第03講圓的方程

第03講圓的方程1．圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓方程標準(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2．點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi)．一．圓的方程例1．（1）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】圓的圓心為，半徑為，得到圓方程.【詳解】根據(jù)題意知圓心為，半徑為，故圓方程為：.故選：B.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：直接法求圓的標準方程的策略確定圓的標準方程只需確定圓心坐標和半徑，常用到中點坐標公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等．（2）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心坐標，進而即可得到該圓的方程.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為3設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解之得則圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心坐標為則該圓的方程為，故選：D．（3）已知，則的外接圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)外接圓的方程為：，然后將三點坐標代入解方程組求出的值，從而可求出的外接圓的一般方程.【詳解】設(shè)外接圓的方程為：，由題意可得：，解得：，即的外接圓的方程為：．故選：C.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求圓的方程(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．（4）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳解】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．（5）“”是“方程表示圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)圓的一般是方程表示圓的條件得，再根據(jù)集合關(guān)系判斷必要不充分條件即可.【詳解】方法一：因為方程表示圓，，所以，解得所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B.方法二：方程表示圓，即表示圓，則需，解得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：圓的一般方程的辨析(1)由圓的一般方程的定義，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓．(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標準方程的特征求解．（6）經(jīng)過，兩點，且圓心在直線上的圓的標準方程為______.【答案】【分析】首先設(shè)圓的標準方程為，根據(jù)題意得到，再解方程即可.【詳解】設(shè)圓的標準方程為，由題知：，所以標準方程為.故答案為：（7）圓的直徑為___________.【答案】5【分析】轉(zhuǎn)化為圓的標準方程，即得解【詳解】由題意，故圓的半徑為，直徑為5故答案為：5二．點與圓的位置關(guān)系例2．（1）點與圓的位置關(guān)系是（

）．A．點在圓上 B．點在圓內(nèi) C．點在圓外 D．不能確定【答案】C【分析】由點到原點距離與圓半徑大小比較，即可判斷點、圓位置關(guān)系.【詳解】因為，所以點在圓外．故選：C（2）已知兩直線與的交點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)k的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】求出兩直線的交點坐標，利用該交點到圓心的距離小于半徑列式，解不等式可得結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為，由得，則兩直線與的交點為，依題意得，解得.故選：B（3）已知四點共圓，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由三點求出圓的方程，再把代入方程即可求解【詳解】設(shè)過四點的圓的方程為，將代入可得：，解得，所以圓的方程為，將代入圓的方程得，解得，故選：D（4）若點在圓外，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【分析】由題意可得關(guān)于的不等式，求解得答案．【詳解】點在圓外，，且，解得或．實數(shù)的取值范圍為．故答案為：.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：判斷點與圓位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：主要利用點到圓心的距離與半徑比較大?。?2)代數(shù)法：把點的坐標代入圓的標準方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷．三．與圓有關(guān)的最值問題例1．（1）已知為圓上一動點，則點到直線的距離的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圓心與半徑，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，由即可求解.【詳解】∵圓，∴圓心，半徑，∴圓心到直線的距離，∴圓上的點到直線的距離最大值為，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查圓上的點到直線距離的最值問題，利用圓的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.（2）已知直線：與圓：，則上各點到距離的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷直線與圓的位置關(guān)系，再結(jié)合圖形求距離最小值.【詳解】易知圓心，半徑，圓心到直線l：的距離d，所以圓與直線相離，如圖所示：所以圓C上各點到l距離的最小值為，故選：C．（3）已知直線l過點，則直線l被圓O：截得的弦長的最小值為（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】由題可知當OA與直線l垂直時，所截得的弦長最短，利用弦長公式即得.【詳解】依題意可知在圓內(nèi)，且，圓O的半徑為．當OA與直線l垂直時，所截得的弦長最短，即弦長的最小值為.故選：B．（4）在平面直角坐標系中，記為點到直線的距離，當、變化時，的最大值為A．B．C．D．【答案】C【分析】為單位圓上一點，而直線過點，則根據(jù)幾何意義得的最大值為.【詳解】為單位圓上一點，而直線過點，所以的最大值為，選C.【點睛】與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化．（5）已知實數(shù)x，y滿足方程，則=1\*GB3①的最大值和最小值分別為________和________；=2\*GB3②y－x的最大值和最小值分別為________和________；=3\*GB3③的最大值和最小值分別為_______和_______．【答案】////【分析】將圓的方程化為標準形式，得圓心坐標和半徑，利用設(shè)＝k，利用的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，可求出的最大值和最小值；將y－x看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距．利用直線與圓相切可求出y－x的最大值和最小值；將x2＋y2看成圓上的一點與原點距離的平方，利用平面幾何知識知可求出的最大值和最小值.【詳解】原方程可化為，表示以（2，0）為圓心，為半徑的圓．=1\*GB3①的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)＝k，即y＝kx，當直線y＝kx與圓相切時（如圖），斜率k取最大值或最小值，此時，解得k＝±.所以的最大值為，最小值為－.=2\*GB3②y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距．如圖所示，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b＝－2±，所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.=3\*GB3③表示圓上的一點與原點距離的平方．由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值．又圓心到原點的距離為2，所以的最大值是，的最小值.故答案為：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；.（6）已知為圓C：上任意一點，且點．=1\*GB3①求的最大值和最小值．=2\*GB3②求的最大值和最小值．=3\*GB3③求的最大值和最小值．【答案】【小問1】最大值為，最小值為

