函數(shù)且值域為，必存在，使得函數(shù)且.再者，當時，g(x)為上的增函數(shù)且值域為；假設存在實數(shù)使成立，即要有.又，解得或；綜上，假設命題成立時：有或；即可知當命題成立時：.答案錯了變式2：設函數(shù)，函數(shù)，假設存在，使得與同時成立，那么實數(shù)的取值圍是____________挖掘題中隱含條件：存在，使得，從而對參數(shù)的圍進展局部縮小；解析：由知，又存在，使得知即或，另中恒過，故由函數(shù)的圖象知：①假設時,恒大于0，顯然不成立。②假設時，③假設時，，另，顯然不成立。解法1〔別離參數(shù)法〕時，或者當時，都有.當時，那么有：當時，；當時，；因此，假設R，使得與同時成立，那么由上分析可知：只有當時，不等式成立.設函數(shù)，.令，，易求.那么解法2〔數(shù)形結(jié)合法〕由于；.假設存在R，使得，那么，即；那么：1°當時，由題意可知，，.二次函數(shù)對稱軸，在上為減函數(shù)，那么，即.2°當時，，.而二次函數(shù)對稱軸，在上為增函數(shù)，又，因此，，此情形下.綜上，.解法3〔對立轉(zhuǎn)化法〕命題p：假設R，使得與同時成立.那么p：對R，或成立.下研究假設命題p成立時，參數(shù)的取值圍：1°當時，R，恒成立，因此，適合題意.2°當時，；那么，2.1°，即；2.2°，即；因此有.3°當時，；那么，有，即；因此，.綜上，當時，p成立；那么，命題p成立時，.變式3：設函數(shù)，函數(shù)，假設不存在，使得與同時成立，那么實數(shù)的取值圍是_______評注：〔1〕含參曲線的特征觀察〔定點？平行直線系？切線構成的包絡線？〕〔2〕充分挖掘題中的隱含條件，從而對參數(shù)的圍進展局部縮??；變式4：函數(shù)，，對有或成立.假設，那么實數(shù)的取值圍是________.變式5：，，假設同時滿足條件：①，或；②(-∞,-4),，那么m的取值圍是_______分析：對于條件①，仍然采用對立轉(zhuǎn)化法，分析命題"，且〞.又當時，函數(shù)，那么只要存在實數(shù)使成立即可.首先，當時，，那么適合；其次，當時，二次函數(shù)開口向上，那么總存在實數(shù)使成立.再者，當時，二次函數(shù)開口向下，即要有；又此時二次函數(shù)對稱軸方程為，那么，解得；因此，命題成立時，或；那么條件①成立時，；對于條件②，當時，，那么可知存在，；并且.可分如下兩種情形：(1)，解得；(2)，解得；綜上可知，當條件①②都成立時，.探究6：設，方程的兩個根是和，且，.又假設，試比擬與的大小.

【解】因為、是方程的兩個根，

所以，，.

因此.

由，及，，得.所以，當時，有.

探究7：實數(shù)R，函數(shù)，，且滿足.〔1〕求的取值圍；〔2〕設為常數(shù)，且a0，函數(shù)的兩個零點為x1，x2，令且，，求證：.探究8：設函數(shù)〔1〕當，求函數(shù)的零點；〔2〕當時，