虛功原理(物理競賽)

§2、虛功原理上次課主要是介紹了分析力學中經(jīng)常要用到的一些基本概念，并由虛功的概念和理想約束的概念導出了解決靜力學問題的虛功原理：工Fi?§r=o。虛功i原理適用的范圍是：質(zhì)點組，它適用的前提條件是只受理想約束。這次課就舉一些具體例子，使我們能夠了解如何利用虛功原理去解決靜力學問題。三、應用虛功原理解題：例1、如圖所示，有一質(zhì)量為m，長度為/的剛性桿子，靠在墻上，在與地面接觸的B端上受一水平向左的外力F，桿子兩端的接觸都是光滑的，當桿子與水平地面成a角時，要使桿子處于平衡狀態(tài)，問作用在桿子B端上的力F有多大？求F=?解：由題意可知它是一個靜力學問題，而且接觸都是光滑的，顯然可以應用虛功原理來求解這個問題。這個例子很簡單，簡單的題目往往能夠清楚地說明物理意義，為了說明虛功原理的意義，如果一開始就舉復雜的例子，由于復雜的數(shù)字計算將會掩蓋物理意義，所以就以這個簡單的例子來看看如何應用虛功原理來解出它。第一步當然也是確定研究對象，即①選系統(tǒng)：在這個例題中，我們就取桿子為應用虛功原理的力學系統(tǒng)。②找主動力：作用在我們所選取的系統(tǒng)上的主動力有幾個？有兩個。一個是水平作用力F，還有一個是重力mg作用在桿子的質(zhì)心上。因為桿子兩端A、B處的接觸是光滑的，.??在該兩處的約束力也就不必考慮。③列出虛功方程：主動力找出來以后，視計算方便起見，適當選好坐標，并根據(jù)虛功原理列出虛功方程。現(xiàn)在選取如圖所示的直角坐標，于是我們現(xiàn)在就可列出系統(tǒng)的虛功方程。列虛功方程時，正、負號是個很重要的問題，如果按虛位移的實際方向與力的方向間的關(guān)系確定虛功的正負號，很容易弄錯。為了不容易弄錯，我們還是按力的作用點的坐標的正方向與力的方向間的關(guān)系來確定虛功的正負號。這種方法既方便而又不容易搞錯。在列方程時必須要注意這個問題。???F的方向與其作用點的坐標X的正方向相反，???F取負而6XB取正，???此力的虛功為負的，即：-F8x-mg8y二0……①，由于虛功方程B C中的兩個虛位移不是相互獨立的，???我們還需要將它們化成獨立變量，然后才能令獨立虛位移前的乘數(shù)等于零，從而求出最后的結(jié)果。我們從圖上很容易得出：x=lcosa,y=+sina。則5x=一lsina8a，對y變分則有：5y=+cosa&x，Be2 C C2將它們代入①式就可得至U: [Flsina5a-+mglcosa5a]=0f2(Flsina-+mglcosa)5a=0，V5a是獨立的，可以使它不等于零。??5a之前的2乘數(shù)應該等零，故有：Flsina-于mglcosa=0。于是就可解得題目所要求的結(jié)果2為：F=+mgetga。對于這個問題，如果按位移的實際方向與力的方向確定虛功正2負的話，將會得出這樣的結(jié)果，設想桿子在F的作用下向里有一虛位移，vF的方向與虛位移方向相同，???F是作正功的，應該為正的。而重力mg的方向與力的作用點的位移8yC的方向相反，???重力的功是負的，于是得到的結(jié)果：F5x-mg5y=0是錯的。對這個簡單例子的求解主要是說明了應用虛功原理的解B C題步驟。由上面的求解過程可以看出，應用虛功原理解題的步驟一般是：第一步先找出所要考慮的質(zhì)點組或者剛體，也就是1、找出所要研究的系統(tǒng)。2、找出系統(tǒng)所受的主動力。3、列出虛功方程。列出的虛功方程中的虛位移里的坐標不一定要獨立，虛功的正負號很重要，要正確判斷。我們還是以所選坐標的正方向為標準，也就是上面解題時所米用的方法。另外還得注意：計算虛功的參考系必須是靜止的。4、虛功方程列出之后，要把方程中的虛位移化成獨立的變量。其方法有兩種：一種是先找出坐標間的關(guān)系，再微分得出，這種方法就叫分析法，我們上面的例子采用的就是這種方法。另外一種是觀察法，根據(jù)觀察直接找出虛位移之間的關(guān)系。這種方法只在某些簡單的情況下可行。5、最后就是將找出的虛位移之間的關(guān)系代入虛功方程求解出最后的結(jié)果。應用虛功原理解題的步驟一般來說大致是這樣的。當然對具體的題目要作具體的處理，并不一定要這樣呆板，可靈活地去做，對我們初學者來說，有據(jù)可依總是有益處的。當然這個例子也可以用牛頓力學中的靜力平衡方程很容易地解出……。下面我再舉一個應用虛功原理求約束力的例子。