【小問2】最大值為，最小值為

【小問3】最大值為9，最小值為1【分析】=1\*GB3①利用圖形及點與圓的關(guān)系即可得結(jié)果；=2\*GB3②利用圖形將問題轉(zhuǎn)化為斜率最值即可；=3\*GB3③利用圖形將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系；【詳解】=1\*GB3①圓C：，如圖所示，連接QC交圓C于AB兩點，當M與A重合時取得最小值，即，與B重合時取得最大值即，故最大值為，最小值為；=2\*GB3②易知，由圖形知當與圓C相切時取得最值，如圖所示.可設(shè)，則C到其距離為，解得，故最大值為，最小值為=3\*GB3③設(shè)，如圖所示，即過點M的直線，所以或9，故最大值為9，最小值為1.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．(2)與圓上點(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值問題；②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．四．與圓有關(guān)的軌跡方程例4．（1）已知點，，則以為斜邊的直角三角形的直角頂點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)即得.【詳解】設(shè)，由條件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故，即，所以，因為為直角三角形的直角頂點，所以，故所求軌跡方程為．故選：C.（2）已知A，B是：上的兩個動點，P是線段的中點，若，則點P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圓的垂徑定理得，利用勾股關(guān)系求得，結(jié)合圓的定義即可求出點P的軌跡方程.【詳解】因為中點為P，所以，又，所以，所以點P在以C為圓心，4為半徑的圓上，其軌跡方程為.故選：C.（3）點與兩個定點，的距離的比為，則點的軌跡方程為______．【答案】【分析】設(shè)出動點，利用條件得到，再化簡即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)點，由題知，兩邊平方化簡得，即，所以點的軌跡方程為.故答案為：.（4）在平面直角坐標系中，A（6，0），點B為圓C：上的動點，點P滿足，則動點P的運動軌跡方程為_________.的最小值為_________.【答案】/【分析】答題空1：可利用直接設(shè)點列方程方法解得P的軌跡方程；答題空2：先利用將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，再利用點B的軌跡解決取最小的位置，最后利用三點共線解決動點P到兩定點的距離和問題，綜合得出的最小值.【詳解】答題空1：設(shè)點的坐標為，由得，化簡得動點P的軌跡方程為圓上,答題空2：，則圓內(nèi)含于圓，（當且僅當三點共線，且在之間時等號成立）又因為（當且僅當三點共線，且在之間時等號成立）綜上：當四點共線，且從左到右的位置順序依次為時取得最小值故答案為：；.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．(4)相關(guān)點代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式．1．已知，則外接圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得外接圓的方程即可進行選擇.【詳解】設(shè)外接圓的方程為則有，解之得則外接圓的方程為故選：D2．在平面直角坐標系中，以點(0，1)為圓心且與直線相切的圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由條件利用點到直線的距離公式求得半徑，可得要求的圓的標準方程．【詳解】由題意可得圓心為點(0，1)，半徑為，要求的圓的標準方程為，故選：A．3．已知點A（1，2）在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由表示圓可得，點A（1，2）在圓C外可得，求解即可【詳解】由題意，表示圓故，即或點A（1，2）在圓C：外故，即故實數(shù)m的取值范圍為或即故選：A4．若方程表示圓，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：D5．若圓：過坐標原點，則實數(shù)的值為（

