高等代數(shù)論文-線性代數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

《高等代數(shù)》論文學(xué)院：理學(xué)院班級(jí)：數(shù)學(xué)1202姓名：童立夏學(xué)號(hào)：20122507指導(dǎo)教師：趙芬霞線性代數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)類(lèi)1202班童立夏學(xué)號(hào)20122507內(nèi)容摘要：線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支，具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性和較強(qiáng)的實(shí)用性。線性代數(shù)是以矩陣、線性空間結(jié)構(gòu)及線性變換為基本研究對(duì)象，其核心是研究線性代數(shù)方程組解的情況以及如何更快地求解線性方程組、線性空間結(jié)構(gòu)及線性變換。線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中：通過(guò)解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。本文通過(guò)一些實(shí)例討論線性代數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，說(shuō)明線性代數(shù)理論的應(yīng)用意義及方法從而使抽象的線性代數(shù)理論更直接、更形象。關(guān)鍵詞：線性代數(shù)、應(yīng)用、矩陣、行列式導(dǎo)言：線性代數(shù)主要研究有限維線性空間中的線性關(guān)系和線性映射，具有代數(shù)學(xué)的實(shí)用性和抽象性特點(diǎn)。線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中各有重要地位，本文將給出幾個(gè)典型的應(yīng)用實(shí)例，包括矩陣、行列式、線性組合等幾個(gè)部分的應(yīng)用以及線性組合在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域、數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，在解決問(wèn)題的過(guò)程中引出概念和方法。線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用行列式是線性代數(shù)的重要組成部分，它是解決線性方程組的常用工具，而線性方程組在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用比較廣泛。實(shí)例：成本問(wèn)題。某些產(chǎn)品在生產(chǎn)過(guò)程中能獲得另外幾種產(chǎn)品或副產(chǎn)品，但是對(duì)每種產(chǎn)品的單位成本難以確定，這類(lèi)問(wèn)題可以通過(guò)幾次測(cè)試，列出方程組求解。例如：在一次投料生產(chǎn)中能獲得四種產(chǎn)品，每次測(cè)試的總產(chǎn)品如表一所示，試求每種產(chǎn)品的單位成本。解：設(shè)A、B、C、D四種產(chǎn)品的單位成本分別為x1、x2、x3、x4，可列出方程組 將方程化簡(jiǎn)如下：運(yùn)行行列式解得：x1=10,x2=5,x3=3,x4=2,所以A、B、C、D四種產(chǎn)品的單位成本分別為10元/公斤，5元/公斤，3元/公斤，2元/公斤。表一A=，δT=（a14a24a34）,αT=(xyz),二次曲面的方程可以表示為（αT,1）=0.由線性代數(shù)的知識(shí)，對(duì)因此可以通過(guò)正交變換將二次曲面方程的左邊化為==從而二次曲面的方程化簡(jiǎn)為由于正交變換保持向量的內(nèi)積，故保持向量的長(zhǎng)度和向量間的夾角。可以證明，當(dāng)時(shí)，就是繞空間某一條過(guò)原點(diǎn)的直線的旋轉(zhuǎn)。根據(jù)二次型的秩為3，方程可化為又如果的正慣性指數(shù)為3或0，則經(jīng)移軸變換，二次曲面的方程可化為此時(shí)，當(dāng)d分別大于0、等于0、小于0時(shí)，二次曲面分別是橢球面、一個(gè)點(diǎn)、虛橢球面。四、線性組合的應(yīng)用實(shí)例n+1個(gè)人看n種不同的書(shū)，若每個(gè)人至少看過(guò)其中的一種，則必可從這n+1個(gè)人中找出兩組人，這兩組人看過(guò)的書(shū)集中在一起，其種類(lèi)是完全你相同的。證明以n維列向量，記第個(gè)人的閱讀記錄。若他看了第種書(shū)，則=1，若他不曾看過(guò)第種書(shū)，則=0.于是每個(gè)向量均為非零向量。且各分向量不是0就是1.由于該向量組由n+1個(gè)n維向量組成，向量組中向量的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)則向量組相關(guān)，因此至少由一個(gè)向量可以表示為其余向量線性組合，不妨設(shè)有不全為零。因?yàn)?，且分量，則線性組合系數(shù)中至少有一個(gè)為正，否則的各分量現(xiàn)把系數(shù)為正的項(xiàng)留在組合式子的右邊，系數(shù)為負(fù)的2項(xiàng)移至左邊，略去系數(shù)為零的項(xiàng)后有式中與皆為證書(shū)，故左右兩邊的線性組合給出的向量均非負(fù)其正分量正是左右兩組人看書(shū)的記錄，根據(jù)向量相等的定義，它們是完全相等的。五、利用行列式解決行星軌道方程的問(wèn)題一天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道，他在軌道平面內(nèi)建立一個(gè)以太陽(yáng)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，在兩坐標(biāo)軸上取天文測(cè)量單位（1天文單位為地球到太陽(yáng)的平均距離：9300萬(wàn)里）。他在五個(gè)不同時(shí)間對(duì)小行星作五次觀測(cè)，得到軌道上五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（5.764,0.648），（6.286，1.202），（6.759,1.823），（7.168,2.562）與（7.408,3.360）。由開(kāi)普勒第一定律知小行星軌道為一橢圓，試建立它的方程。解平面上圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的一般方程為：，該方程含六個(gè)待定系數(shù)，用與上面類(lèi)似的方法，通過(guò)五個(gè)不同點(diǎn)與的一般圓錐曲線方程為：將五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述方程后展開(kāi)并化簡(jiǎn)得：這里，根據(jù)橢圓上給定五個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)信息，通過(guò)插值構(gòu)造代數(shù)多項(xiàng)式曲線來(lái)逼近橢圓方程曲線，將問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化為行列式并得到所求的近似曲線。結(jié)論：線性代數(shù)問(wèn)題廣泛存在于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，總之，隨著社會(huì)的進(jìn)步，科技的飛躍發(fā)展，線性代數(shù)都在不斷吸收其他領(lǐng)域的新成果。著名數(shù)學(xué)家M.Kline曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“這門(mén)學(xué)科是在直觀的和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上起始的。嚴(yán)密性在希臘時(shí)代就變成了一個(gè)目標(biāo)……但是，過(guò)分追求嚴(yán)密性，將引入絕境而失去它的真正意義。數(shù)學(xué)仍然是活躍而富有生命力的，但是它只能建立在實(shí)用的基礎(chǔ)上?！毕Ｍ舜尉€性代數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用討論能在自己和其他同學(xué)在今后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上有所幫助。參考文獻(xiàn)：[1]張瑩華.線性代數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用與作用.科教文化[2]李秀蘭，張紅玉.線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用.山西大同學(xué)報(bào).2010:26[3]周金明，項(xiàng)立