例2、如圖中所示的框架，它是由四根重量和長度都相同的桿子光滑鉸接而成的四邊形框架，中間B、D兩端又光滑鉸接一輕桿，A端是掛在天花板上的，已知框架上每一根稈子的重量為P，長度為，試求平衡時此輕桿所受之力？解：可見這個例子要我們求的是輕桿兩頭所受的力。為此我們可以把B、D撤消，撤消桿子也就等于撤消約束。（在框架的B、D兩）將約束去掉而代之的是作用在框架B、D兩處向外的作用力T（如下圖所示）并使系統(tǒng)仍處于原來的平衡狀態(tài)，這里的系統(tǒng)自然是指這個平行四邊形框架。此時我們就可以將去掉的約束而代之的兩個作用力T看作為系統(tǒng)所受的主動力，而其他的約束仍然是理想的。于是就可應用虛功原理求出這兩個力。這兩個力其實就是桿子對框架的約束壓力，求出了它當然也就求出了桿子所受的力。現(xiàn)在我們對所討論的問題和系統(tǒng)都已明確，于是就可著手找出系統(tǒng)的主動力。對框架這個系統(tǒng)除了受到T這兩個主動力之外，還有作用于各桿上的四個重力，這四個重力的合力可用作用在框架對稱中心E點的4P代替。在這里坐標就取垂直對稱軸向下為Y軸的正向，A為坐標原點，水平向右為x軸的正方向。根據(jù)對稱性可以直接寫出系統(tǒng)的虛功方程為：2T&+4P5y=0，由圖可得:D Ex=lsina,y=lcosa,?°?8x=lcosa&x,8y=—lsina&x.代入虛功方程中去，D E D E得：（2Tlcosa-4plsina）8a=0，?:T=2ptga。這種把約束去掉，代之以力而求約束力的方法是一種重要的方法，我們必須要掌握。上面我們所舉的兩個例子，所考慮的系統(tǒng)都是剛性系統(tǒng)，如果我們碰到要考慮的系統(tǒng)不是剛性時，不要忘了計算主動內(nèi)力所作的虛功。例如：將一彈簧圈放在光滑的球面上，求彈簧圈靜止時的位置，此時彈簧圈就不是一個剛體，它內(nèi)力的虛功不等于零。此時必須要把內(nèi)主動力的虛功計算進去［如果把彈簧圈割開使內(nèi)力暴露出來而轉(zhuǎn)化為外力，割開后的彈簧圈可看作剛體處理］?！?、達朗伯一一拉格朗日方程以上我們所研究的是分析靜力學問題，現(xiàn)在我們就開始轉(zhuǎn)到對分析動力學問題的研究。研究分析動力學的出發(fā)點仍然是牛頓第二運動定律。達朗伯原理從牛頓第二定律可以直接推出達朗伯原理，而達朗伯原理與虛功原理相結(jié)合就可得到分析動力學的普遍方程即一一達朗伯一拉格朗日方程?，F(xiàn)在我們就按這條路徑來走。假設由n個質(zhì)點組成的力學體系，根據(jù)牛頓第二定律可得，質(zhì)點組中的第i個質(zhì)點的動力學方程就是F+R=ma,i=l,2……n,將ma.移到等式的i i ii i左邊成為：F+R-ma=o *，這樣的形式。這樣移一下項得出來的方程式iiii有什么意義呢？在數(shù)學上看來，是沒有多大意義的，只不過是進行了一次移項手續(xù)而已，但在我們物理學上來看物理意義就大不相同了。???移項前它是個動力學方程，而移項后，如果把-ma也看作力，那么它就成了一個平衡方程，其實-ma正i i是我們已經(jīng)熟悉的慣性力。于是這個方程也就表明了作用在一質(zhì)點組中每個質(zhì)點上的主動力，約束力和慣性力三者保持平衡，這種平衡關(guān)系人們就稱它為達朗伯原理。要注意達朗伯原理的坐標系是選在與質(zhì)點沒有相對運動上的，引入達朗伯原理的意義在于選擇與質(zhì)點無相對運動的坐標系以后，只要加上慣性力，使得原來的動力學的問題就可變成靜力學問題，這種方法也就叫作動靜法。將動力學問題變成靜力學問題，它不僅為我們多提供了一條解決動力學問題的途徑。而且一般來講，靜力學問題要比動力學問題簡單，因此將動力學問題變成靜力學問題還會給解題帶來方便。工程上特別喜歡用靜力學方法……我們由達朗伯原理的方程式可以得到兩個推論：①?作用在質(zhì)點組中任一質(zhì)點上的主動力，約束力和慣性力互成平衡，因此將這幾個等式相加后仍然等于零，即：工F+工R+工-ma=0，其次，由質(zhì)點對任一固定點的位矢r叉乘*式的兩邊,i i ii i并將n個方程相加，就可得到：工(rxF)+工(rxR)-工(rxmr)=0。這些力ii ii iiiiii對任一點的力矩的總和也等于零。下面利用達朗伯原理來解下面的題目。例：一直角形剛性桿件AOB的質(zhì)量可以忽略不計，直角的頂點O用光滑鉸鏈連到垂直軸Z上，使它既能在鉛垂面內(nèi)繞O點轉(zhuǎn)動，同時又能繞Z軸轉(zhuǎn)動。在A、B兩端固結(jié)著兩個質(zhì)量為m和m的小球，已知：OA=a,OB=b，求：當OA和Z軸為12a角而這個a角穩(wěn)定不變時，他們繞Z軸轉(zhuǎn)動的角速度3二？