）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1【答案】C【分析】根據(jù)圓的一般方程的定義，結(jié)合過原點列方程即可求解.【詳解】∵表示圓，∴∴.又圓過原點，∴，∴或（舍去）；.故選:C.6．已知直線過定點P，線段MN是圓的直徑，則（

）A． B．3 C．7 D．9【答案】C【分析】求出定點P，圓心及半徑，利用向量的運算可得，即可求值.【詳解】直線可化為：，由解得，所以直線過定點，圓的圓心為,半徑為，所以,所以，故選：C7．點在圓上，點，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】可判斷在圓外，則，計算即可．【詳解】圓的圓心，半徑為，由于在圓外，．故選：D.8．已知圓關(guān)于直線（，）對稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【分析】由題可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】圓的圓心為，依題意，點在直線上，因此，即，∴，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為9.故選：B.9．已知圓上兩動點A，B滿足為正三角形，O為坐標原點，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由條件可得，由此確定點的軌跡方程，再求的最大值可得結(jié)論.【詳解】由題可知是邊長為1的正三角形，設(shè)的中點為，則，又，所以點的軌跡方程為，且．因為，所以，因為，當且僅當點在線段上時等號成立，所以的最大值為，所以的最大值為．故選：D．10．已知是圓上的兩個動點，點，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)的中點為，得到，連接，，，根據(jù)，得到,設(shè)，求得，得出點的軌跡，再由，得到當取最大值時，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)的中點為，連接，由，可得，連接，，，則，所以，所以,設(shè)，則，整理得，所以點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，因為，所以當取最大值時，取最大值，又因為，故的最大值為.故選：A．11．已知過點的動直線l與圓C：交于A，B兩點，過A，B分別作C的切線，兩切線交于點N．若動點，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】先判斷出四點在以為直徑的圓上，求出該圓方程，進而求得方程，由點在直線上得出點軌跡為，又在圓上，進而將的最小值即為圓心到直線的距離減去半徑，即可求解.【詳解】易得圓心，半徑為4，如圖，連接，則，則四點在以為直徑的圓上，設(shè)，則該圓的圓心為，半徑為，圓的方程為，又該圓和圓的交點弦即為，故，整理得，又點在直線上，故，即點軌跡為，又在圓上，故的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即.故選：B.12．已知，關(guān)于直線對稱的圓記為，點E，F(xiàn)分別為，上的動點，EF長度的最小值為4，則（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】畫出圖形，當過兩圓圓心且與對稱軸垂直又接近于對稱軸時，長度最小，此時圓心到對稱軸的距離為4，根據(jù)點到直線的的公式建立方程即可求解.【詳解】由題易知兩圓不可能相交或相切，則如圖，當過兩圓圓心且與對稱軸垂直又接近于對稱軸時，長度最小，此時圓心到對稱軸的距離為4，所以，解得或.故選：D13．已知圓內(nèi)一點P(2，1)，則過P點的最短弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓心，由圓的對稱性可知過點與垂直的直線被圓所截的弦長最短【詳解】由題意可知，當過圓心且過點時所得弦為直徑，當與這條直徑垂直時所得弦長最短，圓心為，，則由兩點間斜率公式可得，所以與垂直的直線斜率為，則由點斜式可得過點的直線方程為，化簡可得，故選：B14．直線l：與圓C：交于A，B兩點，則當弦AB最短時直線l的方程為A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出直線經(jīng)過的定點，再求出弦AB最短時直線l的方程.【詳解】由題得，所以直線l過定點P.當CP⊥l時，弦AB最短.由題得,所以.所以直線l的方程為.故選A【點睛】本題主要考查直線過定點問題，考查直線方程的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.15．已知圓的方程為，過點的直線與圓交于，兩點，則弦的最小值為（