解：???穩(wěn)定為a角，解：???穩(wěn)定為a角，???o5=0。我們以兩個質(zhì)點和直角桿件組成的系統(tǒng)為研究系統(tǒng)。因為整個研究系統(tǒng)都以同樣的角速度3作勻速轉(zhuǎn)動，將坐標系就取在所研究的系統(tǒng)上，隨系統(tǒng)一起轉(zhuǎn)動。則系統(tǒng)所受的力有重力!mg,|mg和慣性力msbcosa和mBasina,除此之外還有O處的約束力。為了消去未知的約束力，我們可以對O點應用力矩的平衡方程。要想用力矩的平衡方程，還得先規(guī)定力矩的正方向，在這里我們就規(guī)定：力矩的逆時針方向為正，并對O點取矩。則有：時針方向為正，并對O點取矩。則有：m?2bcosabsina-mgbcosa—m32asinaacosa+mgasina見，應用了達朗伯原理之后，這個題目只要一個平衡方程就解出了它的結(jié)果。如果不采用達朗伯原理去解，而是采用動力學的方法去解的話，此題目是很難解的。因此它充分地顯示了應用達朗伯原理解題的優(yōu)越性。朗伯一拉格朗日方程：既然達朗伯原理的關(guān)系式：F+R-m-a=0是一種平衡方程，當然也可以iiii用虛功原理的形式表示出來。我們用虛位移5廠標乘上面這個平衡方程，并對i求和則有：工（F-ma）?5產(chǎn)+工N&=o。如果體系受到的是理想約束，???在理想約束的情況下：約束力的虛功之和必等于零：yR-5a二o，則上式就ii可寫成為：工（f-ma）-5a=o，顯然，它在形式上完全類似于虛功原理，這個方程就叫做達朗伯——拉格朗日方程。給出這個達朗伯一拉格朗日方程干什么用呢？一方面當然可以應用它來求解動靜法的問題。另一方面更重要的是分析力學真正的開始應該是從達朗一一拉格朗日方程這里開始的，這因為在別的方程中都還沒有直接用廣義坐標表達出來，現(xiàn)在我們就由達朗伯一拉格朗日方程，應用廣義坐標的概念推出直接用廣義坐標、廣義力、廣義速度等這些廣義量來表示的基本分析動力學方程，這個分析動力學方程正是我們下面馬上要推導的完整約束的第二類拉格朗日方程?！?.完整約束的第二類拉格朗日方程,