）A． B．10 C． D．5【答案】A【分析】確定圓的圓心和半徑，確定當時，最短，根據(jù)圓心距和圓的半徑以及弦長的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】圓的方程可化為，則，因為，故點在圓內(nèi)，過點的最長弦一定是圓的直徑，當時，最短，此時，則，故選：A．16．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值（，且）的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡的圓心坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題設(shè)，應(yīng)用兩點距離公式可得，整理并化為圓的標準形式，即可確定圓心.【詳解】令P(x，y)，則，兩邊平方并整理得：，∴圓心為(4，0)．故選：A．17．已知點P在圓上，則點P到x軸的距離的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)圓的一般方程求出圓心半徑，再結(jié)合問題計算即可.【詳解】圓,即圓

圓心為，半徑，得點P到x軸的距離的最大值為.故選：B.18．在平面直角坐標系xOy中，以點(0,1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為()A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16【答案】B【詳解】由直線x－by＋2b＋1＝0可得該直線過定點A(－1,2)，設(shè)圓心為B(0,1)，由題意可知要使所求圓的半徑最大，則rmax＝|AB|＝eq\r(－1－02＋2－12)＝eq\r(2)，所以半徑最大的圓的標準方程為x2＋(y－1)2＝2.故選B.19．（多選）已知直線，圓，則（

）A．直線過定點B．圓的半徑是1C．存在一個實數(shù)，使得直線經(jīng)過圓的圓心D．無論取何值，直線與圓相交【答案】ACD【分析】A選項，將變形得到，求出直線所過定點；B選項，將圓化為標準方程，得到圓心與半徑，B正確；C選項，求出當時，直線經(jīng)過圓心；D選項，得到點在圓內(nèi)，所以無論取何值，直線與圓都相交.【詳解】變形為，令，解得：，可得直線過定點，正確；變形為，圓的圓心為，半徑為3，則B錯誤；將代入直線中，，解得：，當時，直線經(jīng)過圓心，則正確；將代入中，，故點在圓內(nèi)，所以無論取何值，直線與圓都相交，則D正確.故選：ACD20．（多選）已知圓的方程為，對任意的，該圓（

）A．圓心在一條直線上 B．與坐標軸相切C．與直線不相交 D．不過點【答案】ABC【分析】對A：顯然圓心在上；對B：用圓心到坐標軸的距離判斷；對C：用圓心到直線的距離判斷；對D：將點代入圓方程看是否有解.【詳解】對于：顯然圓心在故A對；對于B：圓心到坐標軸的距離均為，等于圓的半徑，故該圓與坐標軸相切，B正確；對于C：圓心到直線距離，故相離，C對；對于D：將點代入圓方程得，顯然，故有解，所以可能過點錯；故選：ABC．21．（多選）橢圓上一點和圓上一點，則的值可能是（

）A． B．1 C．3 D．4【答案】BC【分析】先轉(zhuǎn)化為橢圓上一點到圓心的距離，利用二次函數(shù)單調(diào)性求出范圍，再由圓上點的幾何性質(zhì)，求出的取值范圍.【詳解】設(shè)圓心為，，則，其中，由對稱軸為知，時，函數(shù)單調(diào)遞減，則，所以，則有，．故選：BC22．（多選）已知直線與圓交于A，B兩點，點M為圓C上的一動點，點，記M到l的距離為d，則（

）A． B．d的最大值為C．是等腰三角形 D．的最小值為【答案】ACD【分析】對于A，根據(jù)垂徑定理以及弦長公式，可得答案；對于B，根據(jù)題意作圖，結(jié)合圓上點與直線的位置關(guān)系，可得答案；對于C，求弦的中垂線的直線方程，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，可得答案；對于D，由題意，作圖，根據(jù)線段組合，求得答案.【詳解】對于A，由圓，可得，半徑為，點到直線的距離為，則，故A正確；對于B，由題意，可作下圖：點為弦的中點，直線，則，故B錯誤；對于C，由選項B與題意，如下圖：易知，，則直線的斜率，由，則直線的斜率，由，則直線的方程為，則，即點在直線上，為的中垂線，是等腰三角形，故C正確；對于D，由題意，可作圖：則，顯然，則，故D正確；故選：ACD.23．（多選）過圓外一點作直線交圓于、兩點，則弦的中點（

）A．軌跡為圓 B．滿足方程C．軌跡為一段圓弧 D．滿足方程【答案】CD【分析】設(shè)點，由垂徑定理可知，利用勾股定理化簡可得出點的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點，由垂徑定理可知，由勾股定理可得，即，整理可得，圓的圓心為，半徑為，圓心距為，且，所以，圓與圓相交，所以，點的軌跡是圓在圓內(nèi)的圓弧，如下圖圓內(nèi)實線部分所示：故選：CD.24．(多選)設(shè)有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命題正確的是()A．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上B．所有圓Ck均不經(jīng)過點(3,0)C．經(jīng)過點(2,2)的圓Ck有且只有一個D．所有圓的面積均為4π【答案】ABD【詳解】圓心坐標為(k，k)，在直線y＝x上，A正確；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化簡得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0無實數(shù)根，∴B正確；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化簡得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有兩個不相等實根，∴經(jīng)過點(2,2)的圓Ck有兩個，C錯誤；由圓的半徑為2，得圓的面積為4π，D正確．25．與圓同圓心且過點的圓的方程是_____________．【答案】【分析】先求出同心圓的圓心，在利用兩點間的距離公式的應(yīng)用求出所求圓的半徑，由此即可求出結(jié)果．【詳解】圓，即所以所求圓的圓心坐標為，半徑為所以圓的方程為．故答案為：．26．若圓的圓心在直線上，則C的半徑為______．【答案】【分析】先求得參數(shù)D，再去求C的半徑即可解決.【詳解】圓的圓心為則有，則，則C的半徑為故答案為：27．若圓上有且僅有三個點到直線的距離為1，則_______．【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是圓半徑的一半，利用點到直線距離公式進行求解.【詳解】圓化為，圓心為，半徑為2，因為圓上有且僅有三個點到直線距離是1，所以圓心到直線的距離是圓的半徑的一半，即，解得．故答案為：28．若不同的四點共圓，則實數(shù)__________．【答案】-1或5【分析】先由A、B、C三點確定其外接圓，再計算即可.【詳解】易知圓心在線段的垂直平分線上，該直線方程為，設(shè)圓心坐標為，半徑為，所以，解得，所以所求圓的方程為，點在圓上，所以，解得或．故答案為：-1或529．直線與的交點在曲線上，則______．【答案】【分析】先聯(lián)立方程求出兩直線的交點坐標，再代入曲線的方程進行求解.【詳解】聯(lián)立，得，即直線與的交點為，因為兩直線的交點在曲線上，所以，解得.故答案為：.30．已知，是曲線上的動點，為直線上的一個動點，則的最小值為______.【答案】【分析】根據(jù)題意，求得關(guān)于直線的對稱點，結(jié)合圖像即可得到當三點共線時，取得最小值.【詳解】如圖，曲線是以為圓心，以為半徑的圓，則根據(jù)圓的性質(zhì)可知，的最小值為，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則可得，解得，即，連接，分別交直線與圓于，則，當且僅當三點共線時取等號，此時取得最小值，所以的最小值為.故答案為:31．若點P在橢圓C1：＋y2＝1上，C1的右焦點為F，點Q在圓C2：x2＋y2＋10x－8y＋39＝0上，則的最小值為__________．