即基本形式的拉格朗日方程既然有第二類拉格朗日方程，從排列的次序來說，那么總應該有第一類拉格朗日方程，是有的，不完整約束的拉格朗日方程就稱第一類拉格朗日方程。由前面的討論我們知道由于約束的限制，n個矢徑r(i=l?2?3???n)并不是獨立的。i現(xiàn)在我們引入S個獨立的廣義坐標q(a=1?2?3???n)。將矢徑F用廣義坐標表i i示：r=r(q,q…口，t),這里的i是表示質(zhì)點組中質(zhì)點的數(shù)目，a是表示獨立坐標ii1 2s的數(shù)目，對這兩個角標的涵義要清楚?，F(xiàn)在我們先來推導兩個數(shù)學關(guān)系。兩個數(shù)學關(guān)系。笳—喬 d互二旦dL茹曠，~dt西— 爲—莎，這兩個數(shù)學關(guān)系在推導拉格朗日方程TOC\o"1-5"\h\za 1cl時要用到。下面先來證明第一個數(shù)學關(guān)系。r=r(q,q…q,t)，將它對時間求ii1 5 s導則有第i個質(zhì)點的速度為：???1*-(1)\o"CurrentDocument"dfr= ar q+ar q +???+ar q+arr =LaL_(q +辛(1)Ct=1dt aq、 1aq2 2 aq&sat aqCcCt=1???r是廣義坐標和時間的函數(shù)。???根據(jù)高等數(shù)學的全微分公式：iaz az ar.z二z(x,y),dz=axdx+~dydy可得：由于r是q2^qz二z(x,y),ar.和這兩個偏導數(shù)也仍然都是qqq和t的函數(shù)，而不是廣義速度q(ab 1、 2…s a=l,2,???s)的函數(shù)，并且這些廣義速度也是相互獨立的。所以我們將式(1)對廣義ar=ar.速度q求偏導數(shù)就可直接得到：忒—牯。要注意在求偏導數(shù)時，應該把a 1a 1ccq,q，t當作等同地位的自變量，不清楚這一點，就會在計算偏導數(shù)時發(fā)生不應1a有的錯誤，如果體系只有2個自由度，應該有幾個等同自變量，有5個等同的自變量，三個自由度就有7個等同自變量。下面再來證明第二個數(shù)學關(guān)系式，J

ar ar.忒仍然是山叮徑t)的函數(shù)，略=ar.

aqa(q/ 2 …q，t)d近二ar ar.忒仍然是山叮徑t)的函數(shù)，略=ar.

aqa(q/ 2 …q，t)d近二次釜)q+—+■一1dtdq^。(戲dqs)q+a(迓)sdtk=1a2rq+6qaaqkk主=工魚qk+62r =???dqadqa