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義得，結(jié)合圓的性質(zhì)以及四點共線即可求解最小值.【詳解】記橢圓C1：＋y2＝1的左焦點為E(－1,0)，右焦點F(1,0)，由橢圓的定義可得，，所以，由，得，即圓C2的圓心為，半徑為，作出圖形如圖所示，由圓的性質(zhì)可得，，＝＝4－3＝(當且僅當C2，Q，P，E四點共線時，等號成立)，所以的最小值為.故答案為：32．在平面內(nèi)，一只螞蟻從點出發(fā)，爬到軸后又爬到圓上，則它爬到的最短路程是______．【答案】【分析】求得點關(guān)于軸的對稱點為，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由圓，得圓心坐標，半徑為，求得點關(guān)于軸的對稱點為，可得.如圖所示，可得爬到的最短路程為.故答案為：33．當直線l：ax－y＋2－a＝0被圓C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦長最短時，實數(shù)a的值為________.【答案】2【分析】求出直線過的定點，數(shù)形結(jié)合得到當MC與l垂直時，弦長最短，利用垂直時斜率關(guān)系列出方程，求出實數(shù)a的值.【詳解】由ax－y＋2－a＝0得直線l恒過點M(1，2).又因為點M(1，2)在圓C的內(nèi)部，當MC與l垂直時，弦長最短，所以，所以×a＝－1，解得:a＝2.故答案為：234．己知實數(shù)滿足，則的最大值為__________．【答案】【分析】設(shè)點，則問題轉(zhuǎn)化為圓上一點與圓外一點之間距離的最大值的平方，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】方程整理得，設(shè)點，即點是圓上一點又點在圓外，所以，則，所以的最大值為.故答案為：.35．已知圓過點，，則圓心到坐標原點的距離的最小值為___________.【答案】【分析】先求出圓心所在直線方程，再求原點到直線距離即可.【詳解】依題意，可知圓心在線段的中垂線上，的斜率為，線段的中點為，故線段的中垂線方程為，故到坐標原點的距離的最小值為.故答案為：.36．已知圓經(jīng)過點，與直線相切，且被軸截得的弦長為，則圓的標準方程為________.【答案】【分析】設(shè)圓心和半徑，由題意列出方程組，求得圓心和半徑，即得答案.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，半徑為R，則由題意可得，解得，故圓的標準方程為，故答案為：37．已知A(0,2)，點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________．【答案】2eq\r(5)【詳解】因為圓C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圓C是以C(2,1)為圓心，半徑r＝eq\r(5)的圓．設(shè)點A(0,2)關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對稱點為A′(m，n)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2)．連接A′C交圓C于Q，由對稱性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq\r(5).38．在平面直角坐標系中，點滿足，則動點的運動軌跡方程為__________；的最小值為__________.【答案】【分析】設(shè)出，由題意列出方程組，化簡即可得到點的軌跡方程；【詳解】設(shè)，由題意可得，整理得，故動點的運動軌跡方程為，如圖所示，點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，點在圓內(nèi)部，所以，當且僅當在線段上時等號成立，所以的最小值為，故答案為：；39．已知直線l：與圓相交于A、B兩點，M是線段AB的中點，則M的軌跡方程為_____；M到直線的距離的最小值為_____．【答案】2【分析】可得，設(shè)，根據(jù)中點關(guān)系表示出，代入圓即可求出軌跡方程；M的軌跡圓心到直線距離，即可求出最小值.【詳解】因為直線過定點，且在圓上，不妨令，設(shè)，因為M是線段AB的中點，所以，即，因為在圓上，所以，即，所以M的軌跡方程為，圓心為，半徑為1，圓心到直線的距離為，所以M到直線的距離的最小值為.故答案為：；2.40．已知曲線：．（1）當取何值時，方程表示圓？（2）求證：不論為何值，曲線必過兩定點．（3）當曲線表示圓時，求圓面積最小時的值．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）當時，可知方程表示直線；當時，化簡整理已知方程，可知滿足圓的方程；（2）將已知方程整理為，從而可得方程組，解方程組求得兩定點坐標，結(jié)論可證得；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，可知以為直徑的圓面積最小，從而得到圓的方程，與已知方程對應(yīng)相等可構(gòu)造方程組，解方程組求得結(jié)果．【詳解】解：（1）當時，方程為表示一條直線．當時，，整理得，由于，所以時方程表示圓．（2）證明：方程變形為．由于取任何值，上式都成立，則有．解得或所以曲線必過定點，，即無論為何值，曲線必過兩定點.（3）由（2）知曲線過定點A，，在這些圓中，以為直徑的圓的面積最?。ㄆ溆嗖灰詾橹睆降膱A的直徑大于的長，圓的面積也大），從而以為直徑的圓的方程為，所以，解得．41．已知圓心為C的圓經(jīng)過兩點，且圓心C在直線上(1)求圓C的標準方程．(2)若直線PQ的端點P的坐標是，端點Q在圓C上運動，求線段PQ的中點M的軌跡方程【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得線段的垂直平分線的方程，通過聯(lián)立垂直平分線的方程和直線的方程求得圓心的坐標，進而求得半徑，從而求得圓的標準方程.（2）設(shè)出點的坐標，求得點的坐標，將點的坐標代入圓的方程，化簡求得點的軌跡方程.【詳解】（1）線段的中點的坐標為，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線的方程為，由解得，所以，,所以圓的標準方程為.（2）設(shè)，由于是線段的中點，，所以，將點的坐標代入原的方程得，整理得點的軌跡方程為：.42．已知圓C經(jīng)過點且圓心C在直線上.(1)求圓C方程；(2)若E點為圓C上任意一點，且點，求線段EF的中點M的軌跡方程.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即得；（2）根據(jù)相關(guān)點法，設(shè)出點M的坐標，利用中點公式結(jié)合圓的方程即得.【詳解】（1）由題可設(shè)圓C的標準方程為，則，解之得，所以圓C的標準方程為；（2）設(shè)M（x，y），，由及M為線段EF的中點得，解得,又點E在圓C：上，所以有，化簡得：,故所求的軌跡方程為．43．已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值．(2)求x2＋y2的最大值和最小值．【詳解】(1)原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).(2)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值．又圓心到原點的距離為eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).44．已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線上，點為圓上的一個動點，為原點.(1)求圓的方程；(2)求面積的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)圓的一般方程，將點A、B的坐標代入圓的方程，將圓心坐標代入直線方程，列出方程組，解之即可求解；（2）根據(jù)點到直線的距離公式求出圓心到弦的距離，進而得圓上的動點到弦距離的最大值，結(jié)合即可求解.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，則圓心為.由題可知解得圓的方程為.（2）易知的中點坐標為，圓的圓心到弦的距離為.又由（1）知圓的半徑為2，圓上的動點到弦距離的最大值為.又，面積的最大值為.45．已知圓C經(jīng)過，兩點，且圓心C在直線上．(1)求圓C的標準方程；(2)若P是直線上的動點，Q是圓C上的動點，定點，求的最大值．【答案】(1)；(2)15【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求得圓心坐標和半徑，進而求得圓的標準方程.（2）利用點關(guān)于直線對稱點以及三點共線來求得的最大值.【詳解】（1）依題可設(shè)圓心C的坐標為，因為，所以，解得，則圓心C的坐標為，圓C的半徑，故圓C的標準方程為．（2）因為，所以．設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，則，解得，即．因為，所以，當且僅當P，C，三點共線時，等號成立．又，所以的最大值為15．46．已知圓心在軸上的圓與軸交于兩點，(1)求此圓的標準方程；(2)設(shè)為圓上任意一點，求到直線的距離的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)先確定出圓